《二次函数》精选压轴题（三）—2025年浙江省九（上）数学期中复习

《二次函数》精选压轴题（三）—2025年浙江省九（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2024九上·乐清期中） 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （　　）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
2．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为p，q，当时，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九上·嵊州期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·衢州期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）.嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　）
A．玻璃水杯轮廊线所在抛物线的解析式为
B．直线PB的解析式为
C．点到杯口AB的距离为5
D．点到点的距离为
二、填空题
5．（2024九上·东阳期中）函数在有最大值6，则实数的值是　 　.
6．（2024九上·嵊州期中）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是　 　．
7．（2024九上·余姚期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是　 　．
8．（2024九上·浙江期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当02，则m的取值范围是　 　．
9．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
10．（2024九上·淳安期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -3 -2 -1 0 …
y … n 1 p 1 …
有以下结论：①函数图象的对称轴是直线x＝1；②若p、n都是正数，则a的取值范围是﹣＜a＜1且a≠0；③当﹣2≤x≤0时，恒有y≥0，则a的取值范围是0＜a≤1．其中正确的结论是　 　．（只填序号）
11．（2024九上·杭州期中）二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）.其中正确的是　 　.（填写序号）
三、解答题
12．（2024九上·余姚期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向左平移m（）个单位长度，向上平移（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值并判断点是否落在的图像上；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2.25，求n的取值范围．
13．（2024九上·余杭期中）如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点.
（1）用含的代数式表示的值.
（2）若.
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线BC下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是5：9 若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
14．（2024九上·慈溪期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事非"这里一语成偈，道出了"数"和"形”不可分割的特点仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题：
（1）如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于的方程的解为　 　
（2）已知关于的方程有两个实数根m，n，且，若，求的取值范围；
（3）已知方程.
①直接回答此方程有几个实数根；
②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分!）【友情提示：图2已给出函数的图象】
15．（2024九上·嵊州期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2024九上·安吉期中）如图1，抛物线与x与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为( 1，0)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC=45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.
17．（2024九上·浙江期中）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
（1）图2中a＝　 　；当t＝1时，照亮的区域面积S＝　 　．
（2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；
（3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝　 　；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为　 　．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 抛物线的对称轴为直线x=-，而函数经过 和点 ，
故m=，即有m=p+1；
又-1≤m≤2，即-1≤p+1≤2，得-2≤p≤1
t=p2-2mp=p2-2(p+1)p=-p2-2p，
t是p的二次函数，且-2≤p≤1，对称轴为直线p=-1
当p=1时，t取最小值，即tmin=-1-2=-3.
故答案为：A.
【分析】由A、B纵坐标相同知A、B有关于对称轴对称，得m=p+1，由m的范围可得p的范围，求出t与p之间的关系式，t为p的二次函数，当p=1时，t取最小值.
2．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
由题意知抛物线经过点(0，c)和(4，c)，
∴抛物线的对称轴为直线
∴抛物线为
∵一元二次方程. 的两个解为p，q，
∴抛物线经过点(p，m)和(q，m)，
故答案为：B.
【分析】根据题意求出抛物线的对称轴，从而求出b的值，根据抛物线的对称性得出 即可得到 代入不等式，即可解得q的取值范围，根据图象上点的特征即可解答.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：令y=0， 则
解得：
∴A(-9，0)， B(1，0)
∴OA =9， OB=1， AB =10
当x=0时， y=-3
∴C(0，-3)
∴OC=3
在△ACB中
∴∠ACB=90°
∴∠BAC+∠ABC =90°
∴2∠BAC+2∠ABC = 180°
∵∠ACD+2∠ABC =180°
∴∠ACD=2∠BAC如图，作点C关于x轴的对称点E，连接AE；
则
设直线DC的表达式为：
将 代入得：(
∴直线DC的表达式为：
解方程组 寻： 或
∵点D在第三象限
∴点D的坐标为
故选： B.
