3.3一元一次不等式及其解法
【题型1】判断是否为一元一次不等式 5
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值 6
【题型3】一元一次不等式的解 8
【题型4】一元一次不等式的整数解 9
【题型5】在数轴上表示一元一次不等式的解集 11
【题型6】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集 13
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式 14
【题型8】一元一次不等式与新定义型问题 16
【题型9】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值 19
【题型10】根据实际问题抽象出一元一次不等式 21
【题型11】用一元一次不等式解决实际问题 23
【题型12】一元一次不等式与方案问题 26
【知识点1】一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 1.（2025春 碑林区校级月考）下列式子是一元一次不等式的是（ ） A．2x＜1B．4x=3C．3x2＞2D．2x＜1+y
【答案】A 【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式是一元一次不等式，据此求解即可． 【解答】解：根据一元一次不等式定义，
A．是一元一次不等式，此选项正确，符合题意，
B．没有不等号，不是一元一次不等式，此选项错误，不符合题意，
C．未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，此选项错误，不符合题意，
D．含有两个未知数，不是一元一次不等式，此选项错误，不符合题意，
故选：A． 【知识点2】解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 1.（2025春 闵行区校级月考）以下关于不等式-x-1＜0的判断错误的是（ ） A．0是这个不等式的解B．x＞-1是这个不等式的解集C．大于1的数都是这个不等式的解D．小于1的数都不是这个不等式的解．
【答案】D 【分析】首先求出不等式的解集，然后逐项判断即可． 【解答】解：由-x-1＜0可得x＞-1，
∴0是这个不等式的解，故选项A正确，不符合题意；
x＞-1是这个不等式的解集，故选项B正确，不符合题意；
大于1的数都是这个不等式的解，故选项C正确，不符合题意；
小于1的数中有这个不等式的解，故选项D错误，符合题意．
故选：D． 2.（2025春 肇庆期末）不等式4x-7≥5的解集是（ ） A．x≤-3B．x≥-3C．x≥3D．x≤3
【答案】C 【分析】解一元一次不等式，通过移项、合并和系数化为1求解即可． 【解答】解：原不等式 移项，得 4x≥5+7，
即 4x≥12，
系数化为1，得 x≥3，
故选：C． 【知识点3】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 1.（2024春 凤翔县期中）不等式x-2≤的非负整数解有（ ） A．3个B．4个C．5个D．无数个
【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再根据“非负整数解”的条件求出特殊解． 【解答】解：求解集x≤4.5，其中非负整数解x=0，1，2，3，4共5个．
故选：C． 【知识点4】由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 1.（2025春 武穴市期末）x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ） A．B．C．D．
【答案】C 【分析】x与3的和的一半即为（x+3），负数即小于0，据此列不等式． 【解答】解：由题意得，（x+3）＜0．
故选：C． 2.（2025 澧县一模）小明同学早上7：40前要到达班级，出家门时是7：20，已知他家离学校距离为1600m,他跑步的速度为130m/min,走路的速度为60m/min,小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为x min,根据题意可列不等式正确的为（ ） A．130x+60（20-x）＜1600B．130x+60（x-20）＞1600C．D．
【答案】D 【分析】设小明同学跑步时间为x min,则剩余的路程为1600-130x,则走路的时间为，到校时间应小于20分钟列出不等式即可． 【解答】解：设小明同学跑步时间为x min,
由题意得，，
故选：D． 【知识点5】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解． 1.（2024春 城关区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（ ） A．2种B．3种C．4种D．5种
【答案】B 【分析】设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7-x）本，根据题意建立不等式即可求解． 【解答】解：设静怡准备买A种笔记本x本，则购买B种笔记本（7-x）本，
根据题意可知，10x+8（7-x）≤70，7-x＞0，
解得，x＜7，
∵x≥4，
∴4≤x＜7，
∴x可取4，5，6，
∴共三有种方案．
故选：B．
【题型1】判断是否为一元一次不等式
【典型例题】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A.x2+1＞x B.﹣y+1＞y C. 1 D.5+4＞8
【答案】B
【解析】A、是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B、是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C、不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D、不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】以下是一元一次不等式的是（ ）
A.x+y＞0 B. 0 C.x2≠3 D.3＞1
【答案】B
【解析】A．x+y＞0是二元一次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
B． 0是一元一次不等式，故本选项符合题意；
C．x2≠3是一元二次不等式，不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．3＞1不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【举一反三2】给出下列式子：①﹣5＜0；②2x＝3；③3x﹣1＞2；④4x﹣2y≤0；⑤﹣3x+2＞0；⑥x﹣2y．其中属于一元一次不等式的是 ．（填序号）
【答案】③⑤
【解析】属于一元一次不等式的是：③⑤；
故答案为：③⑤．
【举一反三3】判断下列不等式是不是一元一次不等式，如果不是，请简要说明理由．
（1）16x＜0；
（2）3x﹣y＞56；
（3）2y﹣（y﹣9）＜﹣1；
（4）x2≥35．
【答案】解：（1）16x＜0是一元一次不等式；
（2）3x﹣y＞56不是一元一次不等式，理由是：该不等式中含有两个未知数x，y；
（3）2y﹣（y﹣9）＜﹣1是一元一次不等式；
（4）x2≥35不是一元一次不等式，理由是：该不等式中未知数x的次数是2次．
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值
【典型例题】若是一元一次不等式，则m＝ ．
【答案】1
【解析】根据题意2m﹣1＝1，解得m＝1．
故答案为：m＝1．
【举一反三1】若4x2m﹣3+1＞﹣1是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
