中小学教育资源及组卷应用平台
【填空题强化训练·50道必刷题】八年级上册第2章 特殊三角形
1．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这种图案有 条对称轴．
2．等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则这个三角形的腰长为 .
3．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是
4．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB＝6，CD＝3，则BE＝ ．
5．命题“如果，那么”的逆命题是 填“真命题“或“假命题”.
6．如图所示，在一块长为8m，宽为5m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 m．
7．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，，下列结论：
①；
②；
③点B到直线的距离为；
④．
其中正确结论的序号是 ．
8．在 中，AB＝20，BC＝16，AC＝12，点D为AB边中点，则CD的长为 .
9．等腰△ 的一个外角是 ，则它的顶角度数为 .
10．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为 ．
11．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 ．
12．已知一个等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长等于 .
13．如图，长方体的底面是边长为3cm 的正方形，高为 如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm.
14．在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接． 若平分， 则的长是 ．
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数为 ．
16．如图，是等边三角形的中线，，则的度数为 ．
17．已知：如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 .
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3＝ ．
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE= ，AE= ，则用含 、 的代数式表示△ABC的周长为 .
20．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为 cm
21．如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为 .
22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE.若∠A＝40°，则∠CBE的度数为 .
23．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 .
24．在螳螂的示意图中， ， 是等腰三角形， ， ，则 .
25．勾股定理的验证一般用 法，其基本思想是借助于图形的 来验证，依据是对图形进行 、 后面积 的原理．
26．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °
27．已知等腰三角形 ， ，D为 边上一点，且 和 都是等腰三角形，则 ．
28．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
29．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 条．
30．若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边，则它的最小内角的度数为 .
31．若等腰三角形的一边长等于 ，另一边长等于 ，则它的周长等于 .
32．如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则 ．
33．如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB= 30 °， 则点O 到CD 的距离OE= .
34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E 是AC边上的动点，则BE＋ED的最小值为 ．
35．等腰三角形面积为30，一边上的高为6，这个等腰三角形的底边长为 ．
36．等腰三角形的两条边长为2和5，则该等腰三角形的周长为 .
37．在△ABC中，AB=15 cm，AC=13 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为 ．
38．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
39．如图，借助边长为1的正方形，可以准确地将表示在数轴上，若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，与数轴的左交点为点B，若点C表示的数是3，则点B表示的数为
40．如图，△ABC是等边三角形，边长为12，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值是 ．
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15， ，则BC＝ .
42．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 .
43．如图，在 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时，则 的长为 .
44．如图，已知等边△ABC的边长是10 ，⊙O切AB、AC于点F、G，交边BC于D、E，⊙O的半径是6，则图中阴影部分的面积等于 。
45．如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，则的最小值为 ．
46．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当∠AEB＝∠D时，△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，则AE＝ ，△BCD的面积为 ．
47．如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
48．如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．
49． 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为 ．
50．如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【填空题强化训练·50道必刷题】八年级上册第2章 特殊三角形
1．我国传统的木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这种图案有 条对称轴．
【答案】2
【解析】【解答】解：如图所示，有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线是对称轴解答即可．
2．等腰三角形的两条边长分别为 和 ，则这个三角形的腰长为 .
【答案】9
【解析】【解答】解：（1）若4为腰长，9为底边长，
由于4＋4＜9，则三角形不存在；
（ 2 ）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的腰长为9.
故答案为：9.
【分析】分4是腰长和9是腰长两种情况，由等腰三角形的性质及三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的利用三角形周长的计算方法算出答案.
3．直角三角形中两个锐角的差为20°，则较小的锐角的度数是
【答案】35°
【解析】【解答】解：设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，
根据题意，得：x+x+20=90，
解得：x=35.
故答案为：35°.
