浙教版数学八年级上学期期末巩固练第一天
一、选择题
1．（2024八上·高唐期末）下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：当的垂直平分交于点D时，
∴，
∴的周长．
故答案为：B．
【分析】根据基本的尺规作图可得作的垂直平分交于点D时满足题意．
2．（2023八上·龙胜各族期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（ ）
A．α B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
3．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
4．（2024八上·金东期末）点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，据此即可求解.
5．（2024八上·海曙期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：把C(1，2)代入y=x+b得1+b=2，解得b=1，
把B(3，1)代入y=x+b得3+b=1，解得b=-2，
∴当直线y=x+6与△ABC有交点时，b的取值范围是-2≤b≤1.
故答案选：B.
【分析】将三角形顶点坐标代入直线方程求解b的值，从而确定b的取值范围.
二、填空题
6．（2025八上·期末） 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，AB 的垂直平分线EF交AC 于点E，交AB于点F，P为EF上的动点，若BC=6，△ABC的面积为21，则△PBD周长的最小值为 .
【答案】10
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；三角形的中线
【解析】【解答】解：如解图，设 EF 交 AD 于点 G，连接AP，BG，
∵AB=AC，
∴△ABC 为等腰三角形，
∵AD为BC边上的中线，BC=6，
∴BD=CD=3，AD⊥BD，
∵△ABC的面积为21，
. ·. AD=7，
∵ EF 为 AB 的垂直平分线，∴PA =PB，
∴△PBD的周长为 PB+PD+BD=PA+PD+BD，
∵ PA+PD≥ AD，∴当 PA+PD=AD时，△PBD的周长最小，即点 P 与点 G重合，△PBD周长的最小值为AD+BD=10.
故答案为：10.
【分析】如解图，设 EF 交 AD 于点 G，连接AP，BG，首先根据 AD为BC边上的中线得出BD=3，再根据等腰三角形的性质，结合△ABC的面积为21，可得出AD=7，然后再根据轴对称的性质，得出PB+PD的最小值为AD的长度，即可得出 △PBD周长的最小值为 7+3=10即可。
7．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为 ．
【答案】（1）125°
（2）25°【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD =60°，
∴∠DAC和∠BCA的角平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC=30°，∠ACE=ACB=25°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE =125°；
故答案为：125°；
(2)由 (1) 可知：
∠DAE=∠DAC，∠ACE = 25°，
当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，即
∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE +∠ACE = 65°，
∴m的取值范围为25°故答案为：25°【分析】(1)由题意易得∠CAD的度数，∠ABC及∠ACB的度数，然后可得∠EAC及∠ACE的度数，进而根据三角形内角和可进行求解；
(2)当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，进而问题可求解.
8．（2022八上·莲都期末）某批电子产品进价为300元/件，售价为400元/件.为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于20%，则最多可降价 元.
【答案】40
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设降价x元，则利润率为 ，
∴列得不等式： ，
解得：
∴最多可降价40元.
故答案为：40.
【分析】根据售价-进价=利润，利润除以进价×100％=利率，进而结合单件利润率不低于20%列出不等式，求解即可.
9．（2024八上·重庆市期中）如图，在中，，，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点和分别作于，于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【分析】过点和分别作于，于，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再结合点C、A的坐标可得，，，利用线段的和差求出CD和OE的长，最后求出点B的坐标即可.
10．（2024八上·瓯海期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：由，
∴，
由一次函数，
令，解得，
∴，
∴，，
∵当时，最小，
此时，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出交点A坐标，再判断得到当时，最小，根据三角形的面积计算即可．
三、解答题
11．（2025八上·丽水期末）某市计划在新竣工的矩形广场的内部广场修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉到广场的两个入口，的距离相等，且到广场管理处的距离等于和之间距离的一半，，，的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉的位置要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图
【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
12．（2025八上·苍南期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请在图1中作关于x轴成轴对称的；
（2）在图2中将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为 ▲ ．
（3）在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为 ▲ ．
【答案】（1）
（2）解：图略，的面积，
（3）解：如图，点即为所求，由图形可得，点的坐标为．
理由：∵点关于轴对称，
∴，
∴，根据两点之间，线段最短，可知，此时的值最小．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；等腰三角形的对称性
【解析】【分析】（1）本题考查了平面直角坐标系中三角形的轴对称问题，关于x轴对称问题，横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数.根据上述总结画图即可；
（2）本题考查了图形在平面直角坐标系中平移的知识及割补思想求不规则图形的面积等知识点.图形平移后形状、大小不变.在平面直角坐标系中构造出规则图形，从而利用规则图形的面积公式计算出所求图形的面积；
（3）本题考查了等腰三角形的对称性，利用等腰三角形的对称性求最短路径问题.
