1.5三角形全等的判定（AAS）同步练习

1.5三角形全等的判断（AAS）
一．选择题（共15小题）
1．（2016春?成安县期末）在△ABC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，在下面判断中错误的是（　　）
A．若添加条件AC=A′C′，则△ABC≌△A′B′C′
B．若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′
C．若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′
D．若添加条件∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′
2．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，若使△AED≌△CEB，则应补充的条件是（　　）
A．∠A=∠C B．AE=CE C．DE=BE D．不用补充条件
3．（2016?金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）21cnjy.com
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
4．（2015春?禅城区校级期末）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
C．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF
5．（2016春?毕节市校级期中）下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有一边对应相等的两个等边三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
6．（2016?武城县一模）如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（　　）
A．① B．② C．①和② D．①②③
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（　　）
①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．如图，A、B、C、D在同一条直线上，∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠FDA，则图中共有全等三角形（　　）【版权所有：21教育】
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9．如图，已知AB=CD，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，则图中共有全等三角形（　　）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
10．（2015春?高密市校级月考）如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（　　）21·世纪*教育网
A．1对 B．2对 C．4对 D．8对
11．（2015秋?南开区期末）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（　　）
A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′
12．（2015秋?蜀山区期末）如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
13．（2015?新泰市二模）如图所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2016?济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（　　）
A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF
15．（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
　
三．解答题（共13小题）
16．如图，已知：点B、E、F、C在同一直线上，∠A=∠D，BE=CF，且AB∥CD．求证：AF∥EDwww.21-cn-jy.com
证明：∵BE=FC
∴BE+EF=FC+EF（　　　　）
即：　　　　
∵AB∥CD
∴∠B=∠C（　　　　）
∠A=∠D
∠B=∠C
在△ABF和△DCE中，有
BF=CE
∴△ABF≌△DCE（　　　　）
∴∠AFB=∠DEC（　　　　）
∴AF∥ED（　　　　）
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：　　21*cnjy*com
（1）AC=2BF；
（2）AB垂直平分DF．
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，D、E为垂足．求证：DE+BE=CE．
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．
20．（2016?沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
21．（2015秋?迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABC=90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE=BC，连接BE，若∠C=∠E．
（1）求证：AB=BD；
（2）若∠DBC=34°，求∠BFE的度数．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥CD，BF⊥CD，CH⊥AB．求证：BD=CG．
23．已知：如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且OA=OD，求证：OB=OC．
24．（2015秋?奉贤区期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果F是BC延长线上一点，且∠EBC=∠EFC，求证：DE=CF．
25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）如图①，BF垂直CE于点F，交CD于点G，试说明AE=CG；
（2）如图②，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是　　　　，并说明理由．
26．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）如图①，求证：DE=BD+CE；
（2）若直线l绕A点旋转到图②位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
27．如图，点D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，BE，AD交于F，已知AB=AC，∠BAC=∠AFE=2∠ACB=2α，G为AC上的点，∠AEB=∠CGD．探究线段AE，GC的数量关系，并说明理由．
　

1.5三角形全等的判断（AAS）
