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【解答题强化训练·42道必刷题】七年级上册第2章 有理数的运算
2.1有理数的加法
1．（2023七上·桑植期中）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，．
（1）问收工时距A地多远？在哪个方向？
（2）若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？
2．某品牌奶粉每袋质量为500克，在质量检测中，若质量超出标准质量2克记作-克，若质量低于标准质量3克以上，则这袋奶粉视为不合格产品。现抽取10袋样品进行质量检测，结果如下：(单位：克)
袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
记作 -2 0 3 -4 -3 -5 4 4 5 -3
（1）这10袋奶粉中，有哪几袋不合格
（2）质量最大的是哪袋 它的实际质量是多少
3．（2024七上·江门月考）已知|a|=5，|b|=3，且a＜b，求a+b的值．
4．（2024七上·顺德月考）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：
（1）处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶1千米耗油升，这一天共耗油多少升？
5．借助有理数的运算，对任意有理数a，b，定义一种新运算“ ”，规则如下：a b=|a+b|。例如，2 (-1)=|2+(-1)|=1。
（1）填空：①5 (-2)= ；②3 x=4，则x= 。
（2）我们知道有理数加法运算具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，请你探究这种新运算“ ”是否也具有结合律。若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明。
6．在数轴上表示下列运算，并求出计算结果．
（1）2+3．
（2）(-5)+(-2)．
（3）(-8)+(+5)．
（4）(-6)+6．
2.2有理数的减法
7．（2023七上·雷州月考）已知，．
（1）当、同号时，求的值；
（2）当、异号时，求的值．
8．（2024七上·荔湾期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
里程波动值 2 6 3 0 4 1
（1）第2棒火炬手的实际里程为 米，第6棒火炬手的实际里程为 米；
（2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程．
9．（2024七上·浦北期末）已知有理数满足条件：，，，求的值．
10．列式并解答下列问题：
（1）什么数与的和等于-1？
（2）+8，-5，-6的绝对值的和比它们的和的绝对值大多少？
11．已知|a|=5，b2=9.
（1）求a+b的值.
（2）若|a+b|=a+b，求a-b的值.
12． 宁波某区9 月 30 日某电影的售票量为1.1万张，该区10 月 1 日到 10月 7 日该电影售票量的变化如下表(售票量比前一天多记为正，售票量比前一天少记为负)：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日
售票量的变化(单位：万张) +0.5 +0.1 -0.3 -0.2 +0.4 -0.2 +0.1
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）10月2日的售票量为多少万张
（2）10月 7 日与9 月 30 日相比较，哪一天的售票量多 多多少万张
（3）若平均每张票价为50元，则10月1日到10月7 日该区销售该电影的电影票共收入多少万元
2.3有理数的乘法
13．（2023七上·云梦期中）晨光文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前五天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负.文具店记录了这五天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
每支价格相对标准价格（元）
售出支数（支） 6 10 15 22 31
（1）这五天中赚钱最多的是第几天 这天赚了多少元
（2）晨光文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了多少钱
14．（2024七上·佛山期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2800个，平均每天生产400个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：个）
（1）写出该厂星期一生产工艺品的数量是 ；本周产量最多的一天比最少的一天多生产 个工艺品；
（2）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
（3）已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．
15．（2024七上·榕城期中）有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） –3 –2 –1.5 0 1 2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
（1）在这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）求这20筐苹果的总质量．
16．（2024七上·丰城期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求式子值．
17．记符号表示不超过x的最大整数，如，，．
（1）分别写出和的值；
（2）计算：．
18．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算 的值，看谁算得又快又对。有两名同学的解法如下：
小明：原式
小军：原式
（1）对于以上两种解法，你觉得谁的解法比较好
（2）你认为还有更好的解法吗 如果有，请把它写出来；如果没有，请说明理由。
（3）用你认为最简便的方法计算：
2.4有理数的除法
19．（2023七上·船营期中）小明有5张写着不同数字的卡片，完成下列各问题：
（1）把卡片上的5个数在数轴上表示出来；
（2）从中取出3张卡片，将这3张卡片上的数字相乘，乘积的最大值为 ；
（3）从中取出2张卡片，将这2张卡片上的数字相除，商的最小值为
20． 列式计算：
（1）已知两个数的乘积是1，其中一个数是 求另一个数；
（2）已知两数的商是 ，被除数是4 ，求除数.
21．（2024七上·白云期中）张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表：
与标准质量的差（单位：千克） 0
箱数 2 5 1 4 6 2
（1）若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？
（2）这批样品总质量是多少千克？
22．方方在计算时，由于不小心，后面的数被墨水覆盖了.
（1）方方问了同桌圆圆，发现圆圆计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为请求出被墨水覆盖的数.
（2）请你正确计算这道题.