【分析】根据二次函数 与坐标轴的交点坐标分别求出OA、OB、OC的长度； 然后通过勾股定理逆定理判断出 得出由得出 ； 作点C关于x轴的对称点E，连接AE； 即可构造出 从而得出AE∥DC； 根据平行线的斜率相同以及点C的坐标求出直线DC的表达式；最后联立方程组求解即可.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题可得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12）
∵抛物线与x轴交于点A（-4，0）、点B（4，0）
设抛物线y=a（x+4）(x-4)(a≠0）
且过点D（2，-12）
∴a=1
∴抛物线y=（x+4）(x-4)
即y=x2-16
故A正确，不符合题意
如图，过点P作PM⊥y轴于点M，BP交y轴于点N
∵∠ABP=45°
∴∠ONB=45°
∴ON=OB=4
∴直线PB：y=x-4
故B正确，不符合题意
令x2-16=x-4
即x2-x-12=0
∴x1=-3，x2=4(舍去）
∴点P（-3，-7）
∴ 点到杯口AB的距离为7
故C错误，符合题意
∴DP=
故D正确，不符合题意
故答案为：C.
【分析】根据题意易得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12），易得抛物线解析式为y=x2-16，根据∠ABP=45°易得BP与y轴交于点（0，-4）即可得直线BP的解析式，联立直线与抛物线即可得点P的坐标，再根据点P的坐标易得点P到y轴（杯口AB）的距离，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式可得PD的距离即可判断.
5．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=-x2+2ax-2的对称轴为：，
分以下三种情况：
①当a≤-1时， 在-1≤x≤3内，y随x的增大而减小，
则当x=-1时，取得最大值，最大值为-1-2a-2 =6，
解得：a=，符合题设；
②当-1则当x=a时，y取得最大值，最大值为-a2+2a2-2 =6，
∴a=或x=-(舍去)；
③当a≥3时，在-1≤x≤3内，y随x的增大而增大，
则当x=3时，y取得最大值，最大值为-9+6a-2=6，
解得：a=＜3，不符合题意，
综上，实数a的值为或.
故答案为：或.
【分析】首先根据对称轴公式求出抛物线的对称轴直线为x=a，由于二次项系数为-1＜0，故分①当a≤-1时， ②当-16．【答案】1≤a＜或a≤-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设直线AB为
将 B(1，1)代入得：
，解得，
∴直线AB为
抛物线 与线段AB有两个不同的交点，
∴令 则
，
，
①当 时，
解得
故
②当 时，
解得
综上所述： 或
故答案为： 或 .
【分析】分 两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围.
7．【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设AB解析式为，将A、B两点代入可得
，解得，即
设
则四边形的面积为
，开口向下，对称轴为
∴当时，S有最大值，；
当时，S有最小值，；
∴，
故答案为：
【分析】设AB解析式为，将A、B两点代入求得AB解析式，设，则四边形的面积为，求解即可.
8．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当m>0时，如图所示，抛物线与x轴有2个交点，且都在x轴正半轴；当 02不是总成立，故m>0不符合题意；
②当m<0时，如图所示，过点C作CM||x轴交抛物线于点M，易知抛物线的对称轴为直线x=，由对称性知点M的坐标为(2m+6，2)
而 02 ，则
m+2≤2m+6，且m+2>0，
得m≥-，故
综上所述，
故答案为：.
【分析】分类讨论m>0和m<0的两种情形，结合二次函数的草图，当m>0时，明显不符合题意；而当m<0时，则m+2≤2m+6即符合题意.
9．【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
∵y＝ax2－2ax＋2=a(x-1)2+a，
∴当a>0时，
抛物线的顶点坐标为(1， a)，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a).
显然， “完美点”(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过(2， 1)时， 解得 此时，P(2， 1)， Q(3， )， R(4， 5).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 3)， 共4个.
②当抛物线经过(3， 2)时， 解得此时，P(2， )， Q(3， 2)， R(4， 4).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 4)， 共6个.
∴a的取值范围是 ；
同理当a<0时，a的取值范围是 ；
故答案为：或 .
【分析】抛物线的顶点坐标为(1， a)，当a>0时，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a)， 显然， “整点”(1，1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意， 再将(2， 1)和(3， 2)代入即可；同理可得a<0时的取值范围.
10．【答案】②
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①.∵在抛物线上，
∴函数图象的对称轴是直线，故①不符合题意，①错误；
②.∵在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
∵、都是正数，，在抛物线上，
∴，
解得：，
∵，
∴且，故②符合题意，②错误；
③.当时，当时，恒有，
∴当时，函数最小值，
解得：，
∴的取值范围是，
当时，
如图，
当时，恒有，
综上：当时，恒有，则的取值范围是且，故③不符合题意，③错误．
故答案为：②
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质.根据在抛物线上，利用对称轴计算公式可求出对称轴，据此可判断说法①；根据在抛物线上可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可得抛物线为，再结合、都是正数，，在抛物线上，可列出不等式组，解不等式组可求出实数a的取值范围，据此可判断说法②，当时，当时，恒有，可得当时，函数最小值；当时，画出图像，据此可得当时，恒有，进而可求出 a的取值范围 ，据此可判断说法③．
11．【答案】①③④
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
由所给图形可知
所以
故①正确.
