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专题3.4 一元一次不等式组
1、理解一元一次不等式组的概念；
2、理解不等式组的解的概念；
3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 一元一次不等式组的定义 2
考点2. 解一元一次不等式组 3
考点3. 一元一次不等式组的整数解 5
考点4. 解特殊的不等式组（含分式和二次） 6
考点5. 一元一次不等式组的运用（框图） 9
考点6. 不等式组和方程结合 10
考点7. 一元一次不等式组的新定义问题 12
考点8. 一元一次不等式组的含参问题 15
考点9. 一元一次不等式组的实际应用 16
模块3：培优训练 20
1.一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。
2. 组成不等式组的各个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集。
当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。
3.利用数轴确定不等式组的解集．
口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。例如：
1） 解集：x＞4； 2） 解集：x＜2；
3） 解集：2＜x＜4； 4） 解集：无解。
注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．
4.解一元一次不等式组的一般步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集（也可以运用口诀得到不等式组的解集）。
考点1. 一元一次不等式组的定义
2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
变式1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）下列不等式中，是一元一次不等式组的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【详解】解：③，④，⑤，是一元一次不等式组；
①，②，不是一元一次不等式组；故选C.
变式2．（25-26七年级下·山东·期中）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，是一元一次不等式组，故不符合题意；
B、，是一元一次不等式组，故不符合题意；
C、，是一元一次不等式组，故不符合题意；
D、，含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故符合题意；故选：D．
考点2. 解一元一次不等式组
例1．（24-25九年级下·上海长宁·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴表示见解析
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
变式1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】，图见解析；
【详解】解：解不等式：
解得：．
解不等式：
解得：．
所以不等式组的解集为，
数轴表示：
；
变式2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解不等式组．
【答案】
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
变式3．（24-25七年级下·云南丽江·期末）解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来．
【答案】，图见解析．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示如下：
考点3. 一元一次不等式组的整数解
例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式组的解集中，有（ ）个整数解．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为，
则不等式组的整数解有、、、共个．故选：B．
变式1．（2025·河南安阳·三模）写出满足不等式组的一个整数解： ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：，
由得：，由得：，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的一个整数解为：；
故答案为：（答案不唯一）．
变式2．（24-25·成都市·八年级期中）不等式组的最大整数解为（ ）．
A． B． C．1 D．0
【答案】A
【详解】，解不等式①得： ，解不等式②得：x＜,
所以不等式组的解集为； x＜,最大整数解为﹣2．故选A．
变式3．（24-25八年级下·四川成都·期末）关于的不等式组的所有整数解的和为 ．
【答案】9
【详解】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，
∴原不等式组的整数解为，0，1，2，3，4，
∴原不等式组的整数解之和为，故答案为：9．
考点4. 解特殊的不等式组（含分式和二次）
例1．（24-25七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】阅读下列材料：
求不等式的解．
解：根据“异号两数相乘，积为负”，得
①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，无解，
原不等式的解为．
【解决问题】请你仿照上述方法解决下列问题：
(1)求不等式的解；(2)求不等式的解．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）解：根据“同号两数相乘，积为正”，得
①或②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，
原不等式的解为或．
（2）解：根据“异号两数相除，商为负”，得
①或②，
解不等式组①，无解，
解不等式组②，得，
原不等式的解为．
变式1．（24-25七年级下·山西大同·期末）阅读理解
解不等式
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或
解不等式组得
解不等式组得
∴原不等式的解集为或．
问题解决：(1)上述解题过程中，用到的数学思想是（ ）（选两项）
A．转化思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．类比思想
(2)根据以上材料，不等式的解集为________________________．
(3)已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是___________．
【答案】(1)AC (2) (3)
【详解】（1）解：由题意得，上述解题过程中，用到的数学思想是分类讨论思想和转化思想，
故选：AC；
（2）解：
根据两数相乘，异号为负，原不等式可以转化为或，
解不等式组，可知该不等式组无解，
解不等式组得，∴原不等式的解集为；
（3）解：得：，解得，
把代入到①得：，解得，∴原方程组的解为；
∵，∴，
根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或，
解不等式组得，解不等式组可知该不等式组无解，
综上所述，原不等式的解集为．
变式2．（24-25·湖南八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
【答案】.