13．（2025八上·宝安期末）绿动未来一一追踪碳排放
【素材呈现】
素材一：在对4城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克。
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施。根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳。
【问题解决】
（1）问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克
（2）问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克。
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大。
【答案】（1）解：设一辆燃油车每公里的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里的二氧化碳排放量是y克。
由题意得，
解得
答：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是186克和74克。
（2）解：①w=172a+111(100-a)
化简得：w=6la+11100
②61>0
∴w随着a的增大而增大
∵a≤30
∴w在a=30时有最大值，
此时100-a=100-30=70
∴购买杨树30棵，冷杉70棵时，所有树木在一年内吸收的二氧化碳总量w最大
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一辆燃油车每公里的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里的二氧化碳排放量是y克，根据“10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）①根据“环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克”即可列出一次函数关系式，进而即可求解；
②根据一次函数的性质结合题意求出最值即可。
1 / 1浙教版数学八年级上学期期末巩固练第一天
一、选择题
1．（2024八上·高唐期末）下列尺规作图求作上点D，使得的周长等于正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八上·龙胜各族期末）如图，点E、F是的边上的两点，线段的垂直平分线交于D，的垂直平分线恰好经过E点，连接、，若，则的度数为（ ）
A．α B． C． D．
3．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
4．（2024八上·金东期末）点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·海曙期末）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，当直线与有交点时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2025八上·期末） 如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，AB 的垂直平分线EF交AC 于点E，交AB于点F，P为EF上的动点，若BC=6，△ABC的面积为21，则△PBD周长的最小值为 .
7．（2025八上·鄞州期末）如图，在 中， 是边 上一点（不与 重合）， 和 的角平分线交于点 ．
（1）若 ，则 的度数为 ；
（2）记 和 的度数之和为 ，则 的取值范围为 ．
8．（2022八上·莲都期末）某批电子产品进价为300元/件，售价为400元/件.为提高销量，商店准备将这批电子产品降价出售，若要保证单件利润率不低于20%，则最多可降价 元.
9．（2024八上·重庆市期中）如图，在中，，，点的坐标为，点A的坐标为，则点的坐标是 ．
10．（2024八上·瓯海期末）如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．
三、解答题
11．（2025八上·丽水期末）某市计划在新竣工的矩形广场的内部广场修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉到广场的两个入口，的距离相等，且到广场管理处的距离等于和之间距离的一半，，，的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉的位置要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹，必须用铅笔作图
12．（2025八上·苍南期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）请在图1中作关于x轴成轴对称的；
（2）在图2中将向右平移个单位，作出平移后的；则此三角形的面积为 ▲ ．
（3）在轴上求作一点，使的值最小，点的坐标为 ▲ ．
13．（2025八上·宝安期末）绿动未来一一追踪碳排放
【素材呈现】
素材一：在对4城市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克。
素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施。根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收172千克二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收111千克的二氧化碳。
【问题解决】
（1）问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是多少克
（2）问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克。
①求w与a的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：当的垂直平分交于点D时，
∴，
∴的周长．
故答案为：B．
【分析】根据基本的尺规作图可得作的垂直平分交于点D时满足题意．
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
4．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为，
故答案为：C.
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，据此即可求解.
5．【答案】B
【知识点】一次函数中的动态几何问题
【解析】【解答】解：把C(1，2)代入y=x+b得1+b=2，解得b=1，
把B(3，1)代入y=x+b得3+b=1，解得b=-2，
∴当直线y=x+6与△ABC有交点时，b的取值范围是-2≤b≤1.
故答案选：B.
【分析】将三角形顶点坐标代入直线方程求解b的值，从而确定b的取值范围.