因为抛物线的对称轴为直线
所以
即
因为当 时，函数值小于零，所以 即 整理得，
故②错误.
方程 的根可看成抛物线 与直线 图象交点的横坐标，显然抛物线 与直线 有两个不同的交点，
所以方程 有两个不相等的实数根.
故③正确.
因为抛物线的对称轴为直线 且开口向下，所以当 时，函数取得最大值则对于抛物线上的任意一点 (横坐标为m)，其函数值不大于
所以
即 故④正确.
故答案为： ①③④.
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可.
12．【答案】（1）解：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，
可得：解得
即；
（2）解：点B平移后的点为
代入得：
解得 （不合舍去）
∴m的值为
∴
当
∴点C落在的图像上
（3）解：当时，
由题意，当时，最大值与最小值的差为
∴（不合舍去）
当时，
当时y最大，最大值为2.75
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为
解得，，（不合均舍去）．
综上所述，n的取值范围为．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据对称轴以及点 ，列出方程组，求解即可；
（2）先求出点B平移后的坐标为，代入二次函数，求得m，表示出点，代入二次函数，求解即可；
（3）由二次函数的对称轴为，分三种情况讨论，当，，，分别求解即可.
13．【答案】（1）解：顶点的坐标为A（m，k），
把A代入，
得：．
（2）解：①如图，设BC与y轴的交点为点D，交对称轴直线x＝m于点E
∵
∴，
∴，
∴点B的横坐标为－2，代入得y＝
∴B（，）．
将点B（，）代入，
解得（舍去），，
∴k＝－－＝－2
∴．
②点P的坐标是（，0）或（3，0）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）②∵，
∴，
∴解得．
∴点P的纵坐标为0，
∴，解得，，
∴点P的坐标是（，0）或（3，0）．
【分析】（1）根据题意可得顶点，将代入求解即可；
（2）①设与y轴的交点为点D，交对称轴直线于点E，由题意可得，得到，即点B的横坐标为，代入解析式求得B点坐标，再将B点坐标代入抛物线解析式，求解即可；
②先求出d的面积，再求的面积，进而求得P点的纵坐标，即可求解.
14．【答案】（1）-1和3
（2）解：设y= x2-2x+k，则此抛物线的对称轴为直线X=1，
∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个实数根m，n，且m∴y= x2-2x+k的图象与x轴有两个不同交点，如图：
∵2∴x=2时y<0，且x=3时y>0，
∴4-4+k<0且9-6+k>0
∴-3（3）解：①有1个实数根
②如图2：直线y1=-x+3与函数y2=x3的图象交点的横坐标t就是方程的解，
由图象可知：当xy2，当x>t时y1当x=1时，y1=2，y2=1，y1>y2，当x=2时，y1=1，y2=8，y1∴1当x=1.5时，y1=1.5，y2=3.75，y1y2，
∴1.2当x=1.3时，y1=1.7，y2=2.197，y1∴1.2当x=1.25时，y1=1.75，y2=1.953125，y1∴1.2∴t≈1.2，故方程的近似解为1.2
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴与x轴的另一个交点为，
∴关于x的方程的解为，；
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．
（1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，据此可求出方程的解；
（2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，观察图像可得x=2时y<0，且x=3时y>0，据此可列出不等式4-4+k<0且9-6+k>0，解不等式可求出实数k的取值范围；
（3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根；
②由图象法确定方程的近似根可得：当x=1时，y1=2，y2=1，y1>y2，当x=2时，y1=1，y2=8，y115．【答案】（1）解：∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）解：（3）存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
(1)把点A的坐标代入解析式解题；
(2)过P作 于点E，过点P作 轴交AC于点H，然后得到 是等腰直角三角形，即然后求直线AC解析式为 设P(m， 则 ，表示PH，再根据二次函数的顶点坐标解题；
(3)设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，），分①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时三种情况，利用平移的性质求解即可.
