勾股定理的作图应用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八下·荆门期中）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的概念；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形的定义及网格分析求解即可.
二、解答题
2．（2024八上·吉林月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的高线．
（2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积．
（3）在图③中画，使，其中点F不与点A重合．
【答案】（1）解：如图①所示，线段即为所求；
（2）解：如图②所示，线段即为所求；
（3）解：如图③所示，即为所求；
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形；尺规作图-作高；尺规作图-中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）过点A作对边BC的垂线交BC于点D，则线段AD即为所求作；
（2）由于中线等分三角形的面积，因此利用网格图确定线段的中点，连接即可；
（3）利用格点图选取格点F，再连接、即可，则AB=FC，AC=FB，又BC=CB，则可利用SSS证明两三角形全等．
（1）解：如图①所示，线段即为所求；
；
（2）解：如图②所示，线段即为所求；
；
（3）解：如图③所示，即为所求；
．
3．（2024八下·岳池期末）【阅读理解】如图1是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形．拼成的正方形的面积是5，边长是．
【应用探究】
（1）模仿图1将图2的10个小正方形剪拼成一个大正方形ABCD，画出示意图．
（2）在图2的正方形ABCD中，沿着边的方向能否裁出一块面积为8.64的长方形纸片，且使它的长与宽的比为3：2？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：将图2的10个小正方形剪拼成一个大正方形ABCD，则大正方形的面积为10，边长为，
由于32+12＝10，所以采用如图所示的裁剪方法进行裁剪后，再拼成大正方形ABCD；
（2）解：由于长方形的面积为8.64，长与宽的比为3：2，
可设长为3x，则宽为2x，由题意得，
3x 2x＝8.64，
解得x＝1.2或x＝﹣1.2（舍去），
此时长为3x＝3.6，宽为2x＝2.4，
∵＜3.6，
∴不能沿着边的方向裁出一块面积为8.64的长方形纸片，且使它的长与宽的比为3：2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到边长，进而结合勾股定理即可画出正方形；
（2）先根据题意可设长为3x，则宽为2x，进而根据长方形的面积结合题意求出x，再估算无理数的大小，比较即可求解。
4．如图， 在 的方格纸 中， 每个小方格的边长为 1 ． 已知格点 ， 请按要求画格点三角形 (顶点均在格点上)．
（1） 在图①中画一个等腰三角形 ， 使底边长为 ， 点 在 上， 点 在 上， 再画出该三角形绕矩形 的中心旋转 后的图形；
（2）在图②中画一个 Rt ， 使 ，点 在 上，点 在 上，再画出该三角形向右平移 1 个单位后的图形．
【答案】（1）画图如解图①或解图②；（画法不唯一）
（2）画图如解图③或解图④；（画法不唯一）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质即可得到答案；
(2)利用等腰直角三角形的性质，平移的性质即可得到答案.
5．（2024八下·哈尔滨月考） 如图，网格中每个小正方形边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，请你连接得到，使的面积为，；
（2）确定点后，网格内确定点，点都在小正方形的顶点上，连接，使四边形为面积为的平行四边形，连接，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求，由勾股定理可得，．
【知识点】尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)可以AB为直径画圆找到满足题意的点；
(2)平移EF，找到面积为7的平行四边形，即可求出CG的长.
6．如图， 在 中， ， 点 为 边上的任意一点， 将 沿过点 的直线折叠， 使点 落在边 上的点 处， 探究： 是否存在点 ， 使得 为直角三角形？
（1） 请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点 ， 不同的折叠方式确定的点 请在不同的图中作出来 (不写作法，保留作图痕迹)．
（2）直接写出对应的线段 的长．
【答案】（1）解：①当∠BED=90°时，如图1即为所求；
②当∠BDE=90°时，如图2即为所求；
（2）解： 或 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴，
设CD=x，则BD=4-x，
①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
②当∠BDE=90°时，根据折叠的性质得CD=DE=x，∠ECD=∠CED，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECD=∠CED=45°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴AC∥DE，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
综上所述， 或 .
【分析】（1）分情况进行讨论：①当∠BED=90°时，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，沿AD折叠，此时为直角三角形；
②当∠BDE=90°时，作∠ACB的角平分线CE交AB于E，然后作CE的垂直平分线FD分别交BC、AC于点D、F，沿DF折叠，此时为直角三角形；
（2）利用勾股定理求出AB=5，设CD=x，则BD=4-x，然后进行分类讨论：①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，从而求出BE=2，进而利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值；当∠BDE=90°时，根据折叠的性质、角平分的定义得CD=DE=x，∠ECD=∠CED=45°，从而有∠CDE=∠ACB=90°，进而得AC∥DE，证出，根据相似三角形对应边成比例得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值.
7．（2024八上·温州期末）如图， 是 方格纸中的格点．请按要求画以 为边的格点三角形（顶点在格点上）．
（1）在图 1 中画一个直角三角形 ，使点 在 的内部（不包括边界）．
（2）在图 2 中画一个等腰三角形 ，使点 在 一边的中垂线上．
【答案】（1）解：如图，直角三角形ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图，等腰三角形ABD即为所求.
