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【解答题强化训练·50道必刷题】八年级上册第2章 特殊三角形
1．如图所示，在中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．若，，求的长度．
2．如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°．
（1）若AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AD的长；
（2）若∠C＝30°，求∠DAE的度数．
3．等腰三角形中，腰长5cm，底边长6cm，求周长．
4．如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长．
5．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还余1m（如图），当他拉着绳子的下端，使其离旗杆5m时，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
6．由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
7．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE，CF是两腰上的高线，点P，Q分别在BE，CF的延长线上，且BP=AC，CQ=AB.△APQ是等腰三角形吗 请说明理由.
8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.三角形的顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1与l2的间距为2，l3与l2的间距为3，求AC的长.
9．在中，，，D为上一点，．
（1）求的度数．
（2）证明．
10．如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少厘米？
11．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m（AC＝0.5m），求梯子底端B外移的距离（BD的长）．
12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=50°，求∠AEC的度数.
13．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）
14．已知：E是的平分线上一点，，，垂足分别为C、D．
（1）若，求的大小；
（2）求证：垂直平分；
（3）求证：．
15．中， ，过A作，垂足为H，求的长．
16．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度
17．如图，在下面的等腰三角形中，是顶角，分别求出它们的底角的度数。
18．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，求AD的长．
19．如图， 相交于点 ， .那么 与 相等吗？请说明理由.
20．如图，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，点P在AB上，且AC=BP，AP=BD.试判断△PCD是什么形状的三角形，并说明理由.
21．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少
22．用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形.能围成有一边的长是9cm的等腰三角形吗？如果可以请求出该三角形各边长.
23．写出命题“等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合”的逆命题，并判断这个逆命题的真假．
24．如图，在 中， ．点 为 边上一点，线段 将 分为两个周长相等的三角形．若 ， ，求 的面积．
25．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
26．如图，已知△ABC中， ，F是高AD和BE的交点，若CD=4，求DF的长.
27．已知△ABC中，AB＝1，AC＝，BC＝，求△ABC中的最大内角的度数．
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
29．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，你能帮乐乐算算梯子顶端A下滑多少米吗？（E处）．
30．在数轴上，点A表示7，点B表示5，点O表示0，C为线段OB上一点，当以OC，CB，BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示什么数
31．如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．
（1）若，求证：；
（2）若点在上运动，请你判断与的数量关系，并说明理由．
32．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
33．如图，在中，，，，求的面积．
34．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板（∠ACB=90°，AC=BC），点A和B分别与木墙的顶端重合.
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离.
35．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=4，BC=6，CD=2．求∠ADC的度数．
36．在中，边上的中线．
（1）求的长：
（2）计算的面积．
37．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．你能说明BE与DF相等吗？请写出证明过程.
38．推理填空：
如图，于，于，，可得平分.
理由如下：于，于，（已知）
，（垂直的定义）
，（ ）
▲ ，（ ）
，（ ）
又，（已知）
▲ ，（等量代换）
平分（角平分线的定义）
39．如图，在中，D为边上一点，已知，，，．请判断的形状，并求出的长．
40．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=3 ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得△MNC，连结BM，求BM的长．
41．如图所示，圆柱形玻璃容器高19 cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5 cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．
42．在某风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m （结果保留根号）
43．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．
44．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
45．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
46．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当α等于多少时，AOD是等腰三角形？（请直接写出结果） ．
47．如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．
（1）试问OE＝OF吗？请说明理由．
（2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．
48．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
（1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理
①∵，平分，
∴ ， ；
②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．
（2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一：如图2，延长到点E，使， 连接．
方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F．
（3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．
49． 中， ， ， ， 分别是边 和 上的动点，在图中画出 值最小时的图形，并直接写出 的最小值为 .
50．几何探究：
已知： 和 都是等边三角形，连接 CD，BE 交于点 P.
（1） 如图 1，①判断 BE 与 DC 的数量关系： ，= ；
② 连接 AP， 与 的数量关系是： ；
（2） 如图 2，H，G 分别是 DC，BE 的中点，
① 当 时， ▲ ；
② 当 发生变化时，请探究 的度数是否发生变化，并说明理由；
（3） 连接 AP，求 的值.
