八年级数学第二单元测试卷
一、选择题
1．如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，现有下列结论：其中不正确的是（ ）
A．△BDC≌△AEC B．∠AEB＝128°
C．BD＝AE D．AE⊥BD
【答案】B
2．以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
选项C和选项D，是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形，正确。
故答案为：B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，该图形称为中心对称图形；把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合，因此是中心对称图形，而选项B有四条对称轴，并且围绕中心点进行旋转即可重合，因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
3．如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
4．如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于6，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接，交OA于点E，交OB于点F．连接，，，，如图所示：
∵点P与点C关于OA对称，
∴垂直平分，
，，，
∵点P与点C关于OB对称，
∴OB垂直平分PD，
∴，，．
，，
．
又的周长为：，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：A．
【分析】要使的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．因此设点P关于的对称点为C，关于的对称点为D，连接，交OA于点E，交OB于点F．连接，，，，于是当点E、F在上时，的周长为，此时周长最小，根据可求出的度数．
5．下列能断定为等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，周长为6
【答案】A
6．若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：，且，
，
解得，
，恰好是等腰三角形的两条边的长，故分两种情况讨论：
①当腰长为，底边长为时，，不满足三角形三边关系定理，即“腰长为，底边长为”不符合题意；
②当腰长为，底边长为时，得的周长是，
故答案为：B．
【分析】根据绝对值和二次根式非负性可得关于m、n的方程，解方程求得，的值，根据等腰三角形的性质分两种情况讨论并结合三角形的三边关系定理即可求解．
7．如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
∵
，
∴，
故选：A．
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形的外角的性质得到，，可得，从而可求得，再根据三角形内角和定理求解即可．
8． 如图，．若分别垂直平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC
∴∠PAB=∠PBA，∠QAC=∠QCA
∵∠BAC=110°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=70°
∴∠PAB+∠QAC=70°
∴∠PAQ=∠BAC-（∠PAB+∠QAC）=40°
故选：C
【分析】利用线段垂直平分线的性质易证∠PAB+∠QAC=∠ABC+∠ACB=70°，再用∠BAC减去70°即可求出∠PAQ的度数。
9．在△ABC中，，D是BC上一动点，连接AD，E是三边垂直平分线的交点.连接AE，DE，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵E是 三边垂直平分线的交点.
E是 的外心.
是等腰三角形，
是等腰直角三角形，且
是等腰直角三角形，
作AC的垂直平分线l交AC于点H，则.AC=2AH=6，
∴点E在AC的垂直平分线上运动，
当点D运动到使得点E到达点H时，即， 面积最小，
此时
故答案为：D.
【分析】证明 是等腰直角三角形，且 ，证明 是等腰直角三角形，作AC的垂直平分线l交AC于点H，则AC=2AH=6，则AH=3 由点E在AC的垂直平分线上运动得到当点D运动到使得点E到达点H时，即 面积最小，即可求出答案.
10．如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
在中，，
∴，
∵，点Q、P分别是的中点，
∴，，
∵在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ
∴当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，
∴的最小值为：，
故选：D．
【分析】连接，根据勾股定理得到，根据直角三角形的斜边上的中线的性质得到，，在中，两边之差小于第三边，QPCP-CQ，当C、Q、P在同一直线上时，取最小值，于是得到结论．
二、填空题
11．如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，
在中，，，
∴，
∵为的角平分线，，DE⊥AB，
∴
∵
设，
∴
∴
解得：
∴
故答案为：．
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AB的长；根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得DE=DC，设DE=DC=x，由等面积法，根据S△ABC=S△ABD+S△BDC，列出方程，求出x的值，进而再根据三角形面积计算公式列式计算即可.
12．已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
【答案】6或
【解析】【解答】解：当5和12为直角三角形的两条直角边时，
斜边，
此时斜边的中线长为；
当5为一条直角边，12为斜边时，
另一条直角边，
此时斜边的中线长为6.
故答案为：6或.
【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答.
13．如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵．，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】由垂直平分，得，由的周长结合已知求得，从而即可得解.
14．如图，△ABC是三边都不相等的三角形，点P是内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点.点P，O同时在三角形的内部时：⑴若∠A=50°，则∠BPC= .⑵∠BOC和∠BPC的数量关系是 .
