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【解答题强化训练·50道必刷题】八年级上册第1章 三角形
1．如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
2． 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连结BE，AD交于点F.
（1）图中共有多少个以AB为边的三角形 并把它们表示出来；
（2）除△ABF外，以F为顶点的三角形还有哪些
3．图中的两个三角形有几对相等的角 这两个三角形全等吗 请说明理由。
4． 如图， 在△ABC 中， ∠BAC 是直角， AD⊥BC， 垂足为D， 点E 在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
5．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，，求和的度数．
6．在中，于点，且，在上取一点，使连接，．
（1）求证：；
（2）猜想和的位置关系，并说明理由．
7．如图，CE是 ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，AF是△ABC的高，∠B＝30°，∠E＝40°，求∠ECD和∠FAC的度数．
8．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，点D，E，F分别在AC，AB，BC 上，长方形 CDEF 中DE：EF=2：5，求 DE 的长.
9．如图所示，已知，，.
（1）求证：；
（2）判断AB和EF的位置关系并说明理由.
10．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. △ABC的面积为70，AB=16，BC=12. 求DE的长。
11．如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B=44°，C=76°，求∠DAE的度数．
12．如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
13．如图，EA=EB，ED=EC，∠AEB=∠DEC．
（1）求证：AD=BC．
（2）连结DC，求证：∠ADE=∠DCE+∠BCD．
14．如图，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD= ∠CBD．请说明理由：
解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC= ▲ ，▲ =BD．.
在△ACD和△BCD中，
. ▲ =BC，
AD= ▲，
CD=CD，
∴△ACD≌▲ （ ） .
∴∠CAD=∠CBD（ ）
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）证明：FC=AD．
（2）若AB= BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？
（3）在(2)的条件下，若EC⊥BF，EC=3，则点E到AB的距离为
16．如图在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）当点D在AC上时，如图（1），求证：BD=CE．
（2）将图（1）中的△ADE绕点A顺时针旋转ɑ角（0<ɑ<90°），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
17．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在BD的中点C处有一棵树，小红想测量A，B间的距离.于是她从A点出发，沿AC走到点E(点A，C，E在同一条直线上)，使CE=CA，量出点E到水房D的距离就是A，B两点之间的距离.
（1）请说明小红这样做的理由；
（2）若CD=100 m，AC=60 m.请确定线段AB长度的取值范围.
18．如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
19．为了证明“三角形的内角和等于 180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法.请回答下列问题：
（1）能证明“三角形的内角和等于180°”的方法是 (填序号)；
（2）在(1)的正确方法中，任选一种方法进行证明.
20．将下面的证明过程补充完整，括号内写上相应理由或依据：
已知，如图，CD⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG＝180°
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）
∴∠BFE＝∠BDC＝90°（ ）
∴EF∥ ▲ （ ）
∴∠BEF＝ ▲ （ ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥ ▲ （ ）
∴∠CDG＝ ▲ （ ）
∴∠CDG＝∠BEF（ ）
21．证明：三角形内角和定理.
22．如图，王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC ，∠ACB=900 ），点 C 在 DE 上，点 A 和 B 分别与木墙的顶端重合.
（1）求证：△ADC≌△CEB
（2）求两堵木墙之间的距离。
23．如图，点、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）若，求的大小．
24．如图，已知，，平分，平分，求的度数.
25．已知△ABC中，，，求△ABC各个内角的度数．
26．如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．
27．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
28．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若的面积为60，，求的长；
（2）若，，求的度数．
29．如图，已知分别为上的点，相交于点．
（1）证明：；
（2）求证：．
30．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
如图①，的三个内角分别为．将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．
理由：由操作可知，所以（ ）．
同理，，
所以 ∥ ．
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上，
所以 ，
即 + = ．
31．如图：已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
32．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
33．如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于点F，交的平行线于点G，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）请你判断与的大小关系，并说明理由．
34．已知，如图AB//CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠EAB＝31°，∠EGD＝70°，则∠AEG是多少度？
35．如图， 两处是灯塔，船只在C处，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角 的度数．
36．如图，已知 是 的平分线，求 的度数。
37．如图，已知A、B、B、D，四点在同一直线上，AB=CD，∠A=∠B，请你填一个直接条件，_▲_，使 ，并说明理由.
38．如图，中，平分，求的度数
39．如图，在中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，，连接CF．若，当时，求∠ACF的度数．
40．如图，在△ABC中，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，且∠BEC=27°，求∠BAC的度数．
41．如图，在 ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，求∠BFD的度数．
42．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
43．如图，AB，CD，BE，CF被BC所截．在下面三个论断中，请选择其中的两个作为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并用推理的方法说明它是真命题．
①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF ；③∠ABE=∠DCF．
条件：
结论：
推理过程：
44．如图，直线与直线、分别交于点、，与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：；
（3）如图，在的条件下，连接，是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
45．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°．
（1）如图①，点P在线段DA上，连接CP，若∠ADC＝135°，且∠BCP：∠PCD＝3：2，求∠DPC度数；
（2）如图②，AD＝AB＝8，BC＝16，点P，Q分别在线段DA，AB上，连接CP，CQ，PD＝2AQ且满足S△DCP＝S四边形APCQ，求AQ的长；
（3）点P，Q分别在线段DA，AB的延长线上，点M在线段BQ上，∠QPM＝k∠APQ，∠QCM＝k∠BCM，且∠APQ+∠BCM＝100°，∠PMC﹣∠PQC＝40°，请补全图形并求出k的值．
46． 如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③．
（1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件．另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ．结论是 （填写序号）；
（2）证明上述命题．
47． 如图，OM是的平分线，ON是的平分线.
