直角三角形的性质应用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·温州期中）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB边上的点E处，已知BC=12， ∠B=30°则 DE的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
2．（2024八上·杭州期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（ ）
A． B．8 C． D．
3．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，边上的中线．过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·江山期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八上·兰溪期中）如图，已知平分，，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，那么的长是（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题
7．（2025八上·嵊州期末）如图，在中，，将沿对折，使点B与点A重合，若，，则的长度是 ．
8． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE∥BC，CE平分∠DCB，BC=12，AC=16，则DE的长是 .
9．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是 。
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，，点D是线段中点，，，下列结论：①．②为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号） ．
11．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ．
12．（2024八上·杭州期中）如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则 ，若，则的最小值= ．
三、解答题
13． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=1.5。D为斜边AB的中点，连结CD。求AC，CD的长。
14．（2025八上·台州期末）如图，在中，，，平分．
（1）若，求的长；
（2）若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分．
15．（2025八上·义乌月考）如图，已知∠CAB=90°，AD，AE分别是△ABC的高线和中线.
（1）若AB=5，AC=12，求AE和AD的长；
（2）若∠B=52°，求∠DAE.
16．如图(1)，已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE·的中点.
（1）求证：MN⊥DE.
（2）连结DM，ME，猜想∠A 与∠DME之间的关系，并证明你的猜想.
（3）当∠BAC 变为钝角时，如图(2)，上述(1)(2)中的结论是否都成立 若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵直角△ABC中∠B=30°，BC=12，
∴AC=，
由折叠可知，AD为角平分线，△ADE为直角三角形，
∵∠DAE=（90°-30°）÷2=30°，AE=AC=，
∴DE=
故答案为：C.
【分析】根据折叠性质及含30°的直角三角形的三边关系可求解.
2．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵．D为中点，
∴，
故答案为：C
【分析】利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
3．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
4．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，过作于，
则，
∵边上的中线，
∴是中点，
∵过点作于点，
∴，
∴，
∵的长为的长为，
，
，
，
∵中，，
中，，
，
整理得：，
故选：C．
【分析】连接，过作于，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在和中利用勾股定理列方程，化简整理即可．
5．【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点F，G，H分别为的斜边的中点，∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得：，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，然后根据勾股定理可以得到，从而整体替换化简可以得到的数量关系．
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点M是的中点，
∴，
故选：C．
【分析】先根据角平分线的意义求得，再根据平行线的性质求得，再得出是等腰三角形，，然后利用含30度角的直角三角形的性质，即可求得的长，进而求得的长，接着由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长．
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用折叠可得，即可得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理可得，然后利用直角三角形的性质解题即可．
8．【答案】10
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，
根据勾股定理，AB=AC2+BC2=162+122===20，
∴AB=20。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CD=AB=x20=10.
∵ DE∥B，
∴ ∠E= ∠BCE.
∵ CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE.
∴∠E=∠DCE，
∴CD=DE=10，即DE的长为10.
故填：10.
【分析】先根据勾股定理，求出AB的长；再利用直角三角形的中线定理，求出中线的长；接着运用角平线的性质和平行线的性质，通过等量代换，求出∠E=∠DCE；最后利用等角对等边，即可得出答案.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
10．【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
点是线段的中点，
，
∴DB=DC=BC，
是等边三角形，
，
.
于点，DB=DC，∠DBC=60°，
∴，，.
∴∠EBF=∠DBA+∠DBF=60°，∠DBF=∠A=30°.
∵DA=DB，DE⊥AB，
∴，，
在和中，
，
，
故①正确，符合题意；
∵，.
∴BE=BF，
为等边三角形，
∴，
故②正确，符合题意；
，，
，
，
∵，
，
，
故③正确，符合题意；
∵，，BF⊥AC，
∴.
∵．
.
故④错误，不符合题意.
