一元一次不等式（组）的几何应用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根，
根据三角形的三边关系定理得到：
解得：，，，
又因为，是正整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：x=，y=5；x=3，y=4；x=3，y=5；x=4，y=4；x=4，y=5；x=5，y=5．
则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2．
因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4，共三种情况。
故答案为：C．
【分析】本题首先假设出摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根，然后根据三角形的三边关系定理，即“两边之和大于第三边”，可以得到三个不等式，联立不等式组从而求出三边满足的条件，最后根据三边长是正整数，分析试探即可求出答案。
2．（2025八上·信都期末）如图，，点A在上，且，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧，交于点A1，得到第1条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第2条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第3条线段．
……这样画下去，直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；用代数式表示图形变化规律；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：当画出1条线段时：∵，∴，
∴，
当画出2条线段时：∵，
∴，
∴，
同理可得：当画出3条线段时：，
……
当画出n条线段时：，
∵直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再根据 直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了 ，可得出，解不等式即可得出答案。
二、填空题
3．（2025八上·珠海月考）设三边长分别为，则 ．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴
【分析】根据三角形三边关系可得，再根据绝对值性质化简即可求出答案.
4． 把16根火柴首尾相接，围成一个长方形(不包括正方形)，那么最多能围出不同形状的长方形 个.
【答案】3
【知识点】一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设所围长方形的长所用的火柴根数为x，则宽为（8-x）
则 x>8-x，得 x>4，
由题意知 x<8
4x为整数
长边所用的火柴数可为5、6、7， 则最多能围出不同形状的长方形3个。
故答案为：3。
【分析】根据长方形的长大于宽，由此列出不等式求解分析解答可得答案。
5．（2024八下·庄浪期末）如图，函数和（且a为常数）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图象可以看出，当时，函数在函数 的上方，即；
当时，函数在函数 的下方，即；
因此关于的不等式的解集为。
故答案为：．
【分析】本题主要考查从图像来判断不等式的解集。
首先从图像和条件可以看出，A点是两个函数的交点，然后分析当在交点左侧和右侧，对应的函数值的大小，最后即可得出答案。
三、解答题
6．（2025·义乌开学考）
（1） 已知 ，，求 ab 与 的值；
（2） 已知 的三边分别是 a， b， c，化简代数式：.
【答案】（1）解：∵a+b=4，a2+b2=8.
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab=16.
∴ab=4
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=16-16=0
（2）解：∵a、b、c是△ABC的三边
∴a+b>c，b+c>a，a+c>b，
∴|a+b-c|-|c-a+b|-|b-c-a|+|b-a-c|
=(a+b-c)-(c+b-a)+(b-c-a)-(b-a-c)
=a+b-c-c-b+a+b-c-a-b+a+c
=2a-2c.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式即可求解；
(2)根据三角形的三边关系定理得出a+b>c，b+c>a，a+c>b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可.
7．（2025八上·诸暨月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线、上．
活动一：如图1所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”）
（2）设＝＝，＝ °．
（3）活动二：如图2所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且＝．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，则＝ ；（用含的式子表示）
（4）若，则最多能放 根小棒.
【答案】（1）能
（2）22.5°
（3）
（4）8
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；用代数式表示几何图形的数量关系；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵ ，小棒在端点处互相垂直且两端分别在两射线上，
∴小棒能继续摆下去，
故答案为：能；
（2）∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A1A2A3=90°，∠A2A1A3=45°，
∵AA1=A1A2，
∴∠AA2A1=∠A，
∵∠AA2A1+∠A=∠A2A1A3，，
∴= ∠A2A1A3=22.5°，
故答案为：22.5°；
（3）∵AA1=A1A2，，
∴∠AA2A1=∠A=，
∴∠A2A1A3=∠AA2A1+∠A=2，
即θ1=2，
同理可得：，
故答案为：；
（4）设最多能放n根小棒，根据前面的规律可知，第n个角为，
∵小棒两端分别在两射线上，
∴＜90°，
当=10°时，（n+1）×10°＜90°，
解得：n＜8，
∵n为正整数，
∴n=8，即最多能放8根小棒，
故答案为：8.