16．【答案】（1）解：把点A坐标为代入抛物线中，
则，得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：令，解得，
∴，，
经过B，C两点，则，
设，则，
，，
，
解得：，
故点D坐标为；
（3）解：在点P运动过程中，存在能够使得的点P，理由如下：
①设当P点在上方抛物线上时，设，如图4所示，
作于，轴于，于N，
∴，，
∴，，
∴，
，，
设：，代入，，可得：
，解得，
故：，
设，
，，
∴点P坐标为，
把点代入抛物线中可得，解得，
∵，
∴点P不存在；
②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，
作，于，过作轴，过作于点Q，
∴，，
∴，，
∴，
，，
设，，
则，解得：，
点坐标为，
则由待定系数法可得直线：，
联立，解得：，
即点P坐标为．
综上所述，点P坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把点A坐标为代入抛物线中，则，即可得抛物线的解析式为；
（2）由于经过B，C两点，则，设，根据两点间距离公式列方程即可求解；
（3）分P点在x轴上方或下方两类讨论：
①设当P点在上方抛物线上时，设，作如图4所示，构造三垂直模型后可表示出点P，证明此情形不存在；
②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直模型如图5所示，表示出点R坐标为，求出直线解析式，再联立抛物线解析式即可求解点P坐标．
17．【答案】（1）24；9
（2）解：i)当 时，
ii)当 时， 由已知可得抛物线的顶点为
设解析式为 ，
图象经过
抛物线的解析式为：
综上所述， 点 在整个运动过程中 关于 的函数解析式为
（3）8；
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)由题意，当t=4时，PC=4，由勾股定理得GP2=GC2+PC2=(2)2+42=24，S=GP2=24，故a=24.当t=1时，PC=1，GP2=GC2+PC2=(2)2+12=9，故S=9；
(3)如图所示，
当0≤t≤8时，图像关于直线x=4对称，且存在 三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等，故 t1+t2＝ 8；
当t>4时，，图像关于直线x=8对称，故t2+t3=16，
同时 t1+t2＝ 8， t3＝4t1 ，
解得t3=，
代入函数解析式得S=
【分析】(1)由图像当t=4时，S=a，求出此时的PC的长得GP的平方，即为正方形的面积，同理当t=1时，求出GP2，即为面积；
(2)当t<4时，求出GP2的表达式，即为面积表达式；当t>4时，结合题意设顶点式，代入(4，24)即可求出解析式；
(3)结合图像的对称性知 t1+t2＝ 8，t2+t3=16，同时 t3＝4t1，求出t3的值，代入函数解析式即可得对应的面积.
1 / 1《二次函数》精选压轴题（三）—2025年浙江省九（上）数学期中复习
一、选择题
1．（2024九上·乐清期中） 已知抛物线 经过点 和点 ， 则 的最小值是 （　　）
A．-3 B．-1 C．0 D．1
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 抛物线的对称轴为直线x=-，而函数经过 和点 ，
故m=，即有m=p+1；
又-1≤m≤2，即-1≤p+1≤2，得-2≤p≤1
t=p2-2mp=p2-2(p+1)p=-p2-2p，
t是p的二次函数，且-2≤p≤1，对称轴为直线p=-1
当p=1时，t取最小值，即tmin=-1-2=-3.
故答案为：A.
【分析】由A、B纵坐标相同知A、B有关于对称轴对称，得m=p+1，由m的范围可得p的范围，求出t与p之间的关系式，t为p的二次函数，当p=1时，t取最小值.
2．（2024九上·杭州期中）已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为p，q，当时，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
由题意知抛物线经过点(0，c)和(4，c)，
∴抛物线的对称轴为直线
∴抛物线为
∵一元二次方程. 的两个解为p，q，
∴抛物线经过点(p，m)和(q，m)，
故答案为：B.
【分析】根据题意求出抛物线的对称轴，从而求出b的值，根据抛物线的对称性得出 即可得到 代入不等式，即可解得q的取值范围，根据图象上点的特征即可解答.
3．（2024九上·嵊州期中）如图，抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，点为抛物线上第三象限内一动点，当时，点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：令y=0， 则
解得：
∴A(-9，0)， B(1，0)
∴OA =9， OB=1， AB =10
当x=0时， y=-3
∴C(0，-3)
∴OC=3
在△ACB中
∴∠ACB=90°
∴∠BAC+∠ABC =90°
∴2∠BAC+2∠ABC = 180°
∵∠ACD+2∠ABC =180°
∴∠ACD=2∠BAC如图，作点C关于x轴的对称点E，连接AE；
则
设直线DC的表达式为：
将 代入得：(
∴直线DC的表达式为：
解方程组 寻： 或
∵点D在第三象限
∴点D的坐标为
故选： B.