故答案为：①②③．
【分析】由，，，求得，则，可得，则，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，；，，于是可得∠EBF的度数，以及∠DBF=∠A=30°，继而可根据“”证明，可判断①正确；可得BE=BF，可判断②正确；再证明，即可利用含30°的直角三角形的性质求得DG的长，可判断③正确；利用勾股定理计算BF的长，利用全等三角形的性质可得，再计算△ADB的面积，可判断④，即可得到结论．
11．【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
∴垂直平分，
，
，
∵是边上的高线，是边上的中线，
，
，
∵，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
，
故答案为：36°．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，由等腰三角形“等边对等角”性质有，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，从而得，进而结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，于是得到的度数．
12．【答案】；．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵的等边三角形，点O是的中点，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
当时，的长度最小，
∵，
∴最小值．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质可得，AB=AC，AD=AE，可推出∠BAD=∠CAE，同时可求出∠ABD的度数，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可求出∠ABD的度数，同时可证得∠AEC=∠ADB，结合垂线段最短性质，可知当时，的长度最小，然后求出OE的最小值.
13．【答案】解：∵ ∠ACB=90°，∠B=30° ，
∴∠A=60°，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴，
∴ △ACD为等边三角形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得到CD=AD=BD，然后再根据∠B的度数，确定三角形ACD为等边三角形，从而求出AC的长.
14．【答案】（1）解：由题意可得：∠CAB=60°，∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=6，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=6，
∴.
（2）证明：∵，为的中点，∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵平分，
∴，，
∴垂直平分．
【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，斜边中线的性质．
（1）根据角平分线的定义求得，进而得到，再根据直角三角形的性质求解即可；
（2）利用斜边中线的性质求得，推出是等边三角形，据此即可证明．
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴；
（2）证明：∵，为的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵平分，
∴，，
∴垂直平分．
15．【答案】（1）解：∵ ∠CAB=90°，AB=5，AC=12，
∴，
又∵AE是△ABC的中线，
∴AE=，
又∵，
∴；
（2）解：∵AE是△ABC的中线，
∴AE=，
∴∠EAB=∠EBA=52°，
又∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-52°=38°，
∴∠DAE=∠EAB-∠BAD=52°-38°=14°.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出斜边BC的长，然后利用直角三角形斜边中线性质求出AE长，再根据三角形的面积求出高AD的长即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线性质得到AE=BE，然后根据等边等于等角得到∠EAB=∠EBA=52°，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据角的和差解答即可.
16．【答案】（1）证明：如图，连结 DM，ME.
因为 CD，BE分别是 AB，AC 边上的高，M 是 BC 的中点，
所以 所以 DM=ME.
又因为 N为DE的中点，所以MN⊥DE.
（2）解：∠DME=180°-2∠A.证明如下：
在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A.因为DM=ME=BM=MC，所以∠BMD+∠CME= 2∠A，所以∠DME= 180° ( ∠BMD +∠CME)=180°-2∠A.
（3）解： (1)中的结论成立，(2)中的结论不成立.
理由 如下： 因为DM= ME = BM = MC， 所以∠BME+∠CMD = 2∠ACB+2∠ABC =2(180° - ∠BAC) = 360° - 2∠BAC， 所 以∠DME = 180° - ( ∠BME + ∠CMD) =2∠BAC-180°.
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线性质得到MD=ME，然后根据三线合一解答即可；
（2）三角形的内角和定理得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A.然后根据三角形的内角和定理得到∠BMD+∠CME= 2∠A，即可分发哦结论；
（3）仿照（1）（2）的证明解答即可.
1 / 1直角三角形的性质应用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·温州期中）如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB边上的点E处，已知BC=12， ∠B=30°则 DE的长为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵直角△ABC中∠B=30°，BC=12，
∴AC=，
由折叠可知，AD为角平分线，△ADE为直角三角形，
∵∠DAE=（90°-30°）÷2=30°，AE=AC=，
∴DE=
故答案为：C.
【分析】根据折叠性质及含30°的直角三角形的三边关系可求解.
2．（2024八上·杭州期中）如图，中，D为中点，E在上，且．若，则的长度是（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵．D为中点，
∴，
故答案为：C
【分析】利用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AB的长.
3．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，，动点在线段上，以为边在右侧作等腰，使，，点为边上动点，连接，则周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴点在射线上运动，
如图，作点关于的对称点，连接交于点，
∴，
∴，
∴，
∴点三点共线，
∴当时，即共线时，周长有最小值，
∵，
∴，，
∴，
∵与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴，，
∴周长最小值为，
故选：．
【分析】连接，证明，则，即点在射线上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当时，即共线时，周长有最小值，根据直角三角形的性质得，，，然后由勾股定理和线段和差即可求解.