【答案】2
【解析】∵4x2m﹣3+1＞﹣1是关于x的一元一次不等式，
∴2m﹣3＝1，
解得：m＝2，
故答案为：2．
【举一反三2】已知（a+1）x|a|﹣1+4＜a﹣2是关于x的一元一次不等式，求a的值，并解这个一元一次不等式．
【答案】解：∵（a+1）x|a|﹣1+4＜a﹣2是关于x的一元一次不等式，
∴|a|﹣1＝1且a+1≠0，
解得a＝±2．
当a＝2时，3x+4＜0．
解得x．
当a＝﹣2时，﹣x+4＜﹣4．
解得x＞8．
综上所述，a的值为±2，该不等式的解集为x或x＞8．
【举一反三3】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．
【答案】解：∵（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，
∴k+3≠0且|k|﹣2＝1，
解得k＝3，
则不等式为6x+5＜3﹣4，
解得x＜﹣1．
【题型3】一元一次不等式的解
【典型例题】下列各数中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A.﹣2 B.2 C.1 D.3.5
【答案】D
【解析】在﹣2，2，1，3.5中，只有3.5＞2，
故选：D．
【举一反三1】已知x＜﹣2，则下列哪个选项是不等式的解（ ）
A.x＝0 B.x＝﹣1 C.x＝﹣2 D.x＝﹣3
【答案】D
【解析】由题可知，
x＜﹣2．
﹣3＜﹣2，
故x的解只有D项符合．
故选：D．
【举一反三2】下列数值中是不等式x＜﹣2的解的是（ ）
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.0
【答案】A
【解析】不等式x＜﹣2的整数解有﹣3、﹣4、﹣5、﹣6、……
故选：A．
【举一反三3】构造一个一元一次不等式，使它的解集是，如 ．
【答案】3x﹣4≥0（不唯一）
【解析】由不等式的两边同时乘以3，得
3x≥4，
不等式的两边同时减去4，得
3x﹣4≥0，
所以不等式3x﹣4≥0符合题意．
故答案可以是：3x﹣4≥0．
【举一反三4】下列各数中，是不等式x+1＜4解的数有哪些？哪些不是不等式的解？
8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．
【答案】解：∵x+1＜4，
∴x＜3．
∴2、1、0、2.5、﹣6是不等式的解．8、7、5.5、4不是不等式的解．
【题型4】一元一次不等式的整数解
【典型例题】已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（ ）
A.1＜a＜2 B.1＜a≤2 C.1≤a≤2 D.1≤a＜2
【答案】D
【解析】解不等式2x+a＜x+4得，
x＜﹣a+4．
因为此不等式的正整数解有2个，
所以2＜﹣a+4≤3，
解得1≤a＜2．
故选：D．
【举一反三1】一元一次不等式7﹣3x≥2x﹣8的非负整数解有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】不等式7﹣3x≥2x﹣8，
整理得，﹣5 x≥﹣15，
∴x≤3；
∴其非负整数解是0、1、2、3共4个．
故选：D．
【举一反三2】关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解是4，则实数m的取值范围是 ．
【答案】11≤m＜14．
【解析】由3x﹣m+2＞0，得x，
∵关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解为4，
∴34，
解得，11≤m＜14，
故答案为：11≤m＜14．
【举一反三3】关于x的不等式的最小整数解为n，则n的值为 ．
【答案】﹣1
【解析】解不等式，得：x＞2n，
∵关于x的不等式的最小整数解为n，
∴n﹣2n＝1，
解得n＝﹣1，
∴n的值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三4】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，写出符合条件的x的非正整数解．
【答案】解：，
2（x+1）﹣3（x﹣1）≤6，
2x+2﹣3x+3≤6，
2x﹣3x≤6﹣2﹣3，
﹣x≤1，
x≥﹣1，
∴该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
∴符合条件的x的非正整数解为：﹣1，0．
【题型5】在数轴上表示一元一次不等式的解集
【典型例题】不等式﹣2x＜4的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不等式﹣2x＜4的解集为x＞﹣2，在数轴上表示，如图所示：
故选：A．
【举一反三1】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】﹣1﹣3x≤2，
﹣3x≤2+1，
﹣3x≤3，
x≥﹣1，
在数轴上表示为：
．
故选：C．
【举一反三2】已知关于x的不等式2x﹣k≥1的解在数轴上的表示如图，则k的值是 ．
【答案】-3
【解析】由数轴可知不等式2x﹣k≥1的解集为：x≥﹣1，
2x﹣k≥1
则x，
故1，
解得：k＝﹣3．
故答案为﹣3．
【举一反三3】解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：去分母，得：6﹣2x＞x﹣3，
移项，得：﹣2x﹣x＞﹣3﹣6，
合并同类项，得：﹣3x＞﹣9，
系数化为1，得：x＜3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
【举一反三4】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
去分母：2（2x+5）＜x+1+6，
去括号：4x+10＜x+1+6，
移项：4x﹣x＜1+6﹣10，
合并同类项：3x＜﹣3，
化系数为1：x＜﹣1，
不等式的解集在数轴上表示如图所示：
【题型6】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集
【典型例题】一个关于x的不等式的解集表示在数轴上（如图），则这个不等式可以是（ ）
A.2x≥﹣4 B.2x＞﹣4 C.﹣2x≤﹣4 D.﹣2x≥4
【答案】A
【解析】2x≥﹣4，
解得x≥﹣2，在数轴上表示如图，
故选：A．
【举一反三1】若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式应是下列中的（ ）
A.x﹣1＜0 B.x﹣1≤0 C.x﹣1＞0 D.x﹣1≥0
【答案】B
【解析】A、x＜1，故A不符合题意；
B、x≤1，故B正确；
C、x＞1，故C错误；
D、x≥1，故D错误．
故选：B．
【举一反三2】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A.2x+6＞0 B.2x﹣6＜0 C.2x≥6 D.6﹣2x＜0
【答案】B
【解析】由图可知，不等式的解集为：x＜3；
A、2x+6＞0，解得：x＞﹣3，不符合题意；
B、2x﹣6＜0，解得：x＜3，符合题意；
C、2x≥6，解得：x≥3，不符合题意；
D、6﹣2x＜0，解得：x＞3，不符合题意．
故选：B．
【举一反三3】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A.x+3＞0 B.x﹣3＜0 C.2x≥6 D.3﹣x＜0
【答案】B
【解析】A、x＞﹣3，故A不符合题意；
B、x＜3，故B符合题意；
C、x≥3，故C不符合题意；
D、x＞3，故D不符合题意．
故选：B．
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式
【典型例题】若，则（ ）
A.x＞﹣3 B.x＜﹣3 C.x＞1 D.