（1）如图1，当，时，的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当，时， （直接写出结果）.
（3）如图3，当，时，猜想： （直接写出结果）.
48．如图，在等腰中，，，点为线段AB上一动点（不与点B重合），且．
（1）连接BF交AC于点，设．
①当时，如图1，则 ▲ ．
②当时，如图2，若，求MC的长．
（2）如图3，作交CA的延长线于点，交BC于点，连接PQ，求证：．
49．已知，AB∥CD，点F 在 AB上，过点F 引射线FM，交 CD 于点G，E 为射线 FG 上一点，连结DE，AE.
（1）如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数.
（2）如图2，当点E在射线GM 上时，CD与AE 相交于点 H，则∠AED，∠EAF，∠EDG 之间满足怎样的关系？ 请说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，I是∠EDC平分线上一点，连结 DI 交 AE 于点 K，连结 AI，若∠EAI：∠BAI= 1 ： 2，∠AED=22°，∠I =20°，求∠EKD的度数
50．已知： ， ， 平分 ．求： 的度数．
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【解答题强化训练·50道必刷题】八年级上册第1章 三角形
1．如图，在中，点，在边上，点在边上，，点在边上，且．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
（2）解：，，
，
平分，
，
由（1）知，
．
【解析】【分析】 （1）根据平行线的性质得出∠2+∠FCD=180°，求出∠1=∠FCD，根据平行线的判定得出DH∥AC，根据平行线的性质得出即可；
（2）根据角平分线的定义以及平行线的性质解答即可．
2． 如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，连结BE，AD交于点F.
（1）图中共有多少个以AB为边的三角形 并把它们表示出来；
（2）除△ABF外，以F为顶点的三角形还有哪些
【答案】（1）解：4个，△ABF，△ABD，△ABE，△ABC
（2）解：△BDF，△AEF
【解析】【分析】⑴根据三角形定义，观察图像找出以AB为边的三角形即可.
⑵根据三角形定义，观察图像找出以F为顶点的三角形即可.
3．图中的两个三角形有几对相等的角 这两个三角形全等吗 请说明理由。
【答案】解：如图，
，
，
，
，
，
.
【解析】【分析】利用三角形的内角和定理求得的度数，进而证得，再根据已知条件通过ASA判定.
4． 如图， 在△ABC 中， ∠BAC 是直角， AD⊥BC， 垂足为D， 点E 在线段BD上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
【答案】解：锐角三角形：△AEC
直角三角形：△ADE，△ADB，△ADC，△ABC
钝角三角形：△ABE
【解析】【分析】根据三角形的分类即可求出答案.
5．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，，求和的度数．
【答案】解：如图，
∵是是高，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据是的高得，由三角形的内角和可求得，，从而可求得，再根据是的平分线，得，再根据三角形的内角和得.
6．在中，于点，且，在上取一点，使连接，．
（1）求证：；
（2）猜想和的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
在和中，
，
≌，
；
（2）解：，理由如下：
如图，延长交于，
≌，
，
，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）由已知条件利用SAS证明△ABE≡△CBF，即可得AE=CF
（2）延长AE交FC与M，由△ABE≡△CBF，得∠AEB=∠AFM，因为∠AEB+∠BAE=90°，可得∠AFM+∠BAE=90°，即∠AMF=90°，即可得AE⊥CF。
7．如图，CE是 ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E，AF是△ABC的高，∠B＝30°，∠E＝40°，求∠ECD和∠FAC的度数．
【答案】解：∠ECD=∠B＋∠E=30°＋40°=70°，
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴∠ACD=2∠ECD=140°，
∴∠ACF=180°-∠ACD=40°，
∵AF是△ABC的高，
∴∠AFC=90°，
∴∠FAC=90°-∠ACF=50°．
【解析】【分析】根据三角形的外角以及角平分线的性质，计算得到答案即可。
8．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，点D，E，F分别在AC，AB，BC 上，长方形 CDEF 中DE：EF=2：5，求 DE 的长.
【答案】解：如图，连结CE，
设DE=2x，则 EF=5x， 则
∴x=0.75，DE=1.5.
【解析】【分析】 利用比例巧设. 再根据面积关系“算两次”列出方程.
9．如图所示，已知，，.
（1）求证：；
（2）判断AB和EF的位置关系并说明理由.