【分析】（1）根据射线的特点和小棒的摆放条件：两端在射线上且端点互相垂直，小棒就可以无限摆放；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可得出答案；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可找出各角之间的关系，进而得出答案；
（4）根据（3）中得出的规律：第n个角为，再结合=10°，列出不等式，求解即可.
8．阅读下面的分解因式的过程：
=(p+q+1)(p+q-1).
利用上述分解因式的方法证明：
如果a，b，c是△ABC的三条边的长，那么
【答案】证明： (a+b-c)(a-b-c).
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b-c>0，a-b-c<0，
∴(a+b-c)(a-b-c)<0，
【知识点】三角形三边关系；因式分解-分组分解法；不等式的性质
【解析】【分析】根据因式分解可得=(a+b-c)(a-b-c)，再根据三角形三边关系可得a+b-c>0，a-b-c<0，结合不等式的性质即可求出答案.
9．用若干张规格为6 dm×6 dm的大纸板裁成图(1)所示的 A 型长方形纸板和B 型正方形纸板，再利用A，B型纸板制作成图(2)所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒.已知一张大纸板恰好可以裁成6张 A 型纸板或9张 B 型纸板.
（1）制作一个横式纸盒需要 A 型纸板 张，制作一个竖式纸盒需要 A 型纸板 张.
（2）若用8张大纸板裁A 型纸板，用3 张大纸板裁B型纸板，且裁成的A，B两种型号纸板恰好都用完，求制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个.
（3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，且可用于剪裁的大纸板不超过18 张，求m的最大值.
（4）如果要用20张大纸板剪裁后再制作成横式纸盒，那么在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个.
【答案】（1）3；4
（2）解：设制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个.根据题意，得 解得
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个
（3）解：根据题意，得 解得m≤12，所以m的最大值为12
（4）27
【知识点】一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)由题可得，制作一个横式纸盒需要 A型纸板3张和B 型纸板2张，制作一个竖式纸盒需要 A 型纸板4张和 B 型纸板1张.
故答案为：3，4.
(4)设制作横式纸盒t个.因为1 个横式纸盒需要3张A型纸板和2张B 型纸板，所以 解得 因为t为正整数，所以在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个.
故答案为：27.
【分析】(1)根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒可得答案；
(2)根据题意可以列出相应的二元一次方程组，即可求解；
(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得m的最大值；
(4)根据题意可以列出相应的不等式，即可解答本题.
10．（2024八上·金东期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米．
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值．
【答案】解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图，过点B作于点G，
则，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
，
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形，
，米，
设米，则米，
长方形的面积（平方米），
的面积（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
由题意得：，
解得：，
故长度的最大值为米．
【知识点】全等三角形的实际应用；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论；
任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果．
1 / 1一元一次不等式（组）的几何应用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·期中）用12根火柴棒（等长）拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余．重叠和折断，能摆出不同的三角形的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025八上·信都期末）如图，，点A在上，且，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧，交于点A1，得到第1条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第2条线段．
以为圆心，1为半径向右画弧，交于点，得到第3条线段．
……这样画下去，直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则（ ）
A．15 B．14 C．13 D．12
二、填空题
3．（2025八上·珠海月考）设三边长分别为，则 ．
4． 把16根火柴首尾相接，围成一个长方形(不包括正方形)，那么最多能围出不同形状的长方形 个.
5．（2024八下·庄浪期末）如图，函数和（且a为常数）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为 ．
三、解答题
6．（2025·义乌开学考）
（1） 已知 ，，求 ab 与 的值；
（2） 已知 的三边分别是 a， b， c，化简代数式：.
