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专题3.5 一元一次不等式（组）的实际应用问题
1、能正确分析实际问题中的数量关系，找出不等关系；
2、掌握列不等式解决实际问题的一般步骤；
3、熟练掌握一元一次不等式（组）的各类实际应用问题。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.盈亏问题 2
考点2.方案问题 3
考点3.费用优化问题 5
考点4.销售（利润）问题 10
考点5.分段计费 12
考点6.行程问题 13
考点7.工程问题 15
考点8.调配问题 17
考点9.几何问题 20
考点10.其他问题 23
模块3：培优训练 25
应用题在中考中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就一元一次不等式（组）不等式的应用题：盈亏问题、方案问题、费用优化问题、利润问题、调配问题、等问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
不等式的应用题，与等式应用题类似，主要思路为：1）根据题意，列写不等关系式；2）设未知数，使之方便表示不等关系式；3）根据不等关系，列写不等关系式；4）解不等式求解问题。
考点1.盈亏问题
【解题技巧】不等式应用题从另一个角度可分为两大类：①含有明确的不等词（不少于、多余、不超过……）：将不等词化为不等号，以不等号的具体实际含义列出不等式；②不含有明确的不等词：根据题意中的实际意义列不等式。
例1．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于安排学生住宿，若每间住4人，则还有12人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 ．
【答案】7或8/8或7
【详解】解：设宿舍的房间数量为x间，则学生的人数为人，根据题意得：
，解得：，
∵x为整数，∴x取7，8，答：宿舍的房间数量可能为7或8．故答案为：7或8
变式1．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住：若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间 间．
【答案】6
【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人，
根据题意，得，解得.
∵只能取正整数，∴．即安排住宿的房间6间．故答案为：6
变式2．（2025·山东潍坊·模拟预测）幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 件．
【答案】152
【详解】解：设共有个小朋友，则玩具有个，
由题意得解得．取正整数31，
∴玩具数为件，故答案为：．
变式3．（24-25八年级下·成都·期中）2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件．
【答案】每个小组原来平均每天生产49个零件
【详解】解：设每个小组原来平均每天生产x个零件，
根据题意，得，解得．∵x是整数，∴．
答：每个小组原来平均每天生产49个零件．
考点2.方案问题
【解题技巧】解决此类问题，依旧先按照普通不等式组解决问题的题型进行，最终会得到一个取值范围。那么提出的方案只需要符合这个取值范围即可。
例1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
礼盒 150 220
礼盒 100 140
(1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？
【答案】(1)该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个(2)该超市有13种进货方案
【详解】（1）解：设该超市购进礼盒个，则购买礼盒个
由题意可得：，解得：，则（个）
答：该超市购进A礼盒20个，则购买礼盒80个．
（2）解：∵、礼盒共100个，礼盒比第一次多购进个，
即礼盒购进个，礼盒购进个，
∵礼盒售价提高10元，∴利润为（元）
∵礼盒售价提高，∴（元）
由题意可得： ，
∵为整数∴可取共13个整数，
每个对应一个进货方案（即不同的和礼盒数量组合），且均满足条件．
∴该超市有13种进货方案．
变式1．（24-25七年级下·四川眉山·期中）学雷锋志愿者小分队为帮助贫困山区的小朋友开展“阳光体育”活动，进行了一次募捐．筹集捐款不超过3000元，计划拿来购买一批篮球、足球和实心球等体育用品，送给山区的小朋友．已知篮球、足球和实心球的单价之比为6：3：2，且其单价之和为110元．
(1)请问篮球、足球和实心球的单价分别为多少元？
(2)如果要用筹集到的捐款购买篮球、足球和实心球的总数量是100个，其中足球的数量是篮球数量的4倍，且购买实心球的数量不超过45个，请问有哪几种购买方案？
【答案】(1)篮球单价为60元，足球单价为30元，实心球单价为20元
(2)有两种方案： 方案一：购买篮球11个，足球44个，实心球45个；
方案二：购买篮球12个，足球48个，实心球40个
【详解】（1）解：设篮球、足球、实心球的单价分别为元、元、元，依题意，得
解得，∴，，
答：篮球单价为60元，足球单价为30元，实心球单价为20元．
（2）设购买y个篮球，则购买个足球，个实心球，依题意，得
，解得，
∵y为整数，∴或12．
当时，，，
当时，，，
答：共有以下两种方案： 方案一：购买篮球11个，足球44个，实心球45个；
方案二：购买篮球12个，足球48个，实心球40个．
变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌的足球和3个乙种品牌的足球共需要650元．
(1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？
(2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？并写出具体的方案．
【答案】(1)每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元
(2)共有三种购买方案，具体见解析
【详解】（1）解：每个甲种品牌的足球的价格为x元，每个乙种品牌的足球的价格为y元，
根据题意，解得
答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元；
（2）解：设购买甲种品牌的足球m个，则购买乙种品牌的足球个，
根据题意，得
解得，又m为整数，∴m的值为20，21，22，
共有三种购买方案：方案1：购买甲种品牌的足球20个，乙种品牌的足球30个；方案2：购买甲种品牌的足球21个，乙种品牌的足球29个；方案3：购买甲种品牌的足球22个，乙种品牌的足球28个．
变式3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）为丰富人们的文化生活，某市决定建一所能够容纳2880名观众的大剧院，剧院设计为8个出口，并初步设计为4个大门和4个小门．经测试，大、小门在一般情况下每分钟可以通过的人数比为．(1)如果在一般情况下疏散全部观众至少需要4分钟，那么设计的大门和小门每分钟通过的人数分别是多少人？(2)如果遇到突发情况，疏散全部观众的时间最多不超过3分钟，那么在不增加出口的情况下，应该如何调整大、小门的配备？请结合计算说明你的方案．
【答案】(1)小门每分钟通过的人数是人，则大门每分钟通过的人数是人
(2)小门的数量为个，大门的数量为个或小门的数量为个，大门的数量为个
【详解】（1）解：设小门每分钟通过的人数是人，则大门每分钟通过的人数是人，
由题意可得：，解得：，∴，
∴小门每分钟通过的人数是人，则大门每分钟通过的人数是人；
（2）解：设小门的数量为个，则大门的数量为个，
由题意可得：，解得：，
∵为整数，∴或，∴或，
∴小门的数量为个，大门的数量为个或小门的数量为个，大门的数量为个．
考点3.费用优化问题
【解题技巧】费用优化问题是在方案问题上进一步深化，再求出费用（结果）最大（小）的方案。
解题方法为：先按照方案问题，求解出所有合适的方案，在求出各个方案的费用（结果），比较得出费用最大（小）利润（结果）的方案。（学习完第五章后 也可运用一次函数增加性求的最值）
例1．（24-25七年级下·江西新余·期末）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去新余揽山湖开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆）
租金/（元/辆）
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，汽车总数不能小于_____辆：又要保证每辆客车上至少要有2名老师，汽车总数不能超过_____辆：综上可知租用客车总数为_____辆：（车辆数取整数）
(3)在（2）的条件下，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】(1)老师有名，学生有名 (2)8；8；8
(3)共有3种租车方案，方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为元；方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为元；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为元；最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；理由见解析
