1.4全等三角形
【题型1】全等图形的概念和性质 4
【题型2】判断图形是否全等 6
【题型3】全等三角形的表示方法 7
【题型4】利用全等三角形的性质求边 9
【题型5】利用全等三角形的性质求角 11
【题型6】利用全等三角形的性质求其它 13
【知识点1】全等图形 （1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 1.（2024秋 忻州月考）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2等于（ ） A．60°B．75°C．90°D．105°
【答案】C 【分析】由△ACB≌△DEF（SAS），得到∠1=∠FDE，由∠2+∠FDE=90°，即可解决问题． 【解答】解：
∵AC=ED，∠ACB=∠DEF，BC=EF，
∴△ACB≌△DEF（SAS），
∴∠1=∠FDE，
∵∠2+∠FDE=90°，
∴∠2+∠1=90°．
故选：C． 【知识点2】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1.（2024秋 威县期末）如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（ ） A．∠CADB．∠DCAC．∠DD．∠ACB
【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC的对应角是∠DCA，
故选：B． 2.（2025春 沙坪坝区校级期中）下列说法正确的是（ ） A．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部B．三角形的三条高都在三角形内部C．全等三角形的中线相等D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【答案】A 【分析】根据三角形角平分线定义、高的定义、全等三角形的性质、三角形外角性质判断求解即可． 【解答】解：三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部，
故A正确，符合题意；
三角形的三条高步一定都在三角形内部，
故B不正确，不符合题意；
全等三角形对应边上的中线相等，
故C不正确，不符合题意；
三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，
故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【题型1】全等图形的概念和性质
【典型例题】下列说法中，正确的是（ ）
A.面积相等的两个图形是全等图形
B.形状相等的两个图形是全等图形
C.周长相等的两个图形是全等图形
D.能够完全重合的两个图形是全等图形
【答案】D
【解析】A．面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误；
B．形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误；
C．周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误；
D．符合全等形的概念，正确．
故选：D．
【举一反三1】两个全等图形中可以不同的是（ ）
A.位置 B.长度 C.角度 D.面积
【答案】A
【解析】两个全等图形中对应边的长度，对应角的角度，图形的面积相等，可以不同的是位置．
故选：A．
【举一反三2】下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个图形一定全等 B.两个长方形是全等图形 C.两个全等图形面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形
【答案】C
【解析】A．形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意；
B．长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
C．两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意；
D．两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三3】如果两个图形全等，那么它们的周长 相等．（填“一定”或“不一定”）
【答案】一定
【解析】∵全等图形能够完全重合，
∴它们的周长一定相等；
故答案为：一定．
【举一反三4】若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为 ．
【答案】
【解析】∵四个全等的正方形面积之和是25，
∴每个正方形的面积为，
∴每个小正方形的边长为：．
故答案为：．
【举一反三5】如图，有两个全等的六边形，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标出的a，b，c，d，e，f，α，β，θ各字母所表示的值．
【答案】解 ∵两个六边形全等，
∴a＝4.3，
b＝2.4，
c＝2，
d＝6，
e＝4，
f＝5，
α＝135°，
β＝120°，
θ＝90°，
【题型2】判断图形是否全等
【典型例题】下列选项中，和如图全等的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图全等的图形只有D选项符合，
故选：D．
【举一反三1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A．两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；
C．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】下列图形中，是全等图形的是 ．
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）（10）（11）（12）
【答案】（1）（9）、（2）（3）、（4）（8）、（11）（12）．
【解析】（1）和（9）是全等形，（2）和（3）是全等形：（4）和（8）是全等形：（11）和（12）是全等形；
故答案为：（1）（9）、（2）（3）、（4）（8）、（11）（12）．
【举一反三3】如图，指出图中的全等图形．
【答案】解 ⑤和⑨是全等形；
故答案为：⑤和⑨．
【题型3】全等三角形的表示方法
【典型例题】如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是 ，表示这两个三角形全等的式子是 ．
【答案】点A和点F；△ABC≌△DEF
【解析】如图所示：∵△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，
∴则另一组对应点是点A和点F，△ABC≌△DEF，
故答案为：点A和点F；△ABC≌△DEF．
【举一反三1】如图，已知△ABC与△AED全等，且AC＝AD，∠C＝∠D．
（1）用符号“≌”表示这两个三角形全等（要求：对应顶点写在对应位置上） ．
（2）写出它们的对应边和对应角．
①对应边： .
