2.1图形的轴对称同步练习

2.1图形的轴对称同步练习
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016?台州）小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
2．（2016?枣庄）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
3．（2016?马山县二模）如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，∠1=（　　）度．
A．55 B．65 C．70 D．75
4．（2016?普宁市模拟）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016，到BC的距离记为h2016．若h1=1，则h2016的值为（　　）
A． B．1﹣ C． D．2﹣
5．（2016?山西模拟）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2a，则纸片的剩余部分的面积为 （　　）
A．5a B．4a C．3a D．2a
6．（2016春?枝江市期中）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打2个洞，则纸片展开后是（　　）
A． B． C． D．
7．（2016?安徽模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（　　）
A． B． C． D．
8．（2016春?沛县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，下列结论一定成立的是（　　）
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
9．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
　
二．填空题（共6小题）
11．（2016?迁安市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为　　　　．
12．（2016春?开江县期末）如图，把宽为3cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，若△PFH的周长为16cm，则长方形ABCD的面积为　　　　．
13．（2016春?黔南州期末）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，CE=3，则DE=　　　　．
14．（2016春?无锡期中）如图，△ABC中，∠A=30°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB=84°，则原三角形的∠ABC的度数为　　　　．
15．如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上，连结BD，将△ABC沿BD翻折后，若点C恰好落在AB边上的点E处，则△ADE的周长为　　　　．
　
16．（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
…
（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式　　　　．
17．如图，三角形ABC沿着直线MN折叠后，与三角形DEF完全重合．
（1）三角形ABC与三角形DEF关于直线　　　　对称，直线MN是　　　　；
（2）点B的对称点是　　　　；
（3）线段AD被直线　　　　垂直平分，线段BE被　　　　垂直平分；
（4）PC=　　　　，PD=　　　　．
三、解答题（共8小题）
18．（2016春?郑州期末）如图，在正方形网格上有一个△DEF．
（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形△ABC（不写作法）；
（2）作EF边上的高（不写作法）；
（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．
19．（2016?江西）（1）解方程组：．
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．
20．（2016春?湘潭期末）如图，已知AB=AC=5，BC=3，将BC沿BD所在的直线折叠，使点C落在AB边上的E点处，求三角形AED的周长．【来源：21cnj*y.co*m】
21．（2016?北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：　　　　，这条性质可用符号表示为：　　　　；
（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．
22．如图所示，已知∠AOB为30°，点P在∠AOB内部，OP为10厘米，试在AOB两边上各找一点Q，R（均不与点O重合），求PR+PQ+QR的最小值．21*cnjy*com
23．作图：
（1）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
（2）如图：已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走路程最短，请在图中作出该点Q的位置．
24．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1=∠2；②△ANC≌△AMB；③CD=DN，
其中正确的结论是　　　　（填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．
25．如图，已知A，B两点在直线1的同侧，点A′与A关于直线l对称，连接A′B交l于点P．若A′B=a．
（1）求AP+PB．
（2）若点M是直线l上异于点P的任意一点，求证：AM+MB＞AP+PB．
　

2.1图形的轴对称同步练习
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016?台州）小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
