3.4一元一次不等式组
【题型1】一元一次不等式组概念 6
【题型2】一元一次不等式组的整数解 8
【题型3】在数轴上表示一元一次不等式组的解集 11
【题型4】一元一次不等式组的解法 13
【题型5】根据一元一次不等式组无解求字母的值 15
【题型6】一元一次不等式组与新定义型问题 17
【题型7】根据实际问题抽象出一元一次不等式组 21
【题型8】一元一次不等式组的应用 23
【题型9】一元一次不等式组与方案选择问题 25
【知识点1】一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 1.下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组中，只能有一个未知数，而且未知数的最高次数为1，分别判断每个选项中未知数的个数和未知数的最高次数即可． 【解答】解：A，不等式2x-1＞x2中未知数的最高指数为2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B，满足一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
C，含不等式x＞y中有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D，不等式组中有2个未知数m、n,不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意．
故选：B． 2.下列各不等式组中是一元一次不等式组的有（ ）
①；②；③；④；⑤． A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A 【分析】一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【解答】解：①含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
②未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；
③和④是一元一次不等式组；
是分式，不是整式，故⑤不是一元一次不等式组；
所以是一元一次不等式组的是③④，共2个．
故选：A． 【知识点2】解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 1.（2025 荔湾区校级二模）对于实数a、b,定义一种运算“●”：a●，那么不等式组的解在数轴上表示为（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据定义的新运算可得：，然后按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：，
解不等式①得：x＞-3，
解不等式②得：x≤0，
∴原不等式组的解集为-3＜x≤0，
∴原不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：A． 【知识点3】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 1.（2024春 西安校级月考）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A．a≤1B．a≥1C．0＜a≤1D．0≤a＜1
【答案】D 【分析】首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有3个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【解答】解：解不等式组得：a＜x≤3，
∵恰好有3个整数解，
∴整数解是3，2，1，
∴0≤a＜1．
故选：D． 2.（2024春 霍林郭勒市校级期末）不等式组的整数解的和是（ ） A．9B．10C．23D．6
【答案】B 【分析】先求出不等式组的解集，再求出符合条件的x的整数值，根据其整数值求出其和即可． 【解答】解：解不等式组得，1≤x＜，
∴x的整数解为1，2，3，4，
∴整数解的和是1+2+3+4=10．
故选：B． 【知识点4】由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 【知识点5】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答． 1.（2024 宽城区校级模拟）如果制作一件衣服需要3米布料，而用x米布料至多可制作4件衣服，则x应满足（ ） A．x=12B．12≤x＜15C．9≤x≤12D．9≤x＜15
【答案】B 【分析】根据用x米布料至多可制作4件衣服，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：根据题意得：，
解得：12≤x＜15，
∴x应满足12≤x＜15．
故选：B． 2.（2024春 卢龙县期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ） A．20cm3以上，30cm3以下B．30cm3以上，40cm3以下C．40cm3以上，50cm3以下D．50cm3以上，60cm3以下
【答案】C 【分析】要求每颗玻璃球的体积在哪一个范围内，根据题意，先求出5颗玻璃球的体积最少是多少，5颗玻璃球的体积最少是（500-300）cm3，进而推测这样一颗玻璃球的体积的范围即可． 【解答】解：因为把5颗玻璃球放入水中，结果水满溢出，
