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【填空题强化训练·50道必刷题】八年级上册第1章 三角形
1．如图，AB∥CE，∠C=37°，∠A=115°，那么∠F＝
2．等腰三角形的两边长分别为6，13，则它的周长为 .
3．如图，△ABC≌△DEF，AE＝2，AD＝3，则AB＝ ．
4．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 度．
5．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝ °．
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝46°，∠B′＝27°，则∠C＝ °．
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是 。
8． 如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝54°，则∠EBC+∠BCF的度数为 ．
9．如图，把两根钢条AB′、BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB＝5米，则槽宽为 米.
10．如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AB=6cm，BC=3cm，则△DBC的周长是 cm.
11．如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，则∠DAE＝ 度．
12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为 ．
13．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若 ，则 的度数为 ．
14．如图，在 中， 边的垂直平分线交 于D，交 于E.若 平分 ， ，则 .
15．在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A= ．
16．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值 .
17．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．
18． 在中，，中线，则边的取值范围是 .
19．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 .
20．将一副直角三角板按如图所示叠放一起，则图中∠α的度数是 .
21．若一个三角形三个内角度数的比为 ，则其最大内角的度数是 ．
22．如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=4，CF=10，则AC等于 ．
23．下列命题中，属于真命题的有 （填序号）：①互补的角是邻补角；②无理数是无限不循环小数；③同位角相等；④两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直；⑤如果，那么．
24．如图，在中，D，E分别是边AB，AC上一点，将沿DE折叠，使点的对称点落在边BC上，若，则 .
25．如图所示，P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于点B，且PB = 5 cm，AC = 12 cm，则△APC的面积是 cm2.
26．如图，∠AOB中，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，若∠AOB=140°，则∠EOD= °
27．如图， 中，∠ 900，∠A＝200，△ABC≌△ ，若 恰好经过点B， 交AB于D，则 的度数为 °．
28．如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEC．
29．举反例说明下面的命题是假命题，命题：若 ，则 且 ，反例：
30．若a，b，c是 的三边的长，则化简 .
31．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=12cm，BD=8cm，则点D到AB的距离为 cm．
32．如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．
33．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，且S△ABC=8cm2 ，
则图中阴影部分△CEF的面积是 .
34．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，DE=5，EF∥BC交AC于点D，则DF=
35．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 命题（填“真”或“假”）
36．如图，已知中，平分，于点，连接，则阴影部分的面积是 ．
37．如图，在直角三角形ABC中，，，，，则阴影部分的面积是 ．
38．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
39．如图，将一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，则∠α的度数是 ．
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 .
41．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2；正确的有 （填序号）
42．如图，已知 ， ，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°，则∠CDE= ．
43．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，其中点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE。以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC正确的是
44．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，其中 ， ，点 是 轴负半轴上一点，点 是在直线 与直线 之间的一点，连接 、 ， 平分 ， 平分 ， 交 于 ，则 与 之间可满足的数量关系式为 .
45．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号）
46．三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有 个．
47．如图，Rt△ABC中，∠C=90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5．则四边形FBCD周长的最小值是 ．
48．如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ．
49．如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为 。
50．甲、乙、丙、丁四个运动员参加比赛．
赛前，甲说：“我肯定最后一名．”
乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”
丙说：“我绝对不会是最后一名．”
丁说：“我肯定得第一名．”
赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请判断 的预测是错误的．
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【填空题强化训练·50道必刷题】八年级上册第1章 三角形
1．如图，AB∥CE，∠C=37°，∠A=115°，那么∠F＝
【答案】78°
【解析】【解答】解：因为AB∥CE，所以∠A+∠ADE=180°，因为∠A=115°，所以∠ADE=65°，根据对顶角相等，所以∠CDF=∠ADE=65°，又∠C=37°，那么∠F＝ 78° .
故答案为：78°.
【分析】要求∠F，观察该角位于△CFD中，∠C知道，只要求出∠CDF即可根据三角形内角和为180°求出.
2．等腰三角形的两边长分别为6，13，则它的周长为 .