【答案】A
【解析】，
移项，得： x＜2﹣1，
合并同类项，得： x＜1，
系数化为1，得：x＞﹣3，
故选：A．
【举一反三1】不等式的解集为（ ）
A.x＜2 B.x＜1 C.x＞1 D.x＜﹣1
【答案】B
【解析】1，
去分母得，3﹣x＞2，
移项合并得，﹣x＞﹣1，
系数化为1得，x＜1，
故选：B．
【举一反三2】不等式6x+8＞3x+8的解集为（ ）
A.x B.x＜0 C.x＞0 D.x
【答案】C
【解析】移项6x﹣3x＞0，即3x＞0，
∴x＞0．
故选：C．
【举一反三3】一元一次不等式3x≤﹣1的解集是 ．
【答案】x
【解析】3x≤﹣1，
2x﹣1﹣6x≤﹣2，
2x﹣6x≤﹣2+1，
﹣4x≤﹣1，
x，
故答案为：x．
【举一反三4】解不等式1+2（x﹣1）≤3，则x的解集是 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】1+2（x﹣1）≤3；
去括号得：1+2x﹣2≤3，
移项得：2x≤3﹣1+2，
合并同类项得：2x≤4，
两边同除以2得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【举一反三5】在解不等式x﹣3（x+1）≥1时，小马同学给出了如下解法：
解：去括号，得x﹣3x﹣1≥1，
移项，得x﹣3x≥1+1，
合并同类项，得﹣2x≥2，
两边都除以﹣2，得x≤﹣1．
判断小马同学的解法是否有错误？若有错误，请写出正确的解答过程．
【答案】解：有错误．
正确解答如下：
去括号，得x﹣3x﹣3≥1，
移项，得x﹣3x≥1+3，
合并同类项，得﹣2x≥4，
系数化为1，得x≤﹣2．
【题型8】一元一次不等式与新定义型问题
【典型例题】定义新运算a⊙b＝b（a＜b），若，则x的取值范围是（ ）
A.x＞﹣10 B.x＞﹣11 C.x＜﹣10 D.x＜11
【答案】A
【解析】∵a⊙b＝b（a＜b），，
∴，
1﹣2x＜21，
﹣2x＜20，
x＞﹣10．
故选：A．
【举一反三1】定义一种运算：a b＝2a+b（a＜b），则不等式3x （x+1）＞﹣2的解集是（ ）
A. B. C. D.无解
【答案】C
【解析】由题意知，6x+x+1＞﹣2，
则6x+x＞﹣2﹣1，
7x＞﹣3，
则x，
又3x＜x+1，
则3x﹣x＜1，
∴2x＜1，
解得x，
综上， x，
故选：C．
【举一反三2】定义新运算：a b＝﹣2a+b．则不等式x 4＞0的解集是 ．
【答案】x＜2
【解析】根据题意知﹣2x+4＞0，
解得：x＜2．
故答案为：x＜2．
【举一反三3】定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b．
例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3
（1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝ ；
（2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值；
（3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围．
【答案】解：（1）由题意，∵﹣5＜﹣4，
（﹣5）☆（﹣4）＝﹣5+（﹣4）＝﹣9．
故答案为：﹣9．
（2）由题意，分两种情形．
①当3x﹣2≥2﹣x时，即x≥1，
（3x﹣2）☆（2﹣x）＝3x﹣2﹣（2﹣x）＝6．
∴x＝2.5＞1，符合题意．
②当3x﹣2＜2﹣x时，即x＜1，
（3x﹣2）☆（2﹣x）＝3x﹣2+（2﹣x）＝6．
∴x＝3＞1，不符合题意．
综上，x＝2.5．
（3）由题意，分两种情形．
①当2m+1≥m﹣2时，即m≥﹣3，
（2m+1）☆（m﹣2）＝（2m+1）﹣（m﹣2）＞2．
∴m＞﹣1．
故此时m＞﹣1．
②当2m+1＜m﹣2时，即m＜﹣3，
（2m+1）☆（m﹣2）＝（2m+1）+（m﹣2）＞2．
∴m＞1．
故此时无解．
综上，m＞﹣1．
【举一反三4】定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ；
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
【答案】解：（1）由题意可得，
（﹣4）*3
＝（﹣4）﹣2×3
＝（﹣4）﹣6
＝﹣10，
故答案为：﹣10；
（2）∵（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），
∴3x﹣4≥x+6，
解得x≥5，
故答案为：x≥5；
（3）∵（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，
∴当3x﹣7≥3﹣2x时，可得x≥2，
则（3x﹣7）+2（3﹣2x）＜﹣6，
解得x＞5；
当3x﹣7＜3﹣2x时，可得x＜2，
则（3x﹣7）﹣2（3﹣2x）＜﹣6，
解得x＜1；
由上可得，x的取值范围是x＞5或x＜1．
【题型9】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值
【典型例题】已知关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）
A.a＜0 B.a＜5 C.a＜﹣5 D.a＞5
【答案】B
【解析】∵关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，
∴a﹣5＜0，
解得a＜5，
故选：B．
【举一反三1】不等式（x﹣m）＞2﹣m的解集为x＞2，则m的值为（ ）
A.4 B.2 C.1.5 D.0.5
【答案】B
【解析】去括号得xm＞2﹣m，
移项、合并得x＞2m，
解得x＞6﹣2m，
因为不等式（x﹣m）＞2﹣m的解集为x＞2，
所以6﹣2m＝2，解得m＝2．
故选：B．
【举一反三2】已知关于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．则a的取值范围是 ．
【答案】a＜3
【解析】∵不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解集为x＜1，
∴a﹣3＜0，
解得a＜3．
故答案为：a＜3．
【举一反三3】已知关于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．
（1）当a＝﹣5时，求这个不等式的解集．
（2）如果该不等式的解集为x，求a的取值范围．
（3）如果x＝﹣2是该不等式的一个解，求a的取值范围．
【答案】解：（1）把a＝﹣5代入2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）得：
﹣8x＞2x﹣23，
﹣8x﹣2x＞﹣23，
﹣10x＞﹣23，
x＜2.3；
（2）2（a+1）x＞2x+（4a﹣3），
2（a+1）x﹣2x＞4a﹣3，
2ax＞4a﹣3，
∵不等式的解集为x，
∴2a＜0，
即a＜0，
∴a的取值范围是a＜0；
（3）∵x＝﹣2是该不等式的一个解，
∴﹣4（a+1）＞﹣4+（4a﹣3），
∴﹣4a﹣4＞﹣4+4a﹣3，
∴﹣8a＞﹣3，
∴a．
