三角形的动点问题-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·镇海区期末）如图，等腰 ，点 是 的中点，点 为线段 上一动点，连结 ．设 ， 的面积为 ，若 关于 的函数表达式为 ，则 的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
2．（2024八上·诸暨月考）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（ ）
A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10
3．（2020八上·椒江期中）如图，在 中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当AP=AQ时，点P、点Q运动的时间是（ ）
A．4秒 B．3.5秒 C．3秒 D．2.5秒
4．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是射线 上的动点， ， 则当 是直角三角形时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2025八上·镇海区开学考）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．
6．（2025八上·宁海期中）如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发 s时，△BCP为等腰三角形.
7．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，厘米，，厘米，点为AB的中点．如果点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，同时，点在线段CA上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
8．（2023八下·义乌月考）如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动.
（1） ；
（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于.
三、解答题
9．（2025八上·义乌月考）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，设点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.
（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等？并说明理由.
（2）若点P，Q同时出发，但运动速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以（2）中的运动速度从C点出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿△ABC的三边逆时针运动，经过多少时间点P与点Q第二次在三角形的哪边上相遇？
10．如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P 从点 A 开始沿A→C 方向运动，且速度为 1 cm/s，点 Q 从点 C 开始沿C→B→A 方向运动，且速度为 2cm /s，它们同时出发，设运动的时间为ts.
（1）当t=2时，求PQ的长.
（2）求运动几秒时，△APB 是等腰三角形.
（3）当点 Q 在边 BA 上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.
11．（2025八上·诸暨月考） 如图，，点在线段上以的速度，由运动，同时点在线段上由运动．
（1）如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图2，将“”为改“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使全等．
（3）在图2的基础上延长交于点，使分别是中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
四、综合题
12．（2024八下·桂阳期中）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
13．（2023·前郭尔罗斯模拟）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，判断线段AP与BQ的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，请直接写出线段AP的长度．
14．（2025八上·长兴月考）如图，在等边△ABC中，∠ABC=∠CAB=∠BCA=60°，射线AP交BC边于点P，D为射线AP上一点，以BD为边作等边△BDE，连结CE交射线AP于点M.
（1）当点D在线段AP上时，
①求证：AD=CE.
②求∠CMD的度数.
（2）当点D不在线段AP上时，∠CMD的度数是否发生改变 若不变，请说明理由：若改变，请求出此时∠CMD的度数.
（3）当BD⊥CE时，请直接写出∠CAD与∠CBD的数量关系：
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AO⊥BC于点O，
∵，
令y=0，则解得x=4，
这时点P与点C重合，即BC=4，
当x=0时，点P与点B重合，这时y=6，
∴△ABC的面积为12，
则，解得AO=6，
又因为AB=AC，
∴BO=OC=2，
∴，
故答案为：D.
【分析】先过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AO⊥BC于点O，令y=0，求出x=4，即可得到BC=4，然后当x=0时求出y=6，即可得到△ABC的面积为12，求出OA长，然后利用勾股定理解题即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴
如图，当点在射线上时，在上，，
∵
∴，
∴．
如图，当点在的反向延长线上时，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当或时，，
故选：．
【分析】分"点在射线上"、“点在的反向延长线上”两种情况讨论，分别列出关于的方程，求出的值．
3．【答案】A
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒时，AP=AQ，
根据题意得：20-3t=2t，
解得：t=4.
故答案为：A.
【分析】设运动时间为t秒时，AP=AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当∠APB=90°时，如图1，
∵OA=OB，
∴PO是AB边上的中线，
∴PO=OB=AB=1，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴△BOP是等边三角形，
∴BP=OP=1，
∴；
当∠ABP=90°时，如图2，
在Rt△BOP中，∠BOP=60°，
∴∠BPO=90°-∠BOP=90°-60°=30°，
∴PO=2BO=2，
在Rt△BOP中，
，
在Rt△ABP中，
；
当∠APB=90°时，如图3，
∵PC是Rt△ABP的边AB上的中线，
∴PO=AO=AB=1，
∵∠AOC=60°，
∴△POA是等边三角形，
∴AP=AO=1，
∴AP的长为或或1.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当∠APB=90°时，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出PO=OB=1，由此可证得△BOP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠ABP=90°时利用直角三角形的两锐角互余可求出∠BPO的度数，同时求出PO的长，利用勾股定理求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠APB=90°时，可求出PO=AO=1，可证得△POA是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AP的长；综上所述可得到符合题意的AP的长.