【答案】32
【解析】【解答】解：∵等腰三角形的两边长分别为6，13
∴该三角形的三边可能为：6，6，13或6，13，13
根据三角形三边关系三边只能为：6.13.13
则周长为：6+13+13=32
故答案为：32
【分析】根据等腰三角形性质结合三角形三边关系即可求解。
3．如图，△ABC≌△DEF，AE＝2，AD＝3，则AB＝ ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵AE=2，AD=3，
∴DE=5，
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE=5，
故答案为：5.
【分析】根据图中线段的和差关系求出DE的长，再利用全等三角形的性质得出AB.
4．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 度．
【答案】120
【解析】【解答】∵ ，
∴∠C=∠C′=24°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°，
∴∠B=120°，
故答案为：120.
【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案.
5．如图，直线l1∥l2，∠1＝40°，∠2＝75°，则∠3＝ °．
【答案】65
【解析】【解答】解：∵l
1∥l
2，∠1＝40°，
∴∠1＝∠4＝40°，
又∠2＝∠5＝75°，
∴∠3＝180°﹣（∠4+∠5）＝65°．
故答案为：65
【分析】由
直线l1∥l2 可得∠1=∠4，再根据三角形内角和定理即可求得∠3的度数。
6．如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝46°，∠B′＝27°，则∠C＝ °．
【答案】107
【解析】【解答】∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠B′=27°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=107°，
故答案为：107°．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
7．如图，在中，，，，，连接BC，CD，则的度数是 。
【答案】45°
【解析】【解答】解：连接AC并延长交EF于点M，
∵AB∥CF，AD∥CE，
∴∠3=∠1，∠2=∠4，
∴∠BAD=∠3+∠4=∠1+∠2=∠FCE，
∵∠FCE=180°-∠E-∠F=180°-80°-55°=45°，
∴∠BAD=45°.
故答案为：45°.
【分析】根据平行线的性质得出∠3=∠1，∠2=∠4，从而得出∠BAD=∠FCE，再根据三角形内角和定理求出∠FCE的度数，即可得出答案.
8． 如图，∠CBE和∠BCF是△ABC的两个外角，若∠A＝54°，则∠EBC+∠BCF的度数为 ．
【答案】234°
【解析】【解答】∵∠A=54°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-54°=126°，
∵∠ABC+∠EBC=180°，∠ACB+∠BCF=180°，
∴∠ABC+∠EBC+∠ACB+∠BCF=360°，
∴∠EBC+∠BCF=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-126°=234°。
故答案为：234°。
【分析】首先根据三角形内角和求得∠ABC+∠ACB=126°，再根据邻补角定义求得∠ABC+∠EBC+∠ACB+∠BCF=360°，进一步即可求得∠EBC+∠BCF=234°。
9．如图，把两根钢条AB′、BA′的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具(卡钳)，若测得AB＝5米，则槽宽为 米.
【答案】5
【解析】【解答】解：连接AB，A′B′，
O为AB′和BA′的中点，
∴OA′=OB，OA=OB′，
∵∠A′OB′=∠AOB
∴△OA′B′≌△OAB（SAS），
∴A′B′=AB，
又∵AB＝5米
∴A′B′=5米.
故答案是：5.
【分析】连接AB，A′B′，根据线段中点的定义得出OA′=OB，OA=OB′，根据对顶角相等得出∠A′OB′=∠AOB，从而利用SAS判断出△OA′B′≌△OAB，根据全等三角形的对应边相等得出A′B′=AB，从而即可得出答案。
10．如图，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，AB=6cm，BC=3cm，则△DBC的周长是 cm.
【答案】9
【解析】【解答】解： ∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AD=BD，AB=AC，AB=6cm，BC=3cm，
∴AD+CD=BD+CD=AC=6cm，
∴△DBC的周长=（BD+CD）+BC=6+3=9cm.
故答案：9
【分析】根据垂直平分线的性质可得DA=DB，再根据△DBC的周长=BC+BD+DC=BC+DA+DC=BC+AC即可求得结果.
