2.6直角三角形
【题型1】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 5
【题型2】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 6
【题型3】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 10
【题型4】根据直角三角形概念判断直角三角形 14
【题型5】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 17
【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024春 中山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，则∠C的度数为（ ） A．44°B．46°C．56°D．146°
【答案】C 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠C的度数． 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，
∴∠C=90°-∠A=90°-34°=56°；
故选：C． 【知识点2】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 1.（2024秋 官渡区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE=2，则CE的长度为（ ） A．7B．8C．9D．10
【答案】B 【分析】连接AE，先求出∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，再根据线段垂直平分线的性质得，BE=AE，由此得∠B=∠DAE=30°，进而利用直角三角形的性质得AE=2DE=4，然后求出∠CAE=90°，再利用直角三角形的性质即可求出CE的长． 【解答】解：连接AE，如图：
在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠BAC=180°-（∠B+∠C）=120°，
∵点D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠B=∠DAE=30°，
在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=2，
∴AE=2DE=4，
∵∠BAC=120°，∠DAE=30°，
∴∠CAE=∠BAC-∠DAE=120°-30°=90°，
在Rt△CAE中，∠C=30°，AE=4，
∴CE=2AE=8．
故选：B． 【知识点3】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春 潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且BC=8，AC=6，则CD的长为（ ） A．5B．6C．8D．10
【答案】A 【分析】由勾股定理求出AB的长，由直角三角形斜边上中线的性质，即可得到CD的长． 【解答】解：∵BC=8，AC=6，∠ACB=90°，
∴AB==10，
∵CD是斜边AB的中线，
∴CD=AB=5．
故选：A． 2.（2024春 麒麟区校级期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为9.6km,则M，C两点间的距离为（ ） A．1.2kmB．2.4kmC．3.6kmD．4.8km
【答案】D 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM=AB，再求出答案即可． 【解答】解：∵公路AC，BC互相垂直，
∴∠ACB=90°，
∵M为AB的中点，
∴CM=AB，
∵AB=9.6km,
∴CM=4.8（km），
即M，C两点间的距离为4.8km,
故选：D．
【题型1】利用直角三角形两锐角互余的性质求角
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.40° C.35° D.30°
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠B+∠A＝90°，
∴，
解得：，
故选：B．
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
【答案】C
【解析】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，
∴∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝ ．
【答案】22.5°
【解析】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠BAD：∠CAB＝1：3，
∴∠CAB＝3∠BAD，
∵∠C＝90°，
∴3∠BAD+∠BAD＝90°，
解得：∠BAD＝22.5，
∴∠B＝22.5°，
故答案为：22.5°．
【举一反三3】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个较大的锐角的度数为 度．
【答案】75
【解析】设较小的锐角是x度，则另一角是5x度．
则x+5x＝90，解得：x＝15°．
∴5x＝75°
故答案为：75．
【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，求∠A的度数．
【答案】解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠A﹣∠B＝30°，
∴∠A＝60°．
【题型2】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边
【典型例题】如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.3.5 D.4
【答案】B
【解析】如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CNAB＝5，CMDE＝2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2＝3．
故选：B．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A.5 B.4 C.8 D.6
【答案】D
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，
∴CDAB，
∵AB＝12，
∴CD＝6．
故选：D．
【举一反三2】如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【答案】B
【解析】解：在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，
理由是：连接OP，
∵∠AOB＝90°，P为AB中点，AB＝2a，
∴OPAB＝a，
即在木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不发生变化，永远是a；
故选：B．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AC＝9，则CP的长为 ．
【答案】3
【解析】∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴BD＝AD，CDBDAD，
∵AC＝9，
∴AD＝BD＝6，
∵P点是BD的中点，
∴CPBD＝3．
故答案为：3．
【举一反三4】Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，则AB边上的中线长为 cm．
【答案】5
【解析】∵Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，
∴AB边上的中线长10＝5cm．
故答案为：5．
【举一反三5】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E．
（1）证明：AE＝ED；
（2）求线段DE的长．