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【解答题强化训练·50道必刷题】八年级上册第2章 特殊三角形
1．如图所示，在中，，的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．若，，求的长度．
【答案】解：∵平分，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，同理可得，
∵，，
∴．
【解析】【分析】根据角平分的定义以及平行线的性质证明，易得，同理可得，然后由即可获得答案．
2．如图，已知AD，AE分别是Rt△ABC的高和中线，∠BAC=90°．
（1）若AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，求AD的长；
（2）若∠C＝30°，求∠DAE的度数．
【答案】（1）解：解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△ABC的面积，
∴6×8＝10AD，
∴AD＝4.8cm；
（2）解：∵ADC＝90，∠C＝30°，
∴∠DAC＝90°－∠C＝60°，
∵AE是Rt△ABC的中线，
∴，
∴AE＝CE，
∴∠CAE＝∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠DAC－∠CAE＝30°．
【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用三角形面积法得到 ，代入数据即可求解；
（2）根据直角三角形的性质先求出 ∠DAC的度数，再根据直角三角形斜边中线性质定理求得AE=CE，根据等腰三角形的性质求得 ∠CAE＝∠C＝30°， 从而求解.
3．等腰三角形中，腰长5cm，底边长6cm，求周长．
【答案】解：腰长5cm，底边长6cm，，
满足三角形的三边关系，周长为；
答：周长为．．
【解析】【分析】根据三角形周长即可求出答案.
4．如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长．
【答案】解：平分，，，
，，
，
【解析】【分析】根据角的平分线性质可得，根据勾股定理可求得的长．
5．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还余1m（如图），当他拉着绳子的下端，使其离旗杆5m时，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.
【答案】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m
在Rt△ABC中， ，
∴ ，解得 ，
∴旗杆的高12m.
【解析】【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高.
6．由四条线段所构成的图形，是某公园的一块空地，经测量，．现计划在该空地上种植草皮，若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需多少元？
【答案】解：如下图，连接
在中
∴（元）
答：若每平方米草皮需元，则在该空地上种植草皮共需元．
【解析】【分析】这道题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，以及图形面积的计算；做辅助线连接AC，先在直角三角形中用勾股定理求AC，再在中利用三边关系判断其是否为直角三角形，最后分别求出两个三角形的面积并求差得到空地面积，再乘以每平方米草皮的价格得到总费用.
7．如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BE，CF是两腰上的高线，点P，Q分别在BE，CF的延长线上，且BP=AC，CQ=AB.△APQ是等腰三角形吗 请说明理由.
【答案】解： △APQ 是等腰三角形，
理由如下：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵CE，BF是两腰上的高线，
∴∠BEC=∠BFC=90°，
在△BEC和△BFC中，
，
∴△BEC≌△BFC，
∴∠BCE=∠BCF，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACQ，
在△ABP和△AQC中，
，
∴△ABP≌△AQC，
∴AQ=AP，
∴△APQ为等腰三角形
【解析】【分析】根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等可证明△BEC≌△BFC，根据全等三角形的对应角相等得出∠BCE=∠BCF，推得∠ABP=∠ACQ，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ABP≌△AQC，根据全等三角形的对应边相等得出AQ=AP，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形即可证明.
8．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC.三角形的顶点在互相平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1与l2的间距为2，l3与l2的间距为3，求AC的长.
【答案】解：如图，过点A，C分别作l3的垂线，
作AD⊥I3于D，作CE⊥I3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE =90°，
又∵∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠BAD=∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（ASA），
∴BE=AD=3，AB=AC，
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得.
【解析】【分析】作AD⊥I3于D，CE⊥l3于E，利用AAS定理证明
△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得到BD=CE=5，根据勾股定理计算即可.
9．在中，，，D为上一点，．
（1）求的度数．
（2）证明．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得到，进而根据三角形内角和定理得到∠BAC的度数，从而结合题意进行角的运算即可求解；
（2）先根据∠DAB的度数得到，进而得到，从而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，再等量代换即可求解。
10．如图所示，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少厘米？
【答案】解：将长方体展开，连接，
∵（cm），（cm），
根据两点之间线段最短，（cm）.
∴所用细线最短需要10cm.
【解析】【分析】将长方体展开，连接AB′，则AA′=8cm，A′B′=6cm，然后利用勾股定理求出AB′的值即可.
11．如图，一架2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m（AC＝0.5m），求梯子底端B外移的距离（BD的长）．
【答案】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，（m）
∴OB＝1.5m．
(m)．
在Rt△COD中，，(m)，
∴OD＝2m，
∴BD＝OD－OB＝2－1.5＝0.5(m)，
∴梯子底端B外移的距离为0.5m．
【解析】【分析】 在Rt△AOB中 ，由勾股定理求出OB＝1.5m，可求OCOA-AC=1.5m， 在Rt△COD中由勾股定理求出OD=2m，利用BD＝OD－OB即可求解.
12．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=50°，求∠AEC的度数.
【答案】解：∵AD⊥BC，∠B=50°，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE= ∠DAC= ×50°=25°，
∴∠BAE=40°+25°=65°，
∴∠AEC=∠BAE+∠B=65°+50°=115°.