7．（2025八上·诸暨月考）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设．现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别在射线、上．
活动一：如图1所示，从点开始，依次向右摆放小棒，使小棒在端点处互相垂直，为第1根小棒．
数学思考：
（1）小棒能无限摆下去吗？答： ；（填“能”或“不能”）
（2）设＝＝，＝ °．
（3）活动二：如图2所示，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第1根小棒，且＝．
数学思考：
若已经摆放了3根小棒，则＝ ；（用含的式子表示）
（4）若，则最多能放 根小棒.
8．阅读下面的分解因式的过程：
=(p+q+1)(p+q-1).
利用上述分解因式的方法证明：
如果a，b，c是△ABC的三条边的长，那么
9．用若干张规格为6 dm×6 dm的大纸板裁成图(1)所示的 A 型长方形纸板和B 型正方形纸板，再利用A，B型纸板制作成图(2)所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒.已知一张大纸板恰好可以裁成6张 A 型纸板或9张 B 型纸板.
（1）制作一个横式纸盒需要 A 型纸板 张，制作一个竖式纸盒需要 A 型纸板 张.
（2）若用8张大纸板裁A 型纸板，用3 张大纸板裁B型纸板，且裁成的A，B两种型号纸板恰好都用完，求制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个.
（3）如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为m个，且可用于剪裁的大纸板不超过18 张，求m的最大值.
（4）如果要用20张大纸板剪裁后再制作成横式纸盒，那么在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个.
10．（2024八上·金东期中）根据以下素材，探索完成任务．
如何确定箭头形指示牌
素材1 某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图．该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线，小聪测量了点A到的距离为米，米，米．
素材2 因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米85元，乙材料的单价为每平方米100元．
问题解决
任务1 推理最大高度 小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．
任务2 确定箭头形指示牌 小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过200元，请你确定长度的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的应用；三角形三边关系
【解析】【解答】解：设摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根，
根据三角形的三边关系定理得到：
解得：，，，
又因为，是正整数，因而同时满足以上三式的，的分别值是（不计顺序）：x=，y=5；x=3，y=4；x=3，y=5；x=4，y=4；x=4，y=5；x=5，y=5．
则第三边对应的值是：5；5；4；4；3；2．
因而三边的值可能是：2，5，5；或3，4，5；或4，4，4，共三种情况。
故答案为：C．
【分析】本题首先假设出摆出的三角形的三边有两边是根，根，则第三边是根，然后根据三角形的三边关系定理，即“两边之和大于第三边”，可以得到三个不等式，联立不等式组从而求出三边满足的条件，最后根据三边长是正整数，分析试探即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；用代数式表示图形变化规律；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：当画出1条线段时：∵，∴，
∴，
当画出2条线段时：∵，
∴，
∴，
同理可得：当画出3条线段时：，
……
当画出n条线段时：，
∵直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再根据 直到第条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了 ，可得出，解不等式即可得出答案。
3．【答案】
【知识点】整式的加减运算；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：由题意得：，
∴
【分析】根据三角形三边关系可得，再根据绝对值性质化简即可求出答案.
4．【答案】3
【知识点】一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】设所围长方形的长所用的火柴根数为x，则宽为（8-x）
则 x>8-x，得 x>4，
由题意知 x<8
4x为整数
长边所用的火柴数可为5、6、7， 则最多能围出不同形状的长方形3个。
故答案为：3。
【分析】根据长方形的长大于宽，由此列出不等式求解分析解答可得答案。
5．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：由图象可以看出，当时，函数在函数 的上方，即；
当时，函数在函数 的下方，即；
因此关于的不等式的解集为。
故答案为：．
【分析】本题主要考查从图像来判断不等式的解集。
首先从图像和条件可以看出，A点是两个函数的交点，然后分析当在交点左侧和右侧，对应的函数值的大小，最后即可得出答案。
6．【答案】（1）解：∵a+b=4，a2+b2=8.
∴(a+b)2=a2+2ab+b2=8+2ab=16.