【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的判定按要求画图即可；
(2)根据等腰三角形的判定按要求画图即可.
8．如图①，②的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上.
（1）在图①中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.(只需画出两个互不全等的三角形)
（2）在图②中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形.(只需画出两个互不全等的三角形)
【答案】（1）解：如图①~④．
（2）解：如图⑤~⑧．
【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）在格点上找出一点C，使得∠ACB＝90°即可.
（2）在格点上找出一点C，使得AB＝AD，即可.
9．（2024·遂川模拟）如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图1中，以AB为直角边，作一个直角三角形；
（2）在图2中，以AB为边作一个菱形．
【答案】（1）解：在图1中，△ABE即为所作；
（2）解：在图2中，四边形ABCM即为所作．
【知识点】菱形的判定；正多边形的性质；直角三角形的性质；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质作图即可求解；
（2）根据菱形的判定作图即可求解.
10．（2024八上·监利期末）如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中取格点S，使得△BSC≌△CAB（S不与A重合）；
（2）在图2中AB上取一点K，使CK是△ABC的高；
（3）在图3中AC上取一点G，使得∠AGB＝∠ABC．
【答案】（1）解：如图1中，点S即为所求；
（2）解：如图2中，先取格点Q，作射线CQ交AB于点K，
根据题意可得，则线段CK即为所求；
（3）解：如图3，先取格点Q，连接，交于点G，
由题意可得，，为等腰直角三角形，则，
由三角形外角的性质可得，
由题意可得：，
则
则点G即为所求．
【知识点】三角形全等及其性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定作出点S即可；
（2）先取格点Q，作射线CQ交AB于点K，线段CK即为所求；
（3）先取格点Q，连接AQ，BQ，BQ交AC于点G，点G即为所求．
1 / 1勾股定理的作图应用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八下·荆门期中）如图，在的小正方形网格中，点，为格点，另取一格点，使为直角三角形，则点的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
二、解答题
2．（2024八上·吉林月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点、、均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法，保留作图痕迹．
（1）在图①中画出的高线．
（2）在图②的边上找到一点，连接，使平分的面积．
（3）在图③中画，使，其中点F不与点A重合．
3．（2024八下·岳池期末）【阅读理解】如图1是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，可以用下面的方法把它剪拼成一个正方形．拼成的正方形的面积是5，边长是．
【应用探究】
（1）模仿图1将图2的10个小正方形剪拼成一个大正方形ABCD，画出示意图．
（2）在图2的正方形ABCD中，沿着边的方向能否裁出一块面积为8.64的长方形纸片，且使它的长与宽的比为3：2？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由．
4．如图， 在 的方格纸 中， 每个小方格的边长为 1 ． 已知格点 ， 请按要求画格点三角形 (顶点均在格点上)．
（1） 在图①中画一个等腰三角形 ， 使底边长为 ， 点 在 上， 点 在 上， 再画出该三角形绕矩形 的中心旋转 后的图形；
（2）在图②中画一个 Rt ， 使 ，点 在 上，点 在 上，再画出该三角形向右平移 1 个单位后的图形．
5．（2024八下·哈尔滨月考） 如图，网格中每个小正方形边长均为，线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中确定点，点在小正方形的顶点上，请你连接得到，使的面积为，；
（2）确定点后，网格内确定点，点都在小正方形的顶点上，连接，使四边形为面积为的平行四边形，连接，直接写出的长．
6．如图， 在 中， ， 点 为 边上的任意一点， 将 沿过点 的直线折叠， 使点 落在边 上的点 处， 探究： 是否存在点 ， 使得 为直角三角形？
（1） 请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点 ， 不同的折叠方式确定的点 请在不同的图中作出来 (不写作法，保留作图痕迹)．
（2）直接写出对应的线段 的长．
7．（2024八上·温州期末）如图， 是 方格纸中的格点．请按要求画以 为边的格点三角形（顶点在格点上）．
（1）在图 1 中画一个直角三角形 ，使点 在 的内部（不包括边界）．
（2）在图 2 中画一个等腰三角形 ，使点 在 一边的中垂线上．
8．如图①，②的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上.
（1）在图①中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形.(只需画出两个互不全等的三角形)
（2）在图②中画出△ABD(点D在小正方形的顶点上)，使△ABD为等腰三角形.(只需画出两个互不全等的三角形)
9．（2024·遂川模拟）如图正六边形ABCDEF．请分别在图1，图2中使用无刻度的直尺按要求作图．
（1）在图1中，以AB为直角边，作一个直角三角形；
（2）在图2中，以AB为边作一个菱形．
10．（2024八上·监利期末）如图是6×8的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，保留作图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
（1）在图1中取格点S，使得△BSC≌△CAB（S不与A重合）；
（2）在图2中AB上取一点K，使CK是△ABC的高；
（3）在图3中AC上取一点G，使得∠AGB＝∠ABC．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形的概念；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，共有6个格点使为直角三角形．
故答案为：B．
【分析】利用直角三角形的定义及网格分析求解即可.