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共15小题）
1．（2016春?成安县期末）在△ABC和△AˊB′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，在下面判断中错误的是（　　）
A．若添加条件AC=A′C′，则△ABC≌△A′B′C′
B．若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′
C．若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′
D．若添加条件∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′
【解答】解：A，正确，符合SAS判定；
B，不正确，因为边BC与B′C′不是∠A与∠A′的一边，所以不能推出两三角形全等；
C，正确，符合AAS判定；
D，正确，符合ASA判定；
故选B．
　
2．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，若使△AED≌△CEB，则应补充的条件是（　　）
A．∠A=∠C B．AE=CE C．DE=BE D．不用补充条件
【解答】解：∵AD=CB，
而∠AED=∠BEC，
∴当∠A=∠C时，可判断△AED≌△CEB．
故选A．
　
3．（2016?金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（　　）
A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD
【解答】解：由题意，得∠ABC=∠BAD，AB=BA，
A、∠ABC=∠BAD，AB=BA，AC=BD，（SSA）三角形不全等，故A错误；
B、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（ASA），故B正确；
C、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（AAS），故C正确；
D、在△ABC与△BAD中，，△ABC≌△BAD（SAS），故D正确；
故选：A．
　
4．（2015春?禅城区校级期末）下列条件中能判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F
C．AC=DF，∠B=∠F，AB=DE D．∠B=∠E，∠C=∠F，AC=DF
【解答】解：
A、根据AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、根据∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
C、根据AC=DF，∠B=∠F，AB=DE，不能判断△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），故本选项正确；
故选D．
　
5．（2016春?毕节市校级期中）下列判断中错误的是（　　）
A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等
B．有一边对应相等的两个等边三角形全等
C．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
【解答】解：A、有两角和一边对应相等的两个三角形全等，说法正确；
B、有一边对应相等的两个等边三角形全等，说法正确；
C、有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等，说法正确；
D、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，说法错误；
故选：D．
　
6．（2016?武城县一模）如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．① B．② C．①和② D．①②③
【解答】解：如图，连接AD；
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS）；
∴∠B=∠C；
∵AB=AC，AE=AF，
∴BF=CE；
在△CDE与△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴DC=DB；
在△ADC与△ADB中，
，
∴△ADC≌△ADB（SAS），
∴∠CAD=∠BAD；
综上所述，①②③均正确，
故选D
　
7．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE也平分∠ABC，则以下的命题中正确的个数是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
①BC+AD=AB；②E为CD中点；③∠AEB=90°；④S△ABE=S四边形ABCD．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：在AB上截取AF=AD．
则△AED≌△AEF（SAS）．
∴∠AFE=∠D．
∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°．
∴∠C=∠BFE．
∴△BEC≌△BEF（AAS）．
∴①BC=BF，故AB=BC+AD；
②CE=EF=ED，即E是CD中点；
③∠AEB=∠AEF+∠BEF=∠DEF+∠CEF=×180°=90°；
④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC，
∴S△AEB=S四边形BCEF+S四边形EFAD=S四边形ABCD．
故选D．
　
8．如图，A、B、C、D在同一条直线上，∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠FDA，则图中共有全等三角形（　　）www-2-1-cnjy-com
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【解答】解析：在△ADE与△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（ASA）；
∴AE=AF，DE=DF；
同理可证：△ABE≌ABF；△ACE≌△ACF；△DCE≌△DCF；△BCE≌△BCF；△BDE≌△BDF，综上所述，图中共有全等三角形6对，2-1-c-n-j-y
故选D．
　
9．如图，已知AB=CD，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，则图中共有全等三角形（　　）
A．5对 B．4对 C．3对 D．2对
【解答】解：在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，AC=BD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠ACB，
∴∠DAC=∠ADB，
在△ADC和△DAB中，
，
∴△ADC≌△DAB（SAS），
∴∠ABD=∠DCA，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
故选：C．
　
10．（2015春?高密市校级月考）如图所示，已知AB∥CD，AD∥BC，那么图中共有全等三角形（　　）【出处：21教育名师】
A．1对 B．2对 C．4对 D．8对
