1.6线段垂直平分线的性质
【题型1】用尺规作线段的垂直平分线 2
【题型2】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长 4
【题型3】利用线段垂直平分线的性质求周长 6
【知识点1】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．______ ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．______ ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1.（2024秋 涡阳县期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
【知识点2】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025 通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（ ） A．70°B．35°C．40°D．20°
2.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（ ） A．B．C．D．
【题型1】用尺规作线段的垂直平分线
【典型例题】如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【举一反三3】如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三4】使用尺规作线段AB的垂直平分线CD的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A.弧①②的半径长一定相等
B.弧③④的半径长一定相等
C.弧②③的半径长一定相等
D.弧①的半径长大于AB长度的一半
【举一反三5】（1）如图，用直尺和圆规分别作出线段AB与BC的垂直平分线；
（2）如果线段AB与BC的垂直平分线相交于点P，那么PA与PC相等吗？为什么？
【举一反三6】如图，已知线段AB，尺规作图作线段AB的垂直平分线，并结合你所作的图形说明这样作图的理由．
【题型2】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长
【典型例题】如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3cm，则PA的长为（ ）
A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若BD＝10，AC＝14，则AD的长为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
【举一反三2】如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC＝9，AE：EC＝2：1，则点B到点E的距离是 ．
【举一反三3】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝9，CE＝11，且△AEG的周长为16，求EG＝ ．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．
【举一反三5】如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
【题型3】利用线段垂直平分线的性质求周长
【典型例题】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【举一反三1】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm
【举一反三2】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A.6 B.12 C.15 D.18
【举一反三3】如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为
cm．
【举一反三4】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝2cm，△ABD的周长为8cm，求△ABC的周长．
【举一反三5】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝10，△ABD的周长为18，求△ABC的周长．1.6线段垂直平分线的性质
【题型1】用尺规作线段的垂直平分线 3
【题型2】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长 8
【题型3】利用线段垂直平分线的性质求周长 11
【知识点1】线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．______ ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．______ ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1.（2024秋 涡阳县期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ） A．∠A的平分线上B．AC边的高上C．BC边的垂直平分线上D．AB边的中线上
【答案】A 【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案． 【解答】解：作射线AM，
由题意得，MG=MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A． 【知识点2】作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线． 1.（2025 通许县一模）如图，AB是⊙O的弦，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于圆外一点P，连接OP，交⊙O于点C，连接AC．若∠AOB=160°，则∠CAB的度数是（ ） A．70°B．35°C．40°D．20°
【答案】C 【分析】由作图可知OP垂直平分AB，即得，即可得，进而由圆周角定理即可求解． 【解答】解：由作图过程可知OP垂直平分AB，
∴，
∴，
故选：C． 2.（2025春 长春期末）用直尺和圆规作△ABC的中线AD，作图正确的是（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据垂线的尺规作图及角平分线的尺规作图进行排除选项． 【解答】解：A、由图可知：尺规作图是作BC的垂直平分线，所以AD是△ABC的中线，故A符合题意；
B、由图可知：尺规作图是作AB的垂直平分线，所以AD不是△ABC的中线，故B不符合题意；
C、由图可知：AD不是△ABC的中线，故C不符合题意；
D、由图可知：AD是∠BAC的平分线，所以AD不是△ABC的中线，故D不符合题意；
故选：A．
【题型1】用尺规作线段的垂直平分线
【典型例题】如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∵△ACP的周长为10，
∴AC+AP+PC＝10，
即AC+BP+PC＝3+BC＝10，
∴BC＝7．
故选：B．
【举一反三1】如图，已知线段AB＝6，利用尺规作AB的垂直平分线，步骤如下：
①分别以点A，B为圆心，以b的长为半径作弧，两弧相交于点C和D．
②作直线CD．直线CD就是线段AB的垂直平分线．
则b的长可能是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】根据题意得bAB，
即b＞3，
故选：D．
【举一反三2】已知下列尺规作图：①作一条线段的垂直平分线；②作一个角的平分线；③作一个角等于已知角．其中作法正确的是（ ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
【答案】C
【解析】由作图可知，作图正确的有②③，
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点D，E，连结DE，交BC于点P．若AC＝3，△ACP的周长为10，则BC的长为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】由作图可知，直线DE为线段AB的垂直平分线，