②对应角： .
【答案】（1）△ABC≌△AED；
（2）①AB和AE，AC和AD，BC和ED；②∠BAC和∠EAD，∠B和∠E，∠C和∠D
【解析】△ABC与△AED全等，且AC＝AD，∠C＝∠D，点C对应点D．
（1）用符号“≌”表示这两个三角形全等为△ABC≌△AED；
故答案为：△ABC≌△AED；
（2）①对应边：AB和AE，AC和AD，BC和ED；
②对应角：∠BAC和∠EAD，∠B和∠E，∠C和∠D．
故答案为：AB和AE，AC和AD，BC和ED；∠BAC和∠EAD，∠B和∠E，∠C和∠D．
【举一反三2】如图，△OAD与△OBC全等，∠A与∠B是对应角，请找出其余的对应角和各对对应边，并用符号表示这两个三角形全等．
【答案】解 ∵∠A与∠B是对应角，点O是公共顶点，
∴△OAD≌△OBC，
∴这两个全等三角形中其他的对应边是AO和BO、CO和DO、BC和AD，对应角是∠C和∠D．
【举一反三3】如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M．
（1）用全等符号表示这两个三角形全等；
（2）写出对应边及对应角．
【答案】解（1）∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，
∴△ABF≌△DCE，
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴对应边：AB＝DC，AF＝DE，BF＝CE，
对应角：∠A＝∠D，∠B＝∠C，∠AFB＝∠DEC．
【题型4】利用全等三角形的性质求边
【典型例题】如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，GE＝4，则DG的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】∵△ABC≌△DFE，
∴DE＝AC＝6，
∴DG＝DE﹣GE＝6﹣4＝2，
故选：A．
【举一反三1】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于（ ）
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，
∴BE＝AC＝5，BC＝DE＝2，
∴CE＝BE﹣BC＝5﹣2＝3，
故选：B．
【举一反三2】如图，A，B，C三点共线，D，E，B三点共线，且△ABD≌△EBC，AB＝5，BC＝12，则DE的长为 ．
【答案】7
【解析】∵△ABD≌△EBC，
∴BC＝BD＝12，AB＝EB＝5，
∴DE＝DB﹣BE＝12﹣5＝7，
故答案为：7．
【举一反三3】如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为12，且BC＝3，则△DBC的周长为 ．
【答案】15
【解析】∵△AOB≌△DOC，△AOB的周长为12，
∴BO＝CO，△DOC的周长为12，即DO+CO+CD＝12，
∵BC＝3，
∴△DBC的周长为BO+DO+BC+CD＝CO+DO+BC+CD＝15，
故答案为：15．
【举一反三4】如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．
（1）求证：AC∥DF．
（2）求AB的长．
【答案】（1）证明 ∵△ABC≌△FED，
∴∠A＝∠F．
∴AC∥DF．
（2）解 ∵△ABC≌△FED，
∴AB＝EF．
∴AB﹣EB＝EF﹣EB．
∴AE＝BF．
∵AF＝8，BE＝2，
∴AE+BF＝8﹣2＝6，
∴AE＝3，
∴AB＝AE+BE＝3+2＝5．
【题型5】利用全等三角形的性质求角
【典型例题】如图，若△ABC≌△DEC，∠A＝35°，则∠D的度数是（ ）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【答案】D
【解析】由∵△ABC≌△EC，
∴∠D＝∠A＝35°．
故选：D．
【举一反三1】如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB＝（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【答案】C
【解析】∵∠A＝30°，∠C＝80°，
∴∠ADC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∵△CAD≌△CBE，
∴∠CEB＝∠CDA＝70°；
故选：C．
【举一反三2】如图，点B，D，E，C在同一条直线上，△ABE≌△ACD，∠AEC＝105°，则∠DAE的度数为（ ）
A.10° B.20° C.30° D.80°
【答案】C
【解析】∵△ABE≌△ACD，
∴AD＝AE，
∵∠AEC＝105°，
∴∠AED＝∠ADE＝75°，
∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
故选：C．