23．（2023七上·德惠月考）根据下列语句列式并计算：
（1）+1.1与-3.2的绝对值的和
（2） 2.5的相反数和的倒数的商
24．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下面各题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
（2）从中抽取3张卡片，使得3张卡片中，2张上的数字先乘，再除以第3张上的数字所得的结果最大，如何抽取？最大值是多少？
2.5有理数的乘方
25． 用科学记数法表示下列叙述中的数。
（1）银河系中大约有恒星200 000 000 000颗；
（2）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米；
（3）地球的质量大约是5 980 000 000 000 000 000 000吨。
26． 某银行去年新增加居民存款 10 亿元人民币。(结果用科学记数法表示)
（1）经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高
（2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104 张/时，按每天点钞5 小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为 100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天
27． 写出下列用科学记数法表示的数的原数。
（1）
（2）1.01×102。
（3）
28．某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．经过5小时，这种细胞由1个分裂成了多少个？
29．（2024七上·呈贡期中）（1）若互为相反数，且、互为倒数，，求的值．
（2）已知，若，求的值．
30．
（1）用科学记数法表示数：230000；．
（2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
4.315×103；1.02×106．
（3）计算：(8.1×108)÷(9×105)．
2.6有理数的混合运算
31．（2024七上·鹤山期末）恩平市倡导学生全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与标准的差（分钟） 0
（1）星期五婷婷读了______分钟；
（2）求她这周平均每天读书的时间．
32．下面的解题过程正确吗 如果不正确，请指出错误的原因并给出正确的解答。
（1）
（2）
33．（2024七上·南关期末）如图是长春市南北方向上地铁一号线的线路图，途中共设个站点某天，李华参加该线路上的志愿者服务活动，从北环城路站出发，最后在站结束服务活动如果规定向南为正，向北为负，李华当天乘坐地铁的站数按先后顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，，．
（1）请通过计算说明站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离约为千米，求这次李华志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
34．（2024七上·鹿寨期末）“大米小珍馐，小吃大灵魂．粉好度日月，螺小赛乾坤．”广西螺蛳粉日渐成为风靡全国的“舌尖网红”．现有8箱螺蛳粉，称后的纪录如下（单位：千克）
回答下列问题：
（1） 如果每箱螺蛳粉以4千克为标准，这8箱螺蛳粉中最接近标准重量的是哪一箱？
（2） 以每箱4千克为标准，与标准重量比较，8箱螺蛳粉总计超过或不足多少千克？
（3）若螺蛳粉每千克售价25元，则出售这8箱螺蛳粉可卖多少元？
35．观察下列各式：
……
回答下列问题：
（1）猜想：(a×b)n= 。
（2）请用我们学过的知识，说明上式成立的理由。
（3）计算：
36．老师布置了一道有理数的混合运算题：
下面是小丽的解答过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
=(-8)÷1 第四步
=-8. 第五步
（1）小丽的解答过程共存在 处错误，分别是第 步.
（2）请你写出正确的解答过程.
2.7近似数
37．下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位
（1）32.
（2）17.93.
（3）2.3万.
（4）1.35×104.
38．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数.
（1）1.5673(精确到0.01).
（2）0.65148(精确到千分位).
（3）249.9(精确到个位).
（4）316.95(精确到十分位).
（5）28736(精确到百位，并用科学记数法表示).
（6）203500(精确到千位，并用科学记数法表示).
39．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60 m，一根为2.56 m，另一根为2.62m，怎么不合格？“
（1）图纸要求精确到2.60m，原轴的范围是多少？
（2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
40．解答下列各题（请按实际意义取近似值）：
（1）全班45人都参加800米测试，最多 6人一组，问至少需分成几组
（2）每辆汽车需装 4 只轮胎，61 只轮胎能装配成几辆汽车
41．据统计：我国西部10个省（市、区）的人口约为284700000人，土地面积约为537196000平方千米，请回答：
①用四舍五入法取上述两数的近似值（精确到百万位）；
②求西部10个省（市、区）人均占有的土地面积（精确到0.1平方千米）
42．用四舍五入法对下列各数按要求取近似数．
①9.23456（精确到0.0001）；
②567899（精确到百位）．
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【解答题强化训练·42道必刷题】七年级上册第2章 有理数的运算
2.1有理数的加法
1．（2023七上·桑植期中）某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定往东为正，往西为负．某天自A地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：，，，，，，，，，．
（1）问收工时距A地多远？在哪个方向？
（2）若每千米路程耗油m升，问从A地出发到收工共耗油多少升？
【答案】（1）解：
=
=-35+37
=2（千米）
答：收工时在正东方向，距离A地2千米．
（2）解：从A地出发到收工行驶的总路程为：
（千米），
∴从A地出发到收工共耗油升．
答：从A地出发到收工共耗油升
【解析】【分析】（1）根据题意将所有数据相加列式计算即可；
（2）先求出运动的总路程即所有数据的绝对值，然后根据每千米路程耗油m升，求出从A地出发到收工共耗油量即可．
（1）解：（千米）
答：收工时在正东方向，距离A地2千米．
（2）解：从A地出发到收工行驶的总路程为：
（千米），
∴从A地出发到收工共耗油升．
2．某品牌奶粉每袋质量为500克，在质量检测中，若质量超出标准质量2克记作-克，若质量低于标准质量3克以上，则这袋奶粉视为不合格产品。现抽取10袋样品进行质量检测，结果如下：(单位：克)
袋号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
记作 -2 0 3 -4 -3 -5 4 4 5 -3
（1）这10袋奶粉中，有哪几袋不合格
（2）质量最大的是哪袋 它的实际质量是多少
【答案】（1）解：由题意得，当奶粉的质量小于-3时，奶粉视为不合格，
∴第4袋和第6袋不合格
（2）解：由图可知，第9袋的质量记为5，最大，实际质量为：500+5=505克，
∴质量最大的是第9袋，实际质量是505克
【解析】【分析】(1)根据正负数的所表示的意义，可以得出第4、6袋不合格；
(2)根据有理数的加法，可以得出第九袋的质量.