5．【答案】1或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当，时，
，
、Q运动的路程和时间相同，
和P的运动速度相同是；
当，时，
，
，
运动的时间是，
，
运动的速度是，
当点Q的运动速度为1或时，与全等．
故答案为：1或．
【分析】分两种情况讨论：当，时；当，时，分别求得Q的运动速度即可求解．
6．【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
7．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC=12厘米，
∴点D为AB的中点，
∴BD=厘米
∵能够在某一时刻使与全等．
∴CQ=BD=6厘米，BP=PC=cm， ，
∵ 点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，
∴当P运动到BC中点的时间为：BP÷2=4÷2=2秒
∵点P和点Q是同时运动
∴ 点的运动速度为：CQ÷2=6÷2=3厘米/s
故答案为：3.
【分析】根据等腰三角形的性质以及已知条件，可以推断出BD的值，根据全等三角形的性质，可以推断出CQ=BD，BP=PC，，根据点P点Q的同时运动，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间，可以推断出点Q的运动速度.
8．【答案】（1）
（2）1或7或
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（2）过点Q作于点E，则，如图所示，
当运动时间为t秒时，，，，，
依题意得：.
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去），.
∴经过1或7或秒后，的面积等于.
故答案为：1或7或.
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AC，然后结合勾股定理进行计算；
（2）过点Q作QE⊥AB于点E，则QE=BQ，当运动时间为t秒时，AP=tcm，BQ=4tcm，PB=|8-t|cm，QE=2tcm，依题意得：|8-t|·2t=7，求解即可.
9．【答案】（1）解：全等，理由如下：
∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴BP=CQ=3×1=3(cm)，
∵AB = 10cm， 点D为AB的中点，
∴BD=5(cm).
又∵PC = BC-BP， BC =8cm，
∴PC=8-3=5(cm)，
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴ BP与CQ不是对应边，即BP≠CQ，
且 则BP=PC=4(cm)，CQ=BD=5(cm)
∴点P，点Q运动的时间
（3）解： 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 解得
∴点P运动192cm，
∴点P与点Q在AB上第二次相遇.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由“SAS”可证
(2)根据全等三角形的性质得出BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，则可得出答案；
(3)由题意列出方程 解方程可得出答案.
10．【答案】（1）解：当t=2时，AP=2，CQ=2t=4，
则CP=AC-AP=8-2=6.
在 Rt△CPQ 中，PQ=
即 PQ 的长为
（2）解：当PB=PA时，△APB是等腰三角形，此时PA=t=PB，则 PC=8-t.
在Rt△CBP 中，由
得
解得
故运动 时，△APB是等腰三角形.
（3）解：分情况讨论：①当 QC = QB 时，∠B =∠BCQ.
因为∠B+∠A = ∠BCQ +∠ACQ =90°，
所以∠A=∠ACQ，
所以AQ=CQ=BQ.
在Rt△BCA中， 10，
所以AQ=CQ=BQ=5.
因为 BQ=2t-6，
所以2t-6=5，解得t=5.5.
②当BQ=BC时，2t-6=6，解得t=6.
③当 CQ = CB 时，过点 C 作 是CN⊥AB，垂足为 N，如图，
则 A
即 解得 CN=
所以
所以
所以 解得
综上所述，当运动时间为5.5s或6s 或 时，△BCQ为等腰三角形
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)可求得AP和CQ，则可求得CP，在Rt△CPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
(2)根据等腰三角形、直角三角形的勾股定理列方程求解即可；
(3)分三种情况，即QC=QB，CB=BQ，BC=CQ，分别求出点Q运动的距离，进而计算出时间.