【详解】∵两数相乘（或相除），异号得负，∴由不等式可得：
或 ，解不等式组①得：，解不等式组②得：该不等式组无解，
综上所述，所以原不等式解集为：.
变式3．（24-25·四川七年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
【答案】（1）或；（2）
【详解】解：（1）由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，得；
∴不等式的解集是或；
（2）由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”可得：
①或②，解不等式组①，得；解不等式组②，无解；
故不等式的解集为．
考点5. 一元一次不等式组的运用（框图）
例1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数”到“结果是否大于95”为一次操作．如果该程序进行了三次操作停止，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：第一次的结果为：，没有输出，则，解得：；
第二次的结果为：，没有输出，则，解得：
第三次的结果为：，输出，则解得：；
综上可得：．故选：B．
变式1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于80”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于80，则用得到的这个数进行下一次操作．
如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设输入的为x，
由题意知，解得：，故选：B．
变式2．（24-25八年级下·成都·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 ；
【答案】
【详解】解：依题意，结合程序图的信息，可列不等式组为，
故答案为：
变式3．（24-25七年级下·广西百色·期末）按如图所示的程序进行运算：
（1）若运算进行一次就停止，则的取值范围是 ；
（2）若运算进行两次才停止，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：（1）根据题意得：，解得：；故答案为：
（2）根据题意得：，解得：．故答案为：
考点6. 不等式组和方程结合
例1．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】根据方程组，
由得：，，
，，解得，故答案为：．
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组
的解满足，则满足条件的整数a有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【详解】解：
去括号得，解得，
∵关于x的方程的解为非负数，
∴，∴；
得，∴，
∵关于x，y的二元一次方程组
的解满足，
∴，∴，∴，
∴满足条件的整数a有，共5个，故选：B．
变式2．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为
【答案】
【详解】解：得，∴，
∵，∴，解得，
∴符合条件的所有整数m的取值为，，，，，，，
∴符合条件的所有整数m的取值之和为，故答案为：．
变式3．（2025·河南·校考一模）已知，若，，则的取值范围 ．
【答案】
【详解】解：，，得，解得，
把代入②，得，解得，
∵，，∴，解得，
，解得，∴．故答案为：．
考点7. 一元一次不等式组的新定义问题
例1．（25-26七年级下·河北·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）；
(2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围．
【答案】(1)①②(2)(3)
【详解】（1）解：①，解得：，
②，解得：，③，解得：，
，解不等式①得：，解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，
∴不等式组的“子方程”是：①②，故答案为：①②．
（2）解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为：，解方程得，，
方程是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，解得．
（3）解：解方程，得，
，解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵关于x的方程是不等式组的“子方程”，
∴，解得．
变式1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）对于，符号表示不大于的最大整数．如：，则满足关系式的的整数值有 个．
【答案】2
【详解】解：由题意得：，解得：，
其整数解为9、10，共2个．故答案为：2．
变式2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义一种新运算，如，若，且m为整数，则m的所有可能值的和为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，解得：，
为整数，，，，0，1，2，则，故答案为：
变式3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的．
(1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
①，②，③
(2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围．
【答案】(1)②③(2)
【详解】（1）解：，解得：，
∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，
①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；
②，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；
③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；故答案为：②③
（2）解：，解不等式得：，解不等式得：，
∴原不等式组的解集为，∴其所有整数解为，
，解不等式得：，
解不等式得：，∴原不等式组的解集为，
∵不等式组与是“整数同解”的，
∴不等式组的所有整数解为，∴，解得：
考点8. 一元一次不等式组的含参问题
例1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（ ）
A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解
C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则
【答案】D
【详解】解：由得到，
∵不等式组所有正整数解的和为5，
∴，解得，故A正确，不合题意；
若，则不等式组的解集为，∴是不等式组的解，故B正确，不合题意；
∵不等式组只有3个整数解，∴，解得，故C正确，不合题意；
若不等式组有解，则，解得，故D错误，符合题意，故选：D
变式1．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【详解】解：∵
∴由，得出，由，得出，∴不等式组的解集为，
∵的取值范围是或，∴或，
∴当时，整数解为，0，1，2，3，和为；
当时，整数解为2，3，和为；综上所述，的值为5．故选：A．
变式2．（24-25七年级下·河北承德·期末）已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【详解】解：，解不等式，
得：，解不等式，得：，
∵不等式组有且只有1个整数解，∴不等式组的整数解为1，∴．故选：B．
变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，
所有整数解的和是，不等式组的整数解为、、、或、、、、、、、、，
则或，故选：D．
考点9. 一元一次不等式组的实际应用
例1．（24-25·湖南·八年级期中）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
【答案】（1）人；（2）；
（3）可能10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍女生62人
【详解】解：（1）由题意可得女生人数为：（）人.