【分析】根据二次函数 与坐标轴的交点坐标分别求出OA、OB、OC的长度； 然后通过勾股定理逆定理判断出 得出由得出 ； 作点C关于x轴的对称点E，连接AE； 即可构造出 从而得出AE∥DC； 根据平行线的斜率相同以及点C的坐标求出直线DC的表达式；最后联立方程组求解即可.
4．（2024九上·衢州期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深12cm.如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）.嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在轴上），对于下列结论，其中不正确的是（　　）
A．玻璃水杯轮廊线所在抛物线的解析式为
B．直线PB的解析式为
C．点到杯口AB的距离为5
D．点到点的距离为
【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由题可得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12）
∵抛物线与x轴交于点A（-4，0）、点B（4，0）
设抛物线y=a（x+4）(x-4)(a≠0）
且过点D（2，-12）
∴a=1
∴抛物线y=（x+4）(x-4)
即y=x2-16
故A正确，不符合题意
如图，过点P作PM⊥y轴于点M，BP交y轴于点N
∵∠ABP=45°
∴∠ONB=45°
∴ON=OB=4
∴直线PB：y=x-4
故B正确，不符合题意
令x2-16=x-4
即x2-x-12=0
∴x1=-3，x2=4(舍去）
∴点P（-3，-7）
∴ 点到杯口AB的距离为7
故C错误，符合题意
∴DP=
故D正确，不符合题意
故答案为：C.
【分析】根据题意易得点A（-4，0）、点B（4，0）、点C（-2，-12）、点D（2，-12），易得抛物线解析式为y=x2-16，根据∠ABP=45°易得BP与y轴交于点（0，-4）即可得直线BP的解析式，联立直线与抛物线即可得点P的坐标，再根据点P的坐标易得点P到y轴（杯口AB）的距离，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式可得PD的距离即可判断.
二、填空题
5．（2024九上·东阳期中）函数在有最大值6，则实数的值是　 　.
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数y=-x2+2ax-2的对称轴为：，
分以下三种情况：
①当a≤-1时， 在-1≤x≤3内，y随x的增大而减小，
则当x=-1时，取得最大值，最大值为-1-2a-2 =6，
解得：a=，符合题设；
②当-1则当x=a时，y取得最大值，最大值为-a2+2a2-2 =6，
∴a=或x=-(舍去)；
③当a≥3时，在-1≤x≤3内，y随x的增大而增大，
则当x=3时，y取得最大值，最大值为-9+6a-2=6，
解得：a=＜3，不符合题意，
综上，实数a的值为或.
故答案为：或.
【分析】首先根据对称轴公式求出抛物线的对称轴直线为x=a，由于二次项系数为-1＜0，故分①当a≤-1时， ②当-16．（2024九上·嵊州期中）在平面直角坐标系内，已知点，点，若抛物线（）与线段有两个不同的交点，则的取值范围是　 　．
【答案】1≤a＜或a≤-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设直线AB为
将 B(1，1)代入得：
，解得，
∴直线AB为
抛物线 与线段AB有两个不同的交点，
∴令 则
，
，
①当 时，
解得
故
②当 时，
解得
综上所述： 或
故答案为： 或 .
【分析】分 两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围.
7．（2024九上·余姚期中）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：设AB解析式为，将A、B两点代入可得
，解得，即
设
则四边形的面积为
，开口向下，对称轴为
∴当时，S有最大值，；
当时，S有最小值，；
∴，
故答案为：
【分析】设AB解析式为，将A、B两点代入求得AB解析式，设，则四边形的面积为，求解即可.
8．（2024九上·浙江期中）若抛物线和两坐标轴的交点分别为(0，2)，(m，0)，(m+6，0)，当02，则m的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：①当m>0时，如图所示，抛物线与x轴有2个交点，且都在x轴正半轴；当 02不是总成立，故m>0不符合题意；
②当m<0时，如图所示，过点C作CM||x轴交抛物线于点M，易知抛物线的对称轴为直线x=，由对称性知点M的坐标为(2m+6，2)
而 02 ，则
m+2≤2m+6，且m+2>0，
得m≥-，故
综上所述，
故答案为：.