【答案】（1）证明：∵；∴；
∵；
∴；
即，；
∵
在和中；
；
∴．
（2）解：
【解析】【解答】（2）证明：∵；
∴；
∴．
【分析】（1）先根据线段的和差关系得出AC=DF，根据平行线得∠BCD=∠EDF，再根据证全等即可；
（2）根据全等三角形的性质可得，根据平行线的判定可得．
10．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. △ABC的面积为70，AB=16，BC=12. 求DE的长。
【答案】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=DF，
S△ABC= ×16 DE+ ×12 DF=70，
所以，14DE=70，
解得DE=5.
【解析】【分析】过点D作DF⊥BC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．
11．如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B=44°，C=76°，求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B=44°，∠C=76°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠EAC= ∠BAC=30°，
∵AD是高，∠C=76°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=14°，
∴∠DAE=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣14°=16°
【解析】【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再根据三角形的角平分线的定义求出∠EAC的度数；然后根据三角形的高线的定义以及三角形内角和定理求出∠DAC的度数，则∠DAE=∠EAC-∠DAC.
12．如图所示，已知，，，且，，，在同一条直线上．
（1）求证：；
（2）若，，求的长度．
【答案】（1）证明：，
，
即，
，，
∴△ABE≌△DCF（SSS），
，
；
（2）解：，，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据SSS证明△ABE≌△DCF，得出∠B=∠C，再根据平行线的判定得出AB∥CD，即可得出结论；
（2）根据BC=10，EF=7，求出CE＝BF＝1.5，最后根据BE=BC-CE求出结果即可．
13．如图，EA=EB，ED=EC，∠AEB=∠DEC．
（1）求证：AD=BC．
（2）连结DC，求证：∠ADE=∠DCE+∠BCD．
【答案】（1）证明：∵∠AEB=∠DEC，∠DEB=∠DEB，
∴∠AED=∠BEC，
又∵EA=BE，ED=EC，
∴△AED≌△BEC(SAS)，
∴AD=BC.
（2）证明：∵△AED≌△BEC，
∴∠ADE=∠BCE，
∵∠BCE=∠BCD+∠DCE，
∴∠ADE=∠DCE+∠BCD.
【解析】【分析】（1）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证△AED≌△BEC，根据全等三角形的对应边相等即可得出AD=BC；
（2）由全等三角形的对应角相等可得∠ADE=∠BCE，结合题意即可得出∠ADE=∠CDE+∠BCD.
14．如图，CD是线段AB的垂直平分线，则∠CAD= ∠CBD．请说明理由：
解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC= ▲ ，▲ =BD．.
在△ACD和△BCD中，
. ▲ =BC，
AD= ▲，
CD=CD，
∴△ACD≌▲ （ ） .
∴∠CAD=∠CBD（ ）
【答案】解：∵CD是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，AD=BD
在△ACD和△BCD中，
∴△ACD≌△BCD（边边边）
∴∠CAD=∠CBD（全等三角形对应角相等）
【解析】【分析】由垂直平分线的性质可得AC=BC，AD=BD，在△ACD和△BCD中，利用“边边边”判定全等，可得∠CAD=∠CBD.
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE，BE，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）证明：FC=AD．
（2）若AB= BC+AD，则BE⊥AF吗？为什么？
（3）在(2)的条件下，若EC⊥BF，EC=3，则点E到AB的距离为
【答案】（1）证明：，
.
是CD的中点，
.
在与中，
，
；
（2）解：.理由如下：
由(1)知，
.
，
，
即。
.又，
，
，
.
（3）3
【解析】【解答】解：（3）过E作于H，
由（2）得：，∴，
又， EC⊥BF ，
∴，
即点E到AB的距离为3.
故答案为：3.
【分析】(1)由 AD∥BC，得，再根据E为CD的中点，推出，即可得解；
（2）由(1)知，由全等三角形的性质推出，可得，即可得解；
（3）过E作于H，由（2）得，根据角平分线的性质即可得解.
16．如图在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）当点D在AC上时，如图（1），求证：BD=CE．
（2）将图（1）中的△ADE绕点A顺时针旋转ɑ角（0<ɑ<90°），如图（2），线段BD、CE仍相等吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
（2）解：结论：BD=CE
证明：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ADB和△ACE中
∴△ABD≌△AEC（SAS），
∴BD=CE
【解析】【分析】（1）首先通过全等三角形的判定AAS证明，可得到BD=CE.
（2）首先通过等量代换得出∠BAD=∠CAE，再运用全等三角形的判定SAS证明，可得BD=CE.
17．如图所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，在池塘旁边有一水房D，在BD的中点C处有一棵树，小红想测量A，B间的距离.于是她从A点出发，沿AC走到点E(点A，C，E在同一条直线上)，使CE=CA，量出点E到水房D的距离就是A，B两点之间的距离.
（1）请说明小红这样做的理由；
（2）若CD=100 m，AC=60 m.请确定线段AB长度的取值范围.
【答案】（1）因为C为BD中点，所以DC=BC.
在△BCA和△DCE中，
所以△BCA≌△DCE(SAS).所以AB=DE.
所以DE的长度就是A，B两点之间的距离.
（2）由题意，得CD=100 m，AC=60 m.因为DC=BC，所以BC=100 m.
所以BC-AC
所以40 m【解析】【分析】（1）根据已知条件与几何直观证明两三角形全等，利用全等性质即可；
（2）结合(1)中全等性质进行条件聚集，进一步利用三角形三边关系即可得出范围.