（2）依题意可得，解得：.
（3）由（2）知，∵为正整数，∴或，
时，女生人数为（人），时，女生人数为（人），
∴可能有10间宿舍，女生58人，或者11间宿舍，女生62人.
变式1．（24-25·射阳县八年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____．
【答案】39或44或49
【详解】设共有x间宿舍，则学生数有（5x＋14）人，
根据题意得：0＜5x＋14 8（x 1）＜8，解得＜x＜，
∵x为整数，∴x＝5或6或7，即学生有5x＋14＝39或5x＋14＝44或5x＋14＝49．
即，学生人数是39或44人或49；故答案为：39或44或49．
变式2．（24-25·江苏·七年级专题练习）为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
方案 汽车数量（单位：辆） 总费用（单位：万元）
第一种购买方案 6 4 170
第二种购买方案 8 2 160
(1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
【答案】(1)型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元
(2)共有三种购车方案，方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆；方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆；方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆
【解析】(1)设型号新能源汽车每辆的价格是万元，型号新能源汽车每辆的价格是万元.
由题意得：解得：.
型号新能源汽车每辆的价格是15万元，型号新能源汽车每辆的价格是20万元.
(2)设购买型号新能源汽车辆，则购买型号新能源汽车辆.
由题意得：解得：.
∵a是整数，∴a=4，5或6∴共有三种购车方案
方案一：购买型号新能源汽车4辆，则购买型号新能源汽车6辆
方案二：购买型号新能源汽车5辆，则购买型号新能源汽车5辆
方案三：购买型号新能源汽车6辆，则购买型号新能源汽车4辆
变式3．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）在日常生活和生产实践中经常发生排队等待的现象，例如，在学校食堂买饭，根据下面的材料解决问题．
材料①：某校食堂为了提升学生的就餐体验，对学生就餐排队情况进行了调查：食堂窗口还未开放时，有a个人已经在排队等候打饭；窗口开放开始打饭时，排队的人数平均每分钟增加b人．假定打饭速度是每个窗口每分钟c个人，当开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象：当同时开放3个窗口时，则20分钟后恰好不会出现排队现象．
材料②：一天中午，小军到食堂排队买饭，看到A、B两个窗口排队的人数一样多（设为m人，），就站在A窗口队伍后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有5人买好饭离开，B窗口每分钟有8人买好饭离开，而且B窗口队伍后面每分钟还增加4人．
【解决问题】 (1)此时，若小军继续在A窗口排队买饭，则他到达A窗口所花的时间是多少？（用m的代数式表示）；(2)此时，若小军迅速到B窗口队伍后面重新排队，则他到达B窗口所花的时间是多少？（用m的代数式表示）；(3)此时，若他到达B窗口所花的时间比继续留在A窗口排队到达A窗口多花的时间少，m至少是多少？（不考虑其他因素）；(4)若食堂想5分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放______个窗口．
【答案】(1)(2)(3)14(4)9
【详解】（1）解：由题意可得：他到达A窗口所花的时间是；
（2）解：由题意可得：他到达B窗口所花的时间是；
（3）解：由题意可得：，解得：，
∵为正整数，∴至少是；
（4）解：由题意可得：，解得：，
设同时开放个窗口，5分钟后不会出现排队现象，
则，即，解得：，
∴至少开放个窗口，5分钟后不会出现排队现象．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·云南昆明·期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由图形可得能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为，故选：D．
2．（25-26·浙江八年级课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】①是一元一次不等式组，故①正确；②是一元一次不等式组，故②正确；
③是一元二次不等式组，故③错误；④，含有分式，不是一元一次不等式组，故④错误；⑤是二元一次不等式组，故⑤错误；⑥是一元一次不等式组，故⑥正确.故选：C．
3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）满足不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：，解①得，，解②得，，
所以不等式组的解集为．在数轴上表示如下：
故选：D．
4．（24-25·广东八年级期中）不等式组的整数解为（ ）
A．－2，－1，0 B．－2，－1，0，1 C．－2，－3 D．－2，－1
【答案】A
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解为：、、，故选：A
5．（2025·山东临沂·二模）已知两个代数式与的值的符号相同，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，得：或，解不等式组，得：，