【分析】分类讨论m>0和m<0的两种情形，结合二次函数的草图，当m>0时，明显不符合题意；而当m<0时，则m+2≤2m+6即符合题意.
9．（2024九上·浙江期中）在平面直角坐标系xOy中，我们称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”．抛物线y＝ax2－2ax＋2a（a为常数）与直线y＝x交于M、N两点，若线段MN与抛物线围成的区域（含边界）内恰有4个“整点”，则a的取值范围是　 　．
【答案】 或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
∵y＝ax2－2ax＋2=a(x-1)2+a，
∴当a>0时，
抛物线的顶点坐标为(1， a)，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a).
显然， “完美点”(1， 1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意.下面讨论抛物线经过(2，1)，(3，2)的两种情况：
①当抛物线经过(2， 1)时， 解得 此时，P(2， 1)， Q(3， )， R(4， 5).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 3)， 共4个.
②当抛物线经过(3， 2)时， 解得此时，P(2， )， Q(3， 2)， R(4， 4).
如图所示， 满足题意的“完美点”有(1， 1)， (2， 1)，(2， 2)， (3， 2)， (3， 3)， (4， 4)， 共6个.
∴a的取值范围是 ；
同理当a<0时，a的取值范围是 ；
故答案为：或 .
【分析】抛物线的顶点坐标为(1， a)，当a>0时，过点P(2，2a)， Q(3， 5a)， R(4， 10a)， 显然， “整点”(1，1)， (2， 2)， (3， 3)符合题意， 再将(2， 1)和(3， 2)代入即可；同理可得a<0时的取值范围.
10．（2024九上·淳安期中）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b、c是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
x … -3 -2 -1 0 …
y … n 1 p 1 …
有以下结论：①函数图象的对称轴是直线x＝1；②若p、n都是正数，则a的取值范围是﹣＜a＜1且a≠0；③当﹣2≤x≤0时，恒有y≥0，则a的取值范围是0＜a≤1．其中正确的结论是　 　．（只填序号）
【答案】②
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①.∵在抛物线上，
∴函数图象的对称轴是直线，故①不符合题意，①错误；
②.∵在抛物线上，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
∵、都是正数，，在抛物线上，
∴，
解得：，
∵，
∴且，故②符合题意，②错误；
③.当时，当时，恒有，
∴当时，函数最小值，
解得：，
∴的取值范围是，
当时，
如图，
当时，恒有，
综上：当时，恒有，则的取值范围是且，故③不符合题意，③错误．
故答案为：②
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质.根据在抛物线上，利用对称轴计算公式可求出对称轴，据此可判断说法①；根据在抛物线上可列出方程组，解方程组可求出b和c的值，据此可得抛物线为，再结合、都是正数，，在抛物线上，可列出不等式组，解不等式组可求出实数a的取值范围，据此可判断说法②，当时，当时，恒有，可得当时，函数最小值；当时，画出图像，据此可得当时，恒有，进而可求出 a的取值范围 ，据此可判断说法③．
11．（2024九上·杭州期中）二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④（为任意实数）.其中正确的是　 　.（填写序号）
【答案】①③④
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：
由所给图形可知
所以
故①正确.
因为抛物线的对称轴为直线
所以
即
因为当 时，函数值小于零，所以 即 整理得，
故②错误.
方程 的根可看成抛物线 与直线 图象交点的横坐标，显然抛物线 与直线 有两个不同的交点，
所以方程 有两个不相等的实数根.
故③正确.
因为抛物线的对称轴为直线 且开口向下，所以当 时，函数取得最大值则对于抛物线上的任意一点 (横坐标为m)，其函数值不大于
所以
即 故④正确.
故答案为： ①③④.
【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可.
三、解答题
12．（2024九上·余姚期中）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向左平移m（）个单位长度，向上平移（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值并判断点是否落在的图像上；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为2.25，求n的取值范围．
【答案】（1）解：二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线，
可得：解得
即；
（2）解：点B平移后的点为
代入得：
解得 （不合舍去）
∴m的值为
∴
当
∴点C落在的图像上
（3）解：当时，
由题意，当时，最大值与最小值的差为
∴（不合舍去）
当时，
当时y最大，最大值为2.75
∴最大值与最小值的差为，符合题意．
当时，最大值与最小值的差为
解得，，（不合均舍去）．
综上所述，n的取值范围为．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据对称轴以及点 ，列出方程组，求解即可；
（2）先求出点B平移后的坐标为，代入二次函数，求得m，表示出点，代入二次函数，求解即可；
（3）由二次函数的对称轴为，分三种情况讨论，当，，，分别求解即可.