【举一反三3】如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝ °．
【答案】50
【解析】∵△ABD≌△ACE，∠ADB＝95°，
∴∠AEC＝∠ADB＝95°，
∵∠AEC＝∠1+∠B，∠1＝45°，
∴∠B＝50°，
故答案为：50．
【举一反三4】如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数．
【答案】解 ∵△ABC≌△ADE，∠D＝25°，
∴∠B＝∠D＝25°，∠EAD＝∠CAB．
∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB＝120°，∠CAD＝10°，
∴∠CAB＝（120°﹣10°）÷2＝55°，
∴∠FAB＝∠CAB+∠CAD＝55°+10°＝65°．
又∵∠DFB是△ABF的外角，
∴∠DFB＝∠B+∠FAB，
∴∠DFB＝25°+65°＝90°．
【题型6】利用全等三角形的性质求其它
【典型例题】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A＝∠D＝90°，AB＝3，DG＝1，AG＝2，则梯形CFDG的面积是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】A
【举一反三1】三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A.160° B.180° C.200° D.240°
【答案】B
【举一反三2】已知△ABC与△DEF全等，BC＝EF＝4cm，△ABC的面积是12cm2，则EF边上的高是（ ）
A.3cm B.4cm C.6cm D.无法确定
【答案】C
【举一反三3】已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，则△DEF的周长为 cm，面积为 cm2．
【答案】12 6
【举一反三4】如图所示，已知△ACE≌△DBF，AD＝10，BC＝3．
（1）求AC的长．
（2）CE与BF平行吗？说明理由．
【答案】解 （1）∵△ACE≌△DBF，
∴AC＝DB，
∴AB+BC＝DC+BC，
∴AB＝DC，
∵AD＝10，BC＝3，
∴AB+3+DC＝10，
∴2AB＝7，
∴，
∴．
（2）平行，理由如下：
∵△ACE≌△DBF，
∴∠ACE＝∠DBF，
∴CE∥BF．
【举一反三5】如图，△ABC≌△CDA，那么AB与CD平行吗？试说明理由．
【答案】解 AB∥CD；
理由：∵△ABC≌△CDA，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD．1.4全等三角形
【题型1】全等图形的概念和性质 3
【题型2】判断图形是否全等 3
【题型3】全等三角形的表示方法 4
【题型4】利用全等三角形的性质求边 5
【题型5】利用全等三角形的性质求角 6
【题型6】利用全等三角形的性质求其它 8
【知识点1】全等图形 （1）全等形的概念
能够完全重合的两个图形叫做全等形．
（2）全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
（3）三角形全等的符号
“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．
（4）对应顶点、对应边、对应角
把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 1.（2024秋 忻州月考）如图，在3×3的正方形网格中，∠1+∠2等于（ ） A．60°B．75°C．90°D．105°
【知识点2】全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等
性质2：全等三角形的对应角相等
说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等
②全等三角形的周长相等，面积相等
③平移、翻折、旋转前后的图形全等
（2）关于全等三角形的性质应注意
①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．
②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 1.（2024秋 威县期末）如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（ ） A．∠CADB．∠DCAC．∠DD．∠ACB
2.（2025春 沙坪坝区校级期中）下列说法正确的是（ ） A．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部B．三角形的三条高都在三角形内部C．全等三角形的中线相等D．三角形的一个外角大于任何一个内角
【题型1】全等图形的概念和性质
【典型例题】下列说法中，正确的是（ ）
A.面积相等的两个图形是全等图形
B.形状相等的两个图形是全等图形