11．如图，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，则∠DAE＝ 度．
【答案】35
【解析】【解答】解：由三角形内角和定理，得∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣34°﹣104°＝42°，
又∵AE平分∠BAC．
∴∠BAE＝ ∠BAC＝ ×42°＝21°，
∴∠AED＝∠B+∠BAE＝34°+21°＝55°，
又∵∠AED+∠DAE＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣55°＝35°．
故答案为：35．
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求出∠BAE的度数，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AED的度数，最后根据余角定理计算即可得解．
12．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，若△ABC的面积等于36，则△BEF的面积为 ．
【答案】9
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是BC，AD，EC的中点，
∴AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，
∵△ABC的面积等于36，
∴，
，，
∴，
∴.
故答案为：9.
【分析】根据中点的概念可得AE＝DE＝AD，EF＝CF＝CE，BD＝DC＝BC，结合三角形的面积公式可得S△ABD=S△ACD=S△ABC，S△ABE=S△BDE=S△ABD，S△AEC=S△CDE=S△ACD，推出S△BEF=S△BCF=S△BEC=S△ABC，据此计算.
13．把一块直尺与一块直角三角板如图放置，若 ，则 的度数为 ．
【答案】130°
【解析】【解答】解：∵∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∴∠2=90°+∠3=130°．
故答案为130°．
【分析】根据对顶角的性质可得∠3=∠1=40°，再利用三角形的外角的性质可得∠2=90°+∠3=130°．
14．如图，在 中， 边的垂直平分线交 于D，交 于E.若 平分 ， ，则 .
【答案】54°
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠BCE=42°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠BCE=84°，
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=54°.
故答案为：54°.
【分析】根据垂直平分线的性质得出BE=CE，根据等边对等角则可求出∠BCE的度数，然后利用角分线的定义求出∠ACB，最后根据三角形内角和定理求∠A即可.
15．在△ABC中，已知∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，则∠A= ．
【答案】40°
【解析】【解答】解：∵∠B是∠A的2倍，∠C比∠A大20°，
∴∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°，
∴∠A=40°，
故答案为：40°．
【分析】先求出∠B=2∠A，∠C=∠A+20°，再求出∠A+2∠A+∠A+20°=180°，最后计算求解即可。
16．如图，在正方形ABCD中，AB=2，延长BC到点E，使CE=1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB-BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值 .
【答案】3或7
【解析】【解答】解：在△ABP与△DCE中
AB=CD， ∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE
∴△ABP≌△DCE，
∴BP=t-2=1，即t=3.
在△ABP与△DCE中
AB=DC，∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE
∴△ABP≌△DCE，
∴AP=8-1=1即t=7.
所以，当的值为3或7秒时△ABP和△DCE全等.
【分析】根据“SAS”可证△ABP≌△DCE，可得BP=t-2=CE，求得t=3；根据“SAS”△ABP≌△DCE，可得AP=8-1=CE，求得t=7.
17．如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，当他从A处摆动到处时，若，到的距离是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作，垂足为F，．
∵，
∴
在中，；
又∵，
∴，
∴；
在和中，
，
∴；
∴，
∵∵
∴，
∵，
∴；
∴，
∴，
即到的距离是．
故答案为：．
【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，由AAS得，再根据全等三角形的判定和性质解答即可.
18． 在中，，中线，则边的取值范围是 .
【答案】4<24
【解析】【解答】解：如图，
∵，中线 ，
∴2
∴4<2BD<24，
∵AD为中线，
∴BC=2BD，
∴4故答案为：4【分析】根据三角形三边关系得出BD的范围，进而得出答案.
19．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数等于 .
【答案】180°
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°，
∵三个三角形全等，
∴∠4+∠6+∠9=180°，
∵∠5+∠8+∠7=180°，
∴∠1+∠2+∠3=540°-180°-180°=180°.
故答案为：180°.
【分析】观察图形可知∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°，利用三角形全等的性质和三角形内角和定理，可知∠4+∠6+∠9=180°，∠5+∠8+∠7=180°，由此可求出∠1+∠2+∠3的度数.