13．（2024九上·余杭期中）如图，以点为顶点的抛物线交直线于另一点，过点作平行于轴的直线，交该抛物线于另一点.
（1）用含的代数式表示的值.
（2）若.
①求该抛物线的函数表达式；
②在直线BC下方的抛物线上，是否存在点，使得的面积和的面积比是5：9 若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：顶点的坐标为A（m，k），
把A代入，
得：．
（2）解：①如图，设BC与y轴的交点为点D，交对称轴直线x＝m于点E
∵
∴，
∴，
∴点B的横坐标为－2，代入得y＝
∴B（，）．
将点B（，）代入，
解得（舍去），，
∴k＝－－＝－2
∴．
②点P的坐标是（，0）或（3，0）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）②∵，
∴，
∴解得．
∴点P的纵坐标为0，
∴，解得，，
∴点P的坐标是（，0）或（3，0）．
【分析】（1）根据题意可得顶点，将代入求解即可；
（2）①设与y轴的交点为点D，交对称轴直线于点E，由题意可得，得到，即点B的横坐标为，代入解析式求得B点坐标，再将B点坐标代入抛物线解析式，求解即可；
②先求出d的面积，再求的面积，进而求得P点的纵坐标，即可求解.
14．（2024九上·慈溪期中）我国著名的数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，
隔裂分家万事非"这里一语成偈，道出了"数"和"形”不可分割的特点仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题：
（1）如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于的方程的解为　 　
（2）已知关于的方程有两个实数根m，n，且，若，求的取值范围；
（3）已知方程.
①直接回答此方程有几个实数根；
②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分!）【友情提示：图2已给出函数的图象】
【答案】（1）-1和3
（2）解：设y= x2-2x+k，则此抛物线的对称轴为直线X=1，
∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个实数根m，n，且m∴y= x2-2x+k的图象与x轴有两个不同交点，如图：
∵2∴x=2时y<0，且x=3时y>0，
∴4-4+k<0且9-6+k>0
∴-3（3）解：①有1个实数根
②如图2：直线y1=-x+3与函数y2=x3的图象交点的横坐标t就是方程的解，
由图象可知：当xy2，当x>t时y1当x=1时，y1=2，y2=1，y1>y2，当x=2时，y1=1，y2=8，y1∴1当x=1.5时，y1=1.5，y2=3.75，y1y2，
∴1.2当x=1.3时，y1=1.7，y2=2.197，y1∴1.2当x=1.25时，y1=1.75，y2=1.953125，y1∴1.2∴t≈1.2，故方程的近似解为1.2
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴与x轴的另一个交点为，
∴关于x的方程的解为，；
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系．
（1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，据此可求出方程的解；
（2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，观察图像可得x=2时y<0，且x=3时y>0，据此可列出不等式4-4+k<0且9-6+k>0，解不等式可求出实数k的取值范围；
（3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根；
②由图象法确定方程的近似根可得：当x=1时，y1=2，y2=1，y1>y2，当x=2时，y1=1，y2=8，y115．（2024九上·嵊州期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；
（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点在抛物线的图象上，
∴
∴，
∴点的坐标为；
（2）解：过作于点，过点作轴交于点，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当最大时，最大，
设直线解析式为，
将代入得，
∴，
∴直线解析式为，
设，，则，
∴，
∵，
∴当时，最大为，
∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；
（3）解：（3）存在．∵
∴抛物线的对称轴为直线，
设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）
分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴，即
解得，x=3.
∴
∴点M的坐标为（3，-16）
②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，
方法同①可得，，
∴
∴点M的坐标为（-7，-16）；
③当AC为对角线时，如图，
∵A（-5，0），C（0，5），
∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）
∴，解得，。
∴
∴点M的坐标为（-3，8）
综上，点的坐标为：或（3，-16）或．
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
(1)把点A的坐标代入解析式解题；
(2)过P作 于点E，过点P作 轴交AC于点H，然后得到 是等腰直角三角形，即然后求直线AC解析式为 设P(m， 则 ，表示PH，再根据二次函数的顶点坐标解题；
(3)设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，），分①当AC为平行四边形的对角线时，②当AM为平行四边形的对角线时，③当AN为平行四边形的对角线时三种情况，利用平移的性质求解即可.
