2.8直角三角形全等的判定
【题型1】用HL判定直角三角形全等 4
【题型2】用HL证明边或角相等 6
【题型3】角平分线性质的逆定理 9
【知识点1】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 1.（2024秋 延平区校级期中）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等
【答案】D 【分析】根据求证直角三角形全等对每个选项进行分析，即可解题． 【解答】解：∵两条直角边对应相等，则斜边相等，故两三角形全等，∴A正确；
∵斜边和一锐角对应相等，则另一锐角对应相等，根据角边角即可求证两三角形全等，∴B正确；
∵斜边和一条直角边对应相等，则另一直角边对应相等，根据边边边即可求证两三角形全等，∴C正确；
∵两锐角相等可证明两三角形相似，但无法证明两三角形全等，∴D错误．
故选：D． 2.（2021秋 蒙城县期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C 【分析】根据HL可得①正确；由SAS或AAS或ASA可得②正确；如果一直角边和一斜边对应相等，这两个直角三角形不全等；由AAS或ASA可得③正确；三个角相等的两个直角三角形不一定全等． 【解答】解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等，正确；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等，正确；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等，错误；
故选：C． 【知识点2】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2025 昆明开学）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若BC=6，则BD的长度为（ ） A．2B．3C．4D．5
【答案】A 【分析】先求出∠CAB=60°，根据角平分线的性质得∠BAD=∠CAD=30°，然后根据等角对等边得CD=AD，根据含30°角直角三角形的特征即可求解． 【解答】解：∵∠B=90°，∠C=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=CD，
∵∠BAD=30°，∠B=90°，
∴AD=2BD，
∴CD=2BD，
∵BD+CD=BC，
∴BD+2BD=6，
∴BD=2，
故选：A．
【题型1】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
【答案】D
【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL），
故选：D．
【举一反三1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.三边对应相等 B.两个锐角相等 C.一条直角边和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等
【答案】B
【解析】A、三边对应相等，利用SSS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由AAA不能判定它们全等，故本选项符合题意；
C、一条直角边和斜边对应相等，利用HL能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用SAS能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A.AC＝A′C′，BC＝B′C′ B.∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C.AC＝A′C′，AB＝A′B′ D.∠B＝∠B′，BC＝B′C′
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
如果AC＝A′C′，AB＝A′B′，那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′一定全等，
故选：C．
【举一反三3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ，若加条件∠B＝∠C，则可用 判定．
【答案】AAS
【解析】添加AB＝AC
∵AD⊥BC，AD＝AD，AB＝AC
∴△ABD≌△ACD
已知AD⊥BC于D，AD＝AD，若加条件∠B＝∠C，显然根据的判定为AAS．
【举一反三4】如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC．
【答案】证明：∵∠B＝∠D＝90°，
∴△ABC和△ADC都是直角三角形．
在Rt△ABC和Rt△ADC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）．
【举一反三5】已知：如图，∠ABC＝45°，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F且有BF＝AC．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【答案】证明：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°＝∠ABC，
∴AD＝BD，
在Rt△BFD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．
【题型2】用HL证明边或角相等
【典型例题】如图，∠1＝∠2，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（ ）
A.PC＝PD B.OA＝OB C.∠OPC＝∠OPD D.OC＝OD
【答案】B
【解析】∵∠1＝∠2，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，
∴PC＝PD，故A正确；
在Rt△POD与Rt△POC中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POC（HL），
∴∠OPC＝∠OPD，OC＝OD，故C、D正确；
无法得出OA＝OB，
故B错误；
故选：B．
【举一反三1】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF
【答案】C
【解析】∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠DFB＝90°，
∵AF＝BE，
∴AE＝BF，
在Rt△ACE和Rt△BDF中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL），
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD，
∵∠A+∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴选项A，B，D正确，选项C错误．
故选：C．
【举一反三2】如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
【答案】7
【解析】∵MN∥PQ，AB⊥PQ，
∴AB⊥MN，
∴∠DAE＝∠EBC＝90°，
在Rt△ADE和Rt△BCE中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL），
∴AE＝BC，
∵AD+BC＝7，
∴AB＝AE+BE＝AD+BC＝7．