解不等式组，得：，或．故选：B．
6．（2025·河南驻马店·三模）已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是，则另一个不等式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：解已知不等式：，解得：，即．
A：解不等式得，与的交集为，整数解为（两个），不符合条件；
B：解不等式得，与的交集为空集，无解，不符合条件；
C：解不等式 得：，即，即，与的交集为，无整数解，不符合条件；
D：解不等式解得：，即，与的交集为，整数解为（仅一个），符合条件，故选：D．
7．（24-25七年级下·四川凉山·期末）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得： ，
解不等式①，得：，解不等式②，得：，
则得取值范围是：；故选：B．
8．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）现有若干名学生，住若干间宿舍若每间宿舍住人，则有名学生无法安排住宿；若每间宿舍住人，则最后一间宿舍不满也不空则学生人数为（ ）
A． B． C． D．或或
【答案】D
【详解】解：设宿舍共有间，则学生人数为，依题意，得
．解得
即的可能整数值为5、6、7．
当时，人数为；
当时，人数为；
当时，人数为．故选D．
9．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由得：，由得：，
不等式组只有4个整数解，不等式组的整数解为2、3、4、5，
，解得，故选：D．
10．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知关于的不等式组，下面是某小组给出的结论：
结论：当时，此不等式组无解；结论：若不等式组的解集是，则；
结论：若此不等式组有整数解，则；结论：若不等式组的整数解只有，，，则．
其中结论正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，
结论：当时，不等式组无解，原说法正确；
结论：若解集为，则，原说法正确；
结论：若不等式组有整数解，则，原说法错误；
结论：若整数解只有，，，则，原说法错误；
综上，结论，结论正确，共个，故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级下·广东·期末）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的整数解为 ．
【答案】0
【详解】解：由数轴，得该不等式组的解集为，∴该不等式组的整数解为0．故答案为：0．
12．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）不等式组的解集是 ．
【答案】
【详解】解：，解不等式得，；解不等式得，；
故不等式组的解集为：．故答案为：．
13．（24-25·湖北八年级专题练习）若不等式组的解 为，则值为 。
【答案】-8
【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组的解集为，
若不等式组解为，
，且，解得：，，
，故答案为：-8．
14．（24-25八年级下·浙江·开学考试）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，
解不等式①得：，解不等式②得：，∵关于x的不等式组无解，
∴，故答案为：．
15．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某商店销售两种笔记本，进价和售价如表所示：
名称 种笔记本 种笔记本
进价（元/本）
售价（元/本）
该商店用元钱购入了这两种笔记本，设购入种笔记本本，种笔记本本，则与的关系式为 ；若两种笔记本全部售完，且种笔记本数量大于种笔记本数量的倍，则能获得的最大利润是 元．
【答案】
【详解】解：根据题意可知，两种笔记本进价为元/本和元/本，
购入本的价格为元，购入本的价格为元，
，即．
由题意可知，笔记本的利润为售价减去进价（元），同理，笔记本的利润为（元），
种笔记本数量大于种笔记本数量的倍，，解得，
的利润大于的利润，且取最大正整数值为，
将代入，可得，，
最大利润为（元）．故答案为：，．
16．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为 ；若a同时使关于x的不等式组有解，则满足条件的整数a的个数为 ．
【答案】 4
【详解】解：解方程组得，
由得，解得，
由，得：，由，得：，
不等式组有解，，又，，
符合条件的整数a有、0、1、2共4个，故答案为：；
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·天津·二模）求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解．
【答案】，不等式组的整数解是，数轴见解析．
【详解】解：，
解不等式①，得，解不等式②，得，
∴不等式组的解集是，在数轴上表示为：
，∴不等式组的整数解是．
18．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
【答案】0，1
【详解】解：解，
，
，
∴．
解，
，
，
∴．
∴原不等式组的解集为．
∴不等式组的非负整数解为0，1．
19．（2025·河南·模拟预测）（1）计算：；（2）已知不等式．
①直接写出该不等式的解集；②请你写出一个不等式，使它与已知不等式组成的不等式组的解集为．
【答案】（1）；（2）①；②
【详解】解：（1）原式；
（2）①去分母，得；
移项、合并同类项，得，
故不等式的解集为．
②不等式组的解集为，
不等式可以是 (答案不唯一).