16．（2024九上·安吉期中）如图1，抛物线与x与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A坐标为( 1，0)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，y轴上存在一点D，使⊙D经过B，C两点，求点D的坐标．
（3）如图3，连结BC，点P（不与A，B，C三点重合）为抛物线上一动点，连结BP，在点P运动过程中，是否能够使得∠PBC=45°？若存在，求出此时点P的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把点A坐标为代入抛物线中，
则，得：，
故抛物线的解析式为：；
（2）解：令，解得，
∴，，
经过B，C两点，则，
设，则，
，，
，
解得：，
故点D坐标为；
（3）解：在点P运动过程中，存在能够使得的点P，理由如下：
①设当P点在上方抛物线上时，设，如图4所示，
作于，轴于，于N，
∴，，
∴，，
∴，
，，
设：，代入，，可得：
，解得，
故：，
设，
，，
∴点P坐标为，
把点代入抛物线中可得，解得，
∵，
∴点P不存在；
②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直如图5所示，
作，于，过作轴，过作于点Q，
∴，，
∴，，
∴，
，，
设，，
则，解得：，
点坐标为，
则由待定系数法可得直线：，
联立，解得：，
即点P坐标为．
综上所述，点P坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；同侧一线三垂直全等模型；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）把点A坐标为代入抛物线中，则，即可得抛物线的解析式为；
（2）由于经过B，C两点，则，设，根据两点间距离公式列方程即可求解；
（3）分P点在x轴上方或下方两类讨论：
①设当P点在上方抛物线上时，设，作如图4所示，构造三垂直模型后可表示出点P，证明此情形不存在；
②设当P点在下方抛物线上时，构造一线三垂直模型如图5所示，表示出点R坐标为，求出直线解析式，再联立抛物线解析式即可求解点P坐标．
17．（2024九上·浙江期中）如图1，一块矩形电子屏ABCD中，G为BC上一感应点，GC＝2，动点P为一光点，当光点在光带上运动时，会与感应点发生反应，照亮以GP为边的正方形区域GPEF．因发生故障，只有光带CM和MB正常工作，CM＝4，光点P以每秒1个单位的速度从C点出发，沿C→M→B匀速运动，到达点B时停止．设光点P的运动时间为t秒，照亮的正方形区域GPEF的面积为S．图2为P点在运动过程中S与t的函数图象，其中点Q表示P点运动到B点时情形．
（1）图2中a＝　 　；当t＝1时，照亮的区域面积S＝　 　．
（2）当点P经过M点又运动4秒时，照亮区域的面积达到了最小，已知此时S是t的二次函数．求出点P在整个运动过程中S关于t的函数解析式；
（3）若存在三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等．①t1+t2＝　 　；②当t3＝4t1时，则正方形GPEF的面积为　 　．
【答案】（1）24；9
（2）解：i)当 时，
ii)当 时， 由已知可得抛物线的顶点为
设解析式为 ，
图象经过
抛物线的解析式为：
综上所述， 点 在整个运动过程中 关于 的函数解析式为
（3）8；
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：(1)由题意，当t=4时，PC=4，由勾股定理得GP2=GC2+PC2=(2)2+42=24，S=GP2=24，故a=24.当t=1时，PC=1，GP2=GC2+PC2=(2)2+12=9，故S=9；
(3)如图所示，
当0≤t≤8时，图像关于直线x=4对称，且存在 三个时刻t1、t2、t3（t1＜t2＜t3）对应的正方形的面积均相等，故 t1+t2＝ 8；
当t>4时，，图像关于直线x=8对称，故t2+t3=16，
同时 t1+t2＝ 8， t3＝4t1 ，
解得t3=，
代入函数解析式得S=
【分析】(1)由图像当t=4时，S=a，求出此时的PC的长得GP的平方，即为正方形的面积，同理当t=1时，求出GP2，即为面积；
(2)当t<4时，求出GP2的表达式，即为面积表达式；当t>4时，结合题意设顶点式，代入(4，24)即可求出解析式；
(3)结合图像的对称性知 t1+t2＝ 8，t2+t3=16，同时 t3＝4t1，求出t3的值，代入函数解析式即可得对应的面积.
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