∴ab=4
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=16-16=0
（2）解：∵a、b、c是△ABC的三边
∴a+b>c，b+c>a，a+c>b，
∴|a+b-c|-|c-a+b|-|b-c-a|+|b-a-c|
=(a+b-c)-(c+b-a)+(b-c-a)-(b-a-c)
=a+b-c-c-b+a+b-c-a-b+a+c
=2a-2c.
【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式即可求解；
(2)根据三角形的三边关系定理得出a+b>c，b+c>a，a+c>b，再去掉绝对值符号后合并同类项即可.
7．【答案】（1）能
（2）22.5°
（3）
（4）8
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形；用代数式表示几何图形的数量关系；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵ ，小棒在端点处互相垂直且两端分别在两射线上，
∴小棒能继续摆下去，
故答案为：能；
（2）∵A1A2=A2A3，A1A2⊥A2A3，
∴∠A1A2A3=90°，∠A2A1A3=45°，
∵AA1=A1A2，
∴∠AA2A1=∠A，
∵∠AA2A1+∠A=∠A2A1A3，，
∴= ∠A2A1A3=22.5°，
故答案为：22.5°；
（3）∵AA1=A1A2，，
∴∠AA2A1=∠A=，
∴∠A2A1A3=∠AA2A1+∠A=2，
即θ1=2，
同理可得：，
故答案为：；
（4）设最多能放n根小棒，根据前面的规律可知，第n个角为，
∵小棒两端分别在两射线上，
∴＜90°，
当=10°时，（n+1）×10°＜90°，
解得：n＜8，
∵n为正整数，
∴n=8，即最多能放8根小棒，
故答案为：8.
【分析】（1）根据射线的特点和小棒的摆放条件：两端在射线上且端点互相垂直，小棒就可以无限摆放；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和即可得出答案；
（3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可找出各角之间的关系，进而得出答案；
（4）根据（3）中得出的规律：第n个角为，再结合=10°，列出不等式，求解即可.
8．【答案】证明： (a+b-c)(a-b-c).
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a+b-c>0，a-b-c<0，
∴(a+b-c)(a-b-c)<0，
【知识点】三角形三边关系；因式分解-分组分解法；不等式的性质
【解析】【分析】根据因式分解可得=(a+b-c)(a-b-c)，再根据三角形三边关系可得a+b-c>0，a-b-c<0，结合不等式的性质即可求出答案.
9．【答案】（1）3；4
（2）解：设制作横式纸盒x个，竖式纸盒y个.根据题意，得 解得
答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个
（3）解：根据题意，得 解得m≤12，所以m的最大值为12
（4）27
【知识点】一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【解答】解：(1)由题可得，制作一个横式纸盒需要 A型纸板3张和B 型纸板2张，制作一个竖式纸盒需要 A 型纸板4张和 B 型纸板1张.
故答案为：3，4.
(4)设制作横式纸盒t个.因为1 个横式纸盒需要3张A型纸板和2张B 型纸板，所以 解得 因为t为正整数，所以在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个.
故答案为：27.
【分析】(1)根据图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒可得答案；
(2)根据题意可以列出相应的二元一次方程组，即可求解；
(3)根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得m的最大值；
(4)根据题意可以列出相应的不等式，即可解答本题.
10．【答案】解：任务1：他的说法对，理由如下：
如图，过点B作于点G，
则，
四边形是长方形，
，
，
在与中，
，
，
，
最高点B到地面的距离就是线段长；
任务2：该指示牌是轴对称图形，四边形是长方形，
，米，
设米，则米，
长方形的面积（平方米），
的面积（平方米），
当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，
由题意得：，
解得：，
故长度的最大值为米．
【知识点】全等三角形的实际应用；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；一元一次不等式的应用-几何问题
【解析】【分析】任务1：过点B作于点G，利用全等三角形判定方法推出，即可得出结论；
任务2：设米，分别表示出长方形和三角形的面积，根据题意列出不等式，解不等式即可得出结果．
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