【详解】（1）解：设老师有名，学生有名．
依题意，列方程组为，解得：，
答：老师有名，学生有名．
（2）解：老师和学生总人数为：名，
假设全部坐甲车，则需（辆），全部坐乙车需要，取整为8（辆），
则既要保证所有师生都有车坐，汽车总数不能小于8辆，
又要保证每辆客车上至少要有2名老师，汽车总数不能超过（辆），
综上可知租用客车总数为8辆．
（3）解：设租用辆乙种客车，则甲种客车数为：辆，
车总费用不超过元，且使名师生都有座，
，解得：，共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为元；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为元；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆．
变式1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）十一黄金周（7天）期间，易达一家计划租车一周去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）：
周租金/元 平均每天免费行驶（里程/千米） 超出免费里程费用（元/千米）
A型 1740 100
B型 2640 220
解决下列问题：(1)如果此次旅行的总行程为800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算．
(2)设本次旅行行程为a千米（a是正整数），请通过计算说明如何根据旅行行程选择省钱的租车方案．
【答案】(1)租用A型车划算
(2)当旅行行程小于千米时选A型车，等于千米时任选，大于千米时选B型车
【详解】（1）解：（1）总行程千米，比较A、B型车费用
①A型车费用：7天免费里程千米，，超出千米
总费用元
②B型车费用：7天免费里程千米，，无超出费用
总费用元
∵，∴租用A型车划算
答：租用A型车划算
（2）根据行程a千米选择省钱方案
7天A免费里程千米，B免费里程千米，分三种情况：
①当时：A型费用元，B型费用元，∵，选A型
②当时：A型费用
B型费用元，令，解得
若，选A型
若，两者费用相等，任选
若，选B型
③当时：A型费用型费用
令，解得（舍去，因
∵时，，选B型
综上：当时选A型时任选时选B型
答：当旅行行程小于千米时选A型车，等于千米时任选，大于千米时选B型车
变式2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】(1)甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元
(2)购进甲种商品件，乙种商品件时，最大利润为元
【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价为元，乙种商品每件的进价为元，根据题意得，
，得，
答：甲商品每件的进价为元，乙商品每件的进价为元
（2）解：设购进甲种商品件，则乙种商品为件，根据题意得，
解得： 且为整数，即可取、、；
设，根据题意当购买件，其中前件进价元，后件进价元，因此：
乙的利润为：
甲的利润为
总利润
当时，总利润 元
当时，总利润 元
当时，总利润 元
当时，总利润为元，为最大值．最优方案为购进甲种商品件，乙种商品件，最大利润为元．
变式3．（24-25八年级上·浙江·期末）某书店购进两种新书，相关信息如下表：
种新书 种新书
进价（元/本）
售价（元/本） 14 16
(1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值；(2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？
【答案】(1)的值为8，的值为12
(2)有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本 (3)书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润
【详解】（1）解：由题意得：，解得，
答：的值为8，的值为12．
（2）解：设该书店购进种新书本，则购进种新书本，
由题意得：，解得，
因为为正整数，所以有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本，
答：有三种购买方案：①购进种新书58本，种新书42本；②购进种新书59本，种新书41本；③购进种新书60本，种新书40本．
（3）解：方案①购进种新书58本，种新书42本，
则书店获得的利润为（元）；
方案②购进种新书59本，种新书41本，
则书店获得的利润为（元）；
方案③购进种新书60本，种新书40本，
则书店获得的利润为（元）；
∵，∴，，
∴，
答：书店购进种新书60本，种新书40本才能获得最大利润．
考点4.销售（利润）问题
例1．（24-25七年级下·重庆·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？
【答案】每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件
【详解】解：设每天应该生产甲种零件x件，则每天应该生产乙种零件3x件，
由题意得：，解得：，
∵x为正整数，∴，∴，
答：每天应该生产甲种零件10件，生产乙种零件30件．
变式1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？
【答案】购进商品的件数为19或20件
【详解】解：设购进件商品，则购进件商品，根据题意得：
解得：，
整数值为19或20．
答：购进商品的件数为19或20件．
变式2．（2024·广东·模拟预测）某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
【答案】(1)甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元(2)甜柿的售价最少应为12.5元
【详解】（1）解：设甜柿的进价是每千克x元，则三华李的进价是每千克元，依题意，得 解得 此时；
答：甜柿的进价是每千克5元，则三华李的进价是每千克15元．
（2）解：设甜柿的售价为a元，依题意，得，解得；
答：甜柿的售价最少应为12.5元．
变式3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某商家为筹备“星际探险”促销活动，批量购进了甲、乙两款精美的飞船模型，两次进货的详细信息如下（单次进货单价保持不变）：
甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元
第一次 10 8 1200
第二次 6 12 1080
(1)求甲、乙两款飞船模型的进货单价；(2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款飞船模型共100件，若每件甲款飞船模型的售价为120元，每件乙款飞船模型的售价为80元，且销售完这100件飞船模型所获得的利润不低于3600元，则商家最少需购进甲款飞船模型多少件？
【答案】(1)甲款进货单价为元，乙款为元(2)商家最少需购进甲款飞船模型件
【详解】（1）解：设甲款飞船模型的进货单价为元，乙款为元．
根据题意列方程组：，
第一个方程两边同除以2得①，
第二个方程两边同除以6得②，
②得③，
①③得，解得，
将代入②得，解得，
答：甲款进货单价为元，乙款为元．
（2）解：由（1）知，甲款每件利润为元，乙款每件利润为元．
设商家购进甲款飞船模型件，则购进乙款为件．
根据题意列不等式：
化简得；即，解得．
答：商家最少需购进甲款飞船模型件．
考点5.分段计费
例1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米元（不足1千米按1千米计算）．
(1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？
(2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即返回学校，他有两种乘车方案：
方案一：去程和回程各乘一辆出租车，按正常方式计费；
方案二：去程和回程乘同一辆车，起步价不变（只收取一次），但超过3千米部分按每千米元计费．（司机等候的时间不计费）
他怎样乘车比较合算？需付多少元出租车费？
【答案】(1)元；(2)按照方案二乘车比较划算，需付元出租车费．
【详解】（1）解：∵不足1千米按1千米计算，∴千米看作千米进行计算，
根据题意可得，（元），即应付车费元钱；
（2）方案一：（元）；
方案二：（元），
∵，∴按照方案二乘车比较划算，需付元出租车费．
变式1．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 ．
【答案】
【详解】解：设甲地到乙地的路程为千米，
根据题意，可得，解得：．故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·山西大同·期末）低碳生活是一种健康、自然的生活态度，博学小组对节约用电进行了研究．
信息收集：信息1，2025年3月份和4月份小宇家和小文家用电情况的相关数据．
小宇家：两个月共用电350度，缴纳电费158元；
小文家：两个月共用电470度，缴纳电费218元．
信息2，某地电力公司对一户一表不分时居民用电按双月执行阶梯式递增收费，即同一用户用电量的单价按档位分阶收取，收费档位共分三档：第一档为0至340度；第二档为341至520度，第三档为521度以上．（不满1度，按1度计算）
信息3，家庭用电碳排放量（单位：）用电度数．
问题解决：(1)结合上述信息，求第一档和第二档用电的价格分别是每度多少元．(2)如果小文家3月份至6月份家庭用电的碳排放量不超过，那么他家5月份和6月份用电量合计不超过多少度？