3．（2024七上·江门月考）已知|a|=5，|b|=3，且a＜b，求a+b的值．
【答案】解：∵|a|=5，|b|=3
∴a=±5，b=±3，
∵a＜b，
∴ 或
当时，
当时，
综上所述，a+b的值是或．
【解析】【分析】根据绝对值得出a=±5，b=±3，由a＜b可确定 或然后分别代入计算即可．
4．（2024七上·顺德月考）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：
（1）处在岗亭何方？距离岗亭多远？
（2）若摩托车每行驶1千米耗油升，这一天共耗油多少升？
【答案】（1）解：由题意得：
-8+7+（-15）+6+4+（-2）
=-8+[7+6+4+(-15)+(-2)]
=-8+0
=-8.
∴处在岗亭南方，距离岗亭8千米.
（2）解：
=8+7+15+6+4+2
=42，
∴ 这一天共耗油：42×0.1=4.2.
答： 这一天共耗油升.
【解析】【分析】（1）由题意，把当天行驶情况记录的数据相加，根据规定向北方向为正可得，如果结果为正，则处在岗亭北方，反之处在北方；所得结果的绝对值就是与岗亭的距离；
（2）由题意，把当天行驶情况记录的数据的绝对值相加即为摩托车行驶的路程，根据摩托车每行驶1千米耗油升可得，用摩托车行驶的路程乘以就是摩托车一天的耗油量．
（1）解：根据题意：
（千米）．
答：处在岗亭南方，距离岗亭8千米；
（2）（升）．
答：这一天共耗油升．
5．借助有理数的运算，对任意有理数a，b，定义一种新运算“ ”，规则如下：a b=|a+b|。例如，2 (-1)=|2+(-1)|=1。
（1）填空：①5 (-2)= ；②3 x=4，则x= 。
（2）我们知道有理数加法运算具有结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)，请你探究这种新运算“ ”是否也具有结合律。若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明。
【答案】（1）3；1或-7
（2）新运算“ ”不具有结合律。反例如下：
∵[4 (-5)] (-5)
=|4+(-5)| (-5)
=1 (-5)
=|1+(-5)|
=4，
4 [(-5) (-5)]
=4 |(-5)+(-5)|
=4 10
=|4+10|
=14，
∴[4 (-5)] (-5)≠4 [(-5) (-5)]，
∴新运算“ ”不具有结合律。
【解析】【解答】(1)①∵a b=|a+b|，
∴5 (-2)
=|5+(-2)|
=3；
②∵a b=|a+b|，
∴3 x=|3+x|=4，
∴3+x=±4，∴x=1或-7.
故答案为：3；1或-7.
【分析】（1）①根据新定义运算列式求解即可得出答案；
②根据新定义运算列方程求解，根据绝对值的意义分类讨论求解即可得出答案；
（2）根据新定义运算结合绝对值的意义进行分析说明是否具有结合律.
6．在数轴上表示下列运算，并求出计算结果．
（1）2+3．
（2）(-5)+(-2)．
（3）(-8)+(+5)．
（4）(-6)+6．
【答案】（1）解：如图：
2+3=5.
（2）解：如图，
(-5)+(-2)=-7.
（3）解：如图：
(-8)+(+5)=-3.
（4）解：如图：
(-6)+6=0.
【解析】【分析】根据有理数的加法法则“有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数”计算即可求解.
2.2有理数的减法
7．（2023七上·雷州月考）已知，．
（1）当、同号时，求的值；
（2）当、异号时，求的值．
【答案】（1）解：∵，，且a，b同号，
∴或，
则或；
故答案为：10或.
（2）解：∵，，且a，b异号，
∴或，
则或．
故答案为：10或.
【解析】【分析】（1）利用绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，及、同号，求出a与b的值，即可求出的值．
（2）利用绝对值的代数意义及、异号求出a与b的值，即可求出的值．
（1）∵，，且a，b同号，
∴或，
则或；
（2）∵，，且a，b异号，
∴或，
则或．
8．（2024七上·荔湾期末）某学校校运会开幕式上举行火炬传递仪式，共安排了12名火炬手跑完全程，平均每人传递里程为60米．以60米为基准，其中实际里程超过基准的米数记为正数，不足的记为负数，并将其称为里程波动值．下表记录了部分火炬手的里程波动值．
棒次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
里程波动值 2 6 3 0 4 1
（1）第2棒火炬手的实际里程为 米，第6棒火炬手的实际里程为 米；
（2）若第4棒火炬手的实际里程为61米，求第10棒火炬手的实际里程．
【答案】（1）66；58
（2）解：第4棒火炬手的实际里程为61米，
第4棒火炬手的里程波动值为，
第10棒火矩手的里程波动值为
第10棒火炬手的实际里程为（米）
答：第10棒火炬手的实际里程米．
【解析】 【解答】解：（1）由题意可得：
第2棒火炬手的实际里程为60+6=66米
第6棒火炬手的实际里程为60-2=58米
故答案为：66；58
【分析】（1）根据有理数的加减，结合题意即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
9．（2024七上·浦北期末）已知有理数满足条件：，，，求的值．
【答案】解：∵，，
，．
∵，
∴，或，，
当，时，．
，时，．
或．
【解析】【分析】根据异号得负和绝对值的性质确定出a、b的值，然后相减即可得解．
10．列式并解答下列问题：
（1）什么数与的和等于-1？
（2）+8，-5，-6的绝对值的和比它们的和的绝对值大多少？
【答案】（1）解：∵-1-（-）=-1+=，
∴ 与的和等于-1 ；
（2）解：由题意得，
(|+8|+|-5|+|-6|)-|(+8)+(-5)+(- 6)|
=19-3
=16．
∴+8．-5，-6的绝对值的和比它们的和的绝对值大16．
【解析】【分析】（1）根据加数=和减去另一个加数即可求解；
（2）根据题意列式计算即可求解.