11．【答案】（1）解：全等，理由如下：
依题意AP=BQ=4cm
∵AB=16cm
∴PB=AB-AP=12cm
在与中，
∴
PC与PQ的位置关系是垂直。
（2）解：分析可知一定是
∴AP=BP
即4t=16-4t
解得t=2
∴BQ=AC=12cm
12÷2=6(cm/s)
∴当Q的速度为6cm/s时， 能使全等 。
（3）解：∵点C、D分别是AE，BE中点
∴AE=2AC=24cm，BE=2BD=24cm
依题意6t-4t=48
解得t=24
∴经过24s点P与点Q第一次相遇
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)∵
∴
∵
∴
∴
即PC⊥PQ
【分析】(1)利用SAS判定易证，进一步得到对应角，等量代换可证明，从而可得，说明PC⊥PQ；
(2)根据题意不难得到对应关系是，于是对应边AP=BP，用含t的式子表示出AP与BP，建立方程即可求出t=2，从而可知BQ=12cm，用它除以2就是点Q的速度；
(3)不难求出AE=BE=24cm，利用点Q的路程减点P的路程等于AE+BE可建立方程6t-4t=48，求解即得。
12．【答案】（1）解：为等边三角形，
，，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
在和中
，
，
，
在、运动的过程中，不变，；
（2）解：运动时间为，则，
，
当时，
，
，
，解得，
当时，
，
，
，解得，
当为或 时，为直角三角形；
（3）解：在等边三角形中，，，
，且，
在和中
，
，
又，
，
在、运动的过程中，的大小不变，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据题意可得，，分情况讨论：当时，当时，根据含30°角的直角三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等边三角形判定定理可得，，则，且，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】（1）解：AP＝BQ．
理由如下：
在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB-∠PCB＝∠PCQ-∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）证明：在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB-∠PCB＝∠PCQ-∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC.
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ，且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ；
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出 CP＝CQ，∠PCQ＝60°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ∠ACP＝∠BCQ， 再求出 △ACP≌△BCQ（SAS）， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用三角形的面积公式计算求解即可。
14．【答案】（1）解：①证明：，
.
在和中，
，
；
②如图，
由（1）①知：，
.
与为等边三角形，
，
，
.
，
（2）解：当点D不在线段AP上时，∠CMD的度数发生改变，此时∠CMD的度数为120°
∵∠ABC = ∠DBE=60°
∴∠ABD= ∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
.
∵与为等边三角形
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴
（3）解：∠CBD-∠CAD=30°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）设BD⊥CE于O，
∵BD⊥CE，
∴∠BOC=90°，
∴∠ECB+∠CBD=90°①，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD+∠BAD =60°，
由（2）知，，
∴ ∠ECB+∠CAD=60°②，
①-②得，∠CBD-∠CAD=30°.
【分析】（1）①先证明，再证明，进而得出结论；
②先说明，再根据等边三角形，进而得出 ，，进而得出答案；
（2）先证明得出，再根据等边三角形即可得出答案；
（3）由BD⊥CE，得∠BMC=90°（需确认点M的位置），在△BMC中，∠BMC=90°，结合等边三角形的性质，可推导角度关系，由△ABD≌△CBE得∠BAD=∠BCE，在△BMC中，∠BCE+∠CBD=90°，结合∠BAD=∠BCE得∠BAD+∠CBD=90°，将∠BAD=60° ∠CAD代入得(60° ∠CAD)+∠CBD=90°，整理得CBD ∠CAD=30°.
