2.1图形的轴对称
【题型1】判断是否为轴对称图形 4
【题型2】确定图形的对称轴 5
【题型3】根据轴对称的性质画轴对称图形或成轴对称的图形 6
【题型4】利用轴对称的性质求边长或角 8
【题型5】图形的翻折 9
【题型6】利用轴对称确定最短路径 12
【知识点1】生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 【知识点2】轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 1.（2024秋 霞山区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=96°，∠C′=46°，则∠B的度数为（ ） A．28°B．38°C．48°D．58°
2.（2024秋 东海县期中）下列说法中，正确的是（ ） A．两个全等三角形一定关于某直线对称B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D．关于某直线对称的两个图形是全等形
【知识点3】轴对称图形 （1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 1.（2025 碑林区校级模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．
2.（2025春 渭南期末）花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A．
风车纹B．
海棠纹C．
回纹D．
套方锦纹
【知识点4】镜面对称 1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 1.（204 曹县校级模拟）篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（ ） A．B．C．D．
【题型1】判断是否为轴对称图形
【典型例题】亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】2024年金华“5 18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三4】“葫芦娃，葫芦娃，一根藤上七朵花．…”看过《葫芦兄弟》的同学一定会唱．下图是葫芦娃从葫芦中出世的情景，图中的葫芦娃是 图形．
【举一反三5】下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是 ．（填序号）
【举一反三6】下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是 ．（填序号）
【举一反三7】“葫芦娃，葫芦娃，一根藤上七朵花．…”看过《葫芦兄弟》的同学一定会唱．下图是葫芦娃从葫芦中出世的情景，图中的葫芦娃是 图形．
【题型2】确定图形的对称轴
【典型例题】下列分子结构模型平面图中，只有一条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列各图中，对称轴条数最多的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【举一反三3】正五角星形共有 条对称轴．
【举一反三4】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．
【举一反三5】画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
根据上表，猜想正n边形有 条对称轴．
【题型3】根据轴对称的性质画轴对称图形或成轴对称的图形
【典型例题】下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称．
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【举一反三2】如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．
【举一反三3】如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 种画法．
【举一反三4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．
【题型4】利用轴对称的性质求边长或角
【典型例题】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A.100° B.90° C.50° D.30°
【举一反三1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（ ）
A.15° B.20° C.25° D.35°
【举一反三2】如图，△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC，∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B＝ ．
【举一反三3】如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为多少．
【举一反三4】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，已知∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝8．求∠F的度数和AC的长．
【题型5】图形的翻折
【典型例题】如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝α，则∠1的度数为（ ）
A.2α B.90°﹣α C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A.18° B.19° C.20° D.21°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE的度数为（ ）
A.45° B.135° C.25°或115° D.45°或105°
【举一反三3】小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1）；第二步，将四边形GFD'C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B′，折痕为HM（如图3）．
（1）若∠CEF＝20°，则∠EFD″＝ 度；
（2）若∠CFF＝17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′＝ 度．
【举一反三4】乐乐同学有张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图所示，最后折成的纸飞机如图所示，则∠AOB的度数为 °．
【举一反三5】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝60°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．
（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ ．
（2）如图②，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝110°，求∠B+∠C的度数．
（3）如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为 ．
【举一反三6】数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC，点M，N分别是边AC，BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC，点C的对应点为点D，且点D在直线AB的右侧．