6．【答案】10
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；三角形的中线
【解析】【解答】解：如解图，设 EF 交 AD 于点 G，连接AP，BG，
∵AB=AC，
∴△ABC 为等腰三角形，
∵AD为BC边上的中线，BC=6，
∴BD=CD=3，AD⊥BD，
∵△ABC的面积为21，
. ·. AD=7，
∵ EF 为 AB 的垂直平分线，∴PA =PB，
∴△PBD的周长为 PB+PD+BD=PA+PD+BD，
∵ PA+PD≥ AD，∴当 PA+PD=AD时，△PBD的周长最小，即点 P 与点 G重合，△PBD周长的最小值为AD+BD=10.
故答案为：10.
【分析】如解图，设 EF 交 AD 于点 G，连接AP，BG，首先根据 AD为BC边上的中线得出BD=3，再根据等腰三角形的性质，结合△ABC的面积为21，可得出AD=7，然后再根据轴对称的性质，得出PB+PD的最小值为AD的长度，即可得出 △PBD周长的最小值为 7+3=10即可。
7．【答案】（1）125°
（2）25°【知识点】等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∵∠BAD=20°，
∴∠CAD =60°，
∴∠DAC和∠BCA的角平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC=30°，∠ACE=ACB=25°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ACE =125°；
故答案为：125°；
(2)由 (1) 可知：
∠DAE=∠DAC，∠ACE = 25°，
当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，即
∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠DAE +∠ACE = 65°，
∴m的取值范围为25°故答案为：25°【分析】(1)由题意易得∠CAD的度数，∠ABC及∠ACB的度数，然后可得∠EAC及∠ACE的度数，进而根据三角形内角和可进行求解；
(2)当点D与点B重合时，∠DAE取得最大值，进而问题可求解.
8．【答案】40
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设降价x元，则利润率为 ，
∴列得不等式： ，
解得：
∴最多可降价40元.
故答案为：40.
【分析】根据售价-进价=利润，利润除以进价×100％=利率，进而结合单件利润率不低于20%列出不等式，求解即可.
9．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点和分别作于，于，
∴，
∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，
∴，，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
【分析】过点和分别作于，于，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，， 再结合点C、A的坐标可得，，，利用线段的和差求出CD和OE的长，最后求出点B的坐标即可.
10．【答案】
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；垂线段最短及其应用；三角形的面积
【解析】【解答】解：由，
∴，
由一次函数，
令，解得，
∴，
∴，，
∵当时，最小，
此时，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先求出交点A坐标，再判断得到当时，最小，根据三角形的面积计算即可．
11．【答案】解：如图，点即为所求．
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】根据题意，作AB的垂直平分线，以点C为圆心，以AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于点M即可．
12．【答案】（1）
（2）解：图略，的面积，
（3）解：如图，点即为所求，由图形可得，点的坐标为．
理由：∵点关于轴对称，
∴，
∴，根据两点之间，线段最短，可知，此时的值最小．
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；坐标与图形变化﹣平移；等腰三角形的对称性
【解析】【分析】（1）本题考查了平面直角坐标系中三角形的轴对称问题，关于x轴对称问题，横坐标不变，纵坐标互为相反数，关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数.根据上述总结画图即可；
（2）本题考查了图形在平面直角坐标系中平移的知识及割补思想求不规则图形的面积等知识点.图形平移后形状、大小不变.在平面直角坐标系中构造出规则图形，从而利用规则图形的面积公式计算出所求图形的面积；
（3）本题考查了等腰三角形的对称性，利用等腰三角形的对称性求最短路径问题.
13．【答案】（1）解：设一辆燃油车每公里的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里的二氧化碳排放量是y克。
由题意得，
解得
答：一辆燃油车和一辆电动汽车每公里分别产生的二氧化碳排放量是186克和74克。
（2）解：①w=172a+111(100-a)
化简得：w=6la+11100
②61>0
∴w随着a的增大而增大
∵a≤30
∴w在a=30时有最大值，
此时100-a=100-30=70
∴购买杨树30棵，冷杉70棵时，所有树木在一年内吸收的二氧化碳总量w最大
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设一辆燃油车每公里的二氧化碳排放量是x克，一辆电动汽车每公里的二氧化碳排放量是y克，根据“10辆燃油车与10辆电动汽车每公里共同排放的二氧化碳总量约为2600克，而5辆燃油车与6辆电动汽车每公里的总排放量则为1374克”即可列出二元一次方程组，进而即可求解；
（2）①根据“环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为w千克”即可列出一次函数关系式，进而即可求解；
②根据一次函数的性质结合题意求出最值即可。
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