∴AP＝BP，
∵△ACP的周长为10，
∴AC+AP+PC＝10，
即AC+BP+PC＝3+BC＝10，
∴BC＝7．
故选：B．
【举一反三4】使用尺规作线段AB的垂直平分线CD的痕迹如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A.弧①②的半径长一定相等
B.弧③④的半径长一定相等
C.弧②③的半径长一定相等
D.弧①的半径长大于AB长度的一半
【答案】C
【解析】由作图痕迹得BD＝AD，BC＝AC，所以A选项和B选项不符合题意；
BC与AD可以相等，也可以不相等，所以C选项符合题意；
BDAB，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三5】（1）如图，用直尺和圆规分别作出线段AB与BC的垂直平分线；
（2）如果线段AB与BC的垂直平分线相交于点P，那么PA与PC相等吗？为什么？
【答案】解 （1）如图所示；
；
（2）相等，
理由：连接PA，PB，PC，
∵线段AB与BC的垂直平分线相交于点P，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PC．
【举一反三6】如图，已知线段AB，尺规作图作线段AB的垂直平分线，并结合你所作的图形说明这样作图的理由．
【答案】解 如图所示：MN是AB的垂直平分线．
理由如下：
由作图过程可知：AM＝BM，AN＝BN，
在△AMN和△BMN中，
，
∴△AMN≌△BMN（SSS），
∴∠AMN＝∠BMN，
∵MA＝MB，
∴MC⊥AB，AC＝BC，
∴MN是AB的垂直平分线．
【题型2】利用线段垂直平分线的性质证线段相等或求边长
【典型例题】如图，P为线段AB的垂直平分线上一点，若PB＝3cm，则PA的长为（ ）
A.6cm B.5cm C.4cm D.3cm
【答案】D
【解析】∵P为线段AB的垂直平分线上一点，PB＝3cm，
∴PA＝PB＝3cm，
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，若BD＝10，AC＝14，则AD的长为（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2
【答案】C
【解析】∵DE垂直平分BC，
∴DC＝DB＝10，
∵AC＝14，
∴AD＝AC﹣CD＝4．
故选：C．
【举一反三2】如图，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，AC＝9，AE：EC＝2：1，则点B到点E的距离是 ．
【答案】6
【解析】如图，连接BE．
∵AC＝9，AE：EC＝2：1，
∴AE9＝6，EC＝93，
∵DE垂直平分AB，
∴EA＝EB＝6．
故答案为：6．
【举一反三3】在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，若BG＝9，CE＝11，且△AEG的周长为16，求EG＝ ．
【答案】4
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，FG是AC的垂直平分线，
∴AE＝BE，AG＝CG，
∵△AEG的周长为16，
∴AE+AG+EG＝16，
∴BE+EG+CG＝16，
∴BC＝16，
∵BG＝9，CE＝11，
∴EG＝BG+CE﹣BC＝4，
故答案为：4．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为CE的中点，连接AD，此时∠CAD＝24°，∠ACB＝66°．求证：BE＝AC．
【答案】证明 连接AE，
∵∠ACB＝66°，∠DAC＝24°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣24°﹣66°＝90°，
∴AD⊥EC，
∵点D为CE的中点，
∴DE＝DC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC．
【举一反三5】如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝EC；
（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？
【答案】（1）证明 ∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解 ∵△ABC的周长为20cm，
∴AB+BC+AC＝20cm，
∵AC＝7cm，
∴AB+BC＝13cm，
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴AB+BD＝DE+EC＝DC，
∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm
∴．
【题型3】利用线段垂直平分线的性质求周长
【典型例题】如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD，则△ACD的周长是（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
【答案】A
【解析】∵AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD＝BD，
∵BC＝4，AC＝3，
∴CD+AD＝CD+BD＝BC＝4，
∴△ACD的周长为：4+3＝7．
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC中边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点D，E，AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，则△ABC的周长是（ ）
A.10cm B.12cm C.15cm D.17cm
【答案】C
【解析】∵AB的垂直平分AB，
∴AE＝BE，BD＝AD，
∵AE＝3cm，△ADC的周长为9cm，
∴△ABC的周长是9+2×3＝15cm，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，BC于E，D两点，EC＝3，△ABD的周长为9，则△ABC的周长为（ ）
A.6 B.12 C.15 D.18
【答案】C
【解析】∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，AE＝CE＝3，
∵△ABD的周长为9，
∴AB+BD+AD＝9，
∴AB+BD+DC＝9，
即AB+BC＝9，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝9+2×3＝15．
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，EF是AB边的垂直平分线，AC＝18cm，BC＝16cm，则△BCE的周长为
cm．
【答案】34
【解析】∵EF是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝18cm，BC＝16cm，
∴△BCE的周长是BC+CE+BE＝BC+CE+AE＝BC+AC＝34cm，
故答案为34．
【举一反三4】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝2cm，△ABD的周长为8cm，求△ABC的周长．
【答案】解 ∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝CE＝2cm，
∴AC＝AE+CE＝4cm，
∵△ABD的周长为8cm，
∴AB+AD+BD＝8cm，
∴AB+BD+CD＝8cm，
∴AB+BC＝8cm，
∴AB+BC+AC＝12cm，
∴△ABC的周长为12cm．
【举一反三5】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝10，△ABD的周长为18，求△ABC的周长．
【答案】解 ∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长是18，即AB+BD+AD＝18，
∴△ABC的周长为AB+BD+CD+AC＝AB+BC+AC＝18+10＝28，
∴△ABC的周长是28．