20．将一副直角三角板按如图所示叠放一起，则图中∠α的度数是 .
【答案】75°
【解析】【解答】解：∠α=180°-60°-（90°-45°）=75°；
故答案为：75°.
【分析】根据三角形的内角和定理求出答案即可。
21．若一个三角形三个内角度数的比为 ，则其最大内角的度数是 ．
【答案】108°
【解析】【解答】解：设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理，可知x+3x+6x＝180，
解得x＝18．
所以6x°＝108°，即最大的内角是108°．
故答案为108°
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，设一份为x°，则三个内角的度数分别为x°，3x°，6x°，
根据三角形内角和定理列出方程，解之即可确定最大的内角度数。
22．如图，点F，A，D，C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=4，CF=10，则AC等于 ．
【答案】7
【解析】【解答】解：∵
∴即
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：7.
【分析】根据全等三角形的性质得到即易知根据题意即可求出AF和CD的长度，即可求解.
23．下列命题中，属于真命题的有 （填序号）：①互补的角是邻补角；②无理数是无限不循环小数；③同位角相等；④两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直；⑤如果，那么．
【答案】②④⑤
【解析】【解答】解：①邻补角一定互补，但互补的角不一定是邻补角，故不符合题意，是假命题；
②无理数是无限不循环小数，符合题意，是真命题；
③两直线平行，同位角相等，故不符合题意，是假命题；
④如图所示，直线a，b被直线c所截，且a//b，直线AB平分∠CAE，直线CD平分∠ACF，AB，CD相交于点G．求证：AB⊥CD．
证明：∵a//b，
∴∠CAE+∠ACF=180°．
又AB平分∠CAE，CD平分∠ACF，
所以∠1=
∠CAE，∠2=
∠ACF．
所以∠1+∠2=
∠CAE+
∠ACF
=
（∠CAE+∠ACF）=
×180°=90°．
又∵△ACG的内角和为180°，
∴∠AGC=180°-（∠1+∠2）=180°-90°=90°，
∴AB⊥CD．
∴两条平行线的同旁内角的角平分线互相垂直，符合题意，是真命题；
⑤如果
，那么
，符合题意，是真命题．
故答案为：②④⑤．
【分析】根据邻补角的定义、无理数的定义、同位角的性质、平方根的性质及平行线的性质逐项判断即可。
24．如图，在中，D，E分别是边AB，AC上一点，将沿DE折叠，使点的对称点落在边BC上，若，则 .
【答案】230
【解析】【解答】解：∵∠A=50°，
∴△ABC中，∠B+∠C=130°，
又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-130°=230°，
故答案为：230.
【分析】根据三角形内角和是180°可得∠B+∠C=130°，得出∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）即可求解.
25．如图所示，P是∠BAC的平分线上一点，PB⊥AB于点B，且PB = 5 cm，AC = 12 cm，则△APC的面积是 cm2.
【答案】30
【解析】【解答】解：如图，作PD⊥AC于D，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AC，PB⊥AB，
∴PD=PB=5，
∴S△APC=AC×PD=×12×5=30.
故答案为：30.
【分析】作PD⊥AC于D，利用角平分线的性质求出PD的长，结合AC=12，则△APC的面积可求.
26．如图，∠AOB中，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，若∠AOB=140°，则∠EOD= °
【答案】70
【解析】【解答】解：∵OD为∠BOC的平分线
∴∠COD=∠COB，
同理，∠COE=∠AOC
∵∠AOB的度数为140°
∴∠EOD=∠COD+∠COE=∠COB+∠AOC=70°
【分析】根据角平分线的性质进行计算即可得到答案。
27．如图， 中，∠ 900，∠A＝200，△ABC≌△ ，若 恰好经过点B， 交AB于D，则 的度数为 °．
【答案】60
【解析】【解答】因为△ABC≌△ ，所以∠A＝∠ ＝20°， ∠B＝∠ ，BC= C， 因为∠ 90°，所以∠B＝∠ =∠ BC=70°，所以∠ BA＝40°，所以 =∠ +∠ BA＝20°+40°=60°.