【举一反三4】已知关于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范围．
【答案】解：整理得：（a﹣1）x＞1﹣2a+a，
（a﹣1）x＞1﹣a，
∵不等式解是x＜﹣1，
∴a﹣1＜0，
解得：a＜1．
【题型10】根据实际问题抽象出一元一次不等式
【典型例题】2023年9月23日，第19届亚运会将在我国杭州市举办．为此，某校举行了关于杭州亚运会的知识竞赛，现共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，则根据题意可列不等式为（ ）
A.10x﹣3（30﹣x）≥70 B.10x﹣3（30﹣x）≤70 C.10x﹣3x≥70 D.10x﹣3（30﹣x）＞70
【答案】A
【解析】由题意可得，
10x﹣3（30﹣x）≥70，
故选：A．
【举一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A.52+15n＞70+12n B.52+15n＜70+12n C.52+12n＞70+15n D.52+12n＜70+15n
【答案】A
【解析】由题意可得：52+15n＞70+12n．
故选：A．
【举一反三2】圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为0.8（2x﹣100）＜1000，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（ ）
A.买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元
B.买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元
C.买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元
D.买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元
【答案】A
【解析】由关系式可知：
0.8（2x﹣100）＜1000，
由2x﹣100，得出两件商品减100元，以及由0.8（2x﹣100）得出买两件打8折，
故可以理解为：买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元．
故选：A．
【举一反三3】今年，刘华的父亲年龄为50岁，刘华的年龄为x岁．若刘华的年龄的4倍再加上3岁还不超过他父亲的年龄，则可列出的不等式是 ．
【答案】4x+3≤50
【解析】根据题意，可列不等式：4x+3≤50，
故答案为：4x+3≤50．
【举一反三4】某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【答案】解：（1）根据题意得，5000×5+5000×80%（x﹣5）＜5000×90%x；
（2）选择方案二，
理由：方案一：5000×12×90%＝54000（元），
方案二：5000×5+5000×80%×（12﹣5）＝53000（元），
∵54000＞53000，
∴选择方案二．
【举一反三5】现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：
小强：x+ ＜9，小刚：0.5x+ ＜9．
（1）小强同学所列的不等式中，x表示的是 硬币的枚数；小刚同学所列的不等式中，x表示的是
硬币的枚数；
（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式；
（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．
【答案】解：（1）根据题意小强、小刚两名同学分别列出尚不完整的不等式如下：
小强：x+0.5×（15﹣x）＜9，
小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9，
小强：x表示有1元硬币的枚数；小刚：x表示有5角硬币的枚数，
故答案为：1元；5角；
（2）由（1）知小强：x+0.5×（15﹣x）＜9，
小刚：0.5x+1×（15﹣x）＜9，
故答案为：0.5×（15﹣x）、1×（15﹣x）；
（3）设小刚可能有5角的硬币x枚，
根据题意得出：0.5x+（15﹣x）＜9，
解得：x＞12，
∵x是自然数，
∴x可取13、14、15．
答：小刚可能有5角的硬币13枚，14枚，15枚．
【题型11】用一元一次不等式解决实际问题
【典型例题】某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（ ）
A.120元 B.132.5元 C.140元 D.142.5元
【答案】C
【解析】设这批电子产品降价x元．
根据题意得，
，
解得x≤140，
所以，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价140元．
故选：C．
【举一反三1】商店为了对某种商品进行促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过8件，则按原价付款；若一次性购买8件以上，则超出的部分打八折，小明带了70元钱，最多可以购买该商品（ ）
A.14件 B.15件 C.16件 D.17件
【答案】B
【解析】设可以购买x件该商品，
根据题意得：5×8+5×0.8（x﹣8）≤70，
解得：x，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为15，
∴最多可以购买15件该商品．
故选：B．
【举一反三2】体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【答案】B
【解析】设小李投进x个球，则投丢（12﹣x）个球，
依题意得：3x﹣（12﹣x）≥28，
解得：x≥10，
∴小李至少要投进10个球．
故选：B．
【举一反三3】某商品进价40元，标价50元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打
折．
【答案】8.8
【解析】设该商品打x折出售，
根据题意得：5040≥40×10%，
解得：x≥8.8，
∴x的最小值为8.8，
即最多可打8.8折．
故答案为：8.8．
【举一反三4】2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
（1）某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
（2）吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
【答案】解：（1）设该商店购进“水仙”公仔的单价是x元，则购进“山侠”公仔的单价是1.2x元，
根据题意得： 110，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是所列方程的解，且符合题意，
∴1.2＝1.2×30＝36．
答：该商店购进“山侠”公仔的单价是36元，“水仙”公仔的单价是30元；
（2）设再次购进y个“山侠”公仔，则购进（300﹣y）个“水仙”公仔，