2．【答案】（1）解：如图①所示，线段即为所求；
（2）解：如图②所示，线段即为所求；
（3）解：如图③所示，即为所求；
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作三角形；尺规作图-作高；尺规作图-中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】
（1）过点A作对边BC的垂线交BC于点D，则线段AD即为所求作；
（2）由于中线等分三角形的面积，因此利用网格图确定线段的中点，连接即可；
（3）利用格点图选取格点F，再连接、即可，则AB=FC，AC=FB，又BC=CB，则可利用SSS证明两三角形全等．
（1）解：如图①所示，线段即为所求；
；
（2）解：如图②所示，线段即为所求；
；
（3）解：如图③所示，即为所求；
．
3．【答案】（1）解：将图2的10个小正方形剪拼成一个大正方形ABCD，则大正方形的面积为10，边长为，
由于32+12＝10，所以采用如图所示的裁剪方法进行裁剪后，再拼成大正方形ABCD；
（2）解：由于长方形的面积为8.64，长与宽的比为3：2，
可设长为3x，则宽为2x，由题意得，
3x 2x＝8.64，
解得x＝1.2或x＝﹣1.2（舍去），
此时长为3x＝3.6，宽为2x＝2.4，
∵＜3.6，
∴不能沿着边的方向裁出一块面积为8.64的长方形纸片，且使它的长与宽的比为3：2．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）先根据正方形的性质得到边长，进而结合勾股定理即可画出正方形；
（2）先根据题意可设长为3x，则宽为2x，进而根据长方形的面积结合题意求出x，再估算无理数的大小，比较即可求解。
4．【答案】（1）画图如解图①或解图②；（画法不唯一）
（2）画图如解图③或解图④；（画法不唯一）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转；尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性质，勾股定理，旋转的性质即可得到答案；
(2)利用等腰直角三角形的性质，平移的性质即可得到答案.
5．【答案】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：如图，四边形即为所求，由勾股定理可得，．
【知识点】尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)可以AB为直径画圆找到满足题意的点；
(2)平移EF，找到面积为7的平行四边形，即可求出CG的长.
6．【答案】（1）解：①当∠BED=90°时，如图1即为所求；
②当∠BDE=90°时，如图2即为所求；
（2）解： 或 .
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；尺规作图-直角三角形
【解析】【解答】解：（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴，
设CD=x，则BD=4-x，
①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，
∴BE=AB-AE=5-3=2，
∴在中，，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
②当∠BDE=90°时，根据折叠的性质得CD=DE=x，∠ECD=∠CED，
∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，
∴∠ECD=∠CED=45°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠ACB，
∴AC∥DE，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴CD的长为；
综上所述， 或 .
【分析】（1）分情况进行讨论：①当∠BED=90°时，作∠BAC的角平分线AD交BC于点D，沿AD折叠，此时为直角三角形；
②当∠BDE=90°时，作∠ACB的角平分线CE交AB于E，然后作CE的垂直平分线FD分别交BC、AC于点D、F，沿DF折叠，此时为直角三角形；
（2）利用勾股定理求出AB=5，设CD=x，则BD=4-x，然后进行分类讨论：①当∠BED=90°时，根据折叠的性质得AE=AC=3，DE=CD=x，从而求出BE=2，进而利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值；当∠BDE=90°时，根据折叠的性质、角平分的定义得CD=DE=x，∠ECD=∠CED=45°，从而有∠CDE=∠ACB=90°，进而得AC∥DE，证出，根据相似三角形对应边成比例得关于x的方程，解方程求出x的值即可得CD的值.
7．【答案】（1）解：如图，直角三角形ABC即为所求（答案不唯一）；
（2）解：如图，等腰三角形ABD即为所求.
【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】(1)根据直角三角形的判定按要求画图即可；
(2)根据等腰三角形的判定按要求画图即可.
8．【答案】（1）解：如图①~④．
（2）解：如图⑤~⑧．
【知识点】尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）在格点上找出一点C，使得∠ACB＝90°即可.
（2）在格点上找出一点C，使得AB＝AD，即可.
9．【答案】（1）解：在图1中，△ABE即为所作；
（2）解：在图2中，四边形ABCM即为所作．
【知识点】菱形的判定；正多边形的性质；直角三角形的性质；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质作图即可求解；
（2）根据菱形的判定作图即可求解.
10．【答案】（1）解：如图1中，点S即为所求；
（2）解：如图2中，先取格点Q，作射线CQ交AB于点K，
根据题意可得，则线段CK即为所求；
（3）解：如图3，先取格点Q，连接，交于点G，
由题意可得，，为等腰直角三角形，则，
由三角形外角的性质可得，
由题意可得：，
则
则点G即为所求．
【知识点】三角形全等及其性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-等腰（等边）三角形；尺规作图-直角三角形
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定作出点S即可；
（2）先取格点Q，作射线CQ交AB于点K，线段CK即为所求；
（3）先取格点Q，连接AQ，BQ，BQ交AC于点G，点G即为所求．
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