【分析】设较小的锐角为x°，则较大锐角为（x+20）°，根据直角三角形两个锐角互余，即可得出x+x+20=90，解方程即可得出答案。
4．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，交BC于点E，CD⊥AC，若AB＝6，CD＝3，则BE＝ ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AD垂直平分BC，
∴AC＝AB＝6，BE＝CE，
∵CD⊥AC，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
∵△ACD的面积＝ AD×CE＝ AC×CD，
∴CE＝ ＝ ＝ ，
∴BE＝ ；
故答案为： ．
【分析】由线段垂直平分线的性质得出AC=AB=6，由勾股定理求出AD，再由三角形面积即可得出答案.
5．命题“如果，那么”的逆命题是 填“真命题“或“假命题”.
【答案】假命题
【解析】【解答】解：如果，那么的逆命题是：如果，则是假命题.
故答案为：假命题.
【分析】一个命题包括题设与结论两部分，题设就是已知，常用“如果”领起，结论常用“那么”领起，将一个命题的题设与结论互换位置即可得出该命题的逆命题，进而再根据绝对值的性质判断其真假即可.
6．如图所示，在一块长为8m，宽为5m的长方形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是 m．
【答案】13
【解析】【解答】如图所示，将木块展开，则展开图中的AB=8+2×2=12(m)，BC=5 m，于是最短路径为AC2=AB2+ BC2=122+52=132 ，所以AC=13 m．
故答案为：13.
【分析】将木块展开，可得到AB，BC的长，再利用两点之间线段最短，可知一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程的长为AC的长，然后利用勾股定理求出AC的长.
7．如图，在正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P．若，，下列结论：
①；
②；
③点B到直线的距离为；
④．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠BAD=∠EAP，
∴∠BAD-∠BAP=∠EAP-∠BAP，
即∠DAP=∠BAP，
在△APD和△AEB中：
∵AD=AB，∠DAP=∠BAP，AP=AE，
∴△APD≌△AEB；
所以①正确；
②由①知：△AEP是等腰直角三角形，
∴∠APE=∠AEP=45°，
∴∠APD=135°，
又由①知：△APD≌△AEB，
∴∠APD=∠AEB=135°，
∴∠BED=∠AEB-∠AEP=135°-45°=90°，
∴EB⊥ED；
所以②正确；
③过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，
由②知∠AEB=135°，
∴∠BEF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
设BE=EF=x，
在Rt△ABF中，AF2+BF2=AB2，
∵S正方形ABCD=26，
∴AB2=26，
∴，
∴x1=（舍去），x2=，
∴BF=，即 点B到直线AE的距离为；
所以③正确；
④在等腰直角△BEF中，BE=EF=，
∴
在等腰直角△AEP中，PE=
∴在Rt△PEB中，PB=
所以④不正确。
所以正确结论的序号是①②③。
故第一空答案为：①②③。
【分析】①：根据SAS判定△APD≌△AEB即可；②：由①知△APD≌△AEB，从而得到对应角∠APD=∠AEB=135°，然后再减去∠AEP=45°，从而得出EB⊥ED；③：过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，首先证明△BEF是等腰直角三角形，然后在Rt△ABF中，根设BF=x，据勾股定理列出关于x的方程式，解方程，即可求得BF的长度，也就是点B到AE的距离，根据结果判断③正确；④在Rt△BEP中，根据勾股定理可求出PB，根据计算结果，判断④不正确，根据以上计算结果，可以得出答案。
8．在 中，AB＝20，BC＝16，AC＝12，点D为AB边中点，则CD的长为 .
【答案】10
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB＝20，BC＝16，AC＝12，
∴AB2＝202＝400，AC2＋BC2＝256＋144＝400，即AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC为以AB为斜边的直角三角形，
又D为AB的中点，即CD为斜边上的中线，
则CD＝ AB＝10.
故答案为：10.
【分析】由三角形ABC的三边长，利用勾股定理的逆定理判断出三角形为直角三角形，且AB为斜边，再由D为斜边上的中点，得到CD为斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长.
9．等腰△ 的一个外角是 ，则它的顶角度数为 .