所以5颗玻璃球的体积最少是：500-300=200（cm3），
一颗玻璃球的体积最少是：200÷5=40（cm3），
因此推得这样一颗玻璃球的体积在40cm3以上，50cm3以下．
故选：C．
【题型1】一元一次不等式组概念
【典型例题】下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
B、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
C、该不等式组中含有2个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
D、该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项不合题意；
故选：C．
【举一反三1】下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、是二元一次不等式组，故A错误；
B、是一元一次不等式组，故B正确；
C、是一元二次不等式组，故C错误；
D、不是一元一次不等式组，故D错误；
故选：B．
【举一反三2】给出下列组合：①②③④⑤其中，属于一元一次不等式组的是 （填序号）．
【答案】①
【解析】①中的两个不等式是同一个未知数的一元一次不等式，所以它是一元一次不等式组；
②中x+1＝2x是方程，不是一元一次不等式，所以它不是一元一次不等式组；
③中含有两边未知数，所以它不是一元一次不等式组；
④中（x+1）（x﹣1）≤2x是一元二次不等式，不是一元一次不等式，所以它不是一元一次不等式组；
⑤中2＜0.1的未知数x在分母上，不是整式，所以它不是一元一次不等式，即它不是一元一次不等式组．
故答案为：①．
【举一反三3】判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
（1）（2）（3）（4）（5）
【答案】解：（1）中x＝42是方程，不是不等式，故不是一元一次不等式组；
（2）中x2＜81是一元二次不等式，故不是一元一次不等式组；
（3）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组；
（4）含有两个未知数，是二元一次不等式组，故不是一元一次不等式组；
（5）符合一元一次不等式组的定义，是一元一次不等式组．
综上，可知（3）（5）是一元一次不等式组．
【举一反三4】下列不等式组中，哪些是一元一次不等式组？
①
②
③
④
【答案】解：①是一元一次不等式组；
②是二元一次不等式组，不是一元一次不等式组；
③是一元一次不等式组；
④是一元二次不等式组，不是一元一次不等式组，
所以①③是一元一次不等式组．
【题型2】一元一次不等式组的整数解
【典型例题】如图，若x是整数，且满足，则x落在（ ）
A.段④ B.段③ C.段② D.段①
【答案】B
【解析】，
解①得：x，
解②得：x＜2．
则不等式组的解集是： x＜2．
则整数解是1．
故选：B．
【举一反三1】已知关于x的方程的解是非负数，且关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A.27 B.28 C.35 D.36
【答案】A
【解析】解方程得，
x，
因为此方程的解是非负数，
所以3a﹣4＞0，
解得a．
解不等式得，
y，
解不等式4﹣y≤2a﹣3y得，
y≤a﹣2，
因为不等式组至多有3个整数解，
所以a﹣2＜6，
解得a＜8．
综上所述，a的取值范围是：，
所以符合条件的所有整数a的和为：2+3+4+5+6+7＝27．
故选：A．
【举一反三2】x取哪些整数值时，2≤3x﹣7＜11成立（ ）
A.2，3，4 B.3，4，5 C.4，5，6 D.3，4，5，6
【答案】B
【解析】解不等式组，
解不等式①，得x≥3．
解不等式②，得x＜6．
∴不等式组的解集为3≤x＜6．
∴x可取的整数值是3，4，5．
故选：B．
【举一反三3】如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于xy的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是 ．
【答案】2
【解析】，
解不等式①得x＞m，
解不等式②得x＞4，
∵不等式的解集为x＞4，
∴m≤4，
解方程组得，
∵解集为整数，
∴m﹣3＝﹣1或m﹣3＝1或m﹣3＝7或m﹣3＝﹣7，
∴m＝2或m＝4或m＝10或m＝﹣4，
∵m≤4，
∴m＝2或m＝4或m＝﹣4，
∴整数m的和是2+4+（﹣4）＝2，
故答案为：2．
【举一反三4】求不等式组的整数解．
【答案】解：解不等式3x+4＞4x+5，得：x＜﹣1，
解不等式1，得：x＞﹣7，
则不等式组的解集为﹣7＜x＜﹣1，
所以不等式组的整数解有﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2．
【题型3】在数轴上表示一元一次不等式组的解集
【典型例题】右图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ）
A.x≥1 B.x＞﹣1 C.﹣1＜x≤1 D.无解
【答案】A
【解析】在数轴上表示不等式的解集如图，
所以该不等式组的解集是x≥1，
故选：A．
【举一反三1】如图，是一个不等式组的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ）
A.﹣1＜x≤0 B.0＜x≤1 C.0≤x＜1 D.0＜x＜1
【答案】B