【答案】(1)第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元 (2)度
【详解】（1）解：设第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元．
根据题意，列方程组解得
答：第一档用电的价格是每度元，第二档用电的价格是每度元．
（2）设小文家5月份和6月份用电量合计为度．
根据题意，得．解得．
答：小文家5月份和6月份用电量合计不超过380度．
考点6.行程问题
例1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）；
(2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小；
(3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
【答案】(1) (2) (3)7
【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数；
（2）解：∵∴∴；
（3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，
由题意得：，解得：，∴，∴
又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点，，∴，∴，
∵x是正整数，∴，即此时小明总共跑的圈数为7．
变式1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【答案】D
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于，
设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得，
解得，∴∴，又，∴，∴，
∴整数，即他一共跑的圈数是17，故选：D．
变式2．（24-25七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（ ）
A．山 B．山 C．山 D．山
【答案】D
【详解】解：设他们要登的山峰距出发点千米，
由题意得，，解得，∴他们最远能登上山，故选：．
变式3．（24-25八年级下·广东·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
【答案】
【详解】解：根据题意，得，故答案为：．
考点7. 工程问题
例1．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
【答案】(1)乙队单独完工需要27个月才能完成任务．(2)甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
【详解】（1）解：设乙单独完成需要个月，则，解得：，
经检验是原方程的解且符合题意；
答：乙队单独完工需要27个月才能完成任务．
（2）由题意可得：，∴，∴，
∵，，∴，解得：，
∵都为正整数，∴为3的倍数，∴或或，
∴甲乙两队实际施工的时间安排有3种方式，
方案①：安排甲工作6个月，乙工作18个月，费用为：（万元），
方案②：安排甲工作4个月，乙工作21个月，费用为：（万元），
方案③：安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用为：（万元），
∴安排甲工作2个月，乙工作24个月，费用最低为万元．
变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米
(2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机
【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，
根据题意得：，解得：
答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米；
（2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机，
根据题意得：，解得：，
又为正整数，可以为6，7，8，9，施工时有4种调配方案，
方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；
方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；
方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；
方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机．
变式2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成．
(1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？(2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案．
【答案】(1)甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；(2)甲队8个月，乙队3个月；
【详解】（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得，
，解得：，
答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里；
（2）解：由题意可得，且、均为正整数，解得，
∴，，，∴，，，
∴，∴最低的施工方案是：甲队8个月，乙队3个月；
考点8. 调配问题
例1．（24-25八年级下·广东东莞·期末）市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．(1)设市运往市机器台，求总运费关于的函数关系式；(2)若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？(3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
【答案】(1)（，且为整数）；(2)有种调运方案
(3)市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元．
【详解】（1）解：由题意可知：
由此．由题意得：，，且为整数；
（2）解：由题意得，．
，，且为整数，可取，，，有种调运方案；
（3）解：，且随的值增大而增大，
当时，的值最小，最小值是元．此时的调运方案是：市运往市台；运往市台；市运往市台；运往市台．最小值是元．
变式1．（24-25·广东·八年级期中）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了台、台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场、两馆，其中运往馆台，运往馆台，运往、两馆运费如表1：(1)设甲地运往馆的设备有台，请填写表，并求出总运费元与台的函数关系式；
(2)要使总运费不高于元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
(3)当为多少时，总运费最少，最少为多少元？
【答案】(1)＋，为正整数 ，表格见解析；
(2)见解析；(3)当为时，总运费最小，最小值是元
【详解】（1）解：表2如右图所示，依题意，得：
＋＋＋
即：＋，为正整数
（2）要使总运费不高于元 ；＋ 解得：
，且设备台数只能取正整数
只能取或．该公司的调配方案共有种，具体如下表：
（3）由（1）和（2）可知，总运费为：＋或
由一次函数的性质，可知：当时，总运费最小，最小值为：＋元．
答：当为时，总运费最小，最小值是元．
变式2．（2025·内蒙古·模拟预测）内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨）
A
甲 20 25
乙 15 24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．
【答案】(1)甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨
(2)；甲厂200吨全部运往地，乙厂运往地240吨，运往地60吨
【详解】（1）解：设甲厂生产这批物资吨，乙厂生产这批物资吨，
由题意，得，解得，，所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨；
（2）解：∵，
∵，∴，∵，∴y随x的增大而减小，∴当时运费最小．
所以总运费最少的方案是：甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨．
变式3．（24-25八年级下·广东·培优）某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：
总计/
______ ______ 200
______ 300
总计/ 240 260 500
(2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)，，；(2)，总运费最小的调运方案：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨；(3)见详解
【详解】（1）解：由题意得：调往地吨，调往地吨，调往地吨，
总计/
200
300
总计/ 240 260 500