【分析】根据直角三角形两锐角互余得∠ABC，根据全等三角形的性质得BC= C，∠B＝∠ ，根据等腰三角形的性质求出∠ BC，再求出∠BCD，利用三角形的内角和定理列式计算即可。
28．如图，线段AE，BD交于点C，AB=DE，请你添加一个条件 ，使得△ABC≌△DEC．
【答案】∠A=∠E（或∠B=∠D）
【解析】【解答】解：∵AB=DE，∠ACB=∠ECD，
∴当∠A=∠E（或∠B=∠D）时，依据AAS可得，△ABC≌△DEC．
故答案为：∠A=∠E（或∠B=∠D）．
【分析】由已知AB=DE，图中隐含条件：∠ACB=∠DCE，再添加任意一组对应角相等，利用AAS可证△ABC≌△DEC。
29．举反例说明下面的命题是假命题，命题：若 ，则 且 ，反例：
【答案】 ， ，则 且 ，
【解析】【解答】解：因为当 ， 时，原条件ab＞0仍然成立，
所以反例为： ， ，则 且 ， ．
故答案为： ， ，则 且 ， .
【分析】根据题意，举出反例证明即可。
30．若a，b，c是 的三边的长，则化简 .
【答案】a+b+c
【解析】【解答】解：∵a，b，c是△ABC的三边，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
.
故答案为：a+b+c.
【分析】根据三角形的三边关系可得a31．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=12cm，BD=8cm，则点D到AB的距离为 cm．
【答案】4
【解析】【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E．
∵BC=12cm，BD=8cm，
∴CD=BC-BD=4(cm)．
又∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴DE=CD=4(cm)．
故答案为：4．
【分析】过点D作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质可得DE=CD，再利用线段的和差求出CD的长即可。
32．如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．
【答案】25或65
【解析】【解答】解：过点E作，延长，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设运动时间为t，则，，
当点P在点B的左侧时，如图所示：
，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
当点P在点B的右侧时，如图所示：
此时，，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒．
故答案为：25或65．
【分析】过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，根据题意，需分两种情况：①当点P在点B的左侧时，②当点P在点B的右侧时，分别画出图形，列出关于运动时间t的方程，解方程即可求解.
33．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，且S△ABC=8cm2 ，
则图中阴影部分△CEF的面积是 .
【答案】2cm2
【解析】【解答】解：如图，
∵D为BC中点
∴S△ABD= S△ACD= S△BCA，
∵E为AD的中点，
∴S△ABC：S△BCE=2：1，
同理可得，S△BCE：S△EFC=2：1，
∵S△ABC=8cm2，
∴S△EFC= S△ABC= ×8=2cm2.
故答案是：2cm2.
【分析】根据等底同高的三角形的面积相等得出S△ABD= S△ACD= S△BCA，S△ABC：S△BCE=2：1，S△BCE：S△EFC=2：1，从而得出S△EFC= S△ABC，代入即可算出答案.
34．如图，在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB和∠ACB的外角，DE=5，EF∥BC交AC于点D，则DF=
【答案】5
【解析】【解答】∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CF为外角∠ACG的平分线，如图，
∴∠ACF=∠GCF．
∵EF∥BC，
∴∠GCF=∠F，∠BCE=∠CEF．
∴∠ACE=∠CEF，∠F=∠DCF．
∴CD=ED，CD=DF（等角对等边）．
∴DE=DF，
∵DE=5，
∴DF=5．
故答案为：5.
【分析】分别根据角平分线的性质计算得到∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠GCF，根据直线平行的性质以及等角对等边的性质计算得到DF的长度即可。
35．命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是 命题（填“真”或“假”）
【答案】假
【解析】【解答】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题；
故答案为：假．
【分析】全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，因为面积相等的两个三角形的底、高不一定对应相等，然后结合全等三角形的判定定理进行判断.