【答案】∠BPC=115°；∠BOC=4∠BPC－360°
15．如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：延长交于E，设的面积为m，
∵为的角平分线，垂直于点，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，再根据的面积为m，求解即可得到结论．
16．如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ．
【答案】①②④
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）在图中画出 关于 轴的对称图形 ，并写出点 的坐标；
（2）请在 轴，上画出点 的位 ，使得 最短，并直接写出点 的坐标．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为(-3，0).
【解析】【分析】（1）先找到 关于y轴对称的三个点，即每个点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，然后连接三个点即可；
（2）确定点C关于x轴的对称点C2，连接BC2，与x轴交于点P，点P即为所求.
18．如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点．
（1）若，求的度数；
（2）求证：垂直平分．
【答案】（1）解：∵，∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接、；
在与中，
，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴垂直平分．
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可．
（2）连接、，即可得到，根据全等三角形的对应边相等得到，再根据三线合一得到结论即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：如图，连接、；
在与中，
，
∴，
∴，
∵G为的中点，
∴，
∴垂直平分．
19． 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE。求证：CG=EG。
【答案】证明： ∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB =90°， 又AE= EB，
∴DE=AE，
∵CD=AE，
∴DE=DC， 又DG⊥CE，
∴CG=EG；
【解析】【分析】根据直角三角形的性质得到DE =AE，证明DE =DC，根据等腰三角形的三线合一证明.
20．表格是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具进行测量，比如：皮尺、直角三角板、测角仪、标杆等．各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度．
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡的宽度 在小山坡外面的平地上找一点，立一根标杆，然后再找到点，使 ，，
请你帮助小聪同学所在小组完成下列任务．
（1）任务1：王老师发现小聪同学所在小组的测量方案有问题，请你帮助小聪同学所在小组找到问题并完善测量方案．
（2）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度，并说明理由．
（3）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路．
【答案】（1）解：问题是：无法需要保证，
完善测量方案：增加条件，点分别在的延长线上．
（2）解：任务2：，
（SAS）．
．
答：小山坡的宽度为360米．
（3）解：如图，先在处立一根标杆，使，确定的方向；
同理使，确定的方向；
然后找到两个方向的交汇处点；
量出的长度，即为小山坡的宽度（测量方案只要符合即可）．
【解析】【分析】（1）小聪同学所在小组的测量方案不能确定两三角形全等，即缺少一组对应角相等；
（2）根据证明，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）构造等边三角形求解即可．
（1）解：任务1：问题是：无法需要保证，
完善测量方案：增加条件，点分别在的延长线上．
（2）解：任务2：，
．
．
答：小山坡的宽度为360米．
（3）解：任务3：如图，先在处立一根标杆，使，确定的方向；同理使，确定的方向；然后找到两个方向的交汇处点；量出的长度，即为小山坡的宽度（测量方案只要符合即可）．
21．如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
22．已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA=DB，DM⊥BP于点M.
（1）若AC=6，DM=2，求△ACD的面积；
（2）求证：AC=BM+CM.
【答案】（1）解：作DN⊥AC于点N.
∵D为△ABC外角∠ACP平分线上一点
（2）解：∴在Rt△CDN与Rt△CDM中，
∴在Rt△ADN与Rt△BDM中，
【解析】【分析】（1）作DN⊥AC于点N，根据角平分线性质得DM=DN，再由三角形面积公式即可求得答案.
（2）根据直角三角形全等的判定——HL可得△CDN≌△CDM，△ADN≌△BDM，再由全等三角形性质得CM=CN，AN=BM，等量代换即可得证.
23． 已知： 中， ，点 为 上一点，连接 并延长至点 ，连接 、 ， 使 .
图1 图2 图3
（1）如图 1，当 时，求证： ；
（2）如图 2，当 时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，在 上截取 ，连接 ，点 在 上，连接 ，
且 ，求 的长.
【答案】（1）证明： 在 上截取 ，连接 ，如图 1 所示：
图1
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
即
（2）
（3）解：连接 ，过点 作 于点 ，如图 3 所示：
图3
， ， ， ， 为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
即 ，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形， ，
，
，
，
，
，
解得： 或 （舍去）， 的长为
【解析】【解答】解：（2）解：（1）中结论不成立； ，理由如下： 在 上截取 ，连接 ，如图 2 所示：
图2
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
故答案为：.