故答案为：，，；
（2）解：与之间的函数关系式为，
由题意，得，，
在中，，随的增大而增大，当时，总运费最小，
此时调运方案为：调往地200吨，调往地0吨，调往地40吨，调往地260吨；
（3）解：由题意得，
当时，（2）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变，为9200元；
当时，，随的增大而减小，所以时总费用最小，
其调运方案如下：调往地0吨，调往地200吨，调往地240吨，调往地60吨．
考点9. 几何问题
例1．（25-26八年级上·内蒙古·阶段练习）已知：一个周长为15的等腰三角形，若这个等腰三角形的三边均为整数，则这样的三角形有 个．
【答案】4
【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底边长为，
由题意得，，解得，由题意得，是整数，
∴可以为4，5，6，7，∴这样的三角形有4个．故答案为：4．
变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边的长为米，
∴，解得，故选：B．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号）
【答案】①③④
【详解】解：，则①正确；
∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，∴，则②错误；
又∵接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，
∴，即，∴，∴，
∴杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出，则③正确；
∵，，
∴杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，则④正确；
综上，正确的有①③④，故答案为：①③④．
变式3．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．
【答案】能，或
【详解】解：分两种情况：
①当点P在上时，如图1所示：假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则
解得：
又∵P在上运动，，∴；
②当点P在上时，假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则
解得：
又∵P在上运动，，∴；
综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或．
考点10. 其他问题
例1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下：
(1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？
(2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案．
【答案】(1)应选用A种食品4包，B种食品2包 (2)共有2种配餐方案；方案1：选用A种食品2包，B种食品5包；方案2：选用A种食品3包，B种食品4包．
【详解】（1）解：设应选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，解得：，
答：应选用A种食品4包，B种食品2包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品包，
根据题意得：，解得：，
又∵m为正整数，∴m可以为2，3，∴共有2种配餐方案，
方案1：选用A种食品2包，B种食品5包；
方案2：选用A种食品3包，B种食品4包．
变式1．（24-25七年级上·湖北黄石·开学考试）核酸检测点进行检测时，有名市民排队等候，检测开始后，仍有市民陆续前来，设市民按固定的速度增加，核酸检测的速度也是固定的，若开放一个检测口，则需要30分钟才可以将排队的市民全部检测完毕，若开放两个检测口，则需要10分钟便可将排队的市民全部检测完毕，如果要在5分钟内将排队的市民全部检测完毕，使后来的市民能随到随检，至少要同时开放（ ）个检测口
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【详解】解：设检测开始后每分钟新增加市民人，检测的速度为每个检测口每分钟检人，5分钟内将排队等候检测的市民全部检测完毕需要同时开放个检测口，
由题意得：，由①②得：，，
，即，
∵，∴，又∵为整数，∴取，即至少要同时开放4个检测口． 故选：B ．
变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，解得：，
∵数据量不能为负数，∴，故单帧视频数据量的允许范围是，故答案为：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级下·成都·期中）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：设他行驶的路程为千米，∴，故选A
2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，得，故选：．
3．（24-25八年级上·浙江·期中）一位老师说，他班上学生的一半在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生在学音乐，还有不足名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有（ ）人．
A．人 B．人 C．人 D．人
【答案】A
【详解】设这个班的学生有人，则学数学的人数为，学外语的人数为，学音乐人数为，
由“还不足名同学在操场上踢足球”可得：，∴，
∵能被、、整除且为正数，∴最大为，则这个班的学生最多有人，故选：．
4．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】解：若设有x辆货车，根据题意列出不等式组为：，故选：D
5．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）1000只动物围成一圈，有鸡、牛、羊三种，其中鸡有600只，而且每一只鸡都要么挨着牛，要么夹在两只羊中间，那么至少有多少头牛？（ ）
A．200 B．202 C．201 D．210
【答案】C
【详解】解：设有x只鸡夹在羊中间，则羊有只，牛有只，由题意得，
解之得．此时牛是201头．故选：C．
6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设新进货应高出进价的，
由题意得，则，
解得：，故选：D．
7．（2024·山东·模拟预测）根据以下对话，
给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为；②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】C
【详解】解：设1班同学的最高身高为，最低身高为，2班同学的最高身高为，最低身高为，根据1班班长的对话，得，，
∴∴，解得，故①错误，③正确；
根据2班班长的对话，得，，∴，
∴，∴，故②正确，故选：C．
8．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水的为a，每台抽水机每分钟抽水为b，
根据题意得：，解得：，，
如果要在12分钟内抽完水，设至少需要抽水机n台，即，代入a、x的值解得：
故如果要在12分钟内抽完水，那么至少需要抽水机8台．故选：C．
9．（2024·贵州遵义·一模）某商店以250元/辆的进价购入200辆自行车，并以275元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（ ）
A．179辆 B．180辆 C．181辆 D．182辆
【答案】D
【详解】解：设这段时间售出的自行车为x辆，根据题意，得，解得，
又x为正整数，故符合题意的最小正整数为182，故选：D．
10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设第三次检测值为x，三次检测的平均值为 (其中)
由题意得不等式： 对不等式组进行变形：
进一步整理得：
当y取最小值7.0时，，即；
当y取最大值7.6时，，即；
因为该游泳池检测合格，所以，x的范围是．故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间．
【答案】5或6
【详解】解：设共有宿舍x间，依题意，得
解①得， 解②得，∴原不等式的解集为，
∵x为整数，∴x可以为5或6．故答案为：5或6．
12．（24-25七年级下·广东汕头·期末）“五一”长假期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张（规定每人只限购一张）．若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，则至少需要开放 个窗口．
【答案】8
【详解】解：设需要开放x个窗口，由题意得，，解得，
∴x的最小值为8，∴至少需要开放8个窗口．故答案为：8．
13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本．
【答案】23或26
【详解】解：设共有名同学，则图书共有本，
由题意得，解得：，
又为正整数，或，当时，，
当时，，则这些图书有或本．故答案为：23或26．