【解析】【分析】根据直角三角形的来锐角互余得出 ∠BAD=90°-∠B=90°-50°=40° ，根据角的和差得出 ∠DAC=∠BAC-∠BAD=90°-40°=50° ，根据角平分线的定义得出 ∠DAE= ∠DAC= ×50°=25°， 最后根据角的和差及三角形的外角定理，由∠AEC=∠BAE+∠B即可算出答案。
13．如图，修公路遇到一座山，于是要修一条隧道．为了加快施工进度，想在小山的另一侧同时施工．为了使山的另一侧的开挖点C在AB的延长线上，设想过C点作直线AB的垂线L，过点B作一直线（在山的旁边经过），与L相交于D点，经测量∠ABD＝135°，BD＝800米，求直线L上距离D点多远的C处开挖？（结果保留根号）
【答案】解：∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ABD＝135°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠D＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，CB＝CD，
在Rt△DCB中：CD2+BC2＝BD2，
2CD2＝8002，
CD＝400 （米），
答：直线L上距离D点400 米的C处开挖．
【解析】【分析】首先证明△BCD是等腰直角三角形，再根据勾股定理可得CD2+BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米进行计算即可．
14．已知：E是的平分线上一点，，，垂足分别为C、D．
（1）若，求的大小；
（2）求证：垂直平分；
（3）求证：．
【答案】（1）解：∵E是的平分线上一点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，设和交于点F，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵平分，
∴，，
∴垂直平分；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】（1）首先根据平分线的概念得到，然后利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据题意证明出，得到是等腰三角形，然后利用等腰三角形三线合一性质求解即可；
（3）根据等角的余角相等得到，然后结合证明即可．
15．中， ，过A作，垂足为H，求的长．
【答案】解：设，则，
∵，
∴，
在和中，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
即，
由勾股定理得：，
∴的长为12．
【解析】【分析】设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，可得BH的长，最后利用勾股定理求出AH的长即可.
16．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以12海里/时的速度向北偏西的某个方向航行，已知它们离港口后相距30海里（即海里），问另一艘轮船航行的方向是北偏西多少度
【答案】解：根据题意得：∠AOD=40°，OA=16×1.5=24海里，
OB=12×1.5=18海里，
∵AB=30海里，
∴，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°，
答：另一艘轮船航行的方向是北偏西度．
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意得：∠AOD=40°，OA=16×1.5=24海里，OB=12×1.5=18海里，再结合AB=30海里，根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的两条边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形 可知：，即∠AOB=90°，再根据角的和差运算可知：∠BOD=∠AOB-∠AOD=50°，即可得出答案.
17．如图，在下面的等腰三角形中，是顶角，分别求出它们的底角的度数。
【答案】解：（1）∵AB=AC，∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
即△ABC的底角为60°.
（2）∵AB=AC，∠A=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°.
即△ABC的底角为=45°.
(3)∵AB=AC，∠A=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠A)=30°.
即△ABC的底角为30°.
【解析】【分析】利用等边对等角和三角形内角和定理求解.
18．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，求AD的长．
【答案】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=.
∵∠ABD=90°，
∴AD=.
【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，应用勾股定理可求得AB的值，然后在Rt△ABD中，再次利用勾股定理求解就可得到AD的值.
19．如图， 相交于点 ， .那么 与 相等吗？请说明理由.
【答案】解： ，理由如下：
在 和 中，
∴
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
即 .
【解析】【分析】找到隐藏的已知条件对顶角，推出 ，得到 ，再根据等边对等角，由 推出 ，之后利用等式的性质即可求出答案.
20．如图，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，点P在AB上，且AC=BP，AP=BD.试判断△PCD是什么形状的三角形，并说明理由.
【答案】解：△PCD是等腰直角三角形．
理由如下：由AC=PB，∠A=∠B=90°，AP=BD，
得△CAP≌△PBD，
∴PC=PD，∠APC=∠PDB．
∴∠BPD+∠APC=90°，
则∠CPD=90°，
∴△PCD是等腰直角三角形．
【解析】【分析】根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△CAP≌△PBD，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得出PC=PD，∠APC=∠PDB，求得∠CPD=90°，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形即可求解.
21．如图，一个牧童在小河的南4华里（长度单位）的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8华里北7华里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少
【答案】解：作出A点关于MN的对称点，连接交MN于点P，则就是最短路线，如图所示：
，，，
∵MN垂直平分，
∴，
∵在中，，
∴，
∴（华里）．
答：牧童所走的最短里程是17华里．
【解析】【分析】先求出 ， 再利用勾股定理求出 ， 最后计算求解即可。
22．用一条长为25cm的绳子围成一个等腰三角形.能围成有一边的长是9cm的等腰三角形吗？如果可以请求出该三角形各边长.