20．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元；
(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．
【答案】(1)A种奖品的单价为10元，种奖品的单价为15元 (2)共有8种购买方案，购买75件种奖品，25件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元
【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，
依题意，得：，解得，
答：A种奖品的单价为10元，种奖品的单价为15元．
（2）解：设运动会组委会购进件种奖品，则购进件种奖品，
依题意，得：，解得，种)．
∵，∴A种奖品的单价较低，要使总费用最少，需尽可能多的购买A种奖品，
∴当时，购买奖品总费用最少，最少费用为（元），
综上可知，共有8种购买方案，购买75件种奖品，25件种奖品时，购买奖品总费用最少，最少费用为1125元．
21．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在经济新风向吹拂下，“地摊经济”正散发着无限可能，小明准备去批发市场购进一批花盆和种子．已知购买1个花盆、2包种子共需6元，购买2个花盆、3包种子共花费11元．(1)求花盆和种子的单价；(2)小明准备购进x个花盆（），90包种子，批发店给出以下优惠方案：
方案一：花盆和种子都按9折优惠；
方案二：买一个花盆送一包种子，剩余的种子按原价购买．
①求两种方案所需的费用（用含x的式子表示）；②请你帮小明选择哪种方案更省钱？
【答案】(1)1个花盆4元，1包种子1元 (2)①方案一：元．方案二：元；②，选方案一，，方案一、方案二都可以，，选方案二
【详解】（1）解：设1个花盆a元，1包种子b元，
，解得：，
答：1个花盆4元，1包种子1元．
（2）①方案一：元；方案二：元；
②，解得：；∴当，选方案一，
，解得：，方案一、方案二都可以，
，解得：，∴当，选方案二．
22．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
【新知】解不等式：
解：由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得①或②
解不等式组①，得；解不等式组②，得
∴的解集为或
（1）不等式的解集是 ；
【应用】（2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）∵
∴或，解，得：；
解，此不等式无解；故；
（2）得；；
得；；∴
∵∴，根据两数相乘，同号得正，
原不等式可以转化为或；
解不等式组得：；
解不等式组得：此不等式无解
∴得取值范围为．
23．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)②(2)(3)
【详解】（1）解：①，解得：
②，整理得： 解得：
③，解得：
解不等式可得：
解不等式可得：
所以不等式组的解集为：
根据新定义可得：方程②是不等式组的“相依方程”．故答案为：②；
（2）解： 由①得： 由②得：
所以不等式组的解集为：
， 根据“相依方程”的含义可得：
解得：
（3）解：由①得： 由②得：
∴不等式组的解集为： 此时不等式组有4个整数解，
∴整数解为2，3，4，5，∴ 解得；
因为，解得： 根据“相依方程”的含义可得：
即解得：，即 综上：
24．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）请阅读以下材料，并解决问题：
材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2．
材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分.
(1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ；
(2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围；
(3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；，，(2)(3)或
【详解】（1）解：，
解不等式①得：，解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的“青一距离”；“求真点”为，，.
（2）解：，
由①得：，解得：，
由②得：，∴，解得：，
由③得：，
∵不等式组的“青一距离”，
∴不等式组的解集为：，∴当，即，
∴不等式的解集为，
∴，∴，解得：，此时，
当时，即时，不等式③成立，
当时，即，
∴不等式的解集为，∴，
∴，∴，此时：，综上：.
（3）解：∵不等式组的“青一距离” ，
∴，解得：，
∴化为，由①得：，由②得：，
∵关于y的不等式组恰有2个“求真点”，
∴不等式组的解集为：，且有2个整数解，
则存在这样的整数满足：，
由③得：，由④得：，
当时，可得：，此时，
当时，可得：，此时，
当时，符合题意，
当为另外的整数时，不等式组无解；
综上：或.