【解答】解：全等三角形有△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，共4对，
故选C．
　
11．（2015秋?南开区期末）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是（　　）
A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′
【解答】解：
A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；
B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；
C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；
D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．
故选：B．
　
12．（2015秋?蜀山区期末）如图，E，B，F，C四点在一条直线上，EB=CF，∠A=∠D，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．DF∥AC C．∠E=∠ABC D．AB∥DE
【解答】解：A、添加DE=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故A选项正确．
B、添加DF∥AC，可得∠DFE=∠ACB，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项错误．
C、添加∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故C选项错误．
D、添加AB∥DE，可得∠E=∠ABC，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项错误．
故选：A．
　
13．（2015?新泰市二模）如图所示，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，以下结论：①∠FAN=∠EAM；②EM=FN；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴∠BAE=∠CAF，
∴∠FAN=∠EAM，
∴①正确；
在△AEM和△AFN中，
，
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴EM=FN，AM=AN，
∴②正确；
在△ACN和△ABM中，
，
∴△ACN≌△ABM（AAS），
∴③正确，
④不正确；
正确的结论有3个．
故选：C．
　
14．（2016?济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（　　）21教育名师原创作品
A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DF C．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF
【解答】解：（1）在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；
（2）在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；
（3）在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；
（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误；
故选 D．
　
15．（2016?黔西南州）如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　）
A．AB=DE B．AC=DF C．∠A=∠D D．BF=EC
【解答】解：解：选项A、添加AB=DE可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项B、添加AC=DF可用AAS进行判定，故本选项错误；
选项C、添加∠A=∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；
选项D、添加BF=EC可得出BC=EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．
故选C．
　
三．解答题（共13小题）
16．如图，已知：点B、E、F、C在同一直线上，∠A=∠D，BE=CF，且AB∥CD．求证：AF∥ED
证明：∵BE=FC
∴BE+EF=FC+EF（　等式的性质　）
即：　BF=CE　
∵AB∥CD
∴∠B=∠C（　两直线平行内错角相等　）
∠A=∠D
∠B=∠C
在△ABF和△DCE中，有
BF=CE
∴△ABF≌△DCE（　AAS　）
∴∠AFB=∠DEC（　全等三角形对应角相等　）
∴AF∥ED（　内错角相等两直线平行　）
【解答】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=FC+EF（等式的性质），
即BF=CE，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C（两直线平行内错角相等），
∠A=∠D，
∠B=∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（AAS），
∴∠AFB=∠DEC（全等三角形对应角相等），
∴AF∥ED（内错角相等两直线平行）．
故答案为：等式的性质；BF=CE；两直线平行内错角相等；AAS；全等三角形对应角相等；内错角相等两直线平行
　
17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：
（1）AC=2BF；
（2）AB垂直平分DF．
【解答】证明：（1）∵BF∥AC，
∴BC⊥BF，
∵∠DCE+∠F=90°，∠DCE+∠CDA=90°，
∴∠CDA=∠F，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（AAS），
∴CD=BF，
∵点D是BC的中点，
∴AC=BC=2CD，
∴AC=2BF；
（2）连接DF交AB于G点，
∵点D是BC的中点，
∴AC=2BD，
∵AC=2BF，
∴BD=BF，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵△ACD≌△CBF，
∴∠CBF=∠ACD=90°，
∴∠ABF=45°，
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（SAS），
∴DG=FG，∠DGB=∠FGB，
∵∠DGB+∠FGB=180°，
∴∠DGB=∠FGB=90°，
∴AB垂直平分DF．
　
18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，D、E为垂足．求证：DE+BE=CE．2·1·c·n·j·y
【解答】证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）．
∴BE=CD，
∴CE=CD+DE=DE+BE．
　
19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N．求证：FE=FD．