【答案】70°或40°
【解析】【解答】解：∵一个外角是110°，
∴与这个外角相邻的内角是180°-110°=70°，
①当70°角是顶角时，它的顶角度数是70°，
②当70°角是底角时，它的顶角度数是180°-70°×2=40°，
综上所述，它的顶角度数是70°或40°．
故答案为：70°或40°．
【分析】根据外角与相邻的内角的和为180°求出这个内角的度数，再分这个角是顶角与底角两种情况讨论求解．
10．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：因为平面展开图不唯一，
故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2＝（5+4）2+32＝90；
；（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+4）2+52＝74；
；（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2＝（3+5）2+42＝80；
所以最短路径长为 cm．
故答案为： cm．
【分析】把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
11．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则此最短路径的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，
由勾股定理得，
故答案为：
【分析】先将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，再根据勾股定理即可求解。
12．已知一个等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长等于 .
【答案】15
【解析】【解答】解：当腰为3时，3+3=6，不符合题意，
当腰为6时，3+6>6, 6-3<6, 符合题意，
∴周长为：6+6+3=15.
故答案为：15.
【分析】先根据三角形三边之间的关系确定腰的长度，再求出三角形的周长即可.
13．如图，长方体的底面是边长为3cm 的正方形，高为 如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm.
【答案】26
【解析】【解答】解：根据题意得将长方体的侧面沿AB展开，取 的中点C，连接 ， ，则 为所求最短细线，如图所示：
∴ ， ，
∵点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，
∴ ，
由勾股定理得：
，
∴ ，
∴ ，
即所用细线最短需要 .
故答案为：26.
【分析】根据题意得将长方体的侧面沿AB展开，取 的中点C，连接 ， ，则 为所求最短细线，如图，利用勾股定理求出AC即可.
14．在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接． 若平分， 则的长是 ．
【答案】
【解析】【解答】如图，延长CB，作HF⊥CB于点F.
根据角平分线性质，HD=HF，
∴△HDC≌△HFC，故CD=CF=5，BF=5-3=2.
在Rt△BFH中，HF=.
故填.
【分析】考查的是角平分线性质和三角形全等及勾股定理。
15．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的顶角的度数为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：（1）当三角形为锐角三角形时，如图，
当三角形为钝角三角形时，如图，
【分析】当三角形为锐角三角形和钝角三角形时，根据三角形内角和定理即可求出答案。
16．如图，是等边三角形的中线，，则的度数为 ．
【答案】15°
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】由等边三角形的性质可得，然后利用等腰三角形的性质求出∠ADE的度数，利用∠EDC=∠ADC-∠CDE计算即可.
17．已知：如图，在 中， ， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 .
【答案】2
【解析】【解答】连接AD，
∵在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=30°，
∴∠CBD=120°-30°=90°，
∵∠C=30°，
∴CD=2BD，
∵ ，
∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD=65cm，
∴AD=2cm.
故答案为：2.
【分析】连接AD， 在△ABC中，AB=BC，∠B=120°，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理求得∠A=∠C=30°，已知AB的垂直平分线DE，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，所以∠A=∠ABD=30°，即可求得∠CBD=90°，在Rt△CBD中，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质可得CD=2BE，再由AC=AD+CD=AD+2AD=3AD，即可求得AD的长.
18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以它的三边为边分别向外作正方形，面积分别为S1，S2，S3，已知S1＝5，S2＝12，则S3＝ ．
【答案】17
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，S1=5，S2=12，
∴AC2=5，BC2=12，
∴AB2=AC2+BC2=5+12=17，
∴S3=17，
故答案为：17．
【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2=5+12=17，再利用正方形的面积公式可得S3=17。
19．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE= ，AE= ，则用含 、 的代数式表示△ABC的周长为 .
【答案】2a+3b
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，BE＝a，AE＝b，
∴AC＝AB＝a＋b，
∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴AE＝CE＝b，
∴∠ECA＝∠BAC＝36°，
∵∠BAC＝36°，AC＝AB
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BCE＝∠ACB ∠ECA＝36°，
∴∠BEC＝180° ∠ABC ∠ECB＝72°，
∴CE＝BC＝b，
∴△ABC的周长为：AB＋AC＋BC＝2a＋3b
故答案为：2a+3b.