根据题意得：36y+30（300﹣y）≤10200，
解得：y≤200，
∴y的最大值为200．
答：“山侠”公仔最多能购进200个．
【举一反三5】水果店用1500元首次购进了甲、乙两种水果，甲种水果进价为每千克18元，乙种水果进价为每千克15元，水果店在销售时甲种水果售价为每千克26元，乙种水果售价为每千克20元，全部售完后共获利润600元．
（1）求水果店购进甲、乙两种水果各多少千克？
（2）若水果店以原进价再次购进甲、乙两种水果，购进甲种水果的数量是第一次的2倍，而购进乙种水果的数量不变，甲种水果降价出售，而乙种水果按原售价出售．当两种水果销售完毕时，要使再次获利不少于800元，甲种水果最低售价应为每千克多少元？
【答案】解：（1）设购进甲种水果x千克，乙种水果y千克．
则有，
解得，
答：购进甲种水果50千克，乙种水果40千克；
（2）设甲种水果售价为每千克m元．
由题意得：2×50（m﹣18）+（20﹣15）×40≥800．
解得：m≥24．
答：甲种水果最低售价为每千克24元．
【题型12】一元一次不等式与方案问题
【典型例题】市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重量为8吨、10吨的卡车5辆、7辆，工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备新增购这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则有（ ）种购买方案．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】设购买载重量为8吨的x辆，则购买乙种卡车（6﹣x）辆，由题意得：
8（5+x）+10（7+6﹣x）＞165，
解得：x＜2.5，
∵x≥0的整数，
∴x＝0，1，2，
所以车队有3种购买方案：
方案一：不购买甲种卡车，购买乙种卡车6辆；
方案二：购买甲种卡车1辆，购买乙种卡车5辆；
方案三：甲种卡车2辆，购买乙种卡车4辆．
故选：C．
【举一反三1】小明一家6人去公园游玩，小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，若至少有2个人要吃18元套餐，请问小明购买的方案有（ ）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
【答案】B
【解析】设要吃18元套餐的有x人，
由题意得：18x+12（6﹣x）≤100，
解得：x≤，
又∵2≤x＜6，
∴2≤x≤，
∴x的取值为2，3，4，
∴小明购买的方案有3种．
故选：B．
【举一反三2】在一次综合实践活动中，某小组用Ⅰ号、Ⅱ号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号分别为A，B，C，D，E，每个成品的总零件个数及所需的Ⅰ号、Ⅱ号零件个数如下：
选用两种零件总数不超过25个，每款成品最多组装一个．
（1）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，写出一种满足条件的组装方案 （写出要组装成品的编号）；
（2）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，同时所需的Ⅱ号零件最多，写出满足条件的组装方案 （写出要组装成品的编号）．
【答案】（1）ABD；（2）ACD
【解析】（1）设Ⅰ号零件个数为x，Ⅱ号零件的个数为y，
∵Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，
∴11≤x≤13，
∴由表得满足Ⅰ号零件的组法为：
组ABC用Ⅰ号零件12个，组ABD用Ⅰ号零件12个，组ACD用Ⅰ号零件11个，组BCD用Ⅰ号零件13个，组ACE用Ⅰ号零件13个，组ADE用Ⅰ号零件13个，
以上六种方案中使用Ⅱ号零件个数为：
组ABC用Ⅱ号零件14个，组ABD用Ⅱ号零件11个，组ACD用Ⅱ号零件13个，组BCD用Ⅱ号零件13个，组ACE用Ⅱ号零件12个，组ADE用Ⅱ号零件9个，
∵两种零件总数不超过25个，
∴x+y≤25，
∴满足题意的方案为组ABD，ACD，ACE，ADE，
∴一种满足条件的组装方案可以是ABD，
故答案为：ABD．
（2）由（1）得，组ACD用的Ⅱ号零件最多，
故答案为：ACD．
【举一反三3】今年“六一”节，某商家打出广告：某种果汁原价每瓶2元，现优惠：（1）买一送一；（2）一瓶按原价，其余一律4折，小明为同学选购，则最多买回 瓶果汁时，按第一种方案便宜．
【答案】5
【解析】设买回x瓶果汁时第一种方案便宜，
由题意得，×2＜2+0.4（x﹣1）×2，
解得：x＜6，
则最大整数解为5，
即最多买回5瓶果汁时，第一种方案便宜．
故答案为：5．
【举一反三4】春节期间全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预订量同比暴涨，某景区的票价为50元，为吸引游客推出两套家庭优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人8折优惠；方案二：所有人享受7折优惠．
（1）若小红一家共5人游玩，则选择哪种方案更划算；
（2）经计算小明一家选择方案二更划算，则小明一家至少多少人．
【答案】解：（1）方案一：50×0.8×（5﹣1）＝160（元），
方案二：50×0.7×5＝175（元），
∵160＜175，
∴选择方案一更划算；
（2）设小明家有x人去旅游，根据题意得：
50×0.8（x﹣1）＞50×0.7x，
解得：x＞8，
∴小明家去旅游的至少有9人．
【举一反三5】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案．
方案一：用120元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，商品总价在800以内（包括800元），一律按商品价格的八五折优惠；商品价格大于800元的，按商品价格的七五折优惠；
方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏先购买会员卡，再购买商品，商品的价格为1000元时，实际应支付多少元？
（2）小敏购买标价为700元的商品时，采用哪个方案更优惠？
（3）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
【答案】解：（1）根据题意得：120+1000×0.75＝870（元）．
答：实际应支付870元；
（2）采用方案一购买商品需支付120+700×0.85＝715（元）；
采用方案二购买商品需支付700×0.95＝665（元）．
∵715＞665，
∴采用方案二更优惠；
（3）设购买商品的价格为x元，
当0＜x≤800时，0.85x+120＜0.95x，
解得：x＞1200（不符合题意，舍去）；
当x＞800时，0.75x+120＜0.95x，
解得：x＞600，
∴x＞800．
答：当所购买商品的价格超过800元时，采用方案一更合算．3.3一元一次不等式及其解法
【题型1】判断是否为一元一次不等式 3
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值 4