（1）若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是 ．
（2）记∠1＝∠AMD，∠2＝∠BND，且∠1，∠2的度数均不为0，试通过折痕MN的变化，探索∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系．
【题型6】利用轴对称确定最短路径
【典型例题】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 米．
【举一反三1】如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，S△ABC＝10，AB＝4，则MN+MC的最小值为 ．
【举一反三2】作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
【举一反三3】直线l表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别为AC＝10km，BD＝50km，A、B两个村庄之间的距离为50km．有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水．设在河边的P点给马饮水，可以使得牧民所走的路程最短，试用作图的方法找出这个给马饮水的
到达B村？2.1图形的轴对称
【题型1】判断是否为轴对称图形 5
【题型2】确定图形的对称轴 8
【题型3】根据轴对称的性质画轴对称图形或成轴对称的图形 10
【题型4】利用轴对称的性质求边长或角 13
【题型5】图形的翻折 16
【题型6】利用轴对称确定最短路径 22
【知识点1】生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 【知识点2】轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 1.（2024秋 霞山区校级期中）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=96°，∠C′=46°，则∠B的度数为（ ） A．28°B．38°C．48°D．58°
【答案】B 【分析】根据△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则依据轴对称的性质，两三角形对应边对应角都相等得出∠C，再根据三角形内角和定理即可求得∠B． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∠C=∠C′=46°，
∴∠B=180°-∠A-∠C=38°．
故选：B． 2.（2024秋 东海县期中）下列说法中，正确的是（ ） A．两个全等三角形一定关于某直线对称B．等边三角形的高、中线、角平分线都是它的对称轴C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D．关于某直线对称的两个图形是全等形
【答案】D 【分析】根据轴对称的性质，等边三角形的轴对称性对各选项分析判断利用排除法求解． 【解答】解：A、两个全等三角形一定关于某直线对称错误，故本选项错误；
B、应为等边三角形的高、中线、角平分线所在的直线都是它的对称轴，故本选项错误；
C、应为两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧或直线与两图形相交，故本选项错误；
D、关于某直线对称的两个图形是全等形正确，故本选项正确．
故选：D． 【知识点3】轴对称图形 （1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 1.（2025 碑林区校级模拟）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史，下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 【解答】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D． 2.（2025春 渭南期末）花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，不是轴对称图形的是（ ） A．
风车纹B．
海棠纹C．
回纹D．
套方锦纹
【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．进行逐一判断即可． 【解答】解：A．原图形不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．原图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．原图形是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．原图形是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A． 【知识点4】镜面对称 1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果． 1.（204 曹县校级模拟）篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章．印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中的镂空部分）（ ） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】可看成镜面对称．镜子中看到的文字与实际文字是关于镜面成垂直的线对称． 【解答】解：易得“望”字应在左边，字以外的部分为镂空部分，故选D．
【题型1】判断是否为轴对称图形
【典型例题】亚运会会徽图案中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是轴对称，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称，不符合题意；
D、不是轴对称，不符合题意；
故选：A．
【举一反三1】2024年金华“5 18国际博物馆日”系列活动开幕式在金华市博物馆举办，下面四幅图是我市一些博物馆的标志，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、图片不是轴对称图形，符合题意；
B、图片是轴对称图形，不符合题意；
C、图片是轴对称图形，不符合题意；
D、图片是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．不是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【举一反三3】第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
【举一反三4】“葫芦娃，葫芦娃，一根藤上七朵花．…”看过《葫芦兄弟》的同学一定会唱．下图是葫芦娃从葫芦中出世的情景，图中的葫芦娃是 图形．
【答案】轴对称
【解析】由轴对称图形的概念可知，
图中的葫芦娃为轴对称图形．
故答案为：轴对称．
【举一反三5】下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【解析】由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．
第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．
故是轴对称图形的有①②③．
故答案为：①②③．
【举一反三6】下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【解析】由轴对称图形的概念可知第1个，第2个，第3个都是轴对称图形．