C.周长相等的两个图形是全等图形
D.能够完全重合的两个图形是全等图形
【举一反三1】两个全等图形中可以不同的是（ ）
A.位置 B.长度 C.角度 D.面积
【举一反三2】下列说法正确的是（ ）
A.形状相同的两个图形一定全等 B.两个长方形是全等图形 C.两个全等图形面积一定相等 D.两个正方形一定是全等图形
【举一反三3】如果两个图形全等，那么它们的周长 相等．（填“一定”或“不一定”）
【举一反三4】若有四个全等的正方形面积之和是25，则每个小正方形的边长为 ．
【举一反三5】如图，有两个全等的六边形，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标出的a，b，c，d，e，f，α，β，θ各字母所表示的值．
【题型2】判断图形是否全等
【典型例题】下列选项中，和如图全等的图形是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形中，是全等图形的是 ．
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
（7）（8）（9）（10）（11）（12）
【举一反三3】如图，指出图中的全等图形．
【题型3】全等三角形的表示方法
【典型例题】如果△ABC和△DEF这两个三角形全等，点C和点E，点B和点D分别是对应点，则另一组对应点是 ，表示这两个三角形全等的式子是 ．
【举一反三1】如图，已知△ABC与△AED全等，且AC＝AD，∠C＝∠D．
（1）用符号“≌”表示这两个三角形全等（要求：对应顶点写在对应位置上） ．
（2）写出它们的对应边和对应角．
①对应边： .
②对应角： .
【举一反三2】如图，△OAD与△OBC全等，∠A与∠B是对应角，请找出其余的对应角和各对对应边，并用符号表示这两个三角形全等．
【举一反三3】如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M．
（1）用全等符号表示这两个三角形全等；
（2）写出对应边及对应角．
【题型4】利用全等三角形的性质求边
【典型例题】如图，若△ABC≌△DFE，AC＝6，GE＝4，则DG的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，AC⊥BE，DE⊥BE，若△ABC≌△BDE，AC＝5，DE＝2，则CE等于（ ）
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
【举一反三2】如图，A，B，C三点共线，D，E，B三点共线，且△ABD≌△EBC，AB＝5，BC＝12，则DE的长为 ．
【举一反三3】如图，△AOB≌△DOC，△AOB的周长为12，且BC＝3，则△DBC的周长为 ．
【举一反三4】如图所示，已知△ABC≌△FED，AF＝8，BE＝2．
（1）求证：AC∥DF．
（2）求AB的长．
【题型5】利用全等三角形的性质求角
【典型例题】如图，若△ABC≌△DEC，∠A＝35°，则∠D的度数是（ ）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【举一反三1】如图，已知△CAD≌△CBE，若∠A＝30°，∠C＝80°，则∠CEB＝（ ）
A.50° B.60° C.70° D.80°
【举一反三2】如图，点B，D，E，C在同一条直线上，△ABE≌△ACD，∠AEC＝105°，则∠DAE的度数为（ ）
A.10° B.20° C.30° D.80°
【举一反三3】如图，若△ABD≌△ACE，且∠1＝45°，∠ADB＝95°，则∠B＝ °．
【举一反三4】如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB的度数．
【题型6】利用全等三角形的性质求其它
【典型例题】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A＝∠D＝90°，AB＝3，DG＝1，AG＝2，则梯形CFDG的面积是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
【举一反三1】三个全等三角形按如图所示摆放，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A.160° B.180° C.200° D.240°
【举一反三2】已知△ABC与△DEF全等，BC＝EF＝4cm，△ABC的面积是12cm2，则EF边上的高是（ ）
A.3cm B.4cm C.6cm D.无法确定
【举一反三3】已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为12cm，面积为6cm2，则△DEF的周长为 cm，面积为 cm2．
【举一反三4】如图所示，已知△ACE≌△DBF，AD＝10，BC＝3．
（1）求AC的长．
（2）CE与BF平行吗？说明理由．
【举一反三5】如图，△ABC≌△CDA，那么AB与CD平行吗？试说明理由．