【答案】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠EDA，
∴∠BAD＝∠EDA，
∴AE＝ED；
（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDA+∠BDE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∵∠BAD＝∠EDA，
∴∠BDE＝∠B，
∴BE＝DE，
∵AE＝ED，
∴DE＝BE＝AE，
∵AB＝AE+BE＝5，
∴DE＝2.5．
【题型3】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝36°，则∠DCB的度数为（ ）
A.54° B.64° C.72° D.75°
【答案】A
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，
∴BD＝CD＝AD，
∴∠A＝∠DCA＝36°，
∴∠DCB＝90°﹣∠DCA＝54°．
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且ADBC，若∠D＝40°，则∠B＝（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】B
【解析】取BC的中点E，连接AE，
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴AEBC＝BE，
∴∠B＝∠EAB，
∵ADBC，
∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠D＝40°，
∴∠B＝20°，
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（ ）
A.111° B.110° C.109° D.108°
【答案】C
【解析】连接DE，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵BE是AC边上的中线，∠A＝38°，
∴DE＝AE＝CE＝BD，∠ACD＝90°﹣38°＝52°，
∴∠ADE＝∠A＝38°，
∴∠DBE＝∠DEB＝19°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣38°＝52°，∠BCD＝90°﹣52°＝38°，
∴∠CBE＝52°﹣19°＝33°，
∴∠BFC＝180°﹣33°﹣38°＝109°．
故选：C．
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝44°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝ ．
【答案】46°
【解析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝44°，
∴∠A＝46°．
∵D为线段AB的中点，
∴CD＝AD，
∴∠ACD＝∠A＝46°．
故答案为：46°．
【举一反三4】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝35°，求∠DFE的度数．
【答案】解：
∵∠ACB＝90°，E为AB之中点，
∴BE＝CE，
∴∠B＝∠ECB＝35°，
∴∠BEC＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
∵AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD＝35°，
∴∠BDA＝180°﹣35°﹣35°＝110°，
在四边形BEFD中，
∵∠B+∠BEF+∠BDF+∠DFE＝360°，
∴∠DFE＝360°﹣35°﹣110°﹣110°＝105°．
【举一反三5】如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．（1）求证：△PEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数．
【答案】（1）证明：∵BE、CF是△ABC的两条高，
∴∠BFC＝∠BEC＝90°，
∵P是BC边的中点，
∴BP＝FPBC，CP＝EPBC，
∴FP＝EP，
∴△PEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
由（1）得：
FP＝BP，EP＝CP，
∴∠ABC＝∠BFP，∠ACB＝∠CEP，
∴∠BFP+∠CEP＝∠ABC+∠ACB＝110°，
∴∠FPB+∠EPC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB+∠BFP+∠CEP）＝140°，
∴∠EPF＝180°﹣（∠FPB+∠EPC）＝40°，
∴∠EPF的度数为40°．
【题型4】根据直角三角形概念判断直角三角形
【典型例题】如图，在中，，动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是( )
A. 直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形
B. 等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形
C. 直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
D. 等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
【答案】C
【解析】动点从点出发，沿边，向点运动．
在点运动过程中，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直三角形，直角三角形．
【举一反三1】具备下列条件的中，不是直角三角形的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A.在中，，，，，，为直角三角形，故A不合题意；
B.，，在中，，，，，是直角三角形，故B不合题意；
C.：：：：，，，，为直角三角形，故C不合题意；
D.，，即，，，故不是直角三角形，故D合题意．
故选D．
【举一反三2】下列三角形一定为直角三角形的有( )
三个内角的关系为
三个内角的关系为
三角形的三个内角之比为
三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为．
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】，，，，
故中三角形一定是直角三角形，，，，，，，，
故中三角形一定是直角三角形三角形的三个内角之比为，可设这个三角形的三个内角为，，，
根据三角形的内角和定理得：，
解得：，，，，
故中三角形不是直角三角形三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为，该外角的度数为，与该外角相邻的内角的度数为，该三角形是直角三角形，符合题意．
【举一反三3】在中，若，则这个三角形按角分类是_____三角形．
【答案】直角
【解析】 ，
，
，
，
故三角形是直角三角形．
【举一反三4】下列条件：；；；，其中能确定是直角三角形的条件有_________________．
【答案】
【解析】因为，则，，所以是直角三角形；因为：：：：，设，则，，，所以是直角三角形；因为，所以，则，所以是直角三角形；因为，，，所以三角形为钝角三角形．
所以能确定是直角三角形的有．
故答案为．
【举一反三5】如图，在中，，为中点，为上一点，为上一点，，连接，求证：线段、、总能构成一个直角三角形；
【答案】证明：延长到使，连接，，
为中点，，在和中， ，≌，，，在和中≌
即线段、、总能构成一个直角三角形，，线段、、总能构成一个直角三角形；
【题型5】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】有两个角 的三角形是直角三角形．
【答案】互余
【解析】有两个角互余的三角形是直角三角形．
【举一反三1】如图，在中，，，则为________三角形．
【答案】直角
【解析】，，，， 则为直角三角形． 故答案为直角．
【举一反三2】如图，已知是线段的延长线上一点，，，求证：是直角三角形．
【答案】证明：，，
．
，，
B.