第4个不是轴对称图形，是中心对称图形．
故是轴对称图形的有①②③．
故答案为：①②③．
【举一反三7】“葫芦娃，葫芦娃，一根藤上七朵花．…”看过《葫芦兄弟》的同学一定会唱．下图是葫芦娃从葫芦中出世的情景，图中的葫芦娃是 图形．
【答案】轴对称
【解析】由轴对称图形的概念可知，
图中的葫芦娃为轴对称图形．
故答案为：轴对称．
【题型2】确定图形的对称轴
【典型例题】下列分子结构模型平面图中，只有一条对称轴的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．
根据图形可得：选项A有1条对称轴，选项B、C各有2条对称轴，选项D有6条对称轴．
故选：A．
【举一反三1】下列各图中，对称轴条数最多的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A．图形有3条对称轴；
B．图形有2条对称轴；
C．图形有2条对称轴；
D．图形有2条对称轴；
所以对称轴条数最多的是A．
故选：A．
【举一反三2】下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
【答案】A
【解析】①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；
③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；
④不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【举一反三3】正五角星形共有 条对称轴．
【答案】5
【解析】正五角星形共有5条对称轴．
故答案为：5．
【举一反三4】找出下列图形的所有的对称轴，并一一画出来．
【答案】解：所画对称轴如下所示：
【举一反三5】画图：试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格，
根据上表，猜想正n边形有 条对称轴．
【答案】解：如图，
故填3，4，5，6，7，n．
【题型3】根据轴对称的性质画轴对称图形或成轴对称的图形
【典型例题】下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】作△ABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项，
故选：B．
【举一反三1】如图，在3×3的正方形的网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC为格点三角形，在图中最多能画出（ ）个格点三角形与△ABC成轴对称．
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【答案】A
【解析】如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故选：A．
【举一反三2】如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．
【答案】5
【解析】与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形如图：
共5个．
【举一反三3】如图是由两个阴影的小正方形组成的图形，请你在空白网格中补画一个阴影的小正方形，使补画后的三个阴影图形为轴对称图形，共有 种画法．
【答案】5
【解析】根据轴对称图形可作如图所示：
共有5种画法，
故答案为：5．
【举一反三4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．
（1）画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
（2）求△ABC的面积．
【答案】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求．
（2）△ABC的面积为3×4．
【题型4】利用轴对称的性质求边长或角
【典型例题】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（ ）
A.100° B.90° C.50° D.30°
【答案】A
【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C＝30°，∠A＝50°，
∴∠C＝∠C′＝30°．
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（ ）
A.15° B.20° C.25° D.35°
【答案】C
【解析】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，
∴∠B＝∠B′＝110°，
又∵∠A＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC，∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B＝ ．
【答案】90°．
【解析】∵△ABC与△ADC关于AC所在直线为对称，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
又∵∠BAD+∠BCD＝180°，
∴∠BAC+∠BCA（∠BAD+∠BCD）＝90°，
∴∠B＝180°﹣90°＝90°．
故答案为：90°．
【举一反三3】如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为多少．
【答案】解：QR＝4.5cm，理由如下：
∵点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，
∴PM＝MQ，PN＝NR．
∵PM＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，
∴RN＝3cm，MQ＝2.5cm，NQ＝MN﹣MQ＝4﹣2.5＝1.5（cm）．
∴QR＝RN+NQ＝3+1.5＝4.5（cm）．
【举一反三4】如图，△ABC和△DEF关于直线l对称，已知∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝8．求∠F的度数和AC的长．
【答案】解：∵△ABC和△DEF关于直线l对称，∠A＝115°，∠E＝42°，DF＝8，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠D＝∠A＝115°，AC＝DF＝8，
在△DEF中，∠D＝115°，∠E＝42°
∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝23°．
【题型5】图形的翻折
【典型例题】如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E、F分别在边AB、CD上，将纸带沿EF折叠，点A、D的对应点分别为A'、D'，若∠2＝α，则∠1的度数为（ ）
A.2α B.90°﹣α C. D.
【答案】D
【解析】由折叠可得：∠AEF＝∠A'EF，
∴，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB∥CD，
∴，
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）
A.18° B.19° C.20° D.21°
【答案】C
【解析】∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝100°，
∵将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，
∴∠ACN＝∠A＝30°，∠FCE＝∠B＝50°，
∴∠NCF＝100°﹣30°﹣50°＝20°，