故答案为7．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ．
【答案】40°
【解析】在Rt△ABC与Rt△DEF中，
∵∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）
∴∠D＝∠A＝50°，
∴∠DFE＝90°﹣∠D＝90°﹣50°＝40°．
故答案为：40°．
【举一反三4】如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．
【答案】证明：∵DA⊥AC，DB⊥BC（已知），
∴∠A＝∠B＝90°（垂直定义），
在Rt△ADC和Rt△BCD中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），
∴∠BDC＝∠ACD（全等三角形的对应角相等），
∴OD＝OC（等角对等边）．
【举一反三5】如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF，求证：AC∥BD．
【答案】证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°．
又∵AC＝BD，CE＝DF，
∴Rt△ACE≌Rt△BDF（HL）．
∴∠A＝∠B，
∴AC∥BD．
【题型3】角平分线性质的逆定理
小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】
由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，
∴点P到射线OB，OA的距离相等，
∴点P在∠BOA的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上）．
故选：A．
【举一反三1】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A.30° B.60° C.45° D.70°
【答案】B
【解析】∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠OBC+∠OCB）＝2×60°＝120°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知∠A＝∠D＝90°且AC＝DC，AB＝DB，那么点C在 的角平分线上，点B在 的角平分线上．
【答案】∠ABD，∠ACD
【解析】∵∠A＝∠D＝90°，即AC⊥AB，DC⊥BD，
且AC＝DC，
∴点C在∠ABD的角平分线上（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
同理，点B在∠ACD的角平分线上．
故答案为：∠ABD，∠ACD．
【举一反三3】如图，点A，B在射线OM上，点C，D在射线ON上，已知AB＝CD，S△ABP＝S△CDP，求证：点P在∠MON的平分线上．
【答案】证明：过P点作PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，如图，
∵S△ABP＝S△CDP，
∴AB PECD PF，
∵AB＝CD，
∴PE＝PF，
而PE⊥OM，PF⊥ON，
∴点P在∠MON的平分线上．2.8直角三角形全等的判定
【题型1】用HL判定直角三角形全等 2
【题型2】用HL证明边或角相等 4
【题型3】角平分线性质的逆定理 5
【知识点1】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 1.（2024秋 延平区校级期中）判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A．两条直角边对应相等B．斜边和一锐角对应相等C．斜边和一条直角边对应相等D．两个锐角对应相等
2.（2021秋 蒙城县期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等． A．1个B．2个C．3个D．4个
【知识点2】角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE
1.（2025 昆明开学）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若BC=6，则BD的长度为（ ） A．2B．3C．4D．5
【题型1】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（ ）
A.AAS B.SAS C.ASA D.HL
【举一反三1】下列不能使两个直角三角形全等的条件是（ ）
A.三边对应相等 B.两个锐角相等 C.一条直角边和斜边对应相等 D.两条直角边对应相等
【举一反三2】如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是（ ）
A.AC＝A′C′，BC＝B′C′ B.∠A＝∠A′，AB＝A′B′ C.AC＝A′C′，AB＝A′B′ D.∠B＝∠B′，BC＝B′C′
【举一反三3】如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件 ，若加条件∠B＝∠C，则可用 判定．
【举一反三4】如图．∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，求证：Rt△ABC≌Rt△ADC．
【举一反三5】已知：如图，∠ABC＝45°，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F且有BF＝AC．求证：Rt△BFD≌Rt△ACD．
【题型2】用HL证明边或角相等
【典型例题】如图，∠1＝∠2，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，则下列结论中错误的是（ ）
A.PC＝PD B.OA＝OB C.∠OPC＝∠OPD D.OC＝OD
【举一反三1】如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E、F，AF＝BE，且AC＝BD，则下列结论不一定正确的是（ ）
A.AC∥BD B.∠C+∠B＝90° C.∠A＝∠D D.Rt△ACE≌Rt△BDF
【举一反三2】如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝ ．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC与Rt△DEF中，∠B＝∠E＝90°，AC＝DF，AB＝DE，∠A＝50°，则∠DFE＝ ．
【举一反三4】如图，AC与BD相交于点O，DA⊥AC，DB⊥BC，AC＝BD．说明OD＝OC成立的理由．
【举一反三5】如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF，求证：AC∥BD．
【题型3】角平分线性质的逆定理
小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C.三角形的三条高交于一点
D.三角形三边的垂直平分线交于一点
【举一反三1】如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，连接OB、OC，若∠BOC＝120°，则∠A的度数是（ ）
A.30° B.60° C.45° D.70°
【举一反三2】如图，已知∠A＝∠D＝90°且AC＝DC，AB＝DB，那么点C在 的角平分线上，点B在 的角平分线上．
【举一反三3】如图，点A，B在射线OM上，点C，D在射线ON上，已知AB＝CD，S△ABP＝S△CDP，求证：点P在∠MON的平分线上．