【分析】由折叠得出四个角相等的四边形是矩形，再由一组邻边相等，即可得出四边形是正方形．
【解答】解：小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了2次；理由如下：
小红把原丝巾对折1次（共2层），如果原丝巾对折后完全重合，即表明它是矩形；
沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，因此是正方形；
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的判定、正方形的判定；熟练掌握翻折变换和正方形的判定是解决问题的关键．21·世纪*教育网
　
2．（2016?枣庄）如图，△ABC的面积为6，AC=3，现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是（　　）
A．3 B．4 C．5.5 D．10
【分析】过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，根据折叠得出∠C′AB=∠CAB，根据角平分线性质得出BN=BM，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
【解答】解：如图：
过B作BN⊥AC于N，BM⊥AD于M，
∵将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C′处，
∴∠C′AB=∠CAB，
∴BN=BM，
∵△ABC的面积等于6，边AC=3，
∴×AC×BN=6，
∴BN=4，
∴BM=4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴BP的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选A．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
　
3．（2016?马山县二模）如图所示，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，∠1=（　　）度．
A．55 B．65 C．70 D．75
【分析】由平行线的性质可求得∠DEF的度数，然后依据翻折的性质可求得∠GEF的度数，最后依据∠1=180°﹣∠DEG求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴AD∥BC．
∴∠DEF=∠EFG=55°．
∵由翻折的性质可知：∠DEF=∠GED=55°，
∴∠DEG=110°．
∴∠1=180°﹣∠DEG=180°﹣110°=70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、平行线的性质的应用，熟练掌握相关性质是解题的关键．
　
4．（2016?普宁市模拟）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016，到BC的距离记为h2016．若h1=1，则h2016的值为（　　）
A． B．1﹣ C． D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣，h3=2﹣×=2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣，求得结果h2016=2﹣．
【解答】解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2，
∴h1=2﹣1=1，
同理，h2=2﹣，h3=2﹣×=2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣．
∴h2016=2﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
　
5．（2016?山西模拟）如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为2a，则纸片的剩余部分的面积为 （　　）21·cn·jy·com
A．5a B．4a C．3a D．2a
【分析】如图所示可将正六边形分为6个全等的三角形，阴影部分由两个三角形组成，剩余部分由4个三角形组成，故此可求得剩余部分的面积．21cnjy.com
【解答】解：如图所示：
将正六边形可分为6个全等的三角形，
∵阴影部分的面积为2a，
∴每一个三角形的面积为a，
∵剩余部分可分割为4个三角形，
∴剩余部分的面积为4a．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是图形的剪拼，将正六边形分割为六个全等的三角形是解题的关键．
　
6．（2016春?枝江市期中）如图所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打2个洞，则纸片展开后是（　　）
A． B． C． D．
【分析】依据展开后图形中洞的个数进行判断即可．
【解答】解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在上面打2个洞，展开图中共有8个洞．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，依据展开后正方形上洞的个数判断即可．
　
7．（2016?安徽模拟）如图，四边形ABCD是矩形，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交CD于点F．连接DE，则DF的长是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由四边形ABCD是矩形与△AEC由△ABC翻折得到，AD=CE，∠ADF=∠CEF，由AAS证得△ADF≌△CEF，的长FA=FC，设DF=x，则FA=4﹣x，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，即可求出DF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=DC=4，∠ADF=90°，∵△AEC由△ABC翻折得到，
∴BC=EC，∠CEF=∠ABC=90°，