14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过，2元人次；超过到（含），元/人次；超过到（含），4元/人次；超过到（含），5元/人次；超过到（含），6元/人次；超过到（含），7元/人次；超过到（含），8元/人次；超过部分，票价每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得：，解得：．故答案为：．
15．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是
【答案】
【详解】解：设导火线应有厘米长，根据题意， 解得：．
故导火线至少应有24厘米．故答案为：．
16．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件．
【答案】40
【详解】解：设购进甲种“工艺品”x件，则购进乙种“工艺品”件，
根据题意可得：，解得：，
故购进甲种“工艺品”至多40件．故答案为：40．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）现从，两个蔬菜村向甲，乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜村各有蔬菜吨，吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨；从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨． 怎样调运蔬菜才能使总运费最少？最少运费为多少？
【答案】从A蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，向乙地运送蔬菜吨，从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨时，总运费最少，最少运费是元
【详解】解：设从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，总运费为元．
则
解得：
，随的增大而增大当时，有最小值
答：从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨，向乙地运送蔬菜吨，从蔬菜村向甲地运送蔬菜吨时，总运费最少，最少运费是元．
18．（2025·江苏·八年级期中）一个长方形足球场的长为xcm，宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7560m ，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛？
(注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间)
【答案】可以
【详解】解：由题意得，
不等式组的解集：105＜x＜108．
答：可以用作国际足球比赛．
19．（24-25七年级下·成都·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克
【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x千克，则需要乙原料千克，
由题意得，，解得，
答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于千克，且小于等于千克．
20．（24-25七年级下·重庆·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？
【答案】(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是(2)之后每天至少需要改造地下管网
【详解】（1）解：设原计划每天改造地下管网，则实际施工时每天改造地下管网．
由题意，得，解得．．
故实际施工时，每天改造地下管网的长度是；
（2）解：设之后每天改造地下管网．
由题意，得，解得．故之后每天至少需要改造地下管网．
21．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元．(1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值；(2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下：
活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种；活动2：全部商品打9折．
如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算．
(3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？
【答案】(1)，(2)他们选择活动2更合算，理由见解析
(3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯．
【详解】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元，
根据题意得， 解得；
（2）解：活动1：（元），
活动2：（元），
∵，∴他们选择活动2更合算；
（3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，
根据题意得，解得
∵a是正整数∴或29或30 ∴或21或20
∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯．
22．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？
【答案】(1)该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元(2)1390元．
【详解】（1）解：设该网店甲种羽毛球每筒的售价是x元，乙种羽毛球每筒的售价是y元，
依题意得：，解得：．
答：该网店甲种羽毛球每筒的售价是60元，乙种羽毛球每筒的售价是45元．
（2）解；设购进甲种羽毛球m筒，则购进乙种羽毛球筒，
依题意得：，解得：．
∵，∴每筒甲羽毛球的利润高于每筒乙羽毛球的利润
∴购进甲羽毛球越多，利润越大，
∴购进78筒甲种羽毛球，122筒乙种羽毛球时，利润最大，最大为（元）.
23．（2024·山东日照·模拟预测）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变）
销售数量（辆） 销售额（万元）
A款一月份 30二月份 10 B款1030 350330
(1)求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？
(2)若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？
(3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由．
【答案】(1)每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元
(2)方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车；方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车；方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车 (3)；理由见解析
【详解】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，
依题意得：，解得：，
答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元．
（2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，
依题意得：，解得：，
又为整数，可以为7，8，9，该公司共有3种进货方案，
方案1：购进7辆款汽车，13辆款汽车；
方案2：购进8辆款汽车，12辆款汽车；
方案3：购进9辆款汽车，11辆款汽车．
（3）解：；理由如下：
根据题意得：，解得：，
∵当时，每辆B款汽车获利为：（万元），
又∵每辆A款汽车获利为：（万元），∴当时，两款汽车每辆获利相同，
∴每种方案获利多少与汽车总辆数有关，而与两种汽车各自的辆数无关，∴三种方案获利相同．
24．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩
(3)
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，
根据题意得：，解得：．
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元；
（2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，
根据题意得：，解得：，
又为正整数，可以为18，19，20，共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
（3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为．
在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，．
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专题3.5 一元一次不等式（组）的实际应用问题
1、能正确分析实际问题中的数量关系，找出不等关系；
2、掌握列不等式解决实际问题的一般步骤；