【分析】可求AC＝AB＝a＋b，由于DE是线段AC的垂直平分线，可得AE＝CE＝b，∠ECA＝∠BAC＝36°，从而求出∠BEC=∠B=72°，利用等角对等边得出CE＝BC＝b，由△ABC的周长为AB＋AC＋BC，即可求出结论.
20．如图，等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2cm，若在BD上有一动点E使PE＋QE最短，则PE＋QE的最小值为 cm
【答案】5
【解析】【解答】如图，过BD作P的对称点 ，连接P ，Q ，Q 与BD交于一点E，再连接PE，此时PE＋QE最小.
∵ 与P关于BD对称，
∴PE= E，BP=B =2cm，
∴PE＋QE= Q ，
又∵等边△ABC中，BD⊥AC于点D，AD＝3.5cm，
∴AC=BC=AB=7cm，
∵BP＝AQ＝2cm，
∴QC=5cm，
∵B =2cm，
∴C =5cm，
∴△Q C 为等边三角形，
∴Q =5cm.
∴PE＋QE=5cm.
所以答案为5.
【分析】过BD作P的对称点 ，连接P ，Q ，Q 与BD交于一点E，再连接PE，根据轴对称的相关性质以及两点之间线段最短可以得出此时PE＋QE最小，并且等于Q ，进一步利用全等三角形性质求解即可.
21．如图， 平分 ， ， 的延长线交 于点E，若 ，则 的度数为 .
【答案】82°
【解析】【解答】解：如图，连接 ，延长 与 交于点F，
平分 ， ，
是 的垂直平分线，
故答案为：
【分析】如图，连接BD，延长CA与BD 交于点F，先由AC平分 ， ，通过三线合一得到 CF是 的垂直平分线，进而得AB=AD，接着通过等边对等角得到最后通过三角形内角和即可得到∠BAE的度数 .
22．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，连接BE.若∠A＝40°，则∠CBE的度数为 .
【答案】10°
【解析】【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝40°，
∵∠C＝90°，
∴∠ABC＝90°-∠A =50°，
∴∠CBE＝∠ABC -∠ABE＝10°.
故答案为：10°.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，由等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠A＝40°，根据余角的性质可得∠ABC＝90°-∠A =50°，然后根据∠CBE＝∠ABC -∠ABE进行计算.
23．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为 .
【答案】14
【解析】【解答】解：∵AB=13，AD=12，BD=5，
∴AB2=AD2+BD2，
∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，CD= =9．
故答案为：B.
【分析】先求出AB2=AD2+BD2，再求出△ADC是直角三角形，最后利用勾股定理计算求解即可。
24．在螳螂的示意图中， ， 是等腰三角形， ， ，则 .
【答案】44°
【解析】【解答】解：延长ED，交AC于F，
∵△ABC是等腰三角形，∠ABC＝124°，
∴∠A＝∠ACB＝28°，
∵AB∥DE，
∴∠CFD＝∠A＝28°，
∵∠CDE＝∠CFD+∠ACD＝72°，
∴∠ACD＝72°﹣28°＝44°，
故答案为：44°.
【分析】延长ED，交AC于F，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得出∠ACB=∠A＝∠CFD＝28°，根据三角形的外角性质得出∠CDE＝∠CFD+∠ACD，即可求出∠ACD＝44°.
25．勾股定理的验证一般用 法，其基本思想是借助于图形的 来验证，依据是对图形进行 、 后面积 的原理．
【答案】拼图；面积；割补；拼接；不变
【解析】【解答】解：勾股定理的验证一般是用拼图法来验证，其基本思想是借助于图形的面积来验证，依据是对图形进行割补、拼接后面积不变的原理.
故答案为：拼图，面积，割补，拼接，不变.
【分析】根据勾股定理的证明方法解答即可，勾股定理的验证用拼图法来验证，借助于图形的面积来验证，对图形进行割补、拼接后面积保持不变.
26．如图，在四边形中，，，在，上分别找一个点M，N，使的周长最小，则 °
【答案】150
【解析】【解答】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值．
由对称性可得，，
根据三角形外角的性质可得，，
，根据三角形内角和定理可得
，
∴.