∴AD=CE，∠ADF=∠CEF，
在△ADF与△CEF中，
，
∴△ADF≌△CEF（AAS），
∴FA=FC，
设DF=x，则FA=FC=DC﹣DF=4﹣x，
在Rt△DFA中，由勾股定理得：DA2+DF2=AF2，
即32+x2=（4﹣x）2，
解得：x=，
即DF的长是．
故选C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质，得到相等的线段与角是解决问题的关键．
　
8．（2016春?沛县期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，下列结论一定成立的是（　　）21教育网
A．∠A=∠1+∠2 B．2∠A=∠1+∠2 C．3∠A=2∠1+∠2 D．3∠A=2（∠1+∠2）
【分析】延长BE、CD相交与点A′，四边形的内角和为360°及翻折的性质，就可求出2∠A=∠1+∠2这一始终保持不变的性质．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：延长BE、CD相交与点A′．
∵在四边形ADA′E中，∠A+∠A′+∠ADA′+∠AEA′=360°，
∴2∠A+180°﹣∠2+180°﹣∠1=360°，
∴2∠A=∠1+∠2．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是翻折变换、四边形的内角和是360°，掌握此类辅助线的作法是解题的关键．
　
9．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据图形翻折变换的性质及角平分线的定义对各选项进行逐一判断．
【解答】解：A．当长方形如A所示对折时，其重叠部分两角的和中，一个顶点处小于90°，另一顶点处大于90°，故A错误；www.21-cn-jy.com
B．当如B所示折叠时，其重叠部分两角的和小于90°，故B错误；
C．当如C所示折叠时，折痕不经过长方形任何一角的顶点，所以不可能是角的平分线，故C错误；
D．当如D所示折叠时，两角的和是90°，由折叠的性质可知其折痕必是其角的平分线，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的定义及图形折叠的性质，熟知图形折叠的性质是解答此题的关键．
　
10．如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合及正方形的对称轴是两条对角线所在的直线和两组对边的垂直平分线，得出结果．
【解答】解：在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形．
故选：C．
【点评】考查了利用轴对称设计图案，此题要首先找到大正方形的对称轴，然后根据对称轴，进一步确定可以涂黑的正方形．2-1-c-n-j-y
　
二．填空题（共6小题）
11．（2016?迁安市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为　36cm　．【版权所有：21教育】
【分析】根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长．
【解答】解：根据折叠的性质，得
A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF．
则阴影部分的周长=矩形的周长=2（12+6）=36（cm）．
【点评】此题要能够根据折叠的性质得到对应的线段相等，从而求得阴影部分的周长．
　
12．（2016春?开江县期末）如图，把宽为3cm的纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，若△PFH的周长为16cm，则长方形ABCD的面积为　48cm2　．
【分析】先依据翻折的性质求得矩形的长，然后在依据矩形的面积公式求解即可．
【解答】解：由翻折的性质可知：BF=PF，PH=CH．
∵△PFH的周长为16cm，
∴BF+FH+HC=16，即BC=16cm．
∴S矩形ABCD=AB?BC=16×3=48cm2．
故答案为：48cm2．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，依据翻折的性质将△PFH的周长转化为CB的长是解题的关键．
　
13．（2016春?黔南州期末）如图，把一张矩形的纸沿对角线BD折叠，若AD=8，CE=3，则DE=　5　．21教育名师原创作品
【分析】如图所示，先证明∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8，然后由平行线的性质得到∠EDB=∠DBC，从而可证明∠EBD=∠EDB，于是得到ED=BE，从而可求得答案．
【解答】解：如图所示：
由翻折的性质可知：∠CBD=∠C′BD，BC=BC′=AD=8．
∵四边形ABC′D是矩形，
∴AD∥BC′．
∴∠EDB=∠DBC．
∴∠EBD=∠EDB．
∴ED=BE．
∴DE=BE=BC﹣EC=8﹣3=5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，矩形的性质、等腰三角形的判定，证得BE=ED是解题的关键．
　
14．（2016春?无锡期中）如图，△ABC中，∠A=30°，沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，此时∠C′DB=84°，则原三角形的∠ABC的度数为　81°　．
【分析】先根据折叠的性质得∠1=∠2，∠2=∠3，∠CDB=∠C′DB=84°，则∠1=∠2=∠3，即∠ABC=3∠3，根据三角形内角和定理得∠3+∠C=96°，在△ABC中，利用三角形内角和定理得∠A+∠ABC+∠C=180°，则30°+2∠3+96°=180°，可计算出∠3=27°，即可得出结果．
【解答】解如图，∵△ABC沿BE将此三角形对折，又沿BA′再一次对折，点C落在BE上的C′处，
∴∠1=∠2，∠2=∠3，∠CDB=∠C′DB=84°，
∴∠1=∠2=∠3，
∴∠ABC=3∠3，
在△BCD中，∠3+∠C+∠CDB=180°，
∴∠3+∠C=180°﹣84°=96°，
在△ABC中，
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴30°+2∠3+（∠3+∠C）=180°，