【题型3】一元一次不等式的解 4
【题型4】一元一次不等式的整数解 5
【题型5】在数轴上表示一元一次不等式的解集 5
【题型6】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集 6
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式 6
【题型8】一元一次不等式与新定义型问题 7
【题型9】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值 8
【题型10】根据实际问题抽象出一元一次不等式 8
【题型11】用一元一次不等式解决实际问题 10
【题型12】一元一次不等式与方案问题 11
【知识点1】一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 1.（2025春 碑林区校级月考）下列式子是一元一次不等式的是（ ） A．2x＜1B．4x=3C．3x2＞2D．2x＜1+y
【知识点2】解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 1.（2025春 闵行区校级月考）以下关于不等式-x-1＜0的判断错误的是（ ） A．0是这个不等式的解B．x＞-1是这个不等式的解集C．大于1的数都是这个不等式的解D．小于1的数都不是这个不等式的解．
2.（2025春 肇庆期末）不等式4x-7≥5的解集是（ ） A．x≤-3B．x≥-3C．x≥3D．x≤3
【知识点3】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 1.（2024春 凤翔县期中）不等式x-2≤的非负整数解有（ ） A．3个B．4个C．5个D．无数个
【知识点4】由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 1.（2025春 武穴市期末）x与3的和的一半是负数，用不等式表示为（ ） A．B．C．D．
2.（2025 澧县一模）小明同学早上7：40前要到达班级，出家门时是7：20，已知他家离学校距离为1600m,他跑步的速度为130m/min,走路的速度为60m/min,小明同学至少跑步多长时间才能保证不迟到，设小明同学跑步时间为x min,根据题意可列不等式正确的为（ ） A．130x+60（20-x）＜1600B．130x+60（x-20）＞1600C．D．
【知识点5】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
②根据题中的不等关系列出不等式．
③解不等式，求出解集．
④写出符合题意的解． 1.（2024春 城关区校级期中）静怡准备用70元在文具店买A，B两种笔记本共7本，A种笔记本每本10元，B种笔记本每本8元，如果至少要买4本A种笔记本，请问静怡购买的方案有（ ） A．2种B．3种C．4种D．5种
【题型1】判断是否为一元一次不等式
【典型例题】下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ）
A.x2+1＞x B.﹣y+1＞y C. 1 D.5+4＞8
【举一反三1】以下是一元一次不等式的是（ ）
A.x+y＞0 B. 0 C.x2≠3 D.3＞1
【举一反三2】给出下列式子：①﹣5＜0；②2x＝3；③3x﹣1＞2；④4x﹣2y≤0；⑤﹣3x+2＞0；⑥x﹣2y．其中属于一元一次不等式的是 ．（填序号）
【举一反三3】判断下列不等式是不是一元一次不等式，如果不是，请简要说明理由．
（1）16x＜0；
（2）3x﹣y＞56；
（3）2y﹣（y﹣9）＜﹣1；
（4）x2≥35．
【题型2】根据一元一次不等式概念求字母的值
【典型例题】若是一元一次不等式，则m＝ ．
【举一反三1】若4x2m﹣3+1＞﹣1是关于x的一元一次不等式，则m＝ ．
【举一反三2】已知（a+1）x|a|﹣1+4＜a﹣2是关于x的一元一次不等式，求a的值，并解这个一元一次不等式．
【举一反三3】已知（k+3）x|k|﹣2+5＜k﹣4是关于x的一元一次不等式，求k的值以及不等式的解集．
【题型3】一元一次不等式的解
【典型例题】下列各数中，是不等式x＞2的解的是（ ）
A.﹣2 B.2 C.1 D.3.5
【举一反三1】已知x＜﹣2，则下列哪个选项是不等式的解（ ）
A.x＝0 B.x＝﹣1 C.x＝﹣2 D.x＝﹣3
【举一反三2】下列数值中是不等式x＜﹣2的解的是（ ）
A.﹣3 B.﹣2 C.﹣1 D.0
【举一反三3】构造一个一元一次不等式，使它的解集是，如 ．
【举一反三4】下列各数中，是不等式x+1＜4解的数有哪些？哪些不是不等式的解？
8、7、5.5、4、2、1、0、2.5、﹣6．
【题型4】一元一次不等式的整数解
【典型例题】已知不等式2x+a＜x+4的正整数解有2个，则a的取值范围是（ ）
A.1＜a＜2 B.1＜a≤2 C.1≤a≤2 D.1≤a＜2
【举一反三1】一元一次不等式7﹣3x≥2x﹣8的非负整数解有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三2】关于x的不等式3x﹣m+2＞0的最小整数解是4，则实数m的取值范围是 ．
【举一反三3】关于x的不等式的最小整数解为n，则n的值为 ．
【举一反三4】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来，写出符合条件的x的非正整数解．
【题型5】在数轴上表示一元一次不等式的解集
【典型例题】不等式﹣2x＜4的解集在数轴上可表示为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】不等式﹣1﹣3x≤2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】已知关于x的不等式2x﹣k≥1的解在数轴上的表示如图，则k的值是 ．
【举一反三3】解下列不等式，并将它的解集在数轴上表示出来．
【举一反三4】解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来．
【题型6】根据在数轴上表示的解写出不等式的解集
【典型例题】一个关于x的不等式的解集表示在数轴上（如图），则这个不等式可以是（ ）
A.2x≥﹣4 B.2x＞﹣4 C.﹣2x≤﹣4 D.﹣2x≥4
【举一反三1】若一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式应是下列中的（ ）
A.x﹣1＜0 B.x﹣1≤0 C.x﹣1＞0 D.x﹣1≥0
【举一反三2】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A.2x+6＞0 B.2x﹣6＜0 C.2x≥6 D.6﹣2x＜0
【举一反三3】一个不等式的解集在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A.x+3＞0 B.x﹣3＜0 C.2x≥6 D.3﹣x＜0
【题型7】根据“五步法”解一元一次不等式
【典型例题】若，则（ ）
A.x＞﹣3 B.x＜﹣3 C.x＞1 D.