故答案为：150．
【分析】作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，即可得出，进而推出，即可得出答案．
27．已知等腰三角形 ， ，D为 边上一点，且 和 都是等腰三角形，则 ．
【答案】45°或36°
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图，
当AD＝BD，DC＝AD时，则BD＝CD．
在△ADB与△ADC中，
∵BD=CD，AD=AD，AB=AC，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B＝45°；②如图，
当AB＝BD，CD＝AD时，则∠BAD＝∠BDA，∠C＝∠DAC．
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝∠DAC，∠BAD＝∠BDA＝2∠C＝2∠B，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，
∴5∠B＝180°，
∴∠B＝36°．
故答案为：45°或36°．
【分析】分两种情况：（1）当BD＝AD，AD＝CD时，画出图形，先根据SSS证明△ADB≌△ADC，然后根据全等三角形的性质和平角的定义可得∠ADB＝90°，进一步即可求出∠B；（2）当AB＝BD，AD＝CD，画出图形，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质和三角形的内角和定理解答即可．
28．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：连接，．
∵是等腰三角形，点D是边的中点，
∴，
∴，
解得，
∵是线段的垂直平分线，
∴点C关于直线的对称点为点A，
∴，
∵，
∴的长为的最小值，
∴的周长最短．
故答案为：10．
【分析】连接，．即可得到，根据等积法求出，得到点C关于直线的对称点为点A，即可得到的长为的最小值解答即可．
29．等边三角形是轴对称图形，它的对称轴共有 条．
【答案】3
【解析】【解答】解：等边三角形3条角平分线所在的直线是等边三角形的对称轴，
∴有3条对称轴，
故答案为：3．
【分析】根据轴对称图形的对称轴的概念作答。
30．若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边，则它的最小内角的度数为 .
【答案】30°
【解析】【解答】解：如图，
∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，
∴，
又∵CD=BC，
∴BC=CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠A=90°-60°=30°，
∴最小内角为30°．
故答案为：30°．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，推得BC=CD=BD，根据三条边都相等的三角形是等边三角形得出△BCD是等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°得出∠B=60°，根据直角三角形两锐角互余即可求解．
31．若等腰三角形的一边长等于 ，另一边长等于 ，则它的周长等于 .
【答案】15
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3＋3=6，所以不能构成三角形；
当腰为6时，3＋6＞6，所以能构成三角形，周长是：6＋6＋3=15.
故答案为：15.
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
32．如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵BF=AC，DF=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBF=∠DAC，
∵∠AFE=∠BFD，
∴∠AEF=∠BDF=90°，即BE⊥AC，
如图，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥AC于点N，
∵Rt△BDF≌Rt△ADC，AC=BF，
∴S△BDF=S△ADC，即BF·DM=AC·DN，
∴DM=DN，
∵DM⊥BE，DN⊥AC，
∴ED平分∠BEC，即∠BED=∠CED=45°，
∴DE=DN，
∵， F为AD中点，
∴AD=2DF=2，
∴AC==，
∵S△ADC=AD·DC=AC·DN，即2×1=DN，
∴DN=，
∴DE=DN=.
故答案为：.
【分析】证明Rt△BDF≌Rt△ADC（HL），可得∠DBF=∠DAC，可证BE⊥AC，过点D作DM⊥BE于点M，DN⊥AC于点N，由全等三角形的性质的性质可得S△BDF=S△ADC，利用三角形的面积公式可推出DM=DN，根据角平分线的判定可推出∠BED=∠CED=45°，可得DE=DN，由勾股定理求出AC的长，再根据S△ADC=AD·DC=AC·DN，求出DN的长，继而得出DE的长.
33．如图，AB是半圆O的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB= 30 °， 则点O 到CD 的距离OE= .
【答案】
【解析】【解答】解：∵∠CAB=30°，AC=AD，OA=OC，
∴∠ACD=75°，∠ACO=30°，
∴∠OCE=45°，∵OE⊥CD，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∵OC=2，
∴OE= .