18．如图，小强学习全等三角形后，用10块高度都是5cm的相同长方体积木，搭了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
【答案】解：由图可得，
∠ACB＝90°，
∠ACD+∠BCE＝90°
又∠ACD+∠CAD＝90°
∠CAD＝∠BCE
在 和 中，
AD=CE=3×5=15cm
BE=CD=7×5=35cm
DE=CD+CE=35+15=50cm
答：两堵木墙之间的距离是50cm．
【解析】【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再利用AAS证明 ，利用全等三角形对应边相等得出AD=CE，BE=CD，最后根据线段的和差进行解答．
19．为了证明“三角形的内角和等于 180°”，林老师给出了如图所示四种作辅助线的方法.请回答下列问题：
（1）能证明“三角形的内角和等于180°”的方法是 (填序号)；
（2）在(1)的正确方法中，任选一种方法进行证明.
【答案】（1）①②③
（2）解：当选择方法①时，
证明：如解图，
∵EF∥AB，
∴∠1=∠A，∠3=∠B，
∵∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠A+∠2+∠B=180°，
∴三角形的内角和为 180°.
当选择方法②时，
证明：∵CE∥AB，
∴∠A=∠FCE，∠ECB=∠B，
∵∠FCE+∠ECB+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴三角形的内角和为 180°.
当选择方法③时，
证明：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴ ∠A =∠FDB，∠B =∠EDA，∠FDE = ∠AED=∠C，
∵∠FDB+∠FDE+∠EDA=180°，
∴∠A+∠C+∠B=180°，
∴三角形的内角和为180°.
【解析】【分析】方法①②③通过添加辅助线，均可以把三角形的三个内角归纳在一个平角之内，故而可得出“三角形的内角和等于180°”。
20．将下面的证明过程补充完整，括号内写上相应理由或依据：
已知，如图，CD⊥AB，垂足分别为D、F，∠B+∠BDG＝180°
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知）
∴∠BFE＝∠BDC＝90°（ ）
∴EF∥ ▲ （ ）
∴∠BEF＝ ▲ （ ）
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥ ▲ （ ）
∴∠CDG＝ ▲ （ ）
∴∠CDG＝∠BEF（ ）
【答案】证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB（已知），
∴∠BFE＝∠BDC＝90°（垂直定义），
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
又∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠CDG＝∠BEF（等量代换），
故答案为：垂直定义，CD，两直线平行，
两直线平行，同位角相等，同旁内角互补，∠BCD，内错角相等．
【解析】【分析】 根据垂直定义和平行线的判定得出EF∥CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠BCD，根据平行线的判定得出BC∥DG，根据平行线的性质得出∠CDG=∠BCD．
21．证明：三角形内角和定理.
【答案】解：如图，已知△ABC，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
证明：如图，过点A作EF∥BC，
∵EF∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，
∵∠1＋∠2＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
即三角形内角和等于180°.
【解析】【分析】根据题设和结论画出图形，同时写出已知求证；再进行证明， 过点A作EF∥BC， 利用平行线的性质，易证∠1＝∠B，∠2＝∠C，然后利用平角的定义及等量代换可证得结论。
22．如图，王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC ，∠ACB=900 ），点 C 在 DE 上，点 A 和 B 分别与木墙的顶端重合.
（1）求证：△ADC≌△CEB
（2）求两堵木墙之间的距离。
【答案】（1）证明：
在 和 中
所以△ADC≌△CEB（AAS）
（2）解：
（cm）
【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定和性质.
（1）由题意可知：∠ACB=90°，∠ADC=90°，由直角三角形两锐角互余可知，在Rt△ADC中，∠DAC+∠ACD=90°，由平角的定义：∠ACD+∠ACB+∠BCE=180°可得∠ACD+∠BCE=90°，由同角的余角相等可得：∠DAC=∠BCE，由图可知∠ADC=∠BEC=90°和AC=BC，利用AAS可证得△ADC≌△BCE即得证.
（2）由全等三角形的性质：全等三角形对应边相等，由（1）△ADC≌△BCE可得：AD=CE=2×3=6，DC=BE=2×7=14，则DE=DC+CE=20即可得出答案.
23．如图，点、、、在一条直线上，，，．
（1）求证：≌；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌
（2）解：≌，
，
，
【解析】【分析】（1）根据直线平行性质及全等三角形的判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质及直线平行性质即可求出答案.
24．如图，已知，，平分，平分，求的度数.
【答案】解：因为平分，平分，
所以，.
所以.
【解析】【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据即可求出答案.