11．已知|a|=5，b2=9.
（1）求a+b的值.
（2）若|a+b|=a+b，求a-b的值.
【答案】（1）解：（1）已知|a| = 5，由于绝对值的定义可知，a = 5或a = -5，
已知b2 = 9，根据平方根的定义可知b =3或b=-3，
分情况计算a+b的值
当a=5，b=3时，a+b=5+3=8，
当a=5，b=-3时，a+b=5+(-3)=5-3=2，
当a=-5，b=3时，a+b=-5+3=-2，
当a=-5，b=-3时，a +b=-5+(-3)=-5-3=-8，
所以a+b的值为±2或±
（2）解：根据绝对值的性质可知分析a+b≥0，
结合（1）中a、b的取值情况：
当a=5，b=3时，a + b = 8＞0，满足条件，此时a - b = 5 - 3 = 2，
当a=5，b= -3时，a + b = 2＞0，满足条件，此时a - b = 5 - (-3)= 5 + 3 = 8，
当a=-5，b=3时，a + b = -2＜0，不满足条件，
当a=-5，b= -3时，a + b = -8＜0，不满足条件，
所以a - b的值为2或8
【解析】【分析】（1）根据a、b的值，分情况讨论计算 a+b 的值；
（2）根据绝对值的非负性可知a+b≥0，据此对a、b的取值进行筛选讨论，进而求出a-b的值.
12． 宁波某区9 月 30 日某电影的售票量为1.1万张，该区10 月 1 日到 10月 7 日该电影售票量的变化如下表(售票量比前一天多记为正，售票量比前一天少记为负)：
日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日
售票量的变化(单位：万张) +0.5 +0.1 -0.3 -0.2 +0.4 -0.2 +0.1
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）10月2日的售票量为多少万张
（2）10月 7 日与9 月 30 日相比较，哪一天的售票量多 多多少万张
（3）若平均每张票价为50元，则10月1日到10月7 日该区销售该电影的电影票共收入多少万元
【答案】（1）解：10月2日的售票量为：1.1＋0.5＋0.1＝1.7（万张）；
答：10月2日的售票量为1.7万张.
（2）解：10月1日的售票量为：1.1＋0.5＝1.6（万张）；
10月2日的售票量为：1.6＋0.1＝1.7（万张）；
10月3日的售票量为：1.7 0.3＝1.4（万张）；
10月4日的售票量为：1.4 0.2＝1.2（万张）；
10月5日的售票量为：1.2＋0.4＝1.6（万张）；
10月6日的售票量为：1.6 0.2＝1.4（万张）；
10月7日的售票量为：1.4＋0.1＝1.5（万张）；
1.5 1.1＝0.4（万张）；
答：10月7日与9月30日相比较，10月7的售票量多，多0.4万张.
（3）解：10月1日到7日的售票量为：1.6＋1.7＋1.4＋1.2＋1.6＋1.4＋1.5＝10.4（万张），
50×10.4＝520（万元），
故该区销售《长津湖》共520万元．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据列出算式求解即可
（2）先求出每一天的销售量，再吧比较大小即可
（3）先求出总数量，再利用”总费用=单价×数量“列出算式求解即可.
2.3有理数的乘法
13．（2023七上·云梦期中）晨光文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前五天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负.文具店记录了这五天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：
第1天 第2天 第3天 第4天 第5天
每支价格相对标准价格（元）
售出支数（支） 6 10 15 22 31
（1）这五天中赚钱最多的是第几天 这天赚了多少元
（2）晨光文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了多少钱
【答案】（1）解：第1天到第5天的每支钢笔的相对标准价格（元）分别为+3，+2，+1，-1，-2，
则每支钢笔的实际价格（元）分别为13，12，11，9，8，-
那么：
第1天的利润为：（13-6）×6＝42（元）；
第2天的利润为：（12-6）×10＝60（元）；
第3天的利润为：（11-6）×15＝75（元）；
第4天的利润为：（9-6）×22＝66（元）；
第5天的利润为：（8-6）×31＝62（元）；
故这五天中赚钱最多的是第3天，这天赚了75元．
（2）解：42+60+75+66+62＝305（元）
故晨光文具用品店这五天出售这种钢笔一共赚了305元钱．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据和有理数的加减法运算，可得每支钢笔的实际价格=10+相对标准价格；根据利润=每天钢笔的售出支数×（每支钢笔实际售价-进价），计算每天的利润，然后进行比较即可；
（2）根据总利润=每天的利润相加，即可求得.