故答案为： .
【分析】由三角形内角和定理，结合等腰三角形的性质得出∠ACD的度数，因∠ACO度数可求，从而求出∠OCE的度数，然后由等腰三角形的性质可求OE的长度.
34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝12，BC＝5，D是AB边上的动点，E 是AC边上的动点，则BE＋ED的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，
连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小．
∵点B关于AC的对称点是B′，BC=5，
∴B′C=5，BB′=10．
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB= =13，
∵S△ABB′= AB B′D= BB′ AC，
∴B′D= ，
∴BE+ED= B′D= .
故答案为： .
【分析】作点B关于AC的对称点B′，过B′点作B′D⊥AB于D，交AC于E，连接AB′、BE，则BE+ED=B′E+ED=B′D的值最小，根据轴对称的性质可得BC=B′C=5，BB′=10，利用勾股定理可得AB，根据等面积法可得B′D ，然后根据BE+ED= B′D进行解答. .
35．等腰三角形面积为30，一边上的高为6，这个等腰三角形的底边长为 ．
【答案】10或2或6
【解析】【解答】解：当底边上的高为6时，
∴等腰三角形的底边长为==10；
当腰上的高为6时，
∴等腰三角形的腰长为==10；
若此等腰三角形为钝角三角形时，如图：CD=6，AC=AB=10，
∴AD==8，
∴BD=18，
∴等腰三角形的底边BC的长为=6；
若此等腰三角形为锐角三角形时，如图：CD=6，AC=AB=10，
∴AD==8，
∴BD=2，
∴等腰三角形的底边BC的长为=2；
综上，这个等腰三角形的底边长为10或2或6．
【分析】分类讨论，再利用三角形的面积公式及等腰三角形的性质求解即可。
36．等腰三角形的两条边长为2和5，则该等腰三角形的周长为 .
【答案】12
【解析】【解答】解：当5为底时，其它两边都为2，
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形，故舍去，
当5为腰时，其它两边为2和5，
5，5，2可以构成三角形，
∴周长为5+5+2=12.
故答案为：12.
【分析】因为已知长度为2和5两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论.
37．在△ABC中，AB=15 cm，AC=13 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积为 ．
【答案】84或24
【解析】【解答】解：（1）如图，
锐角 中， ， ， 边上高 ，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
在 中 ， ，由勾股定理得
，
，
的长为 ，
；（2）钝角 中， ， ， 边上高 ，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
在 中 ， ，由勾股定理得：
，
，
的长为 ，
．
故答案为：84或24．
【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得 ， ，再由图形求出 ，在锐角三角形中， ，在钝角三角形中， ，最后利用三角形面积公式计算面积即可．
38．如图，长方体盒子的长为5，宽为4，高为3．在顶点B处有一滴蜂蜜，一只蚂蚁在顶点A处，要沿着长方体盒子的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：①如图1，把我们所看到的前面和右面组成一个平面，
则这个长方形的长和宽分别是9和3，
则所走的最短线段AB＝ ＝3 ；
②如图2，把我们看到的前面与底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是23和10，
所以走的最短线段AB＝ ＝4 ；
③如图3，把我们所看到的左面和底面组成一个长方形，
则这个长方形的长和宽分别是15和18，
所以走的最短线段AB＝ ＝ ；
三种情况比较而言，第三种情况最短．
故填： ．
【分析】从点A爬到点B有3种爬法，要计算每一种爬法的最短路程，必须把长方体盒子展开成平面图形，在利用勾股定理计算线段A B的场进行比较即可。
39．如图，借助边长为1的正方形，可以准确地将表示在数轴上，若在数轴上以点A为圆心，边长为1的正方形的对角线长为半径作半圆，该半圆与数轴的右交点为点C，与数轴的左交点为点B，若点C表示的数是3，则点B表示的数为
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵正方形的边长为1，
∴圆的半径为，
即，，
∴点B表示的数是，
故答案为：．
【分析】先根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出半径，再根据数轴上的数左边的数比右边的数小表示出即可．
40．如图，△ABC是等边三角形，边长为12，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，则PC+PE的最小值是 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：作E关于AD的对称点E'，连接E'C交AD于点P，连接EP，如图，
∵ EP=E'P，
∴ PC+PE的最小值=E'C，
∵ E是AC的中点，
∴ E'也是AB的中点，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ E'C⊥AB，∠E'CB=∠E'CA=30°，
∴ E'B=6，
由勾股定理得：E'C=.