25．已知△ABC中，，，求△ABC各个内角的度数．
【答案】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B＝2∠A，∠C＝∠A+20°
∴∠A+2∠A+∠A+20°＝180°．
∴4∠A＝160°．
∴∠A＝40°．
∴∠B＝2∠A＝80°，
∠C＝∠A+20°＝60°
【解析】【分析】利用三角形内角和等于180度，然后等量代换把角B和角C都用含角A的式子替换，从而得到角A的一元一次方程，求得角A；进而求得角B和角C的值。
26．如图，在中，是边上的高，平分，若，，求的度数．
【答案】解：是边上的高，
，
，
，
，
平分，
，
【解析】【分析】首先在中，根据两锐角互余，即可求得∠ACD=90°-20°=70°，然后在ABC中，根据三角形的内角和可求得∠BAC=60°，再根据角平分线的定义得出∠ACE=35°，即可在ACE中，根据三角形内角和定理求得∠AEC的度数为85°。
27．如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．
（1）求证：△BDE≌△CDF；
（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．
【答案】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∵BE∥CF，
∴∠DBE＝∠DCF，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）；
（2）解：∵AE＝13，AF＝7，
∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，
∵△BDE≌△CDF，
∴DE＝DF，
∵DE+DF＝EF＝6，
∴DE＝3．
【解析】【分析】（1）由 AD是BC边上的中线得BD=CD，根据两直线平行，内错角相等可得∠DBE＝∠DCF ，又因为 ∠BDE＝∠CDF，由“ASA”可判定△BDE≌△CDF .
(2)由 AE＝13，AF＝7 ，得 EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6 .由（1）可知 △BDE≌△CDF ，所以 DE＝DF =EF=3.
28．如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．
（1）若的面积为60，，求的长；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：是的中线，，
，
是的高，的面积为60，
，
（2）解：在中，为它的一个外角，且，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
．
【解析】【分析】本题考查三角形面积公式、外角性质。内角和定理及角平分线定义.
（1）利用中线性质求出BC的长度，再结合三角形面积公式求解高AF；
（2）先通过三角形外角性质和角平分线定义求出，再结合高的性质，利用内角和定理求出．
（1）解：是的中线，，
，
是的高，的面积为60，
，
．
（2）解：在中，为它的一个外角，且，，
，
是的角平分线，
，
是的高，
．
．
29．如图，已知分别为上的点，相交于点．
（1）证明：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：在和中，
（2）证明：
在和中
【解析】【分析】（1）直接根据已知条件，用证明即可；
（2）全等三角形的性质可得，等量代换得出，即可证明，根据全等三角形的性质即可得出．
30．数学课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和等于．下面是小彬的课堂笔记，请阅读操作方法，补全说理过程．
如图①，的三个内角分别为．将和撕下，按图②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与AB重合，的一边与AC重合．
理由：由操作可知，所以（ ）．
同理，，
所以 ∥ ．
因为经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，所以点D，A，E在同一直线上，
所以 ，
即 + = ．
【答案】内错角相等，两直线平行；；；180；；；
【解析】【分析】根据平行线的性质和平角的定义即可求解.
31．如图：已知，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：，，
，
，，
，
，
；
（2）解：，
，，
，
，
．
【解析】【分析】（1）利用邻补角的定义求出∠AFB、∠FDE的度数，可证得∠AFB=∠FDE，然后利用同位角相等，两直线平行，可证得结论.
（2）利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再利用平行线的性质可求出∠C的度数.
32．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
【答案】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴
【解析】【分析】（1）根据题意可得，即可根据证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；
（2）易得，根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得出，最后根据全等三角形对应角相等，即可得出∠CDA的度数．
33．如图，在中，D是的中点，过点D的直线交于点F，交的平行线于点G，交于点E，连接．
（1）求证：；
（2）请你判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
．
∵D为的中点，
∴．
在和中，
，
．
（2）解：．
证明：，
．
又，
．
在与中，
，
，
，
∵在中，，
．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再利用中点的性质可得，再利用“ASA”证出即可；
（2）先利用“SAS”证出，可得EG=EF，再利用三角形三边的关系及等量代换可得.
34．已知，如图AB//CD，EG与AB，CD分别交于F，G，∠EAB＝31°，∠EGD＝70°，则∠AEG是多少度？
【答案】解：∵AB∥CD，∠EAB=31°，∠EGD=70°，
∴∠AFG=∠EGD=70°．
∵∠AFG是△AEF的外角，
∴∠AEG=∠AFG-∠EAB=70°-31°=39°．
【解析】【分析】要求∠AEG的度数，只需根据平行线的性质求得∠AFG的度数，利用三角形的外角的性质就可求解．
35．如图， 两处是灯塔，船只在C处，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，求船只与两灯塔的视角 的度数．
【答案】解：如图，
根据方向角的定义，可得∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°．
∵∠BAE=45°，∠EAC=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°．
∵AE，DB是正南正北方向，
∴BD∥AE，
∵∠DBA=∠BAE=45°，
又∵∠DBC=80°，
∴∠ABC=80°-45°=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．
【解析】【分析】在图中北指向的方向上取一点D，南指向的方向上取一点E，分析题意可得 ∠BAE=45°，∠CAE=15°，∠DBC=80°；观察图形可得∠BAC=∠BAE+∠EAC，即可得出∠BAC的度数；因为AE是正南方向、BD是正北方向，即可得出BD∥AE，根据平行线的性质可得出 ∠DBA=∠BAE，进而可得出 ∠ABC的度数 ，最后根据三角形的内角和即可得出∠ACB的度数.
