1.5三角形全等的判断(SAS）同步练习

1.5三角形全等的判断(SAS）同步练习
　
一．选择题（共7小题）
1． （2016?泰安模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
2．（2015秋?北京校级期中）如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是（　　）21·cn·jy·com
A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF＞EF D．FD∥BC
3．（2016春?永新县期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2015秋?鞍山期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）2·1·c·n·j·y
A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
5．（2015秋?绵竹市期末）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）
A．20° B．40° C．50° D．60°
6．（2016?天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
7．（2015?邗江区二模）如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　）【出处：21教育名师】
A．75° B．70° C．65° D．60°
二．填空题（共2小题）　
8．（2015?娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是　　　　．（只需写一个，不添加辅助线）
　
9．（2015秋?上城区期中）已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，且AB=CD，BF=CE．
求证：∠AEB=∠DFC．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（　　　　）
∵BF=CE（已知），
∴BF+　　　　=CE+　　　　，即BE=CF．
在△ABE和△DCF中，

∴△ABE≌△DCF（ ）．
∴∠AEB=∠DFC．
三．解答题（共13小题）
10.（2015秋?东西湖区期中）如图，点D在BC上，∠1=∠2，AE=AC，下面三个条件：①AB=AD；②BC=DE；③∠E=∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．
11．（2015秋?简阳市期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
12．（2016?云南模拟）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．
13．（2016?历城区二模）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
14．（2014?惠安县一模）已知：如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．
15．（2016?曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
16．（2014秋?仙游县校级月考）已知，如图，AC=AD，BC=BD，O为AB上一点，
求证：OC=OD．
17．如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC=BD
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：AD⊥AE；
（3）若AF⊥DE，F为垂足，AG=GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由．
18．如图，△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE．
（1）求证：△ACD≌AEB；
（2）试判断∠AFD和∠AFE的大小关系，并说明理由．
19．（2015?黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．21教育网
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
20．（2015?武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．
21．如图，在△ABC中，∠A=45°，边AC的垂直平分线交边AB于E点，交CB的延长线于点F，垂足为点D．如果AB=AC，求证：EC=EF．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．21*cnjy*com
　