【答案】解：分类讨论：①当9cm为底时，等腰三角形两腰长相等，故腰长为：(25-9)÷2=8cm，
此时三角形的三边分别是8cm，8cm，9cm，能构成三角形，
②当9cm为腰时，底边=(25-9×2)=7cm，此时三角形的三边长分别是7cm，9cm，9cm，能构成三角形，
故答案为：能围成一边是9cm的等腰三角形，当9cm为底时，三边长分别是8cm，8cm，9cm；当9cm为腰时，三边长分别是：7cm，9cm，9cm.
【解析】【分析】题中没有指明9cm所在边是底还是腰，故应该分情况进行分析，再利用三角形三边关系进行检验.
23．写出命题“等腰三角形底边上的高线与顶角平分线互相重合”的逆命题，并判断这个逆命题的真假．
【答案】解：逆命题是：如果一个三角形一边上的高线与该边所对角的平分线互相重合，那么 这个三角形是等腰三角形.这是一个真命题.
【解析】【分析】由题意先写出这个命题的逆命题，然后判断其真假即可求解.
24．如图，在 中， ．点 为 边上一点，线段 将 分为两个周长相等的三角形．若 ， ，求 的面积．
【答案】解：根据题意可知， 与 的周长相等
设
在 中，
，即
，即
故 的面积为24.
【解析】【分析】设 ，根据 和 的周长求出AC的长，然后在 中，利用勾股定理列出等式求解即可.
25．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
【答案】解：根据条件可知，米，米，
设树的高度为米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米，即BC+CA=BD+AD=30米，
∴AD=30-BD=30-(CD-BC)，
设树的高度为米 ，
在中，，
∴，
解得．
∴这棵树高15m。
【解析】【分析】本题根据条件“ 两只猴子所经过的距离相等 ”，得出BC+CA=BD+AD=30米，变形得到AD=30-BD=30-(CD-BC)，然后放到中，利用勾股定理列式，即可求出答案。
26．如图，已知△ABC中， ，F是高AD和BE的交点，若CD=4，求DF的长.
【答案】解：∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵∠ABC=45°，∴∠BAD=45°=∠ABD，∴AD=BD.
∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FBD和△CAD中，
∵ ，
∴△FBD≌△CAD（ASA），
∴CD=DF=4，
答：DF的长是4.
【解析】【分析】利用三角形高的定义及垂直的定义可证得∠ADB=∠ADC=90°，再利用等腰三角形额性质可证得AD=BD；再利用余角的性质可证得∠FBD=∠CAD；然后利用ASA证明△FBD≌△CAD，利用全等三角形的对应边相等，可求出DF的长.
27．已知△ABC中，AB＝1，AC＝，BC＝，求△ABC中的最大内角的度数．
【答案】解：在中，
，，，
，
∴为直角三角形，且最大角为边所对的直角，
则中的最大内角的度数为90°．
【解析】【分析】根据已知条件可得AB2+AC2=BC2，然后结合勾股定理逆定理进行解答.
28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E.若AC＝6，BC＝8，CD＝3.
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．
【答案】（1）解：∵∠C＝90°，
∴AC⊥CD.
又AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD.
又CD＝3，
∴DE＝3；
（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝＝10，
∴S△ADB＝AB·DE＝×10×3＝15.
【解析】【分析】 （1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，得出DE=CD，即可得出答案；
（2）根据勾股定理求出AB，再根据三角形的面积=×底×高，即可得出答案．
29．春节期间，乐乐帮妈妈挂灯笼时，发现，如图长2.5米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为1.5米，当梯子的底端B向右移动0.5米到D处时，你能帮乐乐算算梯子顶端A下滑多少米吗？（E处）．
【答案】解：∵，在中，由勾股定理得，，
∴米，（负值已舍去）
∵米，
∴在中，，
∴米
∴（米）
答：梯子顶端A下滑0.5米．
【解析】【分析】在中，由勾股定理得，，得出AC的值，在中，，得出CE的值，即可得出AE的值。
30．在数轴上，点A表示7，点B表示5，点O表示0，C为线段OB上一点，当以OC，CB，BA三条线段为边，可以围成等腰三角形时，点C表示什么数
【答案】解：∵数轴上A点表示数7，B点表示数5，
∴BA=2
∵以OC、CB、BA三条线段为边围成等腰三角形时，
若CB=BA=2，则OC=5-2=3，所以C点表示数为3，
若OC=BA=2，所以C点表示数为2，
若OC=CB，则OC=5÷2=2.5，所以C点表示数为2.5
【解析】【分析】根据等腰三角形的两边相等进行解答即可.