【解析】由图可知：
该不等式组的解集是：0＜x≤1，
故选：B．
【举一反三2】某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A.﹣3＜x≤2 B.﹣3≤x≤2 C.x＜﹣3或x≥2 D.x≤﹣3或x≥2
【答案】A
【解析】根据数轴可得：，
∴此不等式组的解集为﹣3＜x≤2，
故选：A．
【举一反三3】如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集 ．
【答案】x≥2
【解析】由在数轴上不是不等式解集的方法可得，数轴上所表示关于x的不等式组的解集为x≥2，
故答案为：x≥2．
【举一反三4】解不等式组并在数轴上表示该不等式组的解集．
【答案】解：
∵解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜2，
∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜2．
所以该不等式组在数轴上表示的解集为：
【举一反三5】解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
（1）1＞x﹣3；
（2）．
【答案】解：（1）去分母得：x﹣5+2＞2x﹣6，
解得：x＜3，
在数轴上表示出来为：
；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣2，
故不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
在数轴上表示出来为：
【题型4】一元一次不等式组的解法
【典型例题】不等式组的解集是（ ）
A.x≤2 B.x＜5 C.2≤x＜5 D.无解
【答案】A
【解析】由2﹣x＞﹣3得：x＜5，
由3x﹣2≤4得：x≤2，
则不等式组的解集为x≤2，
故选：A．
【举一反三1】不等式组的解集是（ ）
A.x≤3 B.x＜7 C.3≤x＜7 D.无解
【答案】A
【解析】解不等式2﹣x＞﹣5，得：x＜7，
解不等式3x≤9，得：x≤3，
则不等式组的解集为x≤3．
故选：A．
【举一反三2】不等式组的解为 ．
【答案】﹣2≤x＜1
【解析】，
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≤﹣2，
∴原不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
故答案为：﹣2≤x＜1．
【举一反三3】不等式组的解是 ．
【答案】﹣2≤x≤1
【解析】解不等式2x≥﹣4，得：x≥﹣2，
解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，
则不等式组的解集为﹣2≤x≤1，
故答案为：﹣2≤x≤1．
【举一反三4】解不等式（组），并把解集表示在下面的数轴上．
（1）3x+1≤x+5；
（2）．
【答案】解：（1）3x+1≤x+5，
移项，得3x﹣x≤5﹣1，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2，
把解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式x﹣1，得：x＜﹣1，
解不等式1+3（x+2）≥﹣1﹣x，得：x≥﹣2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1．
【题型5】根据一元一次不等式组无解求字母的值
【典型例题】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A.a＜﹣2 B.a≤﹣2 C.a＞﹣2 D.a≥﹣2
【答案】D
【解析】由x﹣a＞3得x＞a+3，
由1﹣2x＞x﹣2，得：x＜1，
∵不等式组无解，
∴a+3≥1，
解得a≥﹣2，
故选：D．
【举一反三1】若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A.m≤2 B.m≥2 C.m＜2 D.m＞2
【答案】A
【解析】
由①得，x＜m，
由②得，x＞2，
又因为不等式组无解，
所以m≤2．
故选：A．
【举一反三2】不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解不等式1+3x＞0得，，
解不等式2x﹣m＜0得，，
∵不等式组无解，
∴，
∴．
故选：B．
【举一反三3】若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的方程3y﹣m＝﹣2﹣y的解为非负数，则满足条件的整数m的和是 ．
【答案】14
【解析】，
解不等式①得：x＞5，
∵关于x的一元一次不等式组无解，
∴m≤5，
解方程3y﹣m＝﹣2﹣y得：y，
∵关于y的方程3y﹣m＝﹣2﹣y的解为非负数，
∴0，
∴m≥2，
∴2≤m≤5，
∵m为整数，
∴m为2，3，4，5，
和为2+3+4+5＝14．
故答案为：14．
【举一反三4】若不等式组无解，则a的取值范围是 ．
【答案】a≤﹣2
【解析】，
解不等式①得：x＞﹣a，
解不等式②得：x＜2，
∵不等式组无解，
∴﹣a≥2，
解得：a≤﹣2，
故答案为：a≤﹣2．
【举一反三5】已知关于x的不等式组．
（1）如果不等式组的解集为6＜x＜7，求m的值；
（2）如果不等式组无解，求m的取值范围．
【答案】解：（1）由2x﹣m＞1，得：x，
解不等式3x﹣2m＜﹣1，得：x，