，
，
∴△AOE是直角三角形.
【举一反三3】在中，，，平分，求证：是直角三角形．
【答案】解： 在中，，平分， 在中，， 所以是直角三角形． 2.6直角三角形
【题型1】利用直角三角形两锐角互余的性质求角 3
【题型2】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边 4
【题型3】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角 5
【题型4】根据直角三角形概念判断直角三角形 6
【题型5】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形 8
【知识点1】直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 1.（2024春 中山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=34°，则∠C的度数为（ ） A．44°B．46°C．56°D．146°
【知识点2】含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 1.（2024秋 官渡区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=30°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥AB交BC于点E，DE=2，则CE的长度为（ ） A．7B．8C．9D．10
【知识点3】直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．
该定理可以用来判定直角三角形． 1.（2025春 潮南区期末）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线，且BC=8，AC=6，则CD的长为（ ） A．5B．6C．8D．10
2.（2024春 麒麟区校级期中）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为9.6km,则M，C两点间的距离为（ ） A．1.2kmB．2.4kmC．3.6kmD．4.8km
【题型1】利用直角三角形两锐角互余的性质求角
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B﹣∠A＝10°，则∠A的度数为（ ）
A.50° B.40° C.35° D.30°
【举一反三1】在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝35°，则∠B＝（ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAB＝1：3，则∠B＝ ．
【举一反三3】在直角三角形中，有一个锐角是另外一个锐角的5倍，则这个较大的锐角的度数为 度．
【举一反三4】在△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，求∠A的度数．
【题型2】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求边
【典型例题】如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（ ）
A.2 B.3 C.3.5 D.4
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，AB＝12，则CD的长等于（ ）
A.5 B.4 C.8 D.6
【举一反三2】如图，一根木棍斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍中点为P，若木棍A端沿墙下滑，且B沿地面向右滑行．在此滑动过程中，点P到点O的距离（ ）
A.变小 B.不变 C.变大 D.无法判断
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AC＝9，则CP的长为 ．
【举一反三4】Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，则AB边上的中线长为 cm．
【举一反三5】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E．
（1）证明：AE＝ED；
（2）求线段DE的长．
【题型3】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求角
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝36°，则∠DCB的度数为（ ）
A.54° B.64° C.72° D.75°
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且ADBC，若∠D＝40°，则∠B＝（ ）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，且BD＝CE，已知∠A＝38°，则∠BFC的度数是（ ）
A.111° B.110° C.109° D.108°
【举一反三3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝44°，D为线段AB的中点，则∠ACD＝ ．
【举一反三4】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D在BC上，E为AB之中点，AD、CE相交于F，且AD＝DB．若∠B＝35°，求∠DFE的度数．
【举一反三5】如图，BE、CF是△ABC的两条高，P是BC边的中点，连接PE、PF、EF．（1）求证：△PEF是等腰三角形；
（2）若∠A＝70°，求∠EPF的度数．
【题型4】根据直角三角形概念判断直角三角形
【典型例题】如图，在中，，动点从点出发，沿边，向点运动．在点运动过程中，可能成为的特殊三角形依次是( )
A. 直角三角形等边三角形直角三角形等边三角形直角三角形
B. 等腰三角形直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形
C. 直角三角形等边三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
D. 等腰直角三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形直角三角形
【举一反三1】具备下列条件的中，不是直角三角形的是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】下列三角形一定为直角三角形的有( )
三个内角的关系为
三个内角的关系为
三角形的三个内角之比为
三角形的一个外角与它不相邻的两个内角和为．
A.个 B.个 C.个 D.个
【举一反三3】在中，若，则这个三角形按角分类是_____三角形．
【举一反三4】下列条件：；；；，其中能确定是直角三角形的条件有_________________．
【举一反三5】如图，在中，，为中点，为上一点，为上一点，，连接，求证：线段、、总能构成一个直角三角形；
【题型5】根据直角三角形两锐角互余判断直角三角形
【典型例题】有两个角 的三角形是直角三角形．
【举一反三1】如图，在中，，，则为________三角形．
【举一反三2】如图，已知是线段的延长线上一点，，，求证：是直角三角形．
【举一反三3】在中，，，平分，求证：是直角三角形．