36．如图，已知中，平分，于点，连接，则阴影部分的面积是 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E，
∵CD为∠ACB平分线，
∴∠ACD=∠ECD，
∵∠ACD=∠ECD，CD=CD，∠ADC=∠EDC，
∴△ACD≌△ECD(ASA)，
∴AD=ED，S△ACD=S△ECD，
∵△ABD与△BDE等底同高，
∴S△ABD=S△BDE，
∴S阴影=S△BDC=S△BDE÷2=4.
故答案为：4.
【分析】本题先作辅助线证明三角形ACD与三角形ECD全等，又因为三角形ABD与三角形BDE等底同高得面积相等，证明得阴影部分面积等于三角形BDC面积相等为三角形ABC面积一半.
37．如图，在直角三角形ABC中，，，，，则阴影部分的面积是 ．
【答案】56
【解析】【解答】解：连接BD、AE，
∵DE∥AB，
∴△AEB的面积=△ADB的面积，
∴BE·AC=AD·BC ，
∵，，，
∴AC=10，
∴7×10=4BC，
∴CB=17.5，
∴EC=BC-BE=10.5，
∴ 阴影部分的面积=△ABC的面积+△CDE的面积=×BC×AC-CE×CD=×17.5×10-×10.5×6=56.
故答案为：56.
【分析】连接BD、AE，由DE∥AB，根据同底等高可得△AEB的面积=△ADB的面积，据此求出BC、CE的长，再利用阴影部分的面积=△ABC的面积+△CDE的面积进行计算即可.
38．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长是 cm．
【答案】19
【解析】【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，
又∵△ABD的周长＝AB+BD+AD＝13cm，
∴AB+BD+CD＝13cm，
即AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm.
故答案为：19.
【分析】根据垂直平分线性质得AD＝CD，AC＝2AE＝6cm，结合周长的意义可得AB+BC=13cm，进而不难求出△ABC的周长.
39．如图，将一副直角三角板，按如图所示的方式摆放，则∠α的度数是 ．
【答案】75°
【解析】【解答】解：如图，
故答案为：
【分析】利用三角形外角的性质可得。
40．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3cm，则点D到AB边的距离为 .
【答案】3cm
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm.
故答案为：3cm.
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得CD＝DE=3cm.
41．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ABE绕点A顺时针旋转90°后，得到△ACF，连接DF，下列结论中：①∠DAF＝45°②△ABE≌△ACD③AD平分∠EDF④BE2+DC2＝DE2；正确的有 （填序号）
【答案】①③④
【解析】【解答】由旋转性质得△ABE≌△ACF，
所以∠BAE=∠CAF，
因为∠DAE=45°，∠BAC=90°，
所以∠BAE+∠CAD=45°，
所以∠CAF+∠DAC=45°，即∠DAF=45°，则①符合题意；
只有AB=AC，∠B=∠C，不能得到△ABE≌△ACD，则②不符合题意；
因为∠DAE=45°，∠DAF=45°，
所以AD平分∠EDF，则③符合题意；
易证△AED≌△AFD，所以DE=DF，
又△ABE≌△ACD，
所以BE=CF，∠ACF=∠B=45°，
所以∠DCF=90°，所以BE2+DC2=DE2，则④符合题意，
故答案①③④.
【分析】由旋转性质得△ABE≌△ACF，再根据三角形全等、三角形全等的判定判断各选项即可得出答案。
42．如图，已知 ， ，E在线段BC延长线上，AE平分∠BAD．连接DE，若∠ADC=2∠CDE，∠AED=60°，则∠CDE= ．
【答案】15°
【解析】【解答】解：设∠CDE=x°，则∠ADC=2x°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
设∠BAE=∠DAE=a°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴a+a+2x=180，
解得：a=90-x，
∵在△AED中，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°，
∴60+2x+x+90-x=180，
解得：x=15，
即∠CDE=15°，
故答案为：15°．
【分析】设∠CDE=x°，则∠ADC=2x°，∠BAE=∠DAE=a°，根据平行线的性质得出∠BAD+∠ADC=180°，求出a=90-x，根据三角形内角和定理求出60+2x+x+90-x=180，求出x即可．
43．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，其中点C，D，E在同一条直线上，连接BD，BE。以下四个结论：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④∠ACE=∠DBC正确的是
【答案】①②③
【解析】【解答】①根据SAS定理，可判断出△BAD≌△CAE（SAS），判断出BD=CE，结论正确
②△BAD≌△CAE，可得出∠ABD=∠ACE，∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，所以BD⊥CE，结论正确
③△ABC为等腰直角三角形，∠ABD=∠ACE，∠ACE+∠DBC=45°，结论正确
④因为∠ABC=∠ACE，所以只有当∠ABD=∠DBC时，结论才成立。
综上，正确的为①②③
【分析】根据全等三角形的判定定理和性质，可进行判断。
44．如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，其中 ， ，点 是 轴负半轴上一点，点 是在直线 与直线 之间的一点，连接 、 ， 平分 ， 平分 ， 交 于 ，则 与 之间可满足的数量关系式为 .