【解答】证明：连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DNF=∠EMF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠NFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠MFE=15°，
∴∠MEF=75°=∠NDF，
在△DNF和△EMF中，
，
∴△DNF≌△EMF（AAS），
∴FE=FD．
　
20．（2016?沛县校级一模）如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．21*cnjy*com
求证：BE=CF．
【解答】解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF．
　
21．（2015秋?迁安市期中）如图，在△ABC中，∠A=62°，∠ABC=90°，点D在AC上，连接BD，过点D作ED⊥BD，垂足为D，使DE=BC，连接BE，若∠C=∠E．
（1）求证：AB=BD；
（2）若∠DBC=34°，求∠BFE的度数．
【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∵∠C=∠E，
∴∠A=∠DBE，
在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS），
∴AB=BD；
（2）∵∠A=62°，∠ABC=90°，
∴∠C=∠E=28°，
∵ED⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠DBE=62°，
∵∠DBC=34°，
∴∠FBE=28°，
∴∠BFE=180°﹣∠E﹣∠FBE=180°﹣28°﹣28°=124°．
　
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB上一点，AE⊥CD，BF⊥CD，CH⊥AB．求证：BD=CG．21教育网
【解答】证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴∠AEC=∠BFC=90°．
∵∠EAC+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCF=90，
∴∠CAE=∠BCF．
在△ACE和△CBF中，，
△ACE≌△CBF（AAS）．
∴CE=BF．
∵∠CDH与∠BDF是对顶角，
∴∠CDH=∠BDF．
∵∠CDH+∠ECG=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ECG=∠DBF．
在△CEG和△BFD中，
，
∴△CEG≌△BFD（ASA），
∴CG=BD．
　
23．已知：如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且OA=OD，求证：OB=OC．
【解答】证明：∵AD与BC相交于点O，
∴∠AOB=∠DOC，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC中（AAS），
∴OB=OC．
　
24．（2015秋?奉贤区期中）如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE．21·cn·jy·com
（1）求证：DE∥BC；
（2）如果F是BC延长线上一点，且∠EBC=∠EFC，求证：DE=CF．
【解答】证明：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∵∠A=∠A，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC；
（2）∵∠EBC=∠EFC，
∠ABC=∠ACB，
∴∠DBE+∠EBC=∠CEF+∠EFC，
∴∠DBE=∠CEF，∠DEB=∠EFC，
在△BDE与△EFC中，
，
∴△BDE≌△EFC（AAS），
∴DE=CF．
　
25．已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）如图①，BF垂直CE于点F，交CD于点G，试说明AE=CG；
（2）如图②，作AH垂直于CE的延长线，垂足为H，交CD的延长线于点M，则图中与BE相等的线段是　CM　，并说明理由．21世纪教育网版权所有
【解答】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，
∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，
，
∴△AEC≌△CGB（ASA），
∴AE=CG；
（2）答：BE=CM
理由：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
在△BCD和△ACD中，
，
∴△BCD≌△ACD（SAS），
∴∠ADC=∠CDB，
∵∠ADC+∠CDB=180°，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∴∠CBE=45°，
∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，
∴∠CMA=∠BEC，
在△BCE和△CAM中，
，
∴△BCE≌△CAM（AAS），
∴BE=CM．
故答案为：CM．
　
26．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）如图①，求证：DE=BD+CE；
（2）若直线l绕A点旋转到图②位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
【解答】证明：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°
又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；
（2）如图②所示：
结论：DE=CE﹣BD．
理由：∵BD⊥l，CE⊥l，
∴∠BDA=∠AEC=90°
∵∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD﹣AE，
∴DE=CE﹣BD．
　
27．如图，点D，E分别是ABC的边BC，AC上的点，BE，AD交于F，已知AB=AC，∠BAC=∠AFE=2∠ACB=2α，G为AC上的点，∠AEB=∠CGD．探究线段AE，GC的数量关系，并说明理由．
【解答】解：AE=CG，
理由：过C作CH⊥AC交AD的延长线与H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=∠AFE=2∠ACB=2α，
∴∠ABC=∠ACB=α，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴α+α+2α=180°，
∴α=45°，
∴∠BAC=∠AFE=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠DCH=45°，
∵∠ABE+∠BAF=∠CAD+∠BAF=90°，
∴∠ABF=∠CAD，
在△ABE与△AHD中，
，
∴△ABE≌△ACH，
∴AE=CH，∠AEB=∠H，
∵∠AEF=∠DGC，
∴∠DGC=∠H，
在△DGC与△CHD中，
，
∴△DGC≌△CHD，
∴CG=CH，
∴AE=CG．