4．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，边上的中线．过点A作于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，过作于，
则，
∵边上的中线，
∴是中点，
∵过点作于点，
∴，
∴，
∵的长为的长为，
，
，
，
∵中，，
中，，
，
整理得：，
故选：C．
【分析】连接，过作于，根据中线得到，根据三线合一得到，然后在和中利用勾股定理列方程，化简整理即可．
5．（2024八上·江山期中）如图，已知，，，其中点，，分别为斜边，，的中点，连接，，．则线段，，的数量关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点F，G，H分别为的斜边的中点，∴，
∵，
∴，
∴，
化简，得：，
故答案为：C．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，然后根据勾股定理可以得到，从而整体替换化简可以得到的数量关系．
6．（2024八上·兰溪期中）如图，已知平分，，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，那么的长是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点M是的中点，
∴，
故选：C．
【分析】先根据角平分线的意义求得，再根据平行线的性质求得，再得出是等腰三角形，，然后利用含30度角的直角三角形的性质，即可求得的长，进而求得的长，接着由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得的长．
二、填空题
7．（2025八上·嵊州期末）如图，在中，，将沿对折，使点B与点A重合，若，，则的长度是 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，，
∴，
故答案为：．
【分析】利用折叠可得，即可得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理可得，然后利用直角三角形的性质解题即可．
8． 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的中线，DE∥BC，CE平分∠DCB，BC=12，AC=16，则DE的长是 .
【答案】10
【知识点】平行线的性质；勾股定理；角平分线的概念；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，
根据勾股定理，AB=AC2+BC2=162+122===20，
∴AB=20。
∵ CD是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CD=AB=x20=10.
∵ DE∥B，
∴ ∠E= ∠BCE.
∵ CE平分∠DCB，
∴∠BCE=∠DCE.
∴∠E=∠DCE，
∴CD=DE=10，即DE的长为10.
故填：10.
【分析】先根据勾股定理，求出AB的长；再利用直角三角形的中线定理，求出中线的长；接着运用角平线的性质和平行线的性质，通过等量代换，求出∠E=∠DCE；最后利用等角对等边，即可得出答案.
9．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是 。
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
10．（2024八上·杭州期中）如图，在中，，，，点D是线段中点，，，下列结论：①．②为等边三角形．③．④．其中正确的是（填序号） ．
【答案】①②③
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：，，，
，
点是线段的中点，
，
∴DB=DC=BC，
是等边三角形，
，
.
于点，DB=DC，∠DBC=60°，
∴，，.
∴∠EBF=∠DBA+∠DBF=60°，∠DBF=∠A=30°.
∵DA=DB，DE⊥AB，
∴，，
在和中，
，
，
故①正确，符合题意；
∵，.
∴BE=BF，
为等边三角形，
∴，
故②正确，符合题意；
，，
，
，
∵，
，
，
故③正确，符合题意；
∵，，BF⊥AC，
∴.
∵．
.
故④错误，不符合题意.
故答案为：①②③．
【分析】由，，，求得，则，可得，则，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，；，，于是可得∠EBF的度数，以及∠DBF=∠A=30°，继而可根据“”证明，可判断①正确；可得BE=BF，可判断②正确；再证明，即可利用含30°的直角三角形的性质求得DG的长，可判断③正确；利用勾股定理计算BF的长，利用全等三角形的性质可得，再计算△ADB的面积，可判断④，即可得到结论．
11．（2024八上·拱墅期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于点G，且．若，则的度数是 ．
【答案】36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
∴垂直平分，
，
，
∵是边上的高线，是边上的中线，
，
，
∵，
，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
，
故答案为：36°．
【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，由等腰三角形“等边对等角”性质有，再根据直角三角形斜边上中线性质得到，从而得，进而结合三角形外角性质有，最后根据三角形内角和定理得到，解方程求出，于是得到的度数．
12．（2024八上·杭州期中）如图，已知和均为等边三角形，点O是的中点，点D在射线上，连结，则 ，若，则的最小值= ．
【答案】；．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵的等边三角形，点O是的中点，
∴，
∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
当时，的长度最小，
∵，
∴最小值．
故答案为：．
【分析】根据等边三角形的性质可得，AB=AC，AD=AE，可推出∠BAD=∠CAE，同时可求出∠ABD的度数，利用SAS证明，利用全等三角形的性质可求出∠ABD的度数，同时可证得∠AEC=∠ADB，结合垂线段最短性质，可知当时，的长度最小，然后求出OE的最小值.