3、熟练掌握一元一次不等式（组）的各类实际应用问题。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1.盈亏问题 2
考点2.方案问题 3
考点3.费用优化问题 5
考点4.销售（利润）问题 10
考点5.分段计费问题 12
考点6.行程问题 13
考点7.工程问题 15
考点8.调配问题 17
考点9.几何问题 20
考点10.其他问题 23
模块3：培优训练 25
应用题在中考中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就一元一次不等式（组）不等式的应用题：盈亏问题、方案问题、费用优化问题、利润问题、调配问题、分段计费问题、行程问题、工程问题、几何问题等进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
不等式的应用题，与等式应用题类似，主要思路为：1）根据题意，列写不等关系式；2）设未知数，使之方便表示不等关系式；3）根据不等关系，列写不等关系式；4）解不等式求解问题。
考点1.盈亏问题
【解题技巧】不等式应用题从另一个角度可分为两大类：①含有明确的不等词（不少于、多余、不超过……）：将不等词化为不等号，以不等号的具体实际含义列出不等式；②不含有明确的不等词：根据题意中的实际意义列不等式。
例1．（24-25七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于安排学生住宿，若每间住4人，则还有12人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为 ．
变式1．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住：若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求住宿生有多少人，安排住宿的房间 间．
变式2．（2025·山东潍坊·模拟预测）幼儿园把新购进的一批玩具分给小朋友．若每人3件，那么还剩余59件；若每人5件，那么最后一个小朋友分到玩具，但不足4件，这批玩具共有 件．
变式3．（24-25八年级下·成都·期中）2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件．
考点2.方案问题
【解题技巧】解决此类问题，依旧先按照普通不等式组解决问题的题型进行，最终会得到一个取值范围。那么提出的方案只需要符合这个取值范围即可。
例1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）中秋节前，某超市第一次购进两种月饼礼盒共100个，上市一周，全部售空，两种礼盒共获利4600元．如表列出了两种礼盒的进价与售价：
进价（元/个） 售价（元/个）
礼盒 150 220
礼盒 100 140
(1)根据上表，求该超市第一次购进礼盒各多少个；
(2)根据第一次的销售情况，该超市决定第二次购进两种礼盒共100个，两种礼盒的进价均不变．由于礼盒特别畅销，超市计划比第一次多购进礼盒个，礼盒的售价比第一次的售价提高10元，礼盒的售价也比第一次的售价提高、在第二次购进的礼盒全部售空情况下，使得第二次的总利润至少比第一次的总利润多2560元，且第二次购进礼盒总成本不超过12100元时，请通过计算说明该超市有几种进货方案？
变式1．（24-25七年级下·四川眉山·期中）学雷锋志愿者小分队为帮助贫困山区的小朋友开展“阳光体育”活动，进行了一次募捐．筹集捐款不超过3000元，计划拿来购买一批篮球、足球和实心球等体育用品，送给山区的小朋友．已知篮球、足球和实心球的单价之比为6：3：2，且其单价之和为110元．
(1)请问篮球、足球和实心球的单价分别为多少元？
(2)如果要用筹集到的捐款购买篮球、足球和实心球的总数量是100个，其中足球的数量是篮球数量的4倍，且购买实心球的数量不超过45个，请问有哪几种购买方案？
变式2．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌的足球和3个乙种品牌的足球共需要650元．
(1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？
(2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，共有几种购买方案？并写出具体的方案．
变式3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）为丰富人们的文化生活，某市决定建一所能够容纳2880名观众的大剧院，剧院设计为8个出口，并初步设计为4个大门和4个小门．经测试，大、小门在一般情况下每分钟可以通过的人数比为．(1)如果在一般情况下疏散全部观众至少需要4分钟，那么设计的大门和小门每分钟通过的人数分别是多少人？(2)如果遇到突发情况，疏散全部观众的时间最多不超过3分钟，那么在不增加出口的情况下，应该如何调整大、小门的配备？请结合计算说明你的方案．
考点3.费用优化问题
【解题技巧】费用优化问题是在方案问题上进一步深化，再求出费用（结果）最大（小）的方案。
解题方法为：先按照方案问题，求解出所有合适的方案，在求出各个方案的费用（结果），比较得出费用最大（小）利润（结果）的方案。（学习完第五章后 也可运用一次函数增加性求的最值）
例1．（24-25七年级下·江西新余·期末）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去新余揽山湖开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带个学生，还剩个学生没人带；若每位老师带个学生，就有一位老师少带4个学生．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．
甲种客车 乙种客车
载客量/（人/辆）
租金/（元/辆）
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师．
(1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
(2)既要保证所有师生都有车坐，汽车总数不能小于_____辆：又要保证每辆客车上至少要有2名老师，汽车总数不能超过_____辆：综上可知租用客车总数为_____辆：（车辆数取整数）
(3)在（2）的条件下，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
变式1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）十一黄金周（7天）期间，易达一家计划租车一周去旅行，在看过租车公司的方案后，认为有以下两种方案比较适合（注：两种车型的油耗相同）：
周租金/元 平均每天免费行驶（里程/千米） 超出免费里程费用（元/千米）
A型 1740 100
B型 2640 220
解决下列问题：(1)如果此次旅行的总行程为800千米，请通过计算说明租用哪种型号的车划算．
(2)设本次旅行行程为a千米（a是正整数），请通过计算说明如何根据旅行行程选择省钱的租车方案．
变式2．（24-25七年级下·四川泸州·期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品3件共需270元；购进甲商品3件和乙商品2件共需230元．商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售．(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场计划购进甲、乙两种商品共60件，购进乙种的件数不低于46件，且不超过甲种件数的4倍．购进这两种商品的优惠条件是：一次性购进乙种商品超过40件时，则乙种商品超过的部分按进价打8折．请设计能让这次购进的甲、乙两种商品全部售出后获利最大的方案，并求出最大利润．
变式3．（24-25八年级上·浙江·期末）某书店购进两种新书，相关信息如下表：
种新书 种新书
进价（元/本）
售价（元/本） 14 16
(1)该书店购进种新书15本和种新书10本需要240元；购进种新书10本和种新书6本需要152元，求的值；(2)若该书店购进两种新书共100本，投入资金不少于960元且不超过970元，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，若书店售出的种新书每本捐出元给当地福利院，种新书售价不变，则书店应如何进货才能获得最大利润？
考点4.销售（利润）问题
例1．（24-25七年级下·重庆·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1件甲零件与3件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150元，售价200元；乙零件生产成本每件100元，售价130元．如果每天限定投入成本不超过4500元，利润要大于1300元，则每天应该生产两种零件各多少件？
变式1．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进，两种商品，商品每件的进价为100元，商品每件的进价为60元，该商场计划购进，两种商品共60件，且购进商品的件数不少于商品件数的2倍．若商品按每件150元销售，商品按每件80元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进商品的件数为多少？
变式2．（2024·广东·模拟预测）某超市用4000元购进了甜柿和三华李各200千克，三华李的进价比甜柿的进价每千克多10元．(1)甜柿和三华李的进价分别是每千克多少元？(2)受天气影响，在运输过程中三华李损耗了，若三华李的售价为每千克20元，要使此次销售获利不少于2100元，则甜柿的售价为最少应为多少元？