故答案为：.
【分析】根据最短路径可知E'C为PC+PE的最小值，再根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得.
41．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15， ，则BC＝ .
【答案】9
【解析】【解答】解：设BC=3x，AC=4x，则在Rt△ABC中，9x2+16x2=152，
解得：x=3或－3(舍去)，
∴BC=3x=9.
故答案为：9.
【分析】设BC=3x，AC=4x，根据勾股定理列出方程求解即可。
42．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为 .
【答案】3cm
【解析】【解答】解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，
∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，
∵DE∥BC，
∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，
∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，
∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，
∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm）.
故答案为：3cm.
【分析】由角平分线的概念可得∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，由平行线的性质可得∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，则BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，据此计算.
43．如图，在 中， ， ， 是 边上的一个动点，点 与点 关于直线 对称，当 为直角三角形时，则 的长为 .
【答案】7或17
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于F，
∵
∴
在 中，由勾股定理得
①如图1，当点 在 上时
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .
②如图2，当点 在 上时
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ .
故答案为：7或17
【分析】过点C作CF⊥AB于F，分当点 在 上时和当点 在 上时两种情况，分情况进行讨论即可得出答案.
44．如图，已知等边△ABC的边长是10 ，⊙O切AB、AC于点F、G，交边BC于D、E，⊙O的半径是6，则图中阴影部分的面积等于 。
【答案】30
【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长交BC于点M，连接OF、OD、OE.
由圆和等边三角形的对称性可得：AM⊥BC，BM=，∠BAM=∠BAC=30°
∴AM=AB·cos∠BAM=10×=15
又∵⊙O切AB于点F
∴∠AFO=90°
∴∠AOF=60°
OA=，AF=
∴OM=AM-OA=15-12=3
在Rt△ODM中，DM=
又∵cos∠DOM=
∴∠DOM=60°
∴∠DOF=180°-∠AOF-∠DOM=60°
∴阴影部分的面积=2（S△ABM-S△AOF-S△DOM-S扇形ODF）
=2（BM·AM-OF·AF-DM·OM-）=2×（×5×15-×6×6-×3×3-6）
=30-12.
【分析】利用阴影部分的面积=2（S△ABM-S△AOF-S△DOM-S扇形ODF）计算。
45．如图，中，，，点为边上一点，，点为边的中点，连接，点为线段上的动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：如图，连接CE，交AD于点F'，连接BF'，
∵AB=AC=4，点D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，即AD为线段BC的垂直平分线，
∴点B、C关于AD对称，BF'=CF'，
此时，FE+FB的值最小，
∵AE=3，∠BAC=90°，
∴在Rt△AEC中，CE===5，
∴F'E+F'B=F'E+F'C=CE=5，
即FE+FB的最小值为5．
故答案为：5．
【分析】连接CE，交AD于点F'，连接BF'，首先证明AD为线段BC的垂直平分线，即有点B、C关于AD对称，BF'=CF'，此时，FE+FB的值最小，再利用勾股定理解得CE==5，由F'E+F'B=F'E+F'C=CE，即可确定FE+FB的最小值.