【举一反三1】不等式的解集为（ ）
A.x＜2 B.x＜1 C.x＞1 D.x＜﹣1
【举一反三2】不等式6x+8＞3x+8的解集为（ ）
A.x B.x＜0 C.x＞0 D.x
【举一反三3】一元一次不等式3x≤﹣1的解集是 ．
【举一反三4】解不等式1+2（x﹣1）≤3，则x的解集是 ．
【举一反三5】在解不等式x﹣3（x+1）≥1时，小马同学给出了如下解法：
解：去括号，得x﹣3x﹣1≥1，
移项，得x﹣3x≥1+1，
合并同类项，得﹣2x≥2，
两边都除以﹣2，得x≤﹣1．
判断小马同学的解法是否有错误？若有错误，请写出正确的解答过程．
【题型8】一元一次不等式与新定义型问题
【典型例题】定义新运算a⊙b＝b（a＜b），若，则x的取值范围是（ ）
A.x＞﹣10 B.x＞﹣11 C.x＜﹣10 D.x＜11
【举一反三1】定义一种运算：a b＝2a+b（a＜b），则不等式3x （x+1）＞﹣2的解集是（ ）
A. B. C. D.无解
【举一反三2】定义新运算：a b＝﹣2a+b．则不等式x 4＞0的解集是 ．
【举一反三3】定义一种新运算“a☆b”为：当a≥b时，a☆b＝a﹣b：当a＜b时，a☆b＝a+b．
例如：3☆（﹣4）＝3﹣（﹣4）＝7，（﹣6）☆3＝﹣6+3＝﹣3
（1）填空：（﹣5）☆（﹣4）＝ ；
（2）若（3x﹣2）☆（2﹣x）＝6，求x的值；
（3）若（2m+1）☆（m﹣2）＞2，求m的取值范围．
【举一反三4】定义一种新运算“a*b”：当a≥b时，a*b＝a+2b；当a＜b时，a*b＝a﹣2b．例如：3*（﹣4）＝3+（﹣8）＝﹣5，（﹣6）*12＝﹣6﹣24＝﹣30．
（1）填空：（﹣4）*3＝ ；
（2）若（3x﹣4）*（x+6）＝（3x﹣4）+2（x+6），则x的取值范围为 ；
（3）已知（3x﹣7）*（3﹣2x）＜﹣6，求x的取值范围．
【题型9】根据一元一次不等式的解求字母的取值范围或值
【典型例题】已知关于x的不等式（a﹣5）x＜a﹣5的解集为x＞1，则a的取值范围是（ ）
A.a＜0 B.a＜5 C.a＜﹣5 D.a＞5
【举一反三1】不等式（x﹣m）＞2﹣m的解集为x＞2，则m的值为（ ）
A.4 B.2 C.1.5 D.0.5
【举一反三2】已知关于x的不等式（a﹣3）x＞（a﹣3）的解是x＜1．则a的取值范围是 ．
【举一反三3】已知关于x的不等式2（a+1）x＞2x+（4a﹣3）．
（1）当a＝﹣5时，求这个不等式的解集．
（2）如果该不等式的解集为x，求a的取值范围．
（3）如果x＝﹣2是该不等式的一个解，求a的取值范围．
【举一反三4】已知关于x的不等式a（x﹣1）＞x+1﹣2a的解集是x＜﹣1，求a的取值范围．
【题型10】根据实际问题抽象出一元一次不等式
【典型例题】2023年9月23日，第19届亚运会将在我国杭州市举办．为此，某校举行了关于杭州亚运会的知识竞赛，现共有30道选择题，答对一题得10分，若答错或不答一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x题，则根据题意可列不等式为（ ）
A.10x﹣3（30﹣x）≥70 B.10x﹣3（30﹣x）≤70 C.10x﹣3x≥70 D.10x﹣3（30﹣x）＞70
【举一反三1】小霞原有存款52元，小明原有存款70元．从这个月开始，小霞每月存15元零花钱，小明每月存12元零花钱，设经过n个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（ ）
A.52+15n＞70+12n B.52+15n＜70+12n C.52+12n＞70+15n D.52+12n＜70+15n
【举一反三2】圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为0.8（2x﹣100）＜1000，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（ ）
A.买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元
B.买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元
C.买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元
D.买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元
【举一反三3】今年，刘华的父亲年龄为50岁，刘华的年龄为x岁．若刘华的年龄的4倍再加上3岁还不超过他父亲的年龄，则可列出的不等式是 ．
【举一反三4】某商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案可供选择．
方案一：每台按售价的九折销售；
方案二：若购买不超过5台，每台按售价销售；若超过5台，超过的部分每台按售价的八折销售．
已知A型号笔记本电脑的原售价是5000元/台，某公司一次性从该商店购买A型号笔记本电脑x台．
（1）若方案二比方案一更便宜，根据题意列出关于x的不等式．
（2）若公司买12台笔记本，你会选择哪个方案？请说明理由．
【举一反三5】现有1元和5角的硬币共15枚，这些硬币的总币值小于9元．根据此信息，小强、小刚两名同学分别列出不完整的不等式如下：
小强：x+ ＜9，小刚：0.5x+ ＜9．
（1）小强同学所列的不等式中，x表示的是 硬币的枚数；小刚同学所列的不等式中，x表示的是