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝70°，D是AB的中点，点E是边AC上一动点，将△ADE沿DE翻折，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时，则∠ADE的度数为（ ）
A.45° B.135° C.25°或115° D.45°或105°
【答案】C
【解析】当点A′在AC上方时，如图所示，
∵A′E∥BC，
∴∠A′EA＝∠C＝90°，
由翻折可知，
∠A′ED＝∠AED，
∴∠AED．
∵∠A＝90°﹣70°＝20°，
∴∠ADE＝180°﹣45°﹣20°＝115°．
当点A′在AC下方时，如图所示，
∵A′E∥BC，
∴∠A′EA＝∠C＝90°，
由翻折可知，
∠A′ED＝∠AED，
∴∠AED，
又∵∠A＝20°，
∴∠ADE＝180°﹣135°﹣20°＝25°．
综上所述，∠ADE的度数为：25°或115°．
故选：C．
【举一反三3】小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1）；第二步，将四边形GFD'C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B′，折痕为HM（如图3）．
（1）若∠CEF＝20°，则∠EFD″＝ 度；
（2）若∠CFF＝17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′＝ 度．
【答案】（1）120；（2）34
【解析】（1）由翻折可知，
∠C′EF＝∠CEF＝20°．
又D′F∥C′E，
∴∠C′EF+∠D′FE＝180°．
∴∠D′FE＝160°．
又AD∥BC，
∴∠AFE＝∠FEC＝20°，
∴∠GFD′＝160°﹣20°＝140°．
又由第二次翻折，
得∠GFD′′＝∠GFD′＝140°．
∴∠EFD′＝140°﹣20°＝120°．
故答案为：120．
（2）过程同第（1）题，可求得∠GFD′＝146°．
又GC′∥FD′，
∴∠GFD′+∠C′GF＝180°．
∴∠C′GF＝34°．
又A′H∥C′′G，AG∥BE．
∴∠GHA′＝∠C′GF＝34°．
同理∠EMB′＝∠GHA′＝34°．
故答案为：34．
【举一反三4】乐乐同学有张长方形纸片折纸飞机，折叠过程如图所示，最后折成的纸飞机如图所示，则∠AOB的度数为 °．
【答案】45°
【解析】由折叠可知：∠NMC＝90°，
对折后，得到∠DEF＝45°，
继续折叠后，得到，
∴∠AOB＝22.5°+22.5°＝45°，
故答案为：45．
【举一反三5】折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，∠A＝60°，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1﹣∠2）与∠A的数量关系．
（1）如图①，若沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝ ．
（2）如图②，翻折后，点A落在点A′处，若∠1+∠2＝110°，求∠B+∠C的度数．
（3）如图③，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为 ．
【答案】解：（1）∵∠A＝60°
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣60°＝120°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠AED＝240°，
故答案为：240°．
（2）连接AA′，如图所示：
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∴∠1+∠2＝∠DAA′+∠DA′A+∠EAA′+∠EA′A＝∠EAD+∠EA′D，
∵∠EAD＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝2∠EAD＝110°，
∴∠EAD＝55°，
∴∠B+∠C＝180°﹣55°＝125°．
（3）如图，设AB与DA′交于点F，
，
∵∠1＝∠DFA+∠A，∠DFA＝∠2+∠A′，
由折叠可得，∠A＝∠A′，
∴∠1＝∠A+∠A′+∠2＝2∠A+∠2，
又∵∠1＝80°，∠2＝28°，
∴80°＝2∠A+28°，
∴∠A＝26°，
故答案为：26°．
【举一反三6】数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC，点M，N分别是边AC，BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC，点C的对应点为点D，且点D在直线AB的右侧．
（1）若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是 ．
（2）记∠1＝∠AMD，∠2＝∠BND，且∠1，∠2的度数均不为0，试通过折痕MN的变化，探索∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系．
【答案】解：（1）由折叠的性质可得∠C＝∠CDM，
∵∠1＝∠C+∠CDM，
∴∠1＝2∠C，即∠1＝2∠ACB，
故答案为：∠1＝2∠ACB；
（2）由折叠的性质可得∠DMN＝∠CMN，∠DNM＝∠CNM，∠D＝∠ACB，
∵∠DMN+∠CMN+∠1＝180°，∠DNM+∠CNM+∠2＝180°，
∴2∠CMN+2∠CNM+∠1+∠2＝360°，
∵∠D+∠DMN+∠DNM+∠CMN+∠CNM+∠C＝360°，
∴2∠ACB+2∠CMN+2∠CNM＝360°
∴∠1+∠2＝2∠ACB．
【题型6】利用轴对称确定最短路径
【典型例题】如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC＝BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是 米．
【答案】1000
【解析】作出A的对称点A′，连接A′B与CD相交于M，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是A′B的长．
由题意：AC＝BD，所以A′C＝BD，
所以CM＝DM，M为CD的中点，
易得△A′CM≌△BDM，
∴A′M＝BM
由于A到河岸CD的中点的距离为500米，
所以A′到M的距离为500米，
A′B＝2A′M＝1000米．
故最短距离是1000米．
【举一反三1】如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，S△ABC＝10，AB＝4，则MN+MC的最小值为 ．
【答案】5
【解析】作N点关于BD的对称点N'，连接CN'，过C作CE⊥AB于点E，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴N'必在AB上，
∴MN+MC＝MN'+CM≥CN'≥CE，
∴当CN'＝CE时，MN+MC的值最小，
∵S△ABC＝10，AB＝4，
∴AB CE＝10，
∴CE＝5，
∴MN+MC的最小值是5，
故答案为：5．
【举一反三2】作图：（不写作法，但要保留作图痕迹）
如图所示，要在街道旁修建一个牛奶站，向居民区A、B提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短．
【答案】解：作图如图：
牛奶站应建在C点，才能使A、B到它的距离之和最短．
【举一反三3】直线l表示草原上一条河，在附近有A、B两个村庄，A、B到l的距离分别为AC＝10km，BD＝50km，A、B两个村庄之间的距离为50km．有一牧民骑马从A村出发到B村，途中要到河边给马饮一次水．设在河边的P点给马饮水，可以使得牧民所走的路程最短，试用作图的方法找出这个给马饮水的
到达B村？
【答案】解：作图如下：