即30°+2∠3+96°=180°，
∴∠3=27°，
∴∠ABC=3∠3=81°，
故答案为81°．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及三角形内角和定理的应用等知识；熟练掌握折叠的性质，得出∠ABC和∠CBD的倍数关系是解决问题的关键．
　
15．如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=5，点D在AC上，连结BD，将△ABC沿BD翻折后，若点C恰好落在AB边上的点E处，则△ADE的周长为　7　．
【分析】由翻折的性质可知：DC=DE，BC=EB，于是可得到AD+DE=5，AE=2，故此可求得△ADE的周长为7．
【解答】解：∵由翻折的性质可知：DC=DE，BC=EB=6．
∴AD+DE=AD+DC=AC=5，AE=AB﹣BE=AB﹣CB=8﹣6=2．
∴△ADE的周长=5+2=7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质，根据翻折的性质求得AD+DE=5，AE=2是解题的关键．
　
16．（1）请找出下图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表．
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
…
（2）请写出正多边形的对称轴的条数y随正多边形的边数n（n≥3）变化的关系式　y=n　．
【分析】（1）观察出正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴，再分别画出正6、8边形的对称轴即可推出答案；2·1·c·n·j·y
（2）根据正三角形的对称轴有3条，正方形有4条对称轴，正5边形有5条对称轴等等，即可找出规律﹣﹣正多边形得边数和对称轴的条数相等，即可写出答案．
【解答】答（1）
正多边形的边数
3
4
5
6
8
…
对称轴的条数
3
4
5
6
8
…
故答案为：6，8．
解：（2）y=n（n≥3）
故答案为：y=n．
【点评】本题主要考查学生的画图能力和观察能力，能根据已知和（1）总结出规律是解此题的目的．
　
17．如图，三角形ABC沿着直线MN折叠后，与三角形DEF完全重合．
（1）三角形ABC与三角形DEF关于直线　MN　对称，直线MN是　对称轴　；
（2）点B的对称点是　点E　；
（3）线段AD被直线　MN　垂直平分，线段BE被　MN　垂直平分；
（4）PC=　PF　，PD=　PA　．
【分析】（1）根据三角形ABC沿着直线MN折叠后，与三角形DEF完全重合，可得三角形ABC与三角形DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴；　　21*cnjy*com
（2）根据点B与点E连成的线段BE被直线MN垂直平分，可得点B的对称点是点E；
（3）首先判断出点A的对应点是点D，点B的对应点是点E，然后根据对应点所连的线段被对称轴垂直平分，可得线段AD被直线MN垂直平分，线段BE被MN垂直平分；
（4）根据线段垂直平分线的性质，可得PC=PF，PD=PA．
【解答】解：（1）三角形ABC与三角形DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴；
（2）点B的对称点是点E；
（3）线段AD被直线MN垂直平分，线段BE被MN垂直平分；
（4）PC=PF，PD=PA．
故答案为：MN、对称轴；点E；MN、MN；PF、PA．
【点评】（1）此题主要考查了轴对称的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①对应点所连的线段被对称轴垂直平分；②对应线段相等，对应角相等．
（2）此题还考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
　三、解答题（共8小题）
18．（2016春?郑州期末）如图，在正方形网格上有一个△DEF．
（1）作△DEF关于直线HG的轴对称图形△ABC（不写作法）；
（2）作EF边上的高（不写作法）；
（3）若网格上的最小正方形边长为1，求△DEF的面积．
【分析】（1）分别作出点D、E、F关于直线HG对称的点，然后顺次连接；
（2）过点D作DM垂直于直线FE的延长线于点M，然后连接DM；
（3）根据三角形的面积公式×底×高即可求解．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
△ABC即为所作图形；
（2）所作图形如图所示：
DM即为EF边上的高；
（3）S△DEF=×3×2=3．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
　
19．（2016?江西）（1）解方程组：．
（2）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．求证：DE∥BC．【来源：21·世纪·教育·网】
【分析】（1）根据方程组的解法解答即可；
（2）由翻折可知∠AED=∠CED=90°，再利用平行线的判定证明即可．
【解答】解：（1），
①﹣②得：y=1，
把y=1代入①可得：x=3，
所以方程组的解为；
（2）∵将Rt△ABC向下翻折，使点A与点C重合，折痕为DE．
∴∠AED=∠CED=90°，
∴∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，涉及到平行线的判定，熟知折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
　
20．（2016春?湘潭期末）如图，已知AB=AC=5，BC=3，将BC沿BD所在的直线折叠，使点C落在AB边上的E点处，求三角形AED的周长．【出处：21教育名师】
【分析】根据折叠可得BC=BE，CD=ED，再由AB=AC=5，BC=3可求出AE的长，再利用等量代换可得求出三角形AED的周长．
【解答】解：由已知得，BC=BE，CD=ED，
∵AB=AC=5，BC=3，
∴AE=AB﹣BE=5﹣3=2．
∵三角形AED的周长为AD+DE+AE，
∴三角形AED的周长为AD+CD+AE=AC+AE=5+2=7．
【点评】此题主要考查了折叠变换，关键是找准折叠后哪些边是对应相等的．
　