36．如图，已知 是 的平分线，求 的度数。
【答案】解：∵ ，
，
是 的平分线，
.
【解析】【分析】先求出∠AOM的度数，再根据OB是 的平分线求出∠AOB，即可得到 的度数.
37．如图，已知A、B、B、D，四点在同一直线上，AB=CD，∠A=∠B，请你填一个直接条件，_▲_，使 ，并说明理由.
【答案】解：添加的条件是AF=DE，理由如下：
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=DB，
在△AFC和△DEB中，
∴
【解析】【分析】 添加的条件是AF=DE，先根据线段之和证出AC=DB， 再根据SAS定理即可证出 AFC≌ DEB.
38．如图，中，平分，求的度数
【答案】解：∵，
∴.
∵平分，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴．
答：的度数是．
【解析】【分析】先利用角的运算求出∠BAC的度数，再利用角平分线的定义可得，再结合，利用角的运算求出即可．
39．如图，在中，BD平分∠ABC，E是BC的中点，，连接CF．若，当时，求∠ACF的度数．
【答案】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠CBD=∠ABD=∠CFD=26°，
∴在△ABC中，
∠ACF=180°-∠A-∠ABC-∠BCF
=180°-70°-26°×2-26°
=32°．
【解析】【分析】先求出∠FCB=∠CBD=∠ABD=∠CFD=26°，再利用三角形的内角和求出∠ACF的度数即可。
40．如图，在△ABC中，BE平分∠ABD，CE平分∠ACD，且∠BEC=27°，求∠BAC的度数．
【答案】解：∵∠ABC与∠ACD的角平分线相交于点E，
∴∠CBE= ∠ABC，∠ECD= ∠ACD，
由三角形的外角性质得，∠ACD=∠ABC+∠BAC，
∠ECD=∠BEC+∠CBE，
∴ ∠ACD=∠BEC+ ∠ABC，
∴ （∠ABC+∠BAC）=∠BEC+ ∠ABC，
整理得，∠BAC=2∠BEC，
∵∠BEC=27°，
∴∠BAC=2×27°=54°．
【解析】【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到∠BAC=2∠BEC即可得到结论．
41．如图，在 ABCD中，G是CD上一点，连接BG且延长交AD的延长线于点E，AF=CG，∠E=30°，∠C=50°，求∠BFD的度数．
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=50 ，
∴∠A=∠C=50 ，∠ABC=180 ﹣∠C=130 ，AD=BC．
∵∠E=30 ，
∴∠ABE=180 ﹣∠A﹣∠E=100 ，
∴∠CBG=30 ，
在△BCG和△DAF中，
∵ ，
∴△BCG≌△DAF（SAS），
∴∠CBG=∠ADF=30 ，
则∠BFD=∠A+∠ADF=80 ．
【解析】【分析】先根据平行四边形的性质和三角形的内角和定理求出∠ABC与∠ABE度数，据此得出∠CBG度数，再证△BCG≌△DAF得出∠ADF＝∠CBG，继而由三角形外角性质可得答案．
42．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．
【答案】证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABD≌△CBD，再利用全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线的性质可得PM=PN。
43．如图，AB，CD，BE，CF被BC所截．在下面三个论断中，请选择其中的两个作为条件，另一个为结论，组成一个真命题，并用推理的方法说明它是真命题．
①AB⊥BC，CD⊥BC；②BE∥CF ；③∠ABE=∠DCF．
条件：
结论：
推理过程：
【答案】解： 条件①②，结论③ .
推理过程： ∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD，
又 BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB.
∴∠ABC-∠EBC=∠BCD-∠FCB，即∠ABE=∠DCF；
条件①③，结论② .
推理过程： ∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠ABE=∠DCF，
∴∠ABC-∠ABE=∠BCD-∠DCF，即∠EBC=∠FCB.
∴ BE∥CF.
【解析】【分析】当条件①②，结论③时，利用垂直的意义，可得∠ABC=∠BCD，利用平行线的性质，可得∠ABC=∠BCD，两式相减，可得∠ABE=∠DCF；
当 条件①③，结论② 时，同上可证明∠ABC=∠BCD，结合 ∠ABE=∠DCF ，将两式相减，可得∠EBC=∠FCB，可利用平行线的判定判定BE∥CF.
44．如图，直线与直线、分别交于点、，与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图，与的角平分线交于点，与交于点，点是上一点，且，求证：；
（3）如图，在的条件下，连接，是上一点，使，作平分，问的大小是否发生变化，若不变，请求出其值；若变化，说明理由．
【答案】（1）解：如图，，
与互补，
．
又，，
，
；
（2）证明：如图，由知，，
．
又与的角平分线交于点，
，
，即．
，
；
（3）解：的大小不会发生变化，理由如下：
平分
的大小不会发生变化，其值为．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，再结合，， 可得，即可证出；
（2）利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义求出，即，再结合，即可证出；
（3）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出，从而得解.