【分析】(1)在BE上截取BH =CE， 连接AH， 证明△ABH≌△ACE(SAS)， 得出∠BAH=∠CAE，AH = AE， 证明△HAE为等边三角形， 得出AE = HE， 即可证明结论；
(2)在BE上截取BH =CE， 连接AH， 证明△ABH≌△ACE(SAS)， 得出∠BAH =∠CAE，AH = AE， 证明△HAE为等腰直角三角形， 得出 即可证明结论；
(3)连接AF， 过点A作AM⊥EF于点M， 根据(2) 的证明得出△ABF≌△ACE(SAS)，∠BAF=∠CAE，AF = AE，证明△FAE为等腰直角三角形，求出∠AGE =180°-∠EAG-∠AEG=60°，∠FCE=60°，根据直角三角形的性质结合勾股定理求出 最后在Rt△AGM中根据含30°角直角三角形的性质和勾股定理求出结果即可.
1 / 1八年级数学第二单元测试卷
一、选择题(共10题；共30分)
1．（3分）如图，已知：AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠EBD＝38°，现有下列结论：其中不正确的是（ ）
A．△BDC≌△AEC B．∠AEB＝128°
C．BD＝AE D．AE⊥BD
2．（3分）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）如图，已知的大小为，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于6，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）下列能断定为等腰三角形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，，周长为6
6．（3分）若实数，满足等式，且，恰好是等腰三角形的两条边的长，则的周长是（ ）
A．8 B．10 C．8或10 D．6
7．（3分）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
8．（3分） 如图，．若分别垂直平分，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）在△ABC中，，D是BC上一动点，连接AD，E是三边垂直平分线的交点.连接AE，DE，若，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
10．（3分）如图，在中，，，，线段的两个端点D，E分别在边和边所在的直线上滑动，且，若点P，Q分别是的中点，则下列有关说法正确的是（ ）
A．有最大值为 B．有最大值为
C．有最小值为 D．有最小值为
二、填空题(共6题；共18分)
11．（3分）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ．
12．（3分）已知直角三角形的两边长分别为5和12，则斜边上的中线长为 .
13．（3分）如图，，垂直平分，交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为 ．
14．（3分）如图，△ABC是三边都不相等的三角形，点P是内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点.点P，O同时在三角形的内部时：⑴若∠A=50°，则∠BPC= .⑵∠BOC和∠BPC的数量关系是 .
15．（3分）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
16．（3分）如图，在中，，平分，于点，于点D，且与交于点H，于点F，且与交于点G．则下面的结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有 ．
三、解答题(共7题；共69分)
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）（4分）在图中画出 关于 轴的对称图形 ，并写出点 的坐标；
（2）（4分）请在 轴，上画出点 的位 ，使得 最短，并直接写出点 的坐标．
18．（8分）如图，在中，，D、E、F分别在三边上，且，，G为的中点．
（1）（4分）若，求的度数；
（2）（4分）求证：垂直平分．
19．（5分） 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE。求证：CG=EG。
20．（11分）表格是小聪同学开展项目化学习时填写了部分内容的记录表，
项目：测量小山坡的宽度
活动：小山坡的宽度不能直接测量，可以借助一些工具进行测量，比如：皮尺、直角三角板、测角仪、标杆等．各组确定方案后，选择测量工具，画出测量示意图，再进行实地测量，得到具体数据，从而计算出小山坡的宽度．
成果：下面是小聪同学所在小组进行交流展示的部分项目研究内容：
项目 示意图 测量方案 测得数据
测量小山坡的宽度 在小山坡外面的平地上找一点，立一根标杆，然后再找到点，使 ，，
请你帮助小聪同学所在小组完成下列任务．
（1）（3分）任务1：王老师发现小聪同学所在小组的测量方案有问题，请你帮助小聪同学所在小组找到问题并完善测量方案．
（2）（4分）任务2：完善方案后请你借助上述测量数据，计算小山坡的宽度，并说明理由．
（3）（4分）任务3：利用所学知识，请你再设计一个测量方案，并简要说明你的设计思路．
21．（13分）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）（3分）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）（5分）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）（5分）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
22．（10分）已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA=DB，DM⊥BP于点M.
（1）（5分）若AC=6，DM=2，求△ACD的面积；
（2）（5分）求证：AC=BM+CM.
23．（14分） 已知： 中， ，点 为 上一点，连接 并延长至点 ，连接 、 ， 使 .
图1 图2 图3
（1）（4分）如图 1，当 时，求证： ；
（2）（5分）如图 2，当 时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ；
（3）（5分）如图 3，在（2）的条件下，在 上截取 ，连接 ，点 在 上，连接 ，
且 ，求 的长.
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