∵不等式组的解集为6＜x＜7，
∴6，
解得m＝11；
（2）∵不等式组无解，
∴，
解得m≤5．
【题型6】一元一次不等式组与新定义型问题
【典型例题】对于实数a，b，定义一种运算“ ”：a b＝a2﹣ab，那么不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由2 x＞0得：4﹣2x＞0，解得x＜2，
由（﹣2） x≤0得：4+2x≤0，解得x≤﹣2，
解集表示在数轴上如下：
所以不等式组的解集为x≤﹣2，
故选：B．
【举一反三1】定义新运算：a b＝2a﹣b+3．例如，5 4＝2×5﹣4+3，则不等式组的解集为（ ）
A.x＞3 B.3＜x＜6 C.无解 D.﹣1＜x＜6
【答案】B
【解析】由0.5 x＞﹣2得1﹣x+3＞﹣2，解得x＜6，
由2x 5＞3x+1得4x﹣5+3＞3x+1，解得x＞3，
则不等式组的解集为3＜x＜6，
故选：B．
【举一反三2】定义[x]表示不大于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]，例如[2]＝2，[﹣2.8]＝﹣3，[2.8]＝2，{2}＝0，{2.8}＝0.8，{﹣2.8}＝0.2
则满足2{x}＝[x]的非零实数x值为 ．
【答案】1.5
【解析】设x＝n+a，其中n为整数，0≤a＜1，则[x]＝n，{x}＝x﹣[x]＝a，
原方程化为：2a＝n，
∴an，
∵0≤a＜1，即0n＜1，
∴0≤n＜2，
∵n为整数，
∴n＝0、1．
当n＝0时，a0＝0，此时x＝0，
∵x为非零实数，
∴x＝0舍去；
当n＝1时，a1＝0.5，此时x＝1.5．
故答案为：1.5．
【举一反三3】我们定义[x]表示不小于实数x的最小整数，例如：[3.7]＝4．现给出下列结论：①[﹣3.14]＝﹣3；②若[x]＝3，则2≤x＜3；③若1.2≤x≤2，则[x]＝2；④若[x]＝2，[y]＝4，则4＜[x+y]≤6．以上选项中，所有正确的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】因为[x]表示不小于实数x的最小整数，
而不小于﹣3.14的最小整数为﹣3，
所以[﹣3.14]＝﹣3．
故①正确．
因为当x为整数时，[x]＝x，
所以当[x]＝3时，
2＜x≤3．
故②错误．
因为1.2≤x≤2，
所以不小于x的最小整数为2，
即[x]＝2．
故③正确．
因为[x]＝2，[y]＝4，
所以1＜x≤2，3＜y≤4，
所以4＜x+y≤6，
所以[x+y]＝5或6，
即4＜[x+y]≤6．
故④正确．
故答案为：①③④．
【举一反三4】定义：[x）表示大于x的最小整数．如[2.3）＝3，[﹣4）＝﹣3．已知m满足不等式组：，求[m）的值．
【答案】解：，
解①得m＜0，
解②得m≥﹣1，
∴﹣1≤m＜0，
∴[m）＝0．
【举一反三5】阅读理解：
材料一：对于任意实数a，我们规定[a]表示不大于a的最大整数．例如：[﹣1.4]＝﹣2．[5.7]＝5，[3]＝3．
材料二：对于任意实数x，y，我们定义一种新运算M（x，y）＝2x+3y，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为M（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．
（1）[π]＝ ，M（3，4）＝ ；
（2）如果，求满足条件的所有整数x；
（3）若线性数M（ [5x﹣2]，﹣x）的值为1，求x的值．
【答案】解：（1）∵规定[a]表示不大于a的最大整数，
∴[π]＝3，
∵M（x，y）＝2x+3y，
M（3，4）＝2×3+3×4＝18．
故答案为：3，18；
（2）由题意得：5，
解得13≤x＜16，
∴满足条件的所有整数为13，14，15；
（3）由题意得：[5x﹣2]﹣3x＝1，
∴[5x﹣2]＝1+3x，
∴1+3x≤5x﹣2＜2+3x，
解得，
∵1+3x是整数，
∴x．
【题型7】根据实际问题抽象出一元一次不等式组
【典型例题】用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】设有x辆车，则有（4x+20）吨货物．
∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
∴装满的有x﹣1辆车，
由题意，得，
即：．
故选：D．
【举一反三1】检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A.7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3
B.7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3
C.7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3
D.7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×3
【答案】A
【解析】根据题意知7.27.8，
∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，
故选：A．
【举一反三2】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A.4x+19﹣7（x﹣1）＞0
B.4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C.
D.