31．如图，等腰直角中，，，点为上一点，于点，交于点，于点，交于点，连接，．
（1）若，求证：；
（2）若点在上运动，请你判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵等腰直角中，，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
【解析】【分析】(1)根据题意证明Rt△AMB≌Rt△EMB，得AM=EM， ，从而说明为的垂直平分线 ，由垂直平分线的性质得 ，得到 ，最后证得∠BED=∠BAC=90°，所以DE⊥BC；
(2)先证∠CAE=∠ABG=90°-∠ADB，再根据等腰直角三角形的性质得∠C=∠ABC=45°，因为AH⊥BC于点H，所以∠BAG=∠CAG=∠BAC=45°，则∠C=∠BAG，AC=BA，即可根据“ASA”证明△ACE≌△BAG，得CE=AG.
32．如图是一副秋千架，左图是从正面看，当秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m（踏板厚度忽略不计）， 右图是从侧面看，当秋千踏板荡起至点B位置时，点B离地面垂直高度BC为1m，离秋千支柱AD的水平距离BE为1.5m（不考虑支柱的直径）.求秋千支柱AD的高.
【答案】解：设AD＝xm，则由题意可得
AB＝(x－0.5)m，AE＝(x－1)m，
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，
即(x－1)2＋1.52＝(x－0.5)2，
解得x＝3．
即秋千支柱AD的高为3m．
【解析】【分析】设秋千支柱AD的高为xm，根据秋千绳子自然下垂时，踏板离地面0.5m得AB＝(x－0.5)m，根据右图得AE＝(x－1)m，在Rt△AEB中利用勾股定理列方程求出x的值即可．
33．如图，在中，，，，求的面积．
【答案】解：在中，，，，
∵，即，
∴是直角三角形，且，
∴．
故的面积为24．
【解析】【分析】根据 中三边满足 ，得∠ACB=90°，则，代入数值求解即可.
34．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个直角三角板（∠ACB=90°，AC=BC），点A和B分别与木墙的顶端重合.
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）求两堵木墙之间的距离.
【答案】（1）解：由题意得： AC = BC， ∠ACB=90°， AD⊥DE， BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°， ∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC
在△ADC和△CEB中，
∴△ADC≌△CEB(AAS).
（2）解：由题意得： AD=2×3=6(cm)， BE=7×2=14(cm)，
∵△ADC≌△CEB，
∴EC = AD=6cm， DC = BE =14cm，
∴ DE =DC+CE = 20(cm)，
∴两堵木墙之间的距离为20cm.
【解析】【分析】(1) 根据题意可得AC = BC， ∠ACB=90°， AD⊥DE， BE⊥DE， 进而得到∠ADC =∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE =∠DAC， 再证明△ADC ≌△CEB即可；
(2)利用全等三角形的性质进行解答即可.
35．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=AB=4，BC=6，CD=2．求∠ADC的度数．
【答案】解：连结BD，
∵ ∠A=90°，AD=AB=4 ，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∴BD=AD=4，
∵BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°
∴ ∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°
【解析】【分析】 连结BD ，可得△ABD为等腰直角三角形，可得BD=AD=4，再根据勾股定理的逆定理求解即可.
36．在中，边上的中线．
（1）求的长：
（2）计算的面积．
【答案】（1）解：是的中线，，
，
，
，
，
，
（2）解：的面积
【解析】【分析】（1）首先由中线的性质可得BD=CD=5，在△ABD中，利用勾股定理逆定理证明△ABD是直角三角形，进而得到j∠ADB=90°，然后在Rt△ACD中利用勾股定理计算出的长即可；
（2）有（1）可知，BC是△ABC的底，AD是高，根据三角形的面积公式代入数计算即可．
37．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC．你能说明BE与DF相等吗？请写出证明过程.
【答案】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E， CF⊥AD于F，
∴∠F＝∠CEB＝90°，CE＝CF．
在Rt△CEB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△CEB≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝DF．
【解析】【分析】由垂直的定义及角平分线的性质可得∠F＝∠CEB＝90°，CE＝CF，根据HL证明 Rt△CEB≌Rt△CFD，利用全等三角形的对应边相等即可求解.
38．推理填空：
如图，于，于，，可得平分.
理由如下：于，于，（已知）
，（垂直的定义）
，（ ）
▲ ，（ ）
，（ ）
又，（已知）
▲ ，（等量代换）
平分（角平分线的定义）
【答案】证明：于，于已知，
（垂直的定义），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又（已知），
（等量代换），
平分（角平分线的定义）.
故答案为：同位角相等，两直线平行；2；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；2.
【解析】【分析】由垂直的概念可得∠ADC=∠EGC=90°，推出AD∥EG，由平行线的性质可得∠1=∠2，∠E=∠3，结合∠E=∠1可得∠2=∠3，据此证明.