14．（2024七上·佛山期中）某工艺厂计划一周生产工艺品2800个，平均每天生产400个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（单位：个）
（1）写出该厂星期一生产工艺品的数量是 ；本周产量最多的一天比最少的一天多生产 个工艺品；
（2）请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量；
（3）已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖50元，少生产一个扣80元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额．
【答案】（1）406个，28
（2）解：根据题意得一周生产的工艺品个数为：
（个）．
答：工艺品厂这一周共生产工艺品2812个
（3）解：根据题意得该厂工人一周的工资总额为：
（元）
【解析】【解答】（1）解：周一的产量为：个；
由表格可知：星期六产量最高，为（个），
星期五产量最低，为（个），
则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）；
故答案为：406，28
【分析】（1）根据表格的信息，求出周一的产量；然后再根据表格中的信息，求出本周中产量最高和最低的时间，然后再用最高的产量减去最低的产量，即可求解；
（2）根据表格的信息，用平均每天的产量乘以7，然后再根据每天产量的增减情况进行加减即可。
（3）根据（2）中求出的这周生产的工艺品总数，然后再根据“每生产一个工艺品可得60元”，用工艺品总数乘以一个工艺品的单价，再根据表格中的信息，找出超额完成的天数，然后再将超额完成的总量乘以50元，再找出少完成的天数，然后再将少生产的总量乘以80，最后再将以上数据进行相加即可求解。
（1）解：周一的产量为：个；
由表格可知：星期六产量最高，为（个），
星期五产量最低，为（个），
则产量最多的一天比产量最少的一天多生产（个）；
故答案为：406，28；
（2）解：根据题意得一周生产的工艺品个数为：
（个）．
答：工艺品厂这一周共生产工艺品2812个；
（3）解：根据题意得该厂工人一周的工资总额为：（元）．
15．（2024七上·榕城期中）有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：
与标准质量的差值（单位：千克） –3 –2 –1.5 0 1 2.5
筐数 1 4 2 3 2 8
（1）在这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？
（2）求这20筐苹果的总质量．
【答案】（1）解：2.5-（-3）=5.5（千克），
答：20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克.
（2）解：20×25+（-3×1）+（-2×4）+（-1.5×2）+0×3+1×2+2.5×8=508（千克）
答：这20筐苹果的总质量时508千克．
【解析】【分析】（1）找出记录中最大和最小的差值，用最大差值减去最小差值，就能得到最重与最轻筐的重量差.
（2）先算出20筐苹果按标准质量的总重量，再加上每筐与标准质量差值的总和，就是实际总质量.
（1）解：2.5-（-3）=5.5（千克），
答：20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；
（2）解：20×25+（-3×1）+（-2×4）+（-1.5×2）+0×3+1×2+2.5×8=508（千克）
答：这20筐苹果的总质量时508千克．
16．（2024七上·丰城期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，，求式子值．
【答案】解：由题意知，，，或，
当时，原式
当时，原式，
综上，值为4或．
故答案为：4或．
【解析】【解答】解：由题意知，，，或，
当时，原式
当时，原式，
综上，值为4或．
故答案为：4或．
【分析】本题考查相反数及倒数的性质，以及绝对值．根据互为相反数的两个数相加等于零，据此可得；再根据互为倒数的两数乘积为，据此可得：；已知 ，根据绝对值的意义可得：或，再分两种情况：或，将，，整体代入原式可求出式子的值.
17．记符号表示不超过x的最大整数，如，，．
（1）分别写出和的值；
（2）计算：．
【答案】（1）解：，
（2）解：．
【解析】【分析】（1）根据新定义的概念表示不超过x的最大整数，可得：，.
（2）先根据新定义概念算出各项得：，然后代入，根据乘法法则进行计算即可.
18．学习有理数的乘法后，老师给同学们这样一道题目：计算 的值，看谁算得又快又对。有两名同学的解法如下：
小明：原式
小军：原式
（1）对于以上两种解法，你觉得谁的解法比较好
（2）你认为还有更好的解法吗 如果有，请把它写出来；如果没有，请说明理由。
（3）用你认为最简便的方法计算：
【答案】（1）小军的解法比较好
（2）还有更好的解法：原式
（3）=
=
=-160+
=
【解析】【分析】 (1)根据计算量的多少判断解法的好坏；
（2）将改写成，再利用分配律求解；
（3）将改写成，再利用分配律求解.
2.4有理数的除法
19．（2023七上·船营期中）小明有5张写着不同数字的卡片，完成下列各问题：
（1）把卡片上的5个数在数轴上表示出来；
（2）从中取出3张卡片，将这3张卡片上的数字相乘，乘积的最大值为 ；
（3）从中取出2张卡片，将这2张卡片上的数字相除，商的最小值为
【答案】（1）解：如图所示
（2）50
（3）-8
【解析】【解答】解：（1）
（2）∵从中取出两张卡片，使三张卡片上的数字的乘积最大，∴收取的三张卡片是5，-4，-2.5，的最大值为：50。故答案为：50。
（3）∵ 从中取出2张卡片，将这2张卡片上的数字相除， ∴取出的卡片为：-4， ，商的最小值为：-8 。故答案为：-8.