三、解答题
13． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=1.5。D为斜边AB的中点，连结CD。求AC，CD的长。
【答案】解：∵ ∠ACB=90°，∠B=30° ，
∴∠A=60°，
∵CD为斜边AB上的中线，
∴，
∴ △ACD为等边三角形，
∴.
【知识点】等边三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质，即可得到CD=AD=BD，然后再根据∠B的度数，确定三角形ACD为等边三角形，从而求出AC的长.
14．（2025八上·台州期末）如图，在中，，，平分．
（1）若，求的长；
（2）若为的中点，连接交于点，求证：垂直平分．
【答案】（1）解：由题意可得：∠CAB=60°，∠BAD=∠CAD=30°，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=6，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=6，
∴.
（2）证明：∵，为的中点，∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵平分，
∴，，
∴垂直平分．
【知识点】含30°角的直角三角形；线段垂直平分线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，斜边中线的性质．
（1）根据角平分线的定义求得，进而得到，再根据直角三角形的性质求解即可；
（2）利用斜边中线的性质求得，推出是等边三角形，据此即可证明．
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴；
（2）证明：∵，为的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵平分，
∴，，
∴垂直平分．
15．（2025八上·义乌月考）如图，已知∠CAB=90°，AD，AE分别是△ABC的高线和中线.
（1）若AB=5，AC=12，求AE和AD的长；
（2）若∠B=52°，求∠DAE.
【答案】（1）解：∵ ∠CAB=90°，AB=5，AC=12，
∴，
又∵AE是△ABC的中线，
∴AE=，
又∵，
∴；
（2）解：∵AE是△ABC的中线，
∴AE=，
∴∠EAB=∠EBA=52°，
又∵AD是△ABC的高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-52°=38°，
∴∠DAE=∠EAB-∠BAD=52°-38°=14°.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据勾股定理求出斜边BC的长，然后利用直角三角形斜边中线性质求出AE长，再根据三角形的面积求出高AD的长即可；
（2）根据直角三角形的斜边中线性质得到AE=BE，然后根据等边等于等角得到∠EAB=∠EBA=52°，然后根据直角三角形的两锐角互余求出∠BAD的度数，然后根据角的和差解答即可.
16．如图(1)，已知锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE·的中点.
（1）求证：MN⊥DE.
（2）连结DM，ME，猜想∠A 与∠DME之间的关系，并证明你的猜想.
（3）当∠BAC 变为钝角时，如图(2)，上述(1)(2)中的结论是否都成立 若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由.
【答案】（1）证明：如图，连结 DM，ME.
因为 CD，BE分别是 AB，AC 边上的高，M 是 BC 的中点，
所以 所以 DM=ME.
又因为 N为DE的中点，所以MN⊥DE.
（2）解：∠DME=180°-2∠A.证明如下：
在△ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A.因为DM=ME=BM=MC，所以∠BMD+∠CME= 2∠A，所以∠DME= 180° ( ∠BMD +∠CME)=180°-2∠A.
（3）解： (1)中的结论成立，(2)中的结论不成立.
理由 如下： 因为DM= ME = BM = MC， 所以∠BME+∠CMD = 2∠ACB+2∠ABC =2(180° - ∠BAC) = 360° - 2∠BAC， 所 以∠DME = 180° - ( ∠BME + ∠CMD) =2∠BAC-180°.
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边中线性质得到MD=ME，然后根据三线合一解答即可；
（2）三角形的内角和定理得到∠ABC+∠ACB=180°-∠A.然后根据三角形的内角和定理得到∠BMD+∠CME= 2∠A，即可分发哦结论；
（3）仿照（1）（2）的证明解答即可.
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