39．如图，在中，D为边上一点，已知，，，．请判断的形状，并求出的长．
【答案】解：在中，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且；
在中，，，即，
，即，
解得：．
【解析】【分析】先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理可得，最后求出即可。
40．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=3 ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得△MNC，连结BM，求BM的长．
【答案】解：连结AM，设AC交BM于点D．
∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得△MNC，
∴∠ACM=60°，CA=CM，
∴△ACM是等边三角形，∴MA=MC，
∵BA=BC，∴BM垂直平分AC于点D，
∵∠ABC=90°，BA=BC=3 ，
∴CA= BA=6，DB=DC=DA=3，DM＝ DC=3 ，
∴BM＝BD＋DM＝3 ＋3．
【解析】【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角形根据AB=BC，CM=AM，得出BM垂直平分AC，于是求出DB与DM，最终得到BM=BD＋DM．
41．如图所示，圆柱形玻璃容器高19 cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1.5cm的点A处有一只蜘蛛，距蜘蛛正对面的圆柱形容器的上底1.5 cm处的点B处有一只苍蝇，蜘蛛急于捕捉苍蝇充饥，请你帮蜘蛛计算它沿容器侧面爬行的最短长度．
【答案】解：如图所示，将圆柱侧面展开成长方形MNQP，过点B作BC⊥MN于点C，连接AB，
则线段AB的长度即为最短距离．
在Rt△ACB中，AC=MN- AN-CM= 16 cm，
BC是上底面的半圆周的长，即BC= 30 cm．
由勾股定理，得AB2=AC2+ BC2=162+302=1156=342，
所以AB=34 cm．
所以蜘蛛所走的最短路线的长度为34 cm．
【解析】【分析】将圆柱侧面展开成矩形，将最短路线转化到平面图形中，根据勾股定理即可解得。
42．在某风景游船处，如图，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳．后船移动到点D的位置，此时船距离岸边多少m （结果保留根号）
【答案】解：∵在中，，，，
∴，
∵此人以的速度收绳，后船移动到点D的位置，
∴，
∴，
答：此时船距离岸边．
【解析】【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再求出CD的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。
43．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．
【答案】解：CN=MN+BM．证明：
如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°．
又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．
在△MBD和△ECD中，
∴△MBD≌△ECD（SAS）．
∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．
∴∠MDN=∠EDN．
在△MND与△END中，
∴△MND≌△END（SAS）．
∴MN=NE．
∴CN=NE+CE=MN+BM．
【解析】【分析】 CN=MN+BM． 理由：如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，先求证△MBD≌△ECD ，可得MD=ED，∠MDB=∠EDC．继而求证△MND≌△END，可得MN=NE，从而求出CN=NE+CE=MN+BM．
44．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图（1），根据勾股定理，则a2+b2=c2，若△ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.
【答案】证明：（1）当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD＝x，则有DB＝a－x.
根据勾股定理，得b2－x2＝c2－（a－x）2，即b2－x2＝c2－a2＋2ax－x2.
∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，
∴a2＋b2＞c2.
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，
设CD＝x，则BD2＝a2－x2.根据勾股定理，得（b＋x）2＋（a2－x2）＝c2，∴a2＋b2＋2bx＝c2.
∵b＞0，x＞0，∴2bx＞0，∴a2＋b2＜c2.
【解析】【分析】（1） 当△ABC为锐角三角形时，过点A作AD⊥CB，垂足为D， 用勾股定理可得关于CD的方程，根据平方的非负性可得 a2＋b2＞c2； （2）当△ABC为钝角三角形时，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D， 在直角三角形ABD和直角三角形BCD中，用勾股定理可得关于CD的方程，根据平方的非负性和边长是正数可得 a2＋b2＜c2.
45．已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．
图1 图2 图3
（1）如图1，延长交于点，若，，求的长；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，求证；
（3）如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．
【答案】（1）解 ：如图，过点F作于点P，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图2，延长到I，使，连接，过点H作，交于点M，
为等边三角形，
，，
由旋转的性质得，，，，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
，
同理，
，
；
（3）
【解析】【解答】解：（3）如图3，过点D，H分别作的垂线，分别交于点F，交于点G，作，交于点E，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
的周长最小值时，的值最小，
当时，的值最小，此时，
即点K，点G重合，如图4，
【分析】(1)作FP⊥BC，利用特殊角45°和60°求出CF的长；
(2)延长到I，使，作，证明，，可得结论；
(3)先转化线段，作DF⊥BC，得BD=2BF由BD=2CH得，再得得DE=DK，BE=AD，BD=AK，当DE取最小值时，△ADk的周长取最小值，得CG=AK=BD=4； 求出此时△CKQ的面积即可.
46．如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD．
（1）求证：△OCD是等边三角形
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由
（3）探究：当α等于多少时，AOD是等腰三角形？（请直接写出结果） ．
【答案】（1）证明：∵△BOC≌△ADC，
∴OC=DC，
∵∠OCD= 60°，
∴△OCD是等边三角形.
