《三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（ ）
A．12 B．9 C．18 D．15
3．（2024八上·杭州期中）如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，．则等于（ ）
A．64 B．60 C．56 D．52
4．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·杭州期中）如图分别以的边为边，向外作正方形和，连接，O为的中点，的延长线交于点H．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·浙江期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．（2024八上·义乌期中）如图，已知平分，于点，于点，且，若，，则的长为 ．
8．（2024八上·龙湾期中）小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．则点C离地面的垂直距离为 m．
9．（2024八上·武城期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则 （用含k的代数式表示）．
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，，点D是线段中点，，，下列结论：①．②为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号） ．
11．（2020七下·锡山期末）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°.若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 .
三、解答题
12．（2024八上·杭州期中）在和中，，，且．
（1）如图1，连结，，判断和的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点A在线段延长线上，，，求线段的长度；
（3）如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值．
13．（2025八上·红河期末）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系．
（1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________．
（2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系．
14．（2024八上·南浔期中）（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中；你发现线段与有什么数量关系？试说明你的结论
（2）【变式探究】如图2，在中，点、、分别在边，，上，若，那么与有何关系，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，以为腰向右做等腰，使得，，若，点是的中点，连接，，，请求出的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
2．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作于点K，设AE，BF交于点L，交于点M，如图所示，
∵，以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∵，，
∴，即，
∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
又，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：A ．
【分析】根据题意，如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点，可证，，，，阴影部分的面积为，由此即可求解．
3．【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】过点作的垂线交于点，连接，
因为四边形，，是正方形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】过点作的垂线交于点，易证，，，，利用全等三角形的性质可推出，，再通过证明，由此可求出结果.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，，最后根据角的关系进行计算即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：A、如图，延长到M，使，连接，
∵O为的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴；故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故C不符合题意；
D、过G作于N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故D符合题意．
故选：D．
【分析】如图所示，利用倍长中线法延长AO至M，连接GM，再过点G作AM的垂线段GN.
A、先利用SAS证明，则，，则有，则，根据正方形的性质和周角的概念可得，即，则可利用SAS证明，则；
B、由可得；
C、由可得，由平行线的性质可得，由正方形的性质得，则可证明，即，则；
D、由一线三垂直全等模型可证，则，因为，即，则．
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
③∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】①根据三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再利用三角形内角和定理得；②由平行线的性质得，结合角平分线性质得；③根据已知条件无法判断；④先推出，结合三角形外角的性质以及角平分线定义得.
7．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，
则在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的性质可证得CE=CF，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可得到BE=DF；再利用AAS可证得△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性质可证得AE=AF，因此可求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长；设，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
8．【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点作，由题意，得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
即：点C离地面的垂直距离为；
故答案为：．
【分析】本题综合考查全等三角形的判定与性质、勾股定理在实际测量中的应用.解答时需要通过作垂线构造直角三角形，证明两三角形全等，得到边长的等量关系.再结合已知线段长度，设未知数并在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解后运用线段和差关系求得最终结果.
9．【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
由于所求两四边形都可证明是正方形，则可分别设这两个正方形的边长BC=a，FK=b，则由全等的性质可得AG=a+b，则三角形AEG与四边形AGHN的面积均可表示，则四边形AEHN的面积可表示；又由全等的性质可证，则四边形BMHP的面积等于三角形BDK的面积，也等于三角形AEG的面积，再利用已知两四边形的面积比求得a、b的数量比即可．
10．【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
点是线段的中点，
，
∴DB=DC=BC，
是等边三角形，
，
.
于点，DB=DC，∠DBC=60°，
∴，，.
∴∠EBF=∠DBA+∠DBF=60°，∠DBF=∠A=30°.
∵DA=DB，DE⊥AB，
∴，，
在和中，
，
，
故①正确，符合题意；
∵，.
∴BE=BF，
为等边三角形，
∴，
故②正确，符合题意；
，，
，
，
∵，
，
，
故③正确，符合题意；
∵，，BF⊥AC，
∴.
∵．
.
故④错误，不符合题意.