45．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°．
（1）如图①，点P在线段DA上，连接CP，若∠ADC＝135°，且∠BCP：∠PCD＝3：2，求∠DPC度数；
（2）如图②，AD＝AB＝8，BC＝16，点P，Q分别在线段DA，AB上，连接CP，CQ，PD＝2AQ且满足S△DCP＝S四边形APCQ，求AQ的长；
（3）点P，Q分别在线段DA，AB的延长线上，点M在线段BQ上，∠QPM＝k∠APQ，∠QCM＝k∠BCM，且∠APQ+∠BCM＝100°，∠PMC﹣∠PQC＝40°，请补全图形并求出k的值．
【答案】（1）解：∵∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABC+∠ABC＝180°，
∴AD∥CB，
∴∠DCB＝180°﹣135°＝45°，
∵∠BCP：∠PCD＝3：2，
∴∠PCD＝∠DCB＝18°，
∴∠DPC＝180°﹣135°﹣18°＝27°；
（2）解：设AQ＝x，则BQ＝8﹣x，PD＝2x，
∵S△DCP＝S四边形APCQ，
∴×2x×8＝×[×（8+16）×8﹣×16×（8﹣x）﹣×2x×8]，
解得x＝2，
∴AQ＝2；
（3）解：如图③中，设∠APQ＝x，∠BCM＝y，则∠QPM＝kx，∠QCM＝ky，
∵∠APQ+∠BCM＝100°，
∴x+y＝100°，
∵∠CMP+∠MPQ＝∠PQC+∠MCQ，
∴∠CMP﹣∠PQC＝∠MCQ+∠MPQ＝ky+kx＝40°，
∴k＝．
【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠DCB＝45°，再利用三角形内角和即可求解；
（2）设AQ＝x，则BQ＝8﹣x，PD＝2x，根据S△DCP＝S四边形APCQ建立方程并解之即可；
（3）设∠APQ＝x，∠BCM＝y，则∠QPM＝kx，∠QCM＝ky，x+y＝100°，根据三角形外角的性质可得∠CMP﹣∠PQC＝∠MCQ+∠MPQ＝ky+kx＝40°，继而求解.
46． 如图，在三角形中，D，E是上的点，F是上一点，H，G是上的点，于点D，连接，，．给定三个条件：①，②，③．
（1）请在上述三个条件中选择其中两个作为已知条件．另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ．结论是 （填写序号）；
（2）证明上述命题．
【答案】（1）①②；③
（2）解：若选择的条件是①②，结论是③，
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
过点作，则，
∴，，
∵，
∴；
若选择的条件是①③，结论是②，
证明：∵，，
∴，
∴，
过点作，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴；
若选择的条件是②③，结论是①，
证明：过点作，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【解答】解：（1）开放性命题，答案不唯一；
在①EG⊥AB，②，③． 上述三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，选择的条件是①②，结论是③；
故答案为：①②；③；
【分析】（1）从①②③三个条件中选择其中两个作为已知条件，另一个作为结论，共有三种不同的选法，分别是条件是①②，结论是③；条件是①③，结论是②；条件是②③，结论是①；然后再判断出每一个命题的真假，即可得出答案；
（2）若选择的条件是①②，结论是③：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，得EG∥DF，由二直线平行，内错角相等，得∠GEF=∠DFE，结合，由等量加等量和相等推出∠BFE=∠HEF，由内错角相等，两直线平行，得EH∥BC；过点G作GM∥BC，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥BC∥EH，由平行线的性质得∠EGM=，∠HGM=∠C，进而根据角的构成、等量代换即可得出结论；若选择的条件是①③，结论是②：由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，得EG∥DF，由二直线平行，内错角相等，得∠GEF=∠DFE，过点G作GM∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠HGM=∠C，结合已知及角的构成可推出∠EGM=，由内错角相等，两直线平行，得EH∥GM，进而由平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥BC∥EH，由二直线平行，内错角相等，得∠HEF=∠BFE，然后根据等式的性质及角的构成可推出；若选择的条件是②③，结论是①：过点G作GM∥BC，由二直线平行，同位角相等，得∠HGM=∠C，结合已知及角的构成可推出∠EGM=，由内错角相等，两直线平行，得EH∥GM，进而由平行于同一直线的两条直线互相平行，得GM∥BC∥EH，由二直线平行，内错角相等，得∠HEF=∠BFE，然后根据等式的性质及角的构成可推出∠GEF=∠DFE，由内错角相等，两直线平行，得EG∥DF，最后根据平行线的性质及垂直的定义可得EG⊥AB.
47． 如图，OM是的平分线，ON是的平分线.
（1）如图1，当，时，的度数是多少？为什么？
（2）如图2，当，时， （直接写出结果）.
（3）如图3，当，时，猜想： （直接写出结果）.
【答案】（1）解：如图1，，，
，
平分，ON平分，
，
.
（2）
（3）
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴
∵OM是的平分线，ON是的平分线
∴
∴
故答案为：35°
（3）∵，
∴
∵OM是的平分线，ON是的平分线
∴
∴
个答案为：
【分析】（1）根据角之间的关系求出，再根据角平分线性质求出，再根据即可求出答案；
（2）根据角之间的关系求出，再根据角平分线性质求出，再根据即可求出答案；
（3）根据角之间的关系求出，再根据角平分线性质求出，再根据即可求出答案.