硬币的枚数；
（2）在横线上补全小强、小刚两名同学所列的不等式；
（3）任选其中一个不等式，求可能有几枚5角的硬币．
【题型11】用一元一次不等式解决实际问题
【典型例题】某批电子产品的进价为200元/件，售价为350元/件．为提高销量，商店准备将这批电子产品降价销售，若要保证单件利润率不低于5%，则该批电子产品最多可降价（ ）
A.120元 B.132.5元 C.140元 D.142.5元
【举一反三1】商店为了对某种商品进行促销，将定价为5元的商品，以下列方式优惠销售：若购买不超过8件，则按原价付款；若一次性购买8件以上，则超出的部分打八折，小明带了70元钱，最多可以购买该商品（ ）
A.14件 B.15件 C.16件 D.17件
【举一反三2】体育课上进行投篮比赛，规定：投进一球可得3分，投丢一球扣1分，每人投篮12次，小李同学要想得分不低于28分，则他至少要投进几个球（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
【举一反三3】某商品进价40元，标价50元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打
折．
【举一反三4】2023年9月15日至17日，第二届湖南旅游发展大会在郴州市隆重举行，大会吉祥物“山侠”和“水仙”，以郴州的“山之侠气”“水之仙气”为灵感创作．
（1）某商店用3600元共购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔110个，用于购买“山侠”公仔与购买“水仙”公仔的总费用相同，且“山侠”公仔的单价是“水仙”公仔的1.2倍．求该商店购进的“山侠”和“水仙”公仔的单价分别是多少元？
（2）吉祥物很受欢迎，公仔很快就卖完了，该商店计划用不超过10200元的资金再次购进“山侠”和“水仙”两种吉祥物公仔共300个．已知两种公仔的进价不变，求“山侠”公仔最多能购进多少个．
【举一反三5】水果店用1500元首次购进了甲、乙两种水果，甲种水果进价为每千克18元，乙种水果进价为每千克15元，水果店在销售时甲种水果售价为每千克26元，乙种水果售价为每千克20元，全部售完后共获利润600元．
（1）求水果店购进甲、乙两种水果各多少千克？
（2）若水果店以原进价再次购进甲、乙两种水果，购进甲种水果的数量是第一次的2倍，而购进乙种水果的数量不变，甲种水果降价出售，而乙种水果按原售价出售．当两种水果销售完毕时，要使再次获利不少于800元，甲种水果最低售价应为每千克多少元？
【题型12】一元一次不等式与方案问题
【典型例题】市内某小区正在紧张建设中，现有大量的沙石需要运输，“不凡”车队分别有载重量为8吨、10吨的卡车5辆、7辆，工程需要一次运输沙石超过165吨，为了完成任务，车队准备新增购这两种卡车共6辆（可以购买两种，也可以购买一种），则有（ ）种购买方案．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】小明一家6人去公园游玩，小明爸爸给了小明100元买午饭，有12元套餐和18元套餐可供选择，若至少有2个人要吃18元套餐，请问小明购买的方案有（ ）
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
【举一反三2】在一次综合实践活动中，某小组用Ⅰ号、Ⅱ号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号分别为A，B，C，D，E，每个成品的总零件个数及所需的Ⅰ号、Ⅱ号零件个数如下：
选用两种零件总数不超过25个，每款成品最多组装一个．
（1）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，写出一种满足条件的组装方案 （写出要组装成品的编号）；
（2）如果Ⅰ号零件个数不少于11个，且不多于13个，同时所需的Ⅱ号零件最多，写出满足条件的组装方案 （写出要组装成品的编号）．
【举一反三3】今年“六一”节，某商家打出广告：某种果汁原价每瓶2元，现优惠：（1）买一送一；（2）一瓶按原价，其余一律4折，小明为同学选购，则最多买回 瓶果汁时，按第一种方案便宜．
【举一反三4】春节期间全国各大景点“人从众”现象刷屏，各大景区门票预订量同比暴涨，某景区的票价为50元，为吸引游客推出两套家庭优惠方案，方案一：享受1人免票，其余人8折优惠；方案二：所有人享受7折优惠．
（1）若小红一家共5人游玩，则选择哪种方案更划算；
（2）经计算小明一家选择方案二更划算，则小明一家至少多少人．
【举一反三5】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种优惠方案．
方案一：用120元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，商品总价在800以内（包括800元），一律按商品价格的八五折优惠；商品价格大于800元的，按商品价格的七五折优惠；
方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品，一律按商品价格的九五折优惠．已知小敏5月1日前不是该商店的会员．
（1）若小敏先购买会员卡，再购买商品，商品的价格为1000元时，实际应支付多少元？
（2）小敏购买标价为700元的商品时，采用哪个方案更优惠？
（3）请帮小敏算一算，所购买商品的价格在什么范围时，采用方案一更合算？