【分析】（1）正数和负数的意义解得即可。（2）根据有理数的乘法法则即可解答。（3）有理数的除法法则即可确定。
20． 列式计算：
（1）已知两个数的乘积是1，其中一个数是 求另一个数；
（2）已知两数的商是 ，被除数是4 ，求除数.
【答案】（1） ，故另一个数是-
（2）故除数是
【解析】【分析】（1）根据题意可得算式 ，计算可得答案；
（2）根据题意可得算式，计算可得答案。
21．（2024七上·白云期中）张家口市怀来县种植葡萄已有800多年的历史，其中最知名的品种之一是龙眼葡萄，它被郭沫若誉为“北国明珠”．该县质监局对某企业出售的葡萄进行了抽检，从库中任意抽出20箱样品进行检测，每箱的质量超过标准质量（标准质量为10千克）的部分记为正数，不足的部分记为负数，记录如下表：
与标准质量的差（单位：千克） 0
箱数 2 5 1 4 6 2
（1）若每箱与标准质量的差的绝对值小于或等于0.2千克的记为合格产品，则这20箱样品的合格率是多少？
（2）这批样品总质量是多少千克？
【答案】（1）解：由题意得：合格的有（箱），
故合格率为：；
（2）解：
（千克）
（千克）
答：这批样品总质量为202.2千克．
【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，结合有理数的加法运算法则，先求得各个数据的和，再用数量除以总数量，即可求解；
（2）根据表格中的数据，结合标准质量乘以总箱数加上与标准质量的差的总和，即可得到答案．
（1）解：由题意得：合格的有（箱），
故合格率为：；
（2）解：
（千克）
（千克）
答：这批样品总质量为202.2千克．
22．方方在计算时，由于不小心，后面的数被墨水覆盖了.
（1）方方问了同桌圆圆，发现圆圆计算时误将后面的“+”看成了“÷”，从而算得结果为请求出被墨水覆盖的数.
（2）请你正确计算这道题.
【答案】（1）解：.
即被墨水覆盖的数是- .
（2）解：.
【解析】【分析】（1）将除以可得被墨水覆盖的数；
（2）代入（1）得出的正确的数字计算即可.
23．（2023七上·德惠月考）根据下列语句列式并计算：
（1）+1.1与-3.2的绝对值的和
（2） 2.5的相反数和的倒数的商
【答案】（1）解：1.1+=1.1+3.2=4.3
（2）解：-2.5÷（）=2.5×=
【解析】【分析】（1）由题意列式1.1+，再计算即可.
（2） 2.5的相反数是-2.5，的倒数是，将两数相除即可.
24．小明有5张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下面各题：
（1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
（2）从中抽取3张卡片，使得3张卡片中，2张上的数字先乘，再除以第3张上的数字所得的结果最大，如何抽取？最大值是多少？
【答案】（1）解：抽取-5 和3，最小值为-5÷3=；
（2）解：抽取-5，4和-3，最大值为：-5×4÷（-3）=-20÷（-3）=．
【解析】【分析】（1）根据有理数大小的比较，商最小，只需两个数的商为负数且绝对值最大即可；
（2）根据有理数大小的比较，结果最大，只需结果为正数且最大即可.
2.5有理数的乘方
25． 用科学记数法表示下列叙述中的数。
（1）银河系中大约有恒星200 000 000 000颗；
（2）太阳与地球的平均距离大约是150 000 000千米；
（3）地球的质量大约是5 980 000 000 000 000 000 000吨。
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【解析】【分析】把一个绝对值不小于1的数写成a×10n的形式（其中1≤|a|<10，n是正整数，n的值等于原数中整数部分的位数减1），这种形式的记数方法叫做科学记数法.
26． 某银行去年新增加居民存款 10 亿元人民币。(结果用科学记数法表示)
（1）经测量，100 张面值为 100 元的新版人民币大约厚0.9厘米，如果将10亿元面值为 100 元的新版人民币摞起来，大约有多高
（2）一台激光点钞机的点钞速度是8×104 张/时，按每天点钞5 小时计算，如果让点钞机点一遍10亿元面值为 100元的新版人民币，点钞机大约要点多少天
【答案】（1）解：10 亿=1000 000 000=109，
所以10亿元面值为100元的新版人民币的总张数为109÷100=107，
(厘米)。
（2）解：(天)
【解析】【分析】（1）先算出10亿元人民币的张数，然后再用张数乘以一张人民币的厚度即可.
(2)用10亿元人民币的张数除以速度，再根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算.
27． 写出下列用科学记数法表示的数的原数。
（1）
（2）1.01×102。
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【解答】【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值。在确定n的值时要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数。
28．某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．经过5小时，这种细胞由1个分裂成了多少个？
【答案】解：∵细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，
∴经过1小时，这种细胞由1个可分裂成2×2（个），
经过2小时，这种细胞由1个可分裂成2×2×2×2（个），
经过5小时要分裂10次，
∴分裂后的细胞个数为2×2×2×2×2×2×2×2×2×2=210=1024（个）.
【解析】【分析】根据分裂后的细胞个数与分裂的次数n的关系“分裂后的细胞个数=2n”可求解.