（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：
∵△OCD是等边三角形，
∴∠ODC= 60°，
∵△BOC≌△ADC，α=150° ，
∴∠ADC=∠BOC=α= 150°，
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°，
∴△AOD是直角三角形．
（3）解：当a=110°或125° 或140° 时，△AOD是等腰三角形.
【解析】【解答】解：（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD=∠ODC=60°，
∵∠AOB=110°，∠ADC=∠BOC=α ，
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α -60°=190°-α ，
∠ADO=∠ADC-∠ODC=α -60°，
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-（190°-α ）-（α -60°）=50°，
当∠ADO=∠OAD时，α -60°=50°，
解得：α=110°；
当∠AOD=∠ADO时，190°-α =α -60°，
解得：α=125°；
当∠AOD=∠OAD时，190°-α =50°，
解得：α=140°；
综上所述：当a=110°或125° 或140° 时，△AOD是等腰三角形.
【分析】（1）根据全等三角形的性质求出OC=DC，再根据等边三角形的判定方法证明求解即可；
（2）根据等边三角形的性质求出∠ODC= 60°，再根据全等三角形的性质以及直角三角形的判定方法求解即可；
（3）根据△OCD是等边三角形求出∠COD=∠ODC=60°，再分类讨论，根据等腰三角形的性质计算求解即可。
47．如图甲，已知A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD．
（1）试问OE＝OF吗？请说明理由．
（2）若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．
【答案】（1）解：OE＝OF；
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEF＝∠BFE＝90°．
∵AE＝CF，AE+EF＝CF+EF．即AF＝CE．
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∵ ，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL），
∴BF＝DE．
在△BFO和△DEO中，
∵ ，
∴△BFO≌△DOE（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：结论依然成立．
理由：由AE＝CF，得AF＝CE，
结合已知得Rt△ABF≌Rt△CDE，
由BF＝DE，从而△BFO≌△DEO，
∴FO＝EO，
即结论依然成立.
【解析】【分析】（1）根据题意，由 HL 证明 Rt△ABF≌Rt△CDE ，根据直角三角形的性质，即可得到BF=DE，继而根据 AAS 证明 △BFO≌△DOE ，求出OE=OF；
（2）同理，根据三角形全等的判定定理证明 Rt△ABF≌Rt△CDE ，继而根据全等三角形的性质证明 △BFO≌△DEO ，得到结论。
48．在学习七下课本121页“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学．
（1）【问题原型】定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合．如图，在中，平分．根据图形1用几何语言写出该定理
①∵，平分，
∴ ， ；
②在中，的周长为32，的周长为23，则的长为 ．
（2）【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现了同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成命题的证明．
已知：在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一：如图2，延长到点E，使， 连接．
方法二：如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F．
（3）【拓展延伸】如图4，在中，平分，点E为中点，与相交于点F，过点B作交延长线于点H，设的面积分别为，若，试求的最大值．
【答案】（1），；；
（2）解：（2）证明：方法一：如图2， 延长到点E，使， 连接，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
方法二：
如图3，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点D是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：延长交的延长线为点，如图：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的面积分别为，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
当以为底边，为高时，有最大值，即有最大值，
∴的最大值为：，
∴的最大值为．
【解析】【解答】解：（1）如图：
∵，平分，
∴，，
故答案为：，；
设，，，
∵的周长为32，
∴，
∴，
∵的周长为23，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据等腰的性质补充推理过程即可；
同理结合等腰的性质及已知三角形的周长推理分析，为便于理解，可通过设元更为直观表示其内在关系解得目标AD的长；
（2）方法一：通过辅助线构造完成全等证明，后利用全等的性质及等腰三角形的判定进一步得证；
方法二：同理通过辅助线构造完全二次全等证明，后利用全等的性质即可得证等腰.
（3）根据角平分线及高线构造补全等腰，即延长交的延长线为点，后根据条件将目标面积进行转换，即，结合等腰的性质进一步将目标面积转化向条件靠拢，即，利用垂线段最短分析即可计算出此时最值.
49． 中， ， ， ， 分别是边 和 上的动点，在图中画出 值最小时的图形，并直接写出 的最小值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，最小值为A'M的长. 连接AN， 在Rt△ABC中，AC=4，AB=8， ∴BC= ∵∴AH= ∵CA⊥AB，A'M⊥AB， ∴CA∥A'M ∴∠C=∠A'NH， 由对称的性质可得AH=A'H，∠AHC=∠A'HN=90°，AN=A'N 在△ACH和△A'NH中， ∵∠C=∠A'NH，∠AHC=∠A'HN，AH=A'H， ∴△ACH≌△A'NH（AAS） ∴A'N=AC=4=AN， 设NM=x， 在Rt△AMN中，AM2=AN2-NM2= 在Rt△AA'M中，AA'=2AH= ，A'M=A'N+NM=4+x ∴AM2=AA'2-A'M2= ∴ 解得 此时 的最小值=A'M=A'N+NM=4+ =
【分析】作A点关于BC的对称点A'，A'A与BC交于点H，再作A'M⊥AB于点M，与BC交于点N，此时AN+MN最小，连接AN，首先用等积法求出AH的长，易证△ACH≌△A'NH，可得A'N=AC=4，然后设NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM的长，A'M的长即为AN+MN的最小值.