1 / 1三角形的动点问题-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·镇海区期末）如图，等腰 ，点 是 的中点，点 为线段 上一动点，连结 ．设 ， 的面积为 ，若 关于 的函数表达式为 ，则 的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AO⊥BC于点O，
∵，
令y=0，则解得x=4，
这时点P与点C重合，即BC=4，
当x=0时，点P与点B重合，这时y=6，
∴△ABC的面积为12，
则，解得AO=6，
又因为AB=AC，
∴BO=OC=2，
∴，
故答案为：D.
【分析】先过点B作BH⊥AC于点H，过点A作AO⊥BC于点O，令y=0，求出x=4，即可得到BC=4，然后当x=0时求出y=6，即可得到△ABC的面积为12，求出OA长，然后利用勾股定理解题即可.
2．（2024八上·诸暨月考）如图，在中，已知，，，直线，动点从点开始沿射线方向以每秒的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以每秒的速度运动，连接，，设运动时间为秒．当时，的值应为（ ）
A．2或5 B．5或12 C．2或10 D．5或10
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴
如图，当点在射线上时，在上，，
∵
∴，
∴．
如图，当点在的反向延长线上时，
∵，
∴，
∴．
综上所述，当或时，，
故选：．
【分析】分"点在射线上"、“点在的反向延长线上”两种情况讨论，分别列出关于的方程，求出的值．
3．（2020八上·椒江期中）如图，在 中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当AP=AQ时，点P、点Q运动的时间是（ ）
A．4秒 B．3.5秒 C．3秒 D．2.5秒
【答案】A
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为t秒时，AP=AQ，
根据题意得：20-3t=2t，
解得：t=4.
故答案为：A.
【分析】设运动时间为t秒时，AP=AQ，根据点P、Q的出发点及速度，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论.
4．（2024八上·宁波开学考）如图， 在 中， 是射线 上的动点， ， 则当 是直角三角形时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当∠APB=90°时，如图1，
∵OA=OB，
∴PO是AB边上的中线，
∴PO=OB=AB=1，
∵∠AOC=∠BOP=60°，
∴△BOP是等边三角形，
∴BP=OP=1，
∴；
当∠ABP=90°时，如图2，
在Rt△BOP中，∠BOP=60°，
∴∠BPO=90°-∠BOP=90°-60°=30°，
∴PO=2BO=2，
在Rt△BOP中，
，
在Rt△ABP中，
；
当∠APB=90°时，如图3，
∵PC是Rt△ABP的边AB上的中线，
∴PO=AO=AB=1，
∵∠AOC=60°，
∴△POA是等边三角形，
∴AP=AO=1，
∴AP的长为或或1.
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当∠APB=90°时，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出PO=OB=1，由此可证得△BOP是等边三角形，利用等边三角形的性质可得到BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠ABP=90°时利用直角三角形的两锐角互余可求出∠BPO的度数，同时求出PO的长，利用勾股定理求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；当∠APB=90°时，可求出PO=AO=1，可证得△POA是等边三角形，利用等边三角形的性质可求出AP的长；综上所述可得到符合题意的AP的长.
二、填空题
5．（2025八上·镇海区开学考）如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上由点B向点D运动，两个动点同时出发，设运动时间为，则当点Q的运动速度为 时，与有可能全等．
【答案】1或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当，时，
，
、Q运动的路程和时间相同，
和P的运动速度相同是；
当，时，
，
，
运动的时间是，
，
运动的速度是，
当点Q的运动速度为1或时，与全等．
故答案为：1或．
【分析】分两种情况讨论：当，时；当，时，分别求得Q的运动速度即可求解．
6．（2025八上·宁海期中）如图△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到B，则点P出发 s时，△BCP为等腰三角形.
【答案】2或2.5或1.4
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，∴AB= =10，
∵当BC=BP时，△BCP为等腰三角形，即BC=BP=6cm，△BCP为等腰三角形，
∴AP=AB-BP=10-6=4，
∵动点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动，
∴点P出发4÷2=2 s时，△BCP为等腰三角形；
当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形，点P出发5÷2=2.5s时，△BCP为等腰三角形；
当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∴∠ADC=∠BDC=90°，BP=2PD=2BD，
∴CD2=BC2-BD2=AC2-AD2
设点P的运动时间为ts，
∴AP=2t，
∴BP=10-2t，
∴PD=BD=5-t，AD=2t+5-t=5+t，
62-（5-t）2=82-（5+t）2
解之：t=1.4
∴点P出发1.4s时，△BCP为等腰三角形．
综上所述，点P出发2s或2.5s或1.4s时，△BCP为等腰三角形.