29．（2024七上·呈贡期中）（1）若互为相反数，且、互为倒数，，求的值．
（2）已知，若，求的值．
【答案】解：（1）∵互为相反数，且、互为倒数，，∴，
∴
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或．
【解析】【分析】（1）根据相反数，以及倒数的定义，求得， 再分别代入，进行计算，即可作答．
（2）根据绝对值的定义，根据得，结合，得出或，最后分别代入，进行计算，即可作答．
30．
（1）用科学记数法表示数：230000；．
（2）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
4.315×103；1.02×106．
（3）计算：(8.1×108)÷(9×105)．
【答案】（1）解：230000=2.3×105；=1.58×1033．
（2）解：4.315×103=4315；1.02×106=1020000．
（3）解：(8.1×108)÷(9×105)===900．
【解析】【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
2.6有理数的混合运算
31．（2024七上·鹤山期末）恩平市倡导学生全民阅读行动，婷婷同学坚持阅读，她每天以阅读30分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．下表是她一周阅读情况的记录（单位：分钟）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
与标准的差（分钟） 0
（1）星期五婷婷读了______分钟；
（2）求她这周平均每天读书的时间．
【答案】（1）28
（2）解：由（分钟）．
故婷婷这周平均每天读书的时间为34分钟．
【解析】【解答】解：（1）∵（分钟），
∴星期五婷婷读了28分钟．
故答案为：28．
【分析】（1）根据题意，结合表格中的数据，列出算式，进行计算，即可得到答案；
（2）根据平均数的计算公式，先求出读书的总时间，再除以7，列出算式，进行计算，即可的答案．
（1）解：∵（分钟），
∴星期五婷婷读了28分钟．
故答案为：28．
（2）（分钟）．
故婷婷这周平均每天读书的时间为34分钟．
32．下面的解题过程正确吗 如果不正确，请指出错误的原因并给出正确的解答。
（1）
（2）
【答案】（1）答：正确
（2）解：错误，当进行除法计算的时候，如果除数不是一个数时，不可以进行分配律计算。
正确步骤如下：
【解析】【分析】（1）题因为除数是一个具体的数，因此可以进行分配律计算；
（2）题因为除数是一个式子而不是一个数，因此不可以进行分配律计算。
33．（2024七上·南关期末）如图是长春市南北方向上地铁一号线的线路图，途中共设个站点某天，李华参加该线路上的志愿者服务活动，从北环城路站出发，最后在站结束服务活动如果规定向南为正，向北为负，李华当天乘坐地铁的站数按先后顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，，．
（1）请通过计算说明站是哪一站？
（2）若相邻两站之间的平均距离约为千米，求这次李华志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？
【答案】（1）解：，
则站是一国街；
答：站是一国街．
（2）解：
千米，
答：这次李华志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是千米．
【解析】【分析】（1）根据有理数的加减混合运算结合正数与负数即可求解；
（2）根据题意进行有理数的混合运算即可求解。
34．（2024七上·鹿寨期末）“大米小珍馐，小吃大灵魂．粉好度日月，螺小赛乾坤．”广西螺蛳粉日渐成为风靡全国的“舌尖网红”．现有8箱螺蛳粉，称后的纪录如下（单位：千克）
回答下列问题：
（1） 如果每箱螺蛳粉以4千克为标准，这8箱螺蛳粉中最接近标准重量的是哪一箱？
（2） 以每箱4千克为标准，与标准重量比较，8箱螺蛳粉总计超过或不足多少千克？
（3）若螺蛳粉每千克售价25元，则出售这8箱螺蛳粉可卖多少元？
【答案】（1）解：∵，，，，，，，，
∴这8箱螺蛳粉中最接近标准重量的是质量为3.98的一箱；
（2）解：（千克），
答：8箱螺蛳粉总计超过0.22千克；
（3）解：这8箱螺蛳粉可卖：
（元），
答：这8箱螺蛳粉可卖805.5元．
【解析】【分析】（1）最接近标准重量也就是求每袋的实际重量与标准4千克之间的差的绝对值，绝对值越小越接近标准重量.
（2）先算出这8袋螺蛳粉的实际总重量，再算出按标准这8袋螺蛳粉的总重量，算出它们的差，就得到总计超过或不足多少千克.
（3）用8袋螺蛳粉的总重量乘以每千克的售价，就得到这些螺蛳粉的总售价.
35．观察下列各式：
……
回答下列问题：
（1）猜想：(a×b)n= 。
（2）请用我们学过的知识，说明上式成立的理由。
（3）计算：
【答案】（1）an×bn
（2）解：(a×b)n= (a×b)(a×b)(a×b)...(a×b)=(a·a·a...a)(b·b·b...b)= an×bn.
（3）解：原式=(-0.125)2022×22022×42022×(-0.125)2×2
=(-0.125×2×4)2022×(-0.125)2×2
【解析】【解答】解：（1）猜想：(a×b)n= an×bn，
故答案为：an×bn.
【分析】（1）根据积的乘方，等于每个因式乘方的积，可得答案；
（2）根据同底数幂的乘法，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案；
（3）根据同底数幂的乘法，可得积的乘方，根据积的乘方，可得答案.