变式3．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）某商家为筹备“星际探险”促销活动，批量购进了甲、乙两款精美的飞船模型，两次进货的详细信息如下（单次进货单价保持不变）：
甲款数量/件 乙款数量/件 进货总费用/元
第一次 10 8 1200
第二次 6 12 1080
(1)求甲、乙两款飞船模型的进货单价；(2)由于销售火爆，该商家决定第三次购进甲、乙两款飞船模型共100件，若每件甲款飞船模型的售价为120元，每件乙款飞船模型的售价为80元，且销售完这100件飞船模型所获得的利润不低于3600元，则商家最少需购进甲款飞船模型多少件？
考点5.分段计费
例1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）某市出租车的计价标准为：行驶路程不超过3千米收费8元，超过3千米的部分每千米元（不足1千米按1千米计算）．
(1)小明乘出租车从家到外婆家，相距千米，应付车费多少钱？
(2)王老师从学校去相距6千米的教育局取一份资料后立即返回学校，他有两种乘车方案：
方案一：去程和回程各乘一辆出租车，按正常方式计费；
方案二：去程和回程乘同一辆车，起步价不变（只收取一次），但超过3千米部分按每千米元计费．（司机等候的时间不计费）
他怎样乘车比较合算？需付多少元出租车费？
变式1．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 ．
变式2．（24-25七年级下·山西大同·期末）低碳生活是一种健康、自然的生活态度，博学小组对节约用电进行了研究．
信息收集：信息1，2025年3月份和4月份小宇家和小文家用电情况的相关数据．
小宇家：两个月共用电350度，缴纳电费158元；
小文家：两个月共用电470度，缴纳电费218元．
信息2，某地电力公司对一户一表不分时居民用电按双月执行阶梯式递增收费，即同一用户用电量的单价按档位分阶收取，收费档位共分三档：第一档为0至340度；第二档为341至520度，第三档为521度以上．（不满1度，按1度计算）
信息3，家庭用电碳排放量（单位：）用电度数．
问题解决：(1)结合上述信息，求第一档和第二档用电的价格分别是每度多少元．(2)如果小文家3月份至6月份家庭用电的碳排放量不超过，那么他家5月份和6月份用电量合计不超过多少度？
考点6.行程问题
例1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）；
(2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小；
(3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
变式1．（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
变式2．（24-25七年级下·广西南宁·期末）小华计划星期天与同学去登山，上午点出发，尽可能去最远的山，已知各山距出发点的距离如图所示，他们想在到达山顶后休息游玩小时，下午点前必须回到出发点，去时平均速度为千米/时，返回时平均速度为千米/时，则他们最远能登上（ ）
A．山 B．山 C．山 D．山
变式3．（24-25八年级下·广东·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ．
考点7. 工程问题
例1．（2023·四川德阳·中考真题）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新时代”为主题的世界清洁能源装备大会在德阳举行．大会聚焦清洁能源装备产业发展热点和前瞻性问题，着力实现会展聚集带动产业聚集．其中德阳清洁能源装备特色小镇位于德阳经济技术开发区，规划面积平方公里，计划2025年基本建成．若甲、乙两个工程队计划参与修建“特色小镇”中的某项工程，已知由甲单独施工需要18个月完成任务，若由乙先单独施工2个月，再由甲、乙合作施工10个月恰好完成任务．承建公司每个月需要向甲工程队支付施工费用8万元，向乙工程队支付施工费用5万元．
(1)乙队单独完工需要几个月才能完成任务？(2)为保证该工程在两年内完工，且尽可能的减少成本，承建公司决定让甲、乙两个工程队同时施工，并将该工程分成两部分，甲队完成其中一部分工程用了a个月，乙队完成另一部分工程用了b个月，已知甲队施工时间不超过6个月，乙队施工时间不超过24个月，且a，b为正整数，则甲乙两队实际施工的时间安排有几种方式？哪种安排方式所支付费用最低？
变式1．（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
变式2．（24-25七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成．
(1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？(2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案．
考点8. 调配问题
例1．（24-25八年级下·广东东莞·期末）市和市分别库存某种机器台和台，现决定支援给市台和市台已知从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元；从市调运一台机器到市和市的运费分别为元和元．(1)设市运往市机器台，求总运费关于的函数关系式；(2)若要求总运费不超过元，共有几种调运方案？(3)求总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？
变式1．（24-25·广东·八年级期中）深圳某科技公司在甲地、乙地分别生产了台、台相同型号的检测设备，全部运往大运赛场、两馆，其中运往馆台，运往馆台，运往、两馆运费如表1：(1)设甲地运往馆的设备有台，请填写表，并求出总运费元与台的函数关系式；
(2)要使总运费不高于元，请你帮助该公司设计调配方案，并写出有哪几种方案；
(3)当为多少时，总运费最少，最少为多少元？
变式2．（2025·内蒙古·模拟预测）内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨）
A
甲 20 25
乙 15 24
(1)求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？(2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案．
变式3．（24-25八年级下·广东·培优）某市，两个蔬菜基地得知黄岗，两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运，两个灾区安置点，从地运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从地运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写表，用含的代数式填空，结果要化简：
总计/
______ ______ 200
______ 300
总计/ 240 260 500
(2)设，两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元，其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
考点9. 几何问题
例1．（25-26八年级上·内蒙古·阶段练习）已知：一个周长为15的等腰三角形，若这个等腰三角形的三边均为整数，则这样的三角形有 个．
变式1．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）现有一段围墙长20米，王伯伯想紧靠这段围墙圈一块长方形空地作为兔舍饲养小兔．已知他圈好的空地如图所示，是一个长方形，它的一条边用墙代替，另三边用总长度为50米的篱笆围成．设垂直于墙的一边的长度为米，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有 ．（填写序号）
变式3．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．
考点10. 其他问题
例1．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了，两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下：
(1)若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？
(2)考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且总热量不超过．请通过计算，求出共有多少种符合要求的配餐方案．
变式1．（24-25七年级上·湖北黄石·开学考试）核酸检测点进行检测时，有名市民排队等候，检测开始后，仍有市民陆续前来，设市民按固定的速度增加，核酸检测的速度也是固定的，若开放一个检测口，则需要30分钟才可以将排队的市民全部检测完毕，若开放两个检测口，则需要10分钟便可将排队的市民全部检测完毕，如果要在5分钟内将排队的市民全部检测完毕，使后来的市民能随到随检，至少要同时开放（ ）个检测口
A．3 B．4 C．5 D．6