【答案】 或
【解析】【解答】解：①如下图，P在OB左侧时，∠BPO=2∠BNO，
理由如下：在△BPO中，
∵BC∥OA，BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴ ，
在△NOB中，∠BNO=180°-（∠NBP+∠NOP+∠PBO+∠POB），
，
，
，
，
∴ ；②如下图，P在OB右侧时， ，理由如下：
∵BC∥OA，
∴∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，
∵BN平分∠CBP，ON平分∠AOP，
∴ ，
∴ ，
在四边形BNOP中，
，
∴
故答案为： 或 .
【分析】分情况讨论：①点P在OB的左边时，根据三角形的内角和定理表示出∠PBO+∠POB的大小，再根据两直线平行、同旁内角互补和角平分线的定义表示出∠NBP+∠NOP，然后在△NBO中，利用三角形的内角和定理列式整理即可得到答案；②点P在OB的右边时，求出∠CBP+∠AOP+∠BPO=360°，再根据角平分线的定义表示出∠PBN+∠PON，利用四边形的内角和定理列式整理即可得到答案.
45．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号）
【答案】①②④⑤
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACE=∠DCB=120°，
在△ACE与△DCB中，
∴△ACE≌△DCB（SAS），故①符合题意；
在△DMP和△ACM中
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠DMP=∠AMC
∴∠DPA=∠DCA=60°，故②符合题意；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠BDC=∠EAC
又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD
在△ACM和△DCN中
∴△ACM≌△DCN（ASA）
∴AM=DN
又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，
则∠AMC＞∠ACM，
∴AC＞AM
∴AC＞DN，故③不符合题意；
由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN
又△ACE≌△DCB
∴AE=DB
∴EM=BN，故④符合题意；
∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BEC，
∴CD∥BE，故⑤符合题意．
故答案为：①②④⑤
【分析】①根据等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，利用“边角边”证明△ACE和△DCB全等；②通过△ACE和△DCB全等，可得到∠BDC=∠EAC，在△DMP和△ACM中，利用“8”字型可求得∠DPA=∠DCA=60°；③根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，则∠AMC＞∠ACM，所以AC＞AM，又可证得△ACM和△DCN全等，得到AM=DN，从而得到AC＞DN；④根据全等三角形对应边相等可得AM=DN，CM=CN，然后求出EM=BN；⑤△DAC和△EBC均是等边三角形，所以∠ACD=∠BCE=60°，可得到∠DCE=60°，所以∠DCE=∠BEC，再根据内错角相等，两直线平行可得CD∥BE．
46．三条直线l1，l2，l3相互交叉，交点分别为A，B，C，在平面内找一个点，使它到三条直线的距离相等，则这样的点共有 个．
【答案】4
【解析】【解答】解：作直线l1、l2、l3所围成的△ABC的外角平分线和内角平分线，
内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，
根据角平分线的性质可得，这4个点到三条直线的距离相等．
故答案为：4.