故答案为：①②③．
【分析】由，，，求得，则，可得，则，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，；，，于是可得∠EBF的度数，以及∠DBF=∠A=30°，继而可根据“”证明，可判断①正确；可得BE=BF，可判断②正确；再证明，即可利用含30°的直角三角形的性质求得DG的长，可判断③正确；利用勾股定理计算BF的长，利用全等三角形的性质可得，再计算△ADB的面积，可判断④，即可得到结论．
11．【答案】15°，120°，22.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P在点 B右侧时：
∵ ，而45° ，
∠ABC ，
①∠A= ，∠ABC= =45°，
由 得： ，
∴∠APB= ；
②∠APB= ，∠ABC= ＝45°，
同理得：∠APB= ；
③∠APB= ，∠A= ，
得： ，
解得： ，不合题意；
④∠APB= ，∠A= ，
同理，不合题意；
当点P在点 B左侧时：
⑤∠APB= ，∠A= ，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得： ，
解得： ，即∠APB= ；
⑥∠APB= ，∠A= ，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得： ，
解得： ，即∠APB= ；
综上，∠APB的所有可能的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分当点P在点 B右侧时及当点P在点 B左侧时两类讨论即可解决问题.
12．【答案】（1）解：，理由如下，
证明：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
同上可证明：，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：由（1）可知：，
∴.∵，
∴由勾股定理得：.
的周长，
有最小值时，的周长有最小值.
∵时，有最小值，是等腰直角三角形，
，
周长的最小值为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠CAD，AD=BE，再根据三角形的内角和定理即可求证垂直关系；
（2）连接，同上可证明：，，设，则，在中利用勾股定理，得到关于x的方程，配方之后利用平方根的性质，即可得到答案；
（3）由勾股定理得：，则的周长，故有最小值时，的周长有最小值，根据垂线段最短，得到时，有最小值，再根据等腰三角形的性质即可求解．
（1）解：，理由如下，
证明：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
同上可证明：，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：由上同理可知：，
∵，
∴由勾股定理得：，
的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为．
13．【答案】（1）
（2）答：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或或；
【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
（1）
解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（3）
答：或或，理由如下：
①由（1）、（2）可知，；
②，如图：当点E、F分别在BC、CD延长线上时，在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
③，如图，当点E、F分别在CB、DC的延长线上时，在上截取，
同②，先证得，再证得，
∴ ；
④如图，点 、F分别在 、的延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
【分析】
（1）当时，延长到点，使，连接，则可利用SAS证明，由全等的性质可得，则，可再利用SAS证明，则由全等的性质并等量代换得 ；
（2）当时，延长 到点G，使 ，连接 ，由同角的补角相等可利用SAS先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系；
（3）由于点E、F分别在直线BC和CD上，因此可分三种情况讨论，即点E、F分别在边BC和CD上、点E、F分别在BC、CD延长线上时、或点E、F分别在CB、DC的延长线上时，或点 、F分别在 、的延长线上，再利用截长补短法证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或，理由如下：
①，如图：在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，如图，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
∴ ；
③由（1）、（2）可知，；
④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
14．【答案】解：（1）.理由如下：
，
．
，
．
在与中，
，
，
；
（2）．
理由如下：
，，
．
，
；
（3） 在上截取，连接，作点关于的对称点，
连接，，如下图，
，，
．
，
，
，，．
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
点在射线上运动．
点与的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为．
，，
，
，
由对称性可知，，
．
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）利用判定三角形全等的求得，再利用全等三角形的性质求解；
（2）利用等量代换来进行求解；
（3）在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，利用全等三角形的判定和性质来求解．
1 / 1《三角形》精选压轴题—2025年浙江省八（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2025八上·余姚期末）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，整理得，．
故选：B．
【分析】根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，进而得到，然后根据等腰三角形两底角相等求出，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出，整理即可．
2．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，点在边上．若，则阴影部分的面积和为（ ）
A．12 B．9 C．18 D．15
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理
【解析】【解答】解：连接EF，过点E作于点K，设AE，BF交于点L，交于点M，如图所示，
∵，以、、为边在的同侧作正方形、正方形、正方形，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵，
∵，，
∴，即，
∵，，，，
∴，
∴，，
∵，
又，，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：A ．
【分析】根据题意，如图所示，连接，过点作于点，设交于点，交于点，可证，，，，阴影部分的面积为，由此即可求解．
3．（2024八上·杭州期中）如图，中，，，．分别以，，为边在的同侧作正方形，，，四块阴影部分的面积分别为，，，．则等于（ ）
A．64 B．60 C．56 D．52
【答案】B
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】过点作的垂线交于点，连接，
因为四边形，，是正方形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：B．
【分析】过点作的垂线交于点，易证，，，，利用全等三角形的性质可推出，，再通过证明，由此可求出结果.
4．（2024八上·绍兴期中）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、，的垂直平分线分别交、于点、．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据三角形的内角和求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，，最后根据角的关系进行计算即可.