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专题3.4 一元一次不等式组
1、理解一元一次不等式组的概念；
2、理解不等式组的解的概念；
3、会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 一元一次不等式组的定义 2
考点2. 解一元一次不等式组 3
考点3. 一元一次不等式组的整数解 5
考点4. 解特殊的不等式组（含分式和二次） 6
考点5. 一元一次不等式组的运用（框图） 9
考点6. 不等式组和方程结合 10
考点7. 一元一次不等式组的新定义问题 12
考点8. 一元一次不等式组的含参问题 15
考点9. 一元一次不等式组的实际应用 16
模块3：培优训练 20
1.一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。
2. 组成不等式组的各个不等式解集的公共部分就是不等式组的解集。
当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。
3.利用数轴确定不等式组的解集．
口诀：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。例如：
1） 解集：x＞4； 2） 解集：x＜2；
3） 解集：2＜x＜4； 4） 解集：无解。
注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆．
4.解一元一次不等式组的一般步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集（也可以运用口诀得到不等式组的解集）。
考点1. 一元一次不等式组的定义
2．（24-25七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·重庆万州·期中）下列不等式中，是一元一次不等式组的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
变式2．（25-26七年级下·山东·期中）下列各式不是一元一次不等式组的是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 解一元一次不等式组
例1．（24-25九年级下·上海长宁·期中）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
变式1．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；
变式2．（25-26八年级上·浙江金华·期中）解不等式组．
变式3．（24-25七年级下·云南丽江·期末）解不等式组，并把它的解集在下列数轴上表示出来．
考点3. 一元一次不等式组的整数解
例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）不等式组的解集中，有（ ）个整数解．
A． B． C． D．
变式1．（2025·河南安阳·三模）写出满足不等式组的一个整数解： ．
变式2．（24-25·成都市·八年级期中）不等式组的最大整数解为（ ）．
A． B． C．1 D．0
变式3．（24-25八年级下·四川成都·期末）关于的不等式组的所有整数解的和为 ．
考点4. 解特殊的不等式组（含分式和二次）
例1．（24-25七年级下·广西百色·期中）【阅读理解】阅读下列材料：
求不等式的解．
解：根据“异号两数相乘，积为负”，得
①或②
解不等式组①，得，
解不等式组②，无解，
原不等式的解为．
【解决问题】请你仿照上述方法解决下列问题：
(1)求不等式的解；(2)求不等式的解．
变式1．（24-25七年级下·山西大同·期末）阅读理解
解不等式
解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或
解不等式组得
解不等式组得
∴原不等式的解集为或．
问题解决：(1)上述解题过程中，用到的数学思想是（ ）（选两项）
A．转化思想 B．统计思想 C．分类讨论思想 D．类比思想
(2)根据以上材料，不等式的解集为________________________．
(3)已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是___________．
变式2．（24-25·湖南八年级期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答：
例题：解不等式
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得①或②
解不等式组①得，解不等式组②得，
所以不等式的解集为或．
问题：求不等式的解集．
变式3．（24-25·四川七年级期末）先阅读理解下列例题：
例题：解一元二次不等式
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得有：①或 ②
解不等式组①得；解不等式组②得
∴一元二次不等式的解集是或
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（1）求不等式的解集； （2）求不等式的解集．
考点5. 一元一次不等式组的运用（框图）
例1．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）已知某程序如图所示，规定：从“输入实数”到“结果是否大于95”为一次操作．如果该程序进行了三次操作停止，那么实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于80”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于80，则用得到的这个数进行下一次操作．
如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·成都·期中）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次停止，那么为求x的取值范围可列不等式组为 ；
变式3．（24-25七年级下·广西百色·期末）按如图所示的程序进行运算：
（1）若运算进行一次就停止，则的取值范围是 ；
（2）若运算进行两次才停止，则的取值范围是 ．
考点6. 不等式组和方程结合
例1．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