21．（2016?北京一模）如图1，四边形ABCD中，AB=AD，BC=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．请探究“筝形”的性质和判定方法．小聪根据学习四边形的经验，对“筝形”的判定和性质进行了探究．
下面是小聪的探究过程，请补充完整：
（1）如图2，连接筝形ABCD的对角线AC，BD交于点O，通过测量边、角或沿一条对角线所在直线折叠等方法探究发现筝形有一组对角相等，请写出筝形的其他性质（一条即可）：　对角线互相垂直　，这条性质可用符号表示为：　已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD．　；
（2）从边、角、对角线或性质的逆命题等角度进行探究，写出筝形的一个判定方法（定义除外），并证明你的结论．
【分析】（1）根据筝形的定义可以证明△BAC≌△DAC，依据全等三角形的性质即可证得边和对角线的关系；
（2）利用△BAC≌△DAC，根据边、角、对角线的性质证得．
【解答】解：（1）筝形的性质：两组邻边分别相等；
对角线互相垂直，即已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；
有一条对角线被另一条平分；
有一条对角线平分对角；
是轴对称图形．（写出一条即可）；
故答案是：对角线互相垂直；已知四边形ABCD是筝形，则AC⊥BD；
（2）筝形的判定方法：有一条对角线平分一组对角的四边形是筝形．
已知：四边形ABCD中，AC是一条对角线，∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA．
求证：四边形ABCD是筝形．
证明：在△BAC和△DAC中，
，
∴△BAC≌△DAC，
∴AB=AD，BC=CD，即四边形ABCD是筝形．
其他正确的判定方法：
有一条对角线垂直平分令一条对角线的四边形是筝形；
有一组邻边相等且互相垂直的四边形是筝形．
【点评】本题考查了图形的对称以及全等三角形的判定，正确证明△BAC≌△DAC是解决本题的关键．
　
22．如图所示，已知∠AOB为30°，点P在∠AOB内部，OP为10厘米，试在AOB两边上各找一点Q，R（均不与点O重合），求PR+PQ+QR的最小值．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于Q，交OB于R，△PQR的周长=P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于Q，交OB于R，
则OP1=OP=OP2，∠P1OA=∠POA，∠POB=∠P2OB，
QP=P1Q，PR=P2R，则PR+PQ+QR的最小值=△PQR的周长的最小值=P1P2
∴∠P1OP2=2∠AOB=60°，
∴△OP1P2是等边三角形．
△PMN的周长=P1P2，
∴PR+PQ+QR的最小值=P1P2=OP1=OP2=OP=10．
【点评】本题考查了对称点的性质，正确正确作出辅助线，证明△OP1P2是等边三角形是关键．
　
23．作图：
（1）如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．
（2）如图：已知直线m是一条小河，有一牧马人准备从A处牵马去河边饮水，然后返回B处，马在何处饮水才能使所走路程最短，请在图中作出该点Q的位置．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得CD的垂直平分线，根据角平分线的性质，可得角平分线，线段垂直平分线与角平分线的交点，可得答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质，可得B点的对称点，根据线段的性质，可得交点的位置．
【解答】解；（1）如图1：作∠AOB的角平分线，作CD的垂直平分线，交点坐标即为P点．
；
（2）如图2：作B点关于m的对称点，连接AB′，交m于Q，马在Q饮水才能使所走路程最短．
【点评】本题考查了轴对称，利用了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，线段的性质．
　
24．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1=∠2；②△ANC≌△AMB；③CD=DN，
其中正确的结论是　①②　（填序号）；选个你比较喜欢的结论加以说明．
【分析】首先利用轴对称的性质分别判断正误，然后选择一个进行证明即可．
【解答】解：①∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠MAD=∠NAD，∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD﹣∠MAD=∠FAD﹣∠NAD，
即：∠1=∠2，故正确；
②∵Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，
∴∠B=∠C，AC=AB，
在△ANC与△AMB中，
∴△ANC≌△AMB，故正确；
③易得：CD=BD，
但在三角形DNB中，DN不一定等于BD，
故错误．
故答案为：①②．
【点评】本题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
　
25．如图，已知A，B两点在直线1的同侧，点A′与A关于直线l对称，连接A′B交l于点P．若A′B=a．
（1）求AP+PB．
（2）若点M是直线l上异于点P的任意一点，求证：AM+MB＞AP+PB．
【分析】（1）由轴对称的性质可知：PA=PA′，从而可求得答案；
（2）由两点之间线段最短进行证明即可．
【解答】解：（1）∵点A′与A关于直线l对称，
∴PA=PA′．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a．
（2）∵点A′与A关于直线l对称，
∴MA=MA′．
∴AM+BM=MA′+MB．
由（1）可知：AP+PB=A′B
由两点之间线段最短可知：MA′+MB＞A′B，即AM+MB＞AP+PB．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质和线段的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键．