50．几何探究：
已知： 和 都是等边三角形，连接 CD，BE 交于点 P.
（1） 如图 1，①判断 BE 与 DC 的数量关系： ，= ；
② 连接 AP， 与 的数量关系是： ；
（2） 如图 2，H，G 分别是 DC，BE 的中点，
① 当 时， ▲ ；
② 当 发生变化时，请探究 的度数是否发生变化，并说明理由；
（3） 连接 AP，求 的值.
【答案】（1）BE=DC；60°； =
（2）解：①60°
②不发生变化，理由如下
连接AH
∵△ABE≌△ADC
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD
∵H，G 分别是 DC，BE 的中点
∴CH=EG
在△AEG和△ACH中
∴△AEG≌△ACH
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH
∴∠GAH=∠EAC=60°
∴△AGH为等边三角形
∴∠AGH=60°
（3）解：在DC上截取DG=BP，连接AG
在△ADG和△ABP中
∴△ADG≌△ABP
∴∠DAG=∠BAP，AG=AP
∵∠DAG+∠BAG=60°
∴∠BAG+∠BAP=60°，即∠PAG=60°
∴△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP
∴PA=PG
在△CAG和△EAP中
∴△CAG≌△EAP
∴CG=EP
∴PD+PE=DG+PG+PC+PG=PB+PC+2PA
∴
【解析】【解答】解：（1）①∵△ABD和△AEC都是等边三角形
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°
∴∠BAE=∠DAC
在△ABE和△ADC中
∴△ABE≌△ADC
∴BE=DC
设AB与DC的交点为F
∵△ABE≌△ADC
∴∠ADE=∠ABE
∵∠DFA=∠BFP
∴△DFA∽△BFP
∴∠BPF=∠BAD=60°
故答案为：BE=DC；60°
②作点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N
∵△ABE≌△ADC
∴DC=BE
∴AM=AN
∴AP平分∠DPE
∴ =
故答案为： =
（2）①连接AH
∵△ABE≌△ADC
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD
∵H，G 分别是 DC，BE 的中点
∴CH=EG
在△AEG和△ACH中
∴△AEG≌△ACH
∴AG=AH，∠EAG=∠CAH
∵∠EAG=∠EAC+∠CAG，∠CAH=∠CAG+∠GAH
∴∠GAH=∠EAC=60°
∴△AGH为等边三角形
∴∠AGH=60°
【分析】（1）①根据等边三角形性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，则∠BAE=∠DAC，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△ADC，则BE=DC，设AB与DC的交点为F，根据全等三角形性质可得∠ADE=∠ABE，再根据相似三角形判定定理可得△DFA∽△BFP，则∠BPF=∠BAD=60°，即可求出答案.
②作点A作AM⊥DC于点M，AN⊥BE于点N，根据全等三角形性质可得DC=BE，则AM=AN，再根据角平分线判定定理可得AP平分∠DPE，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）①连接AH，根据全等三角形性质可得BE=DC，∠AEB=∠ACD，根据线段中点可得CH=EG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△ACH，则AG=AH，∠EAG=∠CAH，根据角之间的关系可得∠GAH=∠EAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得△AGH为等边三角形，则∠AGH=60°，即可求出答案.
②连接AH，根据全等三角形性质可得BE=DC，∠AEB=∠ACD，根据线段中点可得CH=EG，再根据全等三角形判定定理可得△AEG≌△ACH，则AG=AH，∠EAG=∠CAH，根据角之间的关系可得∠GAH=∠EAC=60°，再根据等边三角形判定定理可得△AGH为等边三角形，则∠AGH=60°，即可求出答案.
（3）在DC上截取DG=BP，连接AG，根据全等三角形判定定理可得△ADG≌△ABP，则∠DAG=∠BAP，AG=AP，再根据角之间的关系可得∠PAG=60°，再根据等边三角形性质可得△PAG为等边三角形，∠PAG+∠CAP=∠CAP+∠CAE，即∠CAG=∠EAP，根据等角对等边可得PA=PG，再根据全等三角形判定定理可得△CAG≌△EAP，则CG=EP，再根据边之间的关系即可求出答案.
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