变式1．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如果关于x的方程的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组
的解满足，则满足条件的整数a有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
变式2．（24-25七年级下·重庆·期末）已知关于x、y的方程组的解满足，则符合条件的所有整数m的取值之和为 。
变式3．（2025·河南·校考一模）已知，若，，则的取值范围 ．
考点7. 一元一次不等式组的新定义问题
例1．（25-26七年级下·河北·期中）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”．问题解决：
(1)在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 （填序号）；
(2)若方程是关于x的不等式组的“子方程”，试求m的取值范围；
(3)若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围．
变式1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）对于，符号表示不大于的最大整数．如：，则满足关系式的的整数值有 个．
变式2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）定义一种新运算，如，若，且m为整数，则m的所有可能值的和为 ．
变式3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．
例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的．
(1)下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；
①，②，③
(2)已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围．
考点8. 一元一次不等式组的含参问题
例1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的一元一次不等式组下列结论错误的是（ ）
A．若不等式组所有正整数解的和为5，则 B．若，则是不等式组的解
C．若不等式组只有3个整数解，则 D．若不等式组有解，则
变式1．（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）小程在解“已知关于的不等式组的所有整数解的和为，求的取值范围”这题时，墨水把题中的条件给挡住了，通过翻阅参考答案发现的取值范围是或，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
变式2．（24-25七年级下·河北承德·期末）已知关于x的不等式组 有且只有1个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C．0 D．
变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x的不等式组的所有整数解的和是18，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
考点9. 一元一次不等式组的实际应用
例1．（24-25·湖南·八年级期中）一群女生住间宿舍，每间住4人，剩下18人无房住，每间住6人，有一间宿舍住不满，但有学生住．（1）用含的代数式表示女生人数．（2）根据题意，列出关于的不等式组，并求不等式组的解集．（3）根据（2）的结论，问一共可能有多少间宿舍，多少名女生？
变式1．（24-25·射阳县八年级期中）有学生若干人，住若干间宿舍，若每间住5人，则有14人无法安排住宿，若每间住8人，则最后有一间宿舍不满也不空，则学生人数为_____
变式2．（24-25·江苏·七年级专题练习）为缓解并最终解决能源的供需矛盾，改善日益严峻的环境状况，我国大力提倡发展新能源．新能源汽车市场发展迅猛，国家不仅在购买新能源车方面有补贴，而且还有免缴购置税等利好政策．某汽车租赁公司准备购买、两种型号的新能源汽车10辆．新能源汽车厂商提供了如下两种购买方案：
方案 汽车数量（单位：辆） 总费用（单位：万元）
第一种购买方案 6 4 170
第二种购买方案 8 2 160
(1)、两种型号的新能源汽车每辆的价格各是多少万元？(2)为了支持新能源汽车产业的发展，国家对新能源汽车发放一定的补贴．已知国家对、两种型号的新能源汽车补贴资金分别为每辆3万元和4万元．通过测算，该汽车租赁公司在此次购车过程中，可以获得国家补贴资金不少于34万元，公司需要支付资金不超过145万元，请你通过计算求出有几种购买方案．
变式3．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）在日常生活和生产实践中经常发生排队等待的现象，例如，在学校食堂买饭，根据下面的材料解决问题．
材料①：某校食堂为了提升学生的就餐体验，对学生就餐排队情况进行了调查：食堂窗口还未开放时，有a个人已经在排队等候打饭；窗口开放开始打饭时，排队的人数平均每分钟增加b人．假定打饭速度是每个窗口每分钟c个人，当开放2个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象：当同时开放3个窗口时，则20分钟后恰好不会出现排队现象．
材料②：一天中午，小军到食堂排队买饭，看到A、B两个窗口排队的人数一样多（设为m人，），就站在A窗口队伍后面，过了2分钟，他发现A窗口每分钟有5人买好饭离开，B窗口每分钟有8人买好饭离开，而且B窗口队伍后面每分钟还增加4人．
【解决问题】 (1)此时，若小军继续在A窗口排队买饭，则他到达A窗口所花的时间是多少？（用m的代数式表示）；(2)此时，若小军迅速到B窗口队伍后面重新排队，则他到达B窗口所花的时间是多少？（用m的代数式表示）；(3)此时，若他到达B窗口所花的时间比继续留在A窗口排队到达A窗口多花的时间少，m至少是多少？（不考虑其他因素）；(4)若食堂想5分钟后不会出现排队现象，则至少需要同时开放______个窗口．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·云南昆明·期末）限制高度是公路交通标志中的重要类别，这类标志通常设置在立交桥下方、跨路桥附近等净空受限区域，明确对于通过该路段车辆最大高度的限制要求．如图所示，能通过该路段的车辆高度x（单位：米）的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26·浙江八年级课时练习）有下列不等式组：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）满足不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25·广东八年级期中）不等式组的整数解为（ ）