故答案为：2或2.5或1.4．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再分情况讨论：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；当点P从A出发，以2cm/s的速度沿AB移动到AB的中点时，此AP=BP=PC，则△BCP为等腰三角形；分别求出点P的运动时间；当BC=PC时，过点C作CD⊥AB于点D；利用等腰三角形的性质和勾股定理可证得CD2=BC2-BD2=AC2-AD2，BP=2PD=2BD，设点P的运动时间为ts，可表示出AP、BP、PD、BD、AD的长，利用勾股定理可得到关于t的方程，解方程求出t的值，综上所述，可得到符合题意的t的值.
7．（2024八上·拱墅月考）如图，在中，厘米，，厘米，点为AB的中点．如果点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，同时，点在线段CA上由点向点运动．当点的运动速度为 厘米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定；等腰三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：∵AB=AC=12厘米，
∴点D为AB的中点，
∴BD=厘米
∵能够在某一时刻使与全等．
∴CQ=BD=6厘米，BP=PC=cm， ，
∵ 点在线段BC上以⒉厘米/秒的速度由B点向点运动，
∴当P运动到BC中点的时间为：BP÷2=4÷2=2秒
∵点P和点Q是同时运动
∴ 点的运动速度为：CQ÷2=6÷2=3厘米/s
故答案为：3.
【分析】根据等腰三角形的性质以及已知条件，可以推断出BD的值，根据全等三角形的性质，可以推断出CQ=BD，BP=PC，，根据点P点Q的同时运动，时间=距离÷速度，速度=距离÷时间，可以推断出点Q的运动速度.
8．（2023八下·义乌月考）如图，在 中，，，，点P从A点出发，沿射线方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线方向以4cm/s的速度移动.
（1） ；
（2）如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后的面积等于.
【答案】（1）
（2）1或7或
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵，，，
∴，
∴ ，
∴，
∴；
（2）过点Q作于点E，则，如图所示，
当运动时间为t秒时，，，，，
依题意得：.
当时，，
解得：，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去），.
∴经过1或7或秒后，的面积等于.
故答案为：1或7或.
【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=2AC，然后结合勾股定理进行计算；
（2）过点Q作QE⊥AB于点E，则QE=BQ，当运动时间为t秒时，AP=tcm，BQ=4tcm，PB=|8-t|cm，QE=2tcm，依题意得：|8-t|·2t=7，求解即可.
三、解答题
9．（2025八上·义乌月考）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，D为AB的中点，设点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上由C点向A点运动.
（1）若Q点运动的速度与P点相同，且点P，Q同时出发，经过1秒钟后△BPD与△CQP是否全等？并说明理由.
（2）若点P，Q同时出发，但运动速度不相同，当Q点的运动速度为多少时，能在运动过程中有△BPD与△CQP全等？
（3）若点Q以（2）中的运动速度从C点出发，点P以原来的速度从点B同时出发，都是沿△ABC的三边逆时针运动，经过多少时间点P与点Q第二次在三角形的哪边上相遇？
【答案】（1）解：全等，理由如下：
∵t=1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等，
∴BP=CQ=3×1=3(cm)，
∵AB = 10cm， 点D为AB的中点，
∴BD=5(cm).
又∵PC = BC-BP， BC =8cm，
∴PC=8-3=5(cm)，
∴PC=BD，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD和△CQP中，
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
（2）解：∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴ BP与CQ不是对应边，即BP≠CQ，
且 则BP=PC=4(cm)，CQ=BD=5(cm)
∴点P，点Q运动的时间
（3）解： 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意，得 解得
∴点P运动192cm，
∴点P与点Q在AB上第二次相遇.