5．（2024八上·杭州期中）如图分别以的边为边，向外作正方形和，连接，O为的中点，的延长线交于点H．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；同侧一线三垂直全等模型；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：A、如图，延长到M，使，连接，
∵O为的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴
∴，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∵，
∴；故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故C不符合题意；
D、过G作于N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故D符合题意．
故选：D．
【分析】如图所示，利用倍长中线法延长AO至M，连接GM，再过点G作AM的垂线段GN.
A、先利用SAS证明，则，，则有，则，根据正方形的性质和周角的概念可得，即，则可利用SAS证明，则；
B、由可得；
C、由可得，由平行线的性质可得，由正方形的性质得，则可证明，即，则；
D、由一线三垂直全等模型可证，则，因为，即，则．
6．（2024八上·浙江期中）在直角三角形中，，的平分线交于点，的平分线交于点，、相交于点，过点作，过点作于点，有以下结论：①；②；③平分；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②正确；
③∵的度数不确定，
∴根据已知条件无法证明平分，故③不正确；
④∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，故④正确；
综上所述，正确的个数是3个，
故答案为：C．
【分析】①根据三角形内角和定理得，由角平分线定义得，再利用三角形内角和定理得；②由平行线的性质得，结合角平分线性质得；③根据已知条件无法判断；④先推出，结合三角形外角的性质以及角平分线定义得.
二、填空题
7．（2024八上·义乌期中）如图，已知平分，于点，于点，且，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，
则在中，，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】利用角平分线的性质可证得CE=CF，利用HL可证得，利用全等三角形的性质可得到BE=DF；再利用AAS可证得△ACE≌△ACF，利用全等三角形的性质可证得AE=AF，因此可求出BE的长，利用勾股定理求出CE的长；设，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求解.
8．（2024八上·龙湾期中）小明在公园里荡秋千．如图，小明坐在秋千的起始位置A处，荡绳与地面垂直，荡至右侧最高位置为，荡至左侧最高位置为．已知起始位置A离地面垂直距离为，点B离地面垂直距离为．点B到的水平距离为，．则点C离地面的垂直距离为 m．
【答案】
【知识点】全等三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点作，由题意，得：，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴；
即：点C离地面的垂直距离为；
故答案为：．
【分析】本题综合考查全等三角形的判定与性质、勾股定理在实际测量中的应用.解答时需要通过作垂线构造直角三角形，证明两三角形全等，得到边长的等量关系.再结合已知线段长度，设未知数并在直角三角形中运用勾股定理建立方程，求解后运用线段和差关系求得最终结果.
9．（2024八上·武城期中）如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，延长交、分别于点M、N，延长交于点P．若，则 （用含k的代数式表示）．
【答案】
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图是由5个全等的直角三角形与一个小正方形组成，
∴设，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
由于所求两四边形都可证明是正方形，则可分别设这两个正方形的边长BC=a，FK=b，则由全等的性质可得AG=a+b，则三角形AEG与四边形AGHN的面积均可表示，则四边形AEHN的面积可表示；又由全等的性质可证，则四边形BMHP的面积等于三角形BDK的面积，也等于三角形AEG的面积，再利用已知两四边形的面积比求得a、b的数量比即可．
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，，点D是线段中点，，，下列结论：①．②为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号） ．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
点是线段的中点，
，
∴DB=DC=BC，
是等边三角形，
，
.
于点，DB=DC，∠DBC=60°，
∴，，.
∴∠EBF=∠DBA+∠DBF=60°，∠DBF=∠A=30°.
∵DA=DB，DE⊥AB，
∴，，
在和中，
，
，
故①正确，符合题意；
∵，.
∴BE=BF，
为等边三角形，
∴，
故②正确，符合题意；
，，
，
，
∵，
，
，
故③正确，符合题意；
∵，，BF⊥AC，
∴.
∵．
.
故④错误，不符合题意.
故答案为：①②③．
【分析】由，，，求得，则，可得，则，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，；，，于是可得∠EBF的度数，以及∠DBF=∠A=30°，继而可根据“”证明，可判断①正确；可得BE=BF，可判断②正确；再证明，即可利用含30°的直角三角形的性质求得DG的长，可判断③正确；利用勾股定理计算BF的长，利用全等三角形的性质可得，再计算△ADB的面积，可判断④，即可得到结论．
11．（2020七下·锡山期末）如果三角形的两个内角α与β满足3α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”.如图，B、C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°.若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB的所有可能的度数为 .