变式2．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间T（单位：毫秒）与单帧视频数据量x（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量x的允许范围是 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级下·成都·期中）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）若一艘轮船沿江水顺流航行用时少于小时，它沿江水逆流航行也用时少于小时，设这艘轮船在静水中的航速为，江水的流速为，则根据题意可列不等式组为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·浙江·期中）一位老师说，他班上学生的一半在学数学，四分之一的学生在学外语，六分之一的学生在学音乐，还有不足名同学在操场上踢足球，则这个班的学生最多有（ ）人．
A．人 B．人 C．人 D．人
4．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）用若干辆载重量为6吨的货车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下18吨货物；若每辆货车装6吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ）
A． B．C． D．
5．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）1000只动物围成一圈，有鸡、牛、羊三种，其中鸡有600只，而且每一只鸡都要么挨着牛，要么夹在两只羊中间，那么至少有多少头牛？（ ）
A．200 B．202 C．201 D．210
6．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山东·模拟预测）根据以下对话，
给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为；②1班学生的最低身高小于；
③2班学生的最高身高大于或等于．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
8．（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）有一口水井，井底存了一些水，并且还有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等．如果用3台抽水机抽水，36分钟可将水抽完；如果用5台抽水机抽水，20分钟可将水抽完．现在要求12分钟内抽完井水，至少需要抽水机的台数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
9．（2024·贵州遵义·一模）某商店以250元/辆的进价购入200辆自行车，并以275元/辆的价格销售，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这段时间售出的自行车可能是（ ）
A．179辆 B．180辆 C．181辆 D．182辆
10．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）检测游泳池的水质，要求三次检验的的平均值不小于7.2，且不大于7.8．已知第一次检测值为7.5，第二次检测值在7.0至7.6之间（包含7.0和7.6），若该游泳池检测合格，则第三次检测值x的范围是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·上海·阶段练习）某山区学校为部分离家远的学生安排住宿．如果每间宿舍住5人，那么有12人安排不下；如果每间宿舍住8人，那么最后一间宿舍不空也不满，问共有宿舍 间．
12．（24-25七年级下·广东汕头·期末）“五一”长假期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要很长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有人排队购票．同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票，购票时售票厅每分钟新增人，每分钟每个窗口出售票数张（规定每人只限购一张）．若在开始售票分钟后，来购票的旅客不用排队等待，则至少需要开放 个窗口．
13．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有 本．
14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过，2元人次；超过到（含），元/人次；超过到（含），4元/人次；超过到（含），5元/人次；超过到（含），6元/人次；超过到（含），7元/人次；超过到（含），8元/人次；超过部分，票价每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为 ．
15．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）导火线的燃烧速度为，爆破员点燃后跑开的速度为，为了点火后能够跑到150m外的安全地带，导火线的长度至少是
16．（2024·江西·模拟预测）在“红博会”期间，某商店购进甲、乙两种不同的“红军长征工艺品”共100件．已知售出1件甲种“工艺品”获利3元，售出1件乙种“工艺品”获利5元，全部售完后，获利不低于420元．则该商店至多购进了甲种“工艺品” 件．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）现从，两个蔬菜村向甲，乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜村各有蔬菜吨，吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨；从村运往甲地运费为元吨，运往乙地运费为元吨． 怎样调运蔬菜才能使总运费最少？最少运费为多少？
18．（2025·江苏·八年级期中）一个长方形足球场的长为xcm，宽为70m，如果它的周长大于350m，面积小于7560m ，求x的取值范围，并判断这个球场是否可以用作国际足球比赛？
(注：用于国际比赛的足球场的长在100m到110m之间，宽在64m到75m之间)
19．（24-25七年级下·成都·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质为200克；每千克乙原料含营养物质为300克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质不低于240克、不高于245克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
20．（24-25七年级下·重庆·课后作业）为了解决雨季时城市内涝的难题，某市决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了．按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
(1)实际施工时，每天改造地下管网的长度是多少？
(2)施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么之后每天至少需要改造地下管网多少米？
21．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元．(1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值；(2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下：
活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种；活动2：全部商品打9折．
如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算．
(3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？
22．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）某网店销售甲、乙两种羽毛球，已知甲种羽毛球每筒的售价比乙种羽毛球多15元，王老师从该网店购买了2筒甲种羽毛球和3筒乙种羽毛球，共花费255元．
(1)该网店甲、乙两种羽毛球每筒的售价各是多少元？
(2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8780元购进甲、乙两种羽毛球共200筒，且甲种羽毛球的数量大于70筒．已知甲种羽毛球每筒的进价为50元，乙种羽毛球每筒的进价为40元．若所购进羽毛球均可全部售出，请求出网店所获最大利润是多少元？
23．（2024·山东日照·模拟预测）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变）
销售数量（辆） 销售额（万元）
A款一月份 30二月份 10 B款1030 350330
(1)求A，B两款汽车每辆售价分别多少万元？
(2)若A款汽车每辆进价为万元，B款汽车每辆进价为万元，公司预计用不多于129万元且不少于123万元的资金购进这两款汽车共20辆，有哪几种进货方案？
(3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，请确定a的取值，并说明理由．
24．（25-26八年级上·四川绵阳·开学考试）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
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