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由“SAS”可证
(2)根据全等三角形的性质得出BP=PC=4cm，CQ=BD=5cm，则可得出答案；
(3)由题意列出方程 解方程可得出答案.
10．如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，P，Q是△ABC边上的两个动点，点P 从点 A 开始沿A→C 方向运动，且速度为 1 cm/s，点 Q 从点 C 开始沿C→B→A 方向运动，且速度为 2cm /s，它们同时出发，设运动的时间为ts.
（1）当t=2时，求PQ的长.
（2）求运动几秒时，△APB 是等腰三角形.
（3）当点 Q 在边 BA 上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.
【答案】（1）解：当t=2时，AP=2，CQ=2t=4，
则CP=AC-AP=8-2=6.
在 Rt△CPQ 中，PQ=
即 PQ 的长为
（2）解：当PB=PA时，△APB是等腰三角形，此时PA=t=PB，则 PC=8-t.
在Rt△CBP 中，由
得
解得
故运动 时，△APB是等腰三角形.
（3）解：分情况讨论：①当 QC = QB 时，∠B =∠BCQ.
因为∠B+∠A = ∠BCQ +∠ACQ =90°，
所以∠A=∠ACQ，
所以AQ=CQ=BQ.
在Rt△BCA中， 10，
所以AQ=CQ=BQ=5.
因为 BQ=2t-6，
所以2t-6=5，解得t=5.5.
②当BQ=BC时，2t-6=6，解得t=6.
③当 CQ = CB 时，过点 C 作 是CN⊥AB，垂足为 N，如图，
则 A
即 解得 CN=
所以
所以
所以 解得
综上所述，当运动时间为5.5s或6s 或 时，△BCQ为等腰三角形
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)可求得AP和CQ，则可求得CP，在Rt△CPQ中，由勾股定理可求得PQ的长；
(2)根据等腰三角形、直角三角形的勾股定理列方程求解即可；
(3)分三种情况，即QC=QB，CB=BQ，BC=CQ，分别求出点Q运动的距离，进而计算出时间.
11．（2025八上·诸暨月考） 如图，，点在线段上以的速度，由运动，同时点在线段上由运动．
（1）如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系；
（2）如图2，将“”为改“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使全等．
（3）在图2的基础上延长交于点，使分别是中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇．
【答案】（1）解：全等，理由如下：
依题意AP=BQ=4cm
∵AB=16cm
∴PB=AB-AP=12cm
在与中，
∴
PC与PQ的位置关系是垂直。
（2）解：分析可知一定是
∴AP=BP
即4t=16-4t
解得t=2
∴BQ=AC=12cm
12÷2=6(cm/s)
∴当Q的速度为6cm/s时， 能使全等 。
（3）解：∵点C、D分别是AE，BE中点
∴AE=2AC=24cm，BE=2BD=24cm
依题意6t-4t=48
解得t=24
∴经过24s点P与点Q第一次相遇
【知识点】三角形全等及其性质；线段的中点；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：(1)∵
∴
∵
∴
∴
即PC⊥PQ
【分析】(1)利用SAS判定易证，进一步得到对应角，等量代换可证明，从而可得，说明PC⊥PQ；
(2)根据题意不难得到对应关系是，于是对应边AP=BP，用含t的式子表示出AP与BP，建立方程即可求出t=2，从而可知BQ=12cm，用它除以2就是点Q的速度；
(3)不难求出AE=BE=24cm，利用点Q的路程减点P的路程等于AE+BE可建立方程6t-4t=48，求解即得。
四、综合题
12．（2024八下·桂阳期中）如图1，点分别是边长为的等边的边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为．
（1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；
（2）点在运动过程中，设运动时间为，当为何值时，为直角三角形？
（3）如图2，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，在运动的过程中，的大小变化吗？若变化请说明理由：若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）解：为等边三角形，
，，
点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为，
，
在和中
，
，
，
在、运动的过程中，不变，；
（2）解：运动时间为，则，
，
当时，
，
，
，解得，
当时，
，
，
，解得，
当为或 时，为直角三角形；
（3）解：在等边三角形中，，，
，且，
在和中
，
，
又，
，