【分析】作直线l1、l2、l3所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，内角平分线相交于点P1，外角平分线相交于点P2、P3、P4，然后根据角平分线的性质进行判断．
47．如图，Rt△ABC中，∠C=90°．E为AB中点，D为AC上一点，BF∥AC交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5．则四边形FBCD周长的最小值是 ．
【答案】16
【解析】【解答】解：∵BF∥AC，
∴∠EBF＝∠EAD，
在△BFE和△ADE中，
，
∴△BFE≌△ADE（ASA），
∴BF＝AD，
∴BF＋FD＋CD＋BC＝AD＋CD＋FD＋BC＝AC＋BC＋FD＝11＋FD，
∴当FD⊥AC时，FD最短，此时FD＝BC＝5，
∴四边形FBCD周长的最小值为5＋11＝16，
故答案为：16.
【分析】先利用“ASA”证出△BFE≌△ADE，再利用全等三角形的性质可得BF＝AD，再利用线段的和差及等量代换可得BF＋CD＝AD＋CD＝AC＝6，从而可得FD最小即可，最后利用垂线段最短求解即可.
48．如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ．
【答案】10
【解析】【解答】，，，，
由图可得
即
即
当CD最小时，最大，
当CD⊥AB时，CD的长度最小，最小值为
的最大值为
故答案为：10.
【分析】根据得到整理得可得当CD⊥AB时，CD的长度最小，最大，利用面积法求得CD的值，从而求解.
49．如图，R△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F，P为CE中点，连结PF，若CP=2，S△BFP=15，则AB的长度为 。
【答案】15
【解析】【解答】解：如下图，过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，
∵P为CE中点，
设S△EFP=S△CFP=y，
∵BD是AC边上的中线，
设S△CDF=S△AFD=z，
∵S△BFP=15，
∴S△BCD=15+y+z，
∴S△ABC=2S△BCD=30+2y+2z，
∵S△ACE=S△ACF+S△CEF=2y+2z，
∴S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30.
∵AE是∠CAB的平分线，
∴EG=CE=2CP=4，
∴S△ABE=ABEG=30，
∴AB=15.
故答案为：15.
【分析】过点E作EG⊥AB于点G，连接CF，由P为CE中点，设S△EFP=S△CFP=y，根据BD是AC边上的中线，设S△CDF=S△AFD=z，根据三角形的面积的计算得到S△ABE=S△ABC-S△ACE=30+2y+2z-（2y+2z）=30. 再根据角平分线的性质得出EG=CE=2CP=4，进而得出答案.
50．甲、乙、丙、丁四个运动员参加比赛．
赛前，甲说：“我肯定最后一名．”
乙说：“我不可能是第一名，也不可能是最后一名．”
丙说：“我绝对不会是最后一名．”
丁说：“我肯定得第一名．”
赛后，发现他们4人的预测中只有一人是错误的．请判断 的预测是错误的．
【答案】丁
【解析】【解答】解：（1）假设甲的预测是错的，则乙、丙、丁的预测是对的，
因为甲不是最后一名，乙和丙也不是最后一名，而丁是第一名，
这样的话没有人是最后一名，这与事实相矛盾，所以甲的预测是对的，
当甲是最后一名时，则丙的预测也是对的，
（2）假设乙的预测是错的，则甲、丙、丁的预测都是对的，
此时有以下两种情况：①当乙是第一名时，而丁的预测是对的，丁也是第一名，则乙和丁相矛盾，②当乙是最后一名时，而甲是最后一名也是对的，则乙与甲相矛盾，所以乙的预测是对的，
由于赛后发现他们4人的预测中只有一人是错误的，因此丁的预测是错的.
故答案为：丁.
【分析】（1）假设甲的预测是错的，则乙、丙、丁的预测是对的，此时就没有人是最后一名，这与事实相矛盾，因此甲的预测是对的，此时丙的预测也是对的；（2）假设乙的预测是错的，则甲、丙、丁的预测都是对的，此时有以下两种情况：①当乙是第一名时，而丁的预测是对的，丁也是第一名，则乙和丁相矛盾，②当乙是最后一名时，而甲是最后一名也是对的，则乙与甲相矛盾，因此乙的预测是对的，然后再根据赛后发现他们4人的预测中只有一人是错误的可得出结论.
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