36．老师布置了一道有理数的混合运算题：
下面是小丽的解答过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
=(-8)÷1 第四步
=-8. 第五步
（1）小丽的解答过程共存在 处错误，分别是第 步.
（2）请你写出正确的解答过程.
【答案】（1）2；一、四
（2）解：（-2）3÷×=(-8)÷（-9×+2）
=(-8)÷（-4+2）
=(-8)÷（-2）
=4.
【解析】【解答】解：（1） 小丽的解答过程共存在 2 处错误，分别是第 一、四步.
【分析】按照运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的要先算括号里面的.去括号时要按照先去小括号，再去中括号的顺序进行，正确计算出结果即可.
2.7近似数
37．下列由四舍五入得到的近似数各精确到哪一位
（1）32.
（2）17.93.
（3）2.3万.
（4）1.35×104.
【答案】（1）解：近似数32精确到个位
（2）解：近似数17.93精确到百分位.
（3）解：近似数2.3万精确到千位.
（4）解：近似数1.35×104 精确到百位.
【解析】【分析】利用近似数的定义及表示方法（近似数的精确度，要求由近似数能准确地说出它的精确度，精确度，即末位数字在哪一位，则精确到了哪一位）分析求解即可.
38．按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数.
（1）1.5673(精确到0.01).
（2）0.65148(精确到千分位).
（3）249.9(精确到个位).
（4）316.95(精确到十分位).
（5）28736(精确到百位，并用科学记数法表示).
（6）203500(精确到千位，并用科学记数法表示).
【答案】（1）解：1.57
（2）解：0.651
（3）解：250
（4）解：317.0
（5）解：2.87×104
（6）解：2.04×105
【解析】【分析】对某数取近似值时，只对紧邻着要精确到的那一位后的一个数字进行四舍五入，后面的数字不需考虑；对绝对值较大的数取近似值时，为了清楚表明其准确度，结果一般用科学记数法表示，如（5）（6）.
39．车工小王加工生产了两根轴，当他把轴交给质检员验收时，质检员说：“不合格，作废！”小王不服气地说：“图纸要求精确到2.60 m，一根为2.56 m，另一根为2.62m，怎么不合格？“
（1）图纸要求精确到2.60m，原轴的范围是多少？
（2）你认为是小王加工的轴不合格，还是质检员故意刁难？
【答案】（1）解： 图纸要求精确到2.60m ，要求是精确到0.01 m，所以原轴的范围应是2.595 m≤x<2.605 m；
（2）解： 是小王加工的轴不合格，不是质检员故意刁难，理由如下：车间工人把2.60 m看成了2.6 m，近似数2.6 m的要求是精确到0.1 m；而近似数2.60 m的要求是精确到0.01 m，所以轴长为2.60 m时车间工人加工完原轴的范围应是2.595 m≤x<2.605 m，故轴长为2.56m与2.62m的产品不合格．
【解析】【分析】（1）按精确度要求求近似值，要把精确度那一位数字右边数位上的数字进行四舍五入，据此可得答案；
（2）小王的2.56和2.62四舍五入得到的2.60，精确度是0.1，小王加工的轴不符合要求精确到0.01，因此，是小王加工不合格，并不是质检员刁难.
40．解答下列各题（请按实际意义取近似值）：
（1）全班45人都参加800米测试，最多 6人一组，问至少需分成几组
（2）每辆汽车需装 4 只轮胎，61 只轮胎能装配成几辆汽车
【答案】（1）解：∵全班45人都参加800米测试，最多 6人一组，
∴45÷6=7.5
∴至少需分成8组，
答：至少需分成8组，
（2）解：∵ 每辆汽车需装 4 只轮胎，
∴61÷4=15.25，
∴能装配成15辆汽车，
答：能装配成15辆汽车.
【解析】【分析】（1）根据“全班45人都参加800米测试，最多 6人一组”列出算式求出45÷6=7.5（组），根据实际情况需要至少分8组；
（2）根据“每辆汽车需装 4 只轮胎”列出算式求出61÷4=15.25，根据实际情况能装配成15辆汽车.
41．据统计：我国西部10个省（市、区）的人口约为284700000人，土地面积约为537196000平方千米，请回答：
①用四舍五入法取上述两数的近似值（精确到百万位）；
②求西部10个省（市、区）人均占有的土地面积（精确到0.1平方千米）
【答案】解：①284700000精确到百万位，则对十万位的7进行四舍五入，则284700000≈2.85×108；537196000精确到百万位，则对十万位的1进行四舍五入，则537196000≈5.37×108；
②人均占有的土地面积约为537196000÷284700000≈1.9（平方千米）
【解析】【分析】①由题意精确到百万位，则百万位后的数只能四舍五入，所以可用科学记数法表示；即：284700000≈2.85×108；537196000≈5.37×108；
②由题意精确到0.1平方千米，则西部10个省（市、区）人均占有的土地面积=537196000÷284700000≈1.9（平方千米）。
42．用四舍五入法对下列各数按要求取近似数．
①9.23456（精确到0.0001）；
②567899（精确到百位）．
【答案】解：①9.23456≈9.2346（精确到0.0001）；
②567899≈5.679×105（精确到百位）．
【解析】【分析】①根据近似数的精确度求解；
②先用科学记数法表示，然后把十位上的数字9进行四舍五入即可．
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