在、运动的过程中，的大小不变，．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，，由题意可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据题意可得，，分情况讨论：当时，当时，根据含30°角的直角三角形性质建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据等边三角形判定定理可得，，则，且，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．（2023·前郭尔罗斯模拟）已知等边三角形ABC，过A点作AC的垂线l，点P为l上一动点（不与点A重合），连接CP，把线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到CQ，连QB．
（1）如图1，判断线段AP与BQ的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP＝AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；
（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且△APQ的面积等于，请直接写出线段AP的长度．
【答案】（1）解：AP＝BQ．
理由如下：
在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB-∠PCB＝∠PCQ-∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ；
（2）证明：在等边△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝60°，
由旋转可得，CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴∠ACB＝∠PCQ，
∴∠ACB-∠PCB＝∠PCQ-∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ，
∴△ACP≌△BCQ（SAS），
∴AP＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝90°；
∴BQ＝AP＝AC＝BC.
∵AP＝AC，∠CAP＝90°，
∴∠BAP＝30°，∠ABP＝∠APB＝75°，
∴∠CBP＝∠ABC+∠ABP＝135°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠QBD＝45°，
∴∠CBD＝∠QBD，即BD平分∠CBQ，
∴BD⊥CQ，且点D是CQ的中点，即直线PB垂直平分线段CQ；
（3）或或
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质求出 CP＝CQ，∠PCQ＝60°， 再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）先求出 ∠ACP＝∠BCQ， 再求出 △ACP≌△BCQ（SAS）， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用三角形的面积公式计算求解即可。
14．（2025八上·长兴月考）如图，在等边△ABC中，∠ABC=∠CAB=∠BCA=60°，射线AP交BC边于点P，D为射线AP上一点，以BD为边作等边△BDE，连结CE交射线AP于点M.
（1）当点D在线段AP上时，
①求证：AD=CE.
②求∠CMD的度数.
（2）当点D不在线段AP上时，∠CMD的度数是否发生改变 若不变，请说明理由：若改变，请求出此时∠CMD的度数.
（3）当BD⊥CE时，请直接写出∠CAD与∠CBD的数量关系：
【答案】（1）解：①证明：，
.
在和中，
，
；
②如图，
由（1）①知：，
.
与为等边三角形，
，
，
.
，
（2）解：当点D不在线段AP上时，∠CMD的度数发生改变，此时∠CMD的度数为120°
∵∠ABC = ∠DBE=60°
∴∠ABD= ∠CBE.
在△ABD和△CBE中，
.
∵与为等边三角形
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴
（3）解：∠CBD-∠CAD=30°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（3）设BD⊥CE于O，
∵BD⊥CE，
∴∠BOC=90°，
∴∠ECB+∠CBD=90°①，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAB=60°，
∴∠CAD+∠BAD =60°，
由（2）知，，
∴ ∠ECB+∠CAD=60°②，
①-②得，∠CBD-∠CAD=30°.
【分析】（1）①先证明，再证明，进而得出结论；
②先说明，再根据等边三角形，进而得出 ，，进而得出答案；
（2）先证明得出，再根据等边三角形即可得出答案；
（3）由BD⊥CE，得∠BMC=90°（需确认点M的位置），在△BMC中，∠BMC=90°，结合等边三角形的性质，可推导角度关系，由△ABD≌△CBE得∠BAD=∠BCE，在△BMC中，∠BCE+∠CBD=90°，结合∠BAD=∠BCE得∠BAD+∠CBD=90°，将∠BAD=60° ∠CAD代入得(60° ∠CAD)+∠CBD=90°，整理得CBD ∠CAD=30°.
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