46．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，在BA延长线上取一点D，使AD＝7，连结CD，点E为AC边上一点，当∠AEB＝∠D时，△BCD的面积是△BCE的面积的6倍，则AE＝ ，△BCD的面积为 ．
【答案】3；
【解析】【解答】解：如图，过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，过点C作CG⊥AD于点G，在线段DG上截取GF＝GA，连接CF，
则CG是AF的垂直平分线，
∴CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴180°﹣∠CAF＝180°﹣∠CFA，
∴∠CAB＝∠CFD，
∵AB＝AC＝5，
∴CF＝AB＝AC＝5，
在△CFD和△BAE中，
，
∴△CFD≌△BAE（AAS），
∴FD＝AE，
∵AB＝5，AD＝7，
∴BD＝AB+AD＝12，
∴S△BCD＝BD CG＝12CG＝6CG，
∵S△BCD＝6S△BCE，
∴6CG＝6S△BCE，
∴CG＝S△BCE，
∵S△ABC＝BA CG＝5CG＝CG，
∴S△ABC＝S△BCE，
∴S△ABE＝S△ABC﹣S△BCE＝S△BCE﹣S△BCE＝S△BCE，
∵S△ABE＝AE BH，S△BCE＝CE BH，
∴AE BH＝×CE BH，
∴AE＝CE，
∴＝，
∴AE＝AC＝×5＝3，
∴FD＝AE＝3，
∴AF＝AD﹣FD＝7﹣3＝4，
∴AG＝FG＝AF＝2，
∵CG⊥AG，
∴∠AGC＝90°，
在Rt△ACG中，∠AGC＝90°，AC＝5，AG＝2，
∴CG＝，
∵BD＝12，
∴S△BCD＝BD CG＝12×＝．
综上所述：AE＝3，△BCD的面积为．
故答案为：；.
【分析】过点B作BH⊥CA交CA的延长线于点H，过点C作CG⊥AD于点G，在线段DG上截取GF=GA，连接CF，则CG是AF的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得CA＝CF，根据等腰三角形的性质可得∠CAF=∠CFA，结合邻补角的性质可得∠CAB＝∠CFD，证明△CFD≌△BAE，得到FD＝AE，根据三角形的面积公式可得S△BCD＝6CG，结合题意可得CG＝S△BCE，S△ABC＝S△BCE，S△ABE=S△ABC-S△BCE=S△BCE，结合三角形的面积公式可得AE＝CE，然后求出AE、AF、AG的值，由勾股定理可得CG，然后根据三角形的面积公式进行计算.
47．如图的4×4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称 为格点三角形，在网格中与△ABC全等的格点三角形一共有 个．
【答案】31
【解析】【解答】解：①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图，
②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况，
③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况
综上所述，一共有3+16+12=31个
故答案为：31.
【分析】 根据全等三角形的判定知：在3×3的网格中，与△ABC全等的格点三角形一共有7个，而网格中共有3×3的网格4个，分三种情况：①直接平移，网格中与△ABC 全等的格点三角形有3种情况；②根据大正方形的的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应，一共有4×4=16种情况；③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况；将三种情况所得结论相加即可求解.
48．如图，为坐标原点，的两个顶点，，点在边上，点在边上，且，点为边上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】
过点D作DE⊥AB交y轴于点E，交BO于点P，如图所示：
∵，，
∴OA=AB=6，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∵，
∴BD=PD=1，AD=OC=6-1=5，
∵∠PDA=∠DAC=∠PCA=90°，∠AOB=45°，
∴四边形OCPE是正方形，四边形ACPD是矩形，
∴PC=PE=OC=5，
∴PC+PD=PE+PD=5+1=6，
故的最小值为6，
故答案为：6.
【分析】先证出PC+PD的最小值为PE+PD的长，再证出四边形OCPE是正方形，四边形ACPD是矩形，可得PC=PE=OC=5，BD=PD=1，再利用线段的和差求出的值即可.
49． 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，延长线于点，过作于点，如图所示：
在中，，，，则由勾股定理可得，
，则，
，
，
，
是边上的中线，
，
由翻折可知，，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，解得，即点到的距离为，
故答案为：．
【分析】连接AE，过点B作BF⊥AC于点F，BG⊥CE延长线于点G，首先证明BD垂直平分线段AE，是直角三角形，证明CE∥BD，可得，，得到相关线段长度，然后在利用等面积法列式求解即可．
50．如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=4，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（3- x），
解得，，
；
如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（x-3），
解得，，
；
故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点O'在直线n的上方；②当点O'在直线n的下方，据此画出图形并解答即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