1.5三角形全等的判断(SAS）同步练习
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共7小题）
1．（2016?泰安模拟）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（　　）
A．90° B．95° C．100° D．105°
【解答】解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选D．
　
2．（2015秋?北京校级期中）如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是（　　）
A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF＞EF D．FD∥BC
【解答】解：∵AB⊥BC，BE⊥AC，
∴∠C+∠BAC=∠ABE+∠BAC=90°，
∴∠C=∠ABE，
在△ABF与△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF，
∴BF=DF，故A正确，
∴∠ABE=∠ADF，
∴∠ADF=∠C，
∴DF∥BC，故D正确；
∵∠FED=90°，
∴DF＞EF，
∴BF＞EF；故C正确；
∵∠EFD=∠DBC=∠BAC=2∠1，故B错误．
故选B．
　
3．（2016春?永新县期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE=AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C；④BC=4AD，其中正确的有（　　）21教育名师原创作品
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：如图，∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC﹣CE=AE，
∴AC﹣BE=AE，故①正确；
∵BE=CE，
∴点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确；
∵∠1=∠2=∠C，
∴∠C=∠1=30°，
∴∠AEB=90°﹣30°=60°，
∴∠DAE=90°﹣60°=30°，
∴∠DAE=∠C，故③正确；
在Rt△BAC中，∠C=30°，
∴BC=2AB，
在Rt△BDA中，∠1=30°，
∴AB=2AD，
∴BC=4AD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②③④．
故选D．
　
4．（2015秋?鞍山期末）如图，AC和BD相交于O点，若OA=OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　）2-1-c-n-j-y
A．AB=DC B．OB=OC C．∠C=∠D D．∠AOB=∠DOC
【解答】解：A、AB=DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误；
B、∵在△AOB和△DOC中
，
∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确；
C、两三角形相等的条件只有OA=OD和∠AOB=∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误；
D、根据∠AOB=∠DOC和OA=OD，不能证两三角形全等，故本选项错误；
故选B．
　
5．（2015秋?绵竹市期末）如图，∠BAC=110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．20° B．40° C．50° D．60°
【解答】解：∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，
∴∠BAP=∠B，∠QAC=∠C，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=110°﹣70°=40°
故选：B．
　
6．（2016?天门）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）　　21*cnjy*com
A．13 B．15 C．17 D．19
【解答】解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
　
7．（2015?邗江区二模）如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=40°，则∠DEF的度数是（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=（180°﹣∠A）=70°，
在△BDE和△CEF中，，
∴△BDE≌△CEF（SAS），
∴∠BDE=∠CEF，
∵∠CED=∠B+∠BDE，
即∠CEF+∠DEF=∠B+∠BDE，
∴∠DEF=∠B=70°；
故选：B．
　
二．填空题（共2小题）
8．（2015?娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD=∠CBD或AD=CD．．（只需写一个，不添加辅助线）
【解答】解：答案不唯一．
①∠ABD=∠CBD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SAS）；
②AD=CD．
在△ABD和△CBD中，
∵，
∴△ABD≌△CBD（SSS）．
故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．
　
9．（2015秋?上城区期中）已知：如图，点B、F、E、C在同一条直线上，AB∥CD，且AB=CD，BF=CE．
求证：∠AEB=∠DFC．
证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵BF=CE（已知），
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF．
在△ABE和△DCF中，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴∠AEB=∠DFC．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵BF=CE（已知），
∴BF+EF=CE+EF，即BE=CF．
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠AEB=∠DFC，
故答案为：两直线平行，内错角相等；EF；EF；；SAS．
10．（2015秋?东西湖区期中）如图，点D在BC上，∠1=∠2，AE=AC，下面三个条件：①AB=AD；②BC=DE；③∠E=∠C，请你从所给条件①②③中选一个条件，使△ABC≌△ADE，并证明两三角形全等．
【解答】解：选②BC=DE，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠E=∠C，
在△ADE和△ABC中，，
∴△ABC≌△ADE（SAS）．
　
11．（2015秋?简阳市期末）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【解答】解：（1）△BPD≌△CQP，
理由如下：∵t=1s，
∴BP=CQ=3×1=3（cm），
∵AB=10cm，点D为AB的中点，
∴BD=5cm．
又∵PC=BC﹣BP，BC=8cm，
∴PC=8﹣3=5（cm），
∴PC=BD．
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）；
（2）∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，
又∵△BPD≌△CQP，∠B=∠C，则BP=PC=4，CQ=BD=5，
∴点P，点Q运动的时间t==（s），
∴vQ===（cm/s），
答：当点Q的运动速度为cm/s，能够使△BPD与△CQP全等．
　
12．（2016?云南模拟）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：△EBC≌△FCB．21cnjy.com
【解答】证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AE=AF，
∴AB﹣AE=AC﹣AF
即BE=CF，
在△EBC和△FCB中，，
∴△EBC≌△FCB（SAS）．
　
13．（2016?历城区二模）如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
【解答】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
　
14．（2014?惠安县一模）已知：如图，点E，C在线段BF上，AB=DE，AB∥DE，BE=CF．求证：AC=DF．21世纪教育网版权所有
【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠B=∠DEF，
∵BE=CF，
∴BC=EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴AC=DF．
　
15．（2016?曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．21·世纪*教育网
（1）求证：AC∥DE；
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（SAS），
∴∠ACE=∠DEF，
∴AC∥DE；
（2）解：∵△ABC≌△DFE，
∴BC=EF，
∴CB﹣EC=EF﹣EC，
∴EB=CF，
∵BF=13，EC=5，
∴EB==4，
∴CB=4+5=9．
　
16．（2014秋?仙游县校级月考）已知，如图，AC=AD，BC=BD，O为AB上一点，
求证：OC=OD．
【解答】证明：在△ABC和△ABD中，
，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠BAC=∠BAD，
在△AOC和△AOD中，
，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴OC=OD．
　
17．如图在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上的一点，EC⊥BC，EC=BD
（1）证明：△ABD≌△ACE；
（2）证明：AD⊥AE；
（3）若AF⊥DE，F为垂足，AG=GC，则FG与AC有怎样的位置关系，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵EC⊥BC，
∴∠BCE=90°，
∴∠ACE=90°﹣45°=45°，
∴∠B=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）证明：∵△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠DAE=∠CAD+∠CAE=∠CAD+∠BAD=∠BAC=90°，
∴AD⊥AE；
（3）解：FG⊥AC．
理由如下：连接CF，∵△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，
∵AF⊥DE，AD⊥AE，
∴AF=DF=EF=DE，
∵EC⊥BC，
∴CF=DE，
∴AF=CF，
又∵AG=GC，
∴FG⊥AC．
　
18．如图，△ABC中，∠BAD=90°，AB=AD，△ACE中，∠CAE=90°，AC=AE．
（1）求证：△ACD≌AEB；
（2）试判断∠AFD和∠AFE的大小关系，并说明理由．
【解答】解：∠AFD=∠AFE．
理由：过A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠DAC=∠BAE；
在△ABE和△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴DC=BE，
∴S△ADC=S△ABE，即DC?AM=BE?AN，
∴AM=AN，
∴FA平分∠DFE，
∴∠AFD=∠AFE．
　
19．（2015?黄冈模拟）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．www.21-cn-jy.com
求证：（1）△BAD≌△CAE；（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【解答】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD
即∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB=∠E．
∵∠DAE=90°，
∴∠E+∠ADE=90°．
∴∠ADB+∠ADE=90°．
即∠BDE=90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
　
20．（2015?武汉模拟）如图，在△ABC与△ABD中，BC=BD，∠ABC=∠ABD．点E为BC中点，点F为BD中点，连接AE，AF．求证：AE=AF．www-2-1-cnjy-com
【解答】证明：∵BC=BD，点E为BC中点，点F为BD中点，
∴BE=BF，
∵在△ABE和△ABF中，
，
∴△ABE≌△ABF（SAS），
∴AE=AF．
　
21．如图，在△ABC中，∠A=45°，边AC的垂直平分线交边AB于E点，交CB的延长线于点F，垂足为点D．如果AB=AC，求证：EC=EF．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】证明：∵∠A=45°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=67.5°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=45°，
∴∠ECB=67.5°﹣45°=22.5°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴∠EDA=90°，
∵∠A=45°，
∴∠AED=45°，
∴∠FDB=∠AED=45°，
∵∠ABC=67.5°，
∴∠F=∠ABC﹣∠FDB=22.5°，
∴∠F=∠ECB，
∴EC=EF．
　
22． 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC﹣BC=2cm，求AB、BC的长．【版权所有：21教育】
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，∴AE=BE，
∵△BCE的周长为8cm，即BE+CE+BC=8cm，
∴AC+BC=8cm…①，
∵AC﹣BC=2cm…②，
①+②得，2AC=10cm，即AC=5cm，故AB=5cm；
①﹣②得，2BC=6cm，BC=3cm．
故AB=5cm、BC=3cm．