48．如图，在等腰中，，，点为线段AB上一动点（不与点B重合），且．
（1）连接BF交AC于点，设．
①当时，如图1，则 ▲ ．
②当时，如图2，若，求MC的长．
（2）如图3，作交CA的延长线于点，交BC于点，连接PQ，求证：．
【答案】（1）解：①△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CE⊥CF，CE=CF，
∴AB=AC=CE=CF，∠BAM=∠FCM=90°，
在△ABM与△CFM中，
，
∴△ABM≌△CFM（AAS），
∴BM=MF，
∴，
故答案为：1；
②过点F作FN⊥AC于N，如图：
设BE=4a，则AB=9a，AE=AB-BE=5a，
又∵∠A=90°，CE⊥CF，
∴∠FNC=∠CAE=90°，∠ACE+∠AEC=90°，∠ACE+∠ACF=90°，
∴∠AEC=∠NCF，
在△ACE和△NFC中，
，
∴△ACE≌△NFC（AAS），
∴CN=AE=5a，FN=AC=AB=9a，
∴AN=9a-5a=4a，
在△ABM和△FNM中，
，
∴△ABM≌△FNM（AAS），
∴AM=NM=2a，
∴MC=7a，
∵AB=9a=18，
∴a=2，
∴MC=7a=14.
（2）证明：在FP上截取FG=EQ，连接CG、PQ，如图：
在△CFG和△CEQ中，
，
∴△CFG≌△CEQ（SAS），
∴∠FCG=∠ECQ，CG=CQ，
∵∠FCG+∠GCE=90°，
∴∠ECQ+∠GCE=90°，
∵∠ACB=45°，
∴∠PCG=∠PCQ=45°，
在△PCG和△PCQ中，
，
∴△PCG≌△PCQ（SAS），
∴PQ=PG，
∵PG=PF-GF=PF-QE，
∴PQ=PF-QE.
【解析】【分析】（1）①根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得BM=MF，即可求解；
②过点F作FN⊥AC于N，设BE=4a，则AB=9a，AE=5a，根据等角的余角相等可得∠AEC=∠NCF，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得CN=AE=5a，FN=AC=AB=9a，推得AN=4a，根据两角及其一角的对边对应相等的三角形全等，全等三角形的对应边相等可得AM=NM=2a，求得a的值，即可求解；
（2）在FP上截取FG=EQ，连接CG、PQ，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等，对应边相等可得∠FCG=∠ECQ，CG=CQ，推得∠PCG=∠PCQ=45°，根据两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形，全等三角形的对应边相等可得PQ=PG，即可证明.
49．已知，AB∥CD，点F 在 AB上，过点F 引射线FM，交 CD 于点G，E 为射线 FG 上一点，连结DE，AE.
（1）如图 1，若∠EAF=30°，∠EDG=40°，求∠AED的度数.
（2）如图2，当点E在射线GM 上时，CD与AE 相交于点 H，则∠AED，∠EAF，∠EDG 之间满足怎样的关系？ 请说明理由.
（3）如图3，在（2）的条件下，I是∠EDC平分线上一点，连结 DI 交 AE 于点 K，连结 AI，若∠EAI：∠BAI= 1 ： 2，∠AED=22°，∠I =20°，求∠EKD的度数
【答案】（1）解：如图：
延长DE交AB于H，
∵AB∥CD，∠EDG=40°，
∴∠D=∠AHE=40°，
∴∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°.
（2）解：∠EAF=∠AED+∠EDG.理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠EAF=∠EHC，
又∵∠EHC=∠AED+∠D，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG．
（3）解：∵∠EAI：∠BAI=1：2，
设∠EAI=x，则∠BAE=3x，
∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，
且∠DKE=∠AKI，
∴∠EDK+∠DEK=∠KAI+∠KIA；
∴∠EDK=∠KAI+∠KIA-∠DEK=x+20°-22°=x-2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE=2∠EDK=2x-4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC=∠EAB；
又∵∠EHC=∠AED+∠EDG，
即3x=22°+2x-4°，
解得：x=18°，
∴∠EDK=18°-2°=16°，
∴∠EKD=180°-16°-22°=142°.
【解析】【分析】（1）延长DE交AB于点H，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠AHE=40°；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可求解.
（2）根据两直线平行，同位角相等可得∠EAF=∠EHC；根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠EHG=∠AED+∠D，即可求解.
（3）设∠EAI=x，则∠BAE=3x，根据三角形内角和是180°和对顶角相等可得∠EDK=x-2°，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可求得∠CDE=2x-4°；根据两直线平行，同位角相等可得∠EHC=∠EAB；结合三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和即可列出方程式，求解即可得出x的值；根据三角形的内角和是180°即可求解.
50．已知： ， ， 平分 ．求： 的度数．
【答案】解：当OC在 内时，
， ，
，
平分 ，
，
；
当OC在 外时，
， ，
，
平分 ，
，
；
综上所述， 的度数为 或 ．
【解析】【分析】分类讨论： OC在 内 ， OC在 外 ，再根据角平分线的性质进行计算求解即可。
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