【答案】15°，120°，22.5°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：当点P在点 B右侧时：
∵ ，而45° ，
∠ABC ，
①∠A= ，∠ABC= =45°，
由 得： ，
∴∠APB= ；
②∠APB= ，∠ABC= ＝45°，
同理得：∠APB= ；
③∠APB= ，∠A= ，
得： ，
解得： ，不合题意；
④∠APB= ，∠A= ，
同理，不合题意；
当点P在点 B左侧时：
⑤∠APB= ，∠A= ，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得： ，
解得： ，即∠APB= ；
⑥∠APB= ，∠A= ，∠ABC=∠APB+∠A＝45°，
得： ，
解得： ，即∠APB= ；
综上，∠APB的所有可能的度数为 或 或 .
故答案为： 或 或 .
【分析】根据“准直角三角形”的定义，分当点P在点 B右侧时及当点P在点 B左侧时两类讨论即可解决问题.
三、解答题
12．（2024八上·杭州期中）在和中，，，且．
（1）如图1，连结，，判断和的关系，并说明理由；
（2）如图2，若点A在线段延长线上，，，求线段的长度；
（3）如图3，若，点D在边上运动，求周长的最小值．
【答案】（1）解：，理由如下，
证明：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
同上可证明：，
∴，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：由（1）可知：，
∴.∵，
∴由勾股定理得：.
的周长，
有最小值时，的周长有最小值.
∵时，有最小值，是等腰直角三角形，
，
周长的最小值为．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；利用开平方求未知数
【解析】【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质得到∠CBE=∠CAD，AD=BE，再根据三角形的内角和定理即可求证垂直关系；
（2）连接，同上可证明：，，设，则，在中利用勾股定理，得到关于x的方程，配方之后利用平方根的性质，即可得到答案；
（3）由勾股定理得：，则的周长，故有最小值时，的周长有最小值，根据垂线段最短，得到时，有最小值，再根据等腰三角形的性质即可求解．
（1）解：，理由如下，
证明：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：连接，
同上可证明：，，
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，
∴，
整理得：，
解得：或（舍），
∴；
（3）解：由上同理可知：，
∵，
∴由勾股定理得：，
的周长，
有最小值时，的周长有最小值，
当时，有最小值，
是等腰直角三角形，，
，
周长的最小值为．
13．（2025八上·红河期末）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系．
（1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________．
（2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）答：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或或；
【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
（1）
解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（3）
答：或或，理由如下：
①由（1）、（2）可知，；
②，如图：当点E、F分别在BC、CD延长线上时，在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
③，如图，当点E、F分别在CB、DC的延长线上时，在上截取，
同②，先证得，再证得，
∴ ；
④如图，点 、F分别在 、的延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
【分析】
（1）当时，延长到点，使，连接，则可利用SAS证明，由全等的性质可得，则，可再利用SAS证明，则由全等的性质并等量代换得 ；
（2）当时，延长 到点G，使 ，连接 ，由同角的补角相等可利用SAS先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系；
（3）由于点E、F分别在直线BC和CD上，因此可分三种情况讨论，即点E、F分别在边BC和CD上、点E、F分别在BC、CD延长线上时、或点E、F分别在CB、DC的延长线上时，或点 、F分别在 、的延长线上，再利用截长补短法证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或，理由如下：
①，如图：在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，如图，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
∴ ；
③由（1）、（2）可知，；
④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
14．（2024八上·南浔期中）（1）如图1，把一块三角板（，）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点，，分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中；你发现线段与有什么数量关系？试说明你的结论
（2）【变式探究】如图2，在中，点、、分别在边，，上，若，那么与有何关系，并加以说理；
（3）【拓展应用】如图3，在中，，，点，分别是边，上的动点，且，以为腰向右做等腰，使得，，若，点是的中点，连接，，，请求出的最小值．
【答案】解：（1）.理由如下：
，
．
，
．
在与中，
，
，
；
（2）．
理由如下：
，，
．
，
；
（3） 在上截取，连接，作点关于的对称点，
连接，，如下图，
，，
．
，
，
，，．
，
．
，
，
，
，
，
．
，
，
点在射线上运动．
点与的关于对称，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小值为．
，，
，
，
由对称性可知，，
．
点是的中点，，
，
，
在中，，
的最小值为．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS；三角形-动点问题；同侧一线三等角全等模型（锐角）；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）利用判定三角形全等的求得，再利用全等三角形的性质求解；
（2）利用等量代换来进行求解；
（3）在上截取，连接，作点关于的对称点，连接，利用全等三角形的判定和性质来求解．
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