A．－2，－1，0 B．－2，－1，0，1 C．－2，－3 D．－2，－1
5．（2025·山东临沂·二模）已知两个代数式与的值的符号相同，则的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．（2025·河南驻马店·三模）已知不等式组只有一个整数解，且其中一个不等式是，则另一个不等式可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·四川凉山·期末）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·云南临沧·阶段练习）现有若干名学生，住若干间宿舍若每间宿舍住人，则有名学生无法安排住宿；若每间宿舍住人，则最后一间宿舍不满也不空则学生人数为（ ）
A． B． C． D．或或
9．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知关于的不等式组，下面是某小组给出的结论：
结论：当时，此不等式组无解；结论：若不等式组的解集是，则；
结论：若此不等式组有整数解，则；结论：若不等式组的整数解只有，，，则．
其中结论正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级下·广东·期末）关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的整数解为 ．
12．（25-26九年级上·上海宝山·阶段练习）不等式组的解集是 ．
13．（24-25·湖北八年级专题练习）若不等式组的解 为，则值为 。
14．（24-25八年级下·浙江·开学考试）关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
15．（24-25八年级下·浙江台州·期末）某商店销售两种笔记本，进价和售价如表所示：
名称 种笔记本 种笔记本
进价（元/本）
售价（元/本）
该商店用元钱购入了这两种笔记本，设购入种笔记本本，种笔记本本，则与的关系式为 ；若两种笔记本全部售完，且种笔记本数量大于种笔记本数量的倍，则能获得的最大利润是 元．
16．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围为 ；若a同时使关于x的不等式组有解，则满足条件的整数a的个数为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025·天津·二模）求不等式组的解集，并利用数轴找出它的整数解．
18．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）解不等式组，并写出不等式组的非负整数解．
19．（2025·河南·模拟预测）（1）计算：；（2）已知不等式．
①直接写出该不等式的解集；②请你写出一个不等式，使它与已知不等式组成的不等式组的解集为．
20．（24-25八年级下·福建三明·阶段练习）为了全面推进素质教育．增强学生体质，丰富校园文化生活，我校将举行春季特色运动会，需购买A，B两种奖品，经市场调查，若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品1件和B种奖品3件，共需55元．
(1)求A、B两种奖品的单价各是多少元；
(2)运动会组委会计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1160元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，运动会组委会共有几种购买方案？并求出最小总费用．
21．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）在经济新风向吹拂下，“地摊经济”正散发着无限可能，小明准备去批发市场购进一批花盆和种子．已知购买1个花盆、2包种子共需6元，购买2个花盆、3包种子共花费11元．(1)求花盆和种子的单价；(2)小明准备购进x个花盆（），90包种子，批发店给出以下优惠方案：
方案一：花盆和种子都按9折优惠；
方案二：买一个花盆送一包种子，剩余的种子按原价购买．
①求两种方案所需的费用（用含x的式子表示）；②请你帮小明选择哪种方案更省钱？
22．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
【新知】解不等式：
解：由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得①或②
解不等式组①，得；解不等式组②，得
∴的解集为或
（1）不等式的解集是 ；
【应用】（2）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围．
23．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”．
(1)在方程①；②；③中， 不等式组的“相依方程”是 ；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围．
24．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）请阅读以下材料，并解决问题：
材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间。对于解集取中间的不等式组（比如：，，，） ， 我们规定其“青一距离”均为， 不等式组的整数解称为不等式组的“求真点”．例如：的“青一距离”， “求真点”为，，0， 1， 2．
材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分.
(1)不等式组的“青一距离” ；“求真点”为 ；
(2)若不等式组的“青一距离”，求m的取值范围；
(3)若不等式组的“青一距离” ， 此时是否存在实数n使得关于y的不等式组恰有2个“求真点”，若存在，求出n的取值范围；若不存在，请说明理由．
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