【答案】C
【解析】∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住，
∴学生总人数为（4x+19）人，
由题意得：，
故选：C．
【举一反三3】把一筐苹果分给几个学生，如果每人分3个，那么余8个；如果每人分5个，那么最后一人分到，但不足3个．设学生有x人，列不等式组为 ．
【答案】
【解析】设学生有x人，列不等式组为：．
故答案为：．
【举一反三4】已知两个语句：
①式子2x﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间；
②式子2x﹣1的值不小于1且不大于3．
请回答以下问题：
（1）两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？
（2）把两个语句分别用数学式子表示出来．
【答案】解：（1）一样；
（2）①式子2x﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间可得1≤2x﹣1≤3；
②式子2x﹣1的值不小于1且不大于3可得．
【举一反三5】用A，B两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表：
现配制成饮料12kg，至少含有4000单位的维生素C，试写出所需A种原料的质量x（kg）应满足的不等式： ；若购买A，B两种原料的费用不超过70元，则x（kg）应满足的另一个不等式为： ．
【答案】解：（1）设所需A种原料的质量x（kg），则需B种原料的质量（12﹣x）kg，
根据题意，得：500x+200（12﹣x）≥4000，
故答案为：500x+200（12﹣x）≥4000；
（2）由题意得，7x+3（12﹣x）≤70，
故答案为：7x+3（12﹣x）≤70．
【题型8】一元一次不等式组的应用
【典型例题】如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将320cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A.25cm3以上，30cm3以下 B.30cm3以上，33cm3以下 C.30cm3以上，36cm3以下 D.33cm3以上，36cm3以下
【答案】C
【解析】设一颗玻璃球的体积为xcm2．
，
解得：30＜x＜36．
故选：C．
【举一反三1】八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A.8人 B.9人 C.10人 D.11人
【答案】A
【解析】设该小组共有x人，则共植树（7x+9）棵，
根据题意得：，
解得： x＜9，
又∵x为正整数，
∴x＝8，
∴该小组共有8人．
故选：A．
【举一反三2】把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
【答案】26
【解析】设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本，
由题意得：，
解得：5＜x≤6.5，
∵x为非负整数，
∴x＝6．
∴这些书共有：3×6+8＝26（本）．
故答案为：26．
【举一反三3】我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人．
【答案】5
【解析】设有小学生x个，根据题意得：
2x+7 5（x 2）＜4，
解得：x，
∵x为整数，
∴x＝5，
∴共有小学生5人．
故答案为：5．
【举一反三4】某市初中数学联赛，有A、B、C、D四校参加，A、B校共有16名选手，B、C校共有20名选手，C、D校共有34名选手，且各校选手人数正好按A、B、C、D次序从小到大排列，求各校人数．
【答案】解：设A学校有x人，则B学校有（16﹣x）人，C学校有（x+4）人，D学校有（16﹣x+14）人，根据题意得：
x＜16﹣x即x＜8，
16﹣x＜x+4即x＞6，
∴6＜x＜8，
∴x为整数，
∴x＝7．
答：A学校有7人，则B学校有9人，C学校有11人，D学校有23人．
【题型9】一元一次不等式组与方案选择问题
【典型例题】杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 种购买方案．
【答案】3
【解析】设购买篮球x个，则购买足球（100﹣x）个，
依题意得：，
解得：40≤x≤42．
又∵x为正整数，
∴x可以为40，41，42，
∴共有3种购买方案．
故答案为：3．
【举一反三1】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件．已知生产一件A种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．则安排A、B两种产品的生产件数有 种方案．
【答案】3
【解析】（1）设生产x件A种产品，则生产B产品（50﹣x）件，由题意得：
，
解得：30≤x≤32，
∵x为整数，
∴x＝30，31，32，
∴有3种生产方案：
方案1，A产品30件，B产品20件；
方案2，A产品31件，B产品19件；
方案3，A产品32件，B产品18件．
故答案为：3．
【举一反三2】某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】解：（1）设拖把每把x元，扫帚每把y元，依题意有
，
解得：．
答：拖把每把20元，扫帚每把10元．
（2）设购买拖把a把，则扫帚（200﹣a）把，依题意有
，
解得a≤69，
∵a为整数，
∴a＝67，68，69，
∴有3种购买方案，①买拖把67把，扫帚133把；②买拖把68把，扫帚132把；③买拖把69把，扫帚131把．
当a＝67时，共花费67×20+133×10＝2670（元）；
当a＝68时，共花费68×20+132×10＝2680（元）；
当a＝69时，共花费69×20+131×10＝2690（元）；
∵2670＜2680＜2690，
∴选择方案买拖把67把，扫帚133把最省钱．
【举一反三3】某县著名传统土特产“豆笋”“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱，已知2件豆笋和3件豆干进货价共240元，3件豆笋和4件豆干进货价共340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
【答案】解：（1）设豆笋、豆干的进价分别是a元/件、b元/件，
则，
解得，
故豆笋、豆干的进价分别是60元/件，40元/件；
（2）设豆干购进n件，则豆笋购进（200﹣n）件，
，
解得78≤n≤80，
∴n＝78时，200﹣n＝122，即豆干购进78件，则豆笋购进122件，
n＝79时，200﹣n＝121，即豆干购进79件，则豆笋购进121件，
n＝80时，200﹣n＝120，即豆干购进80件，则豆笋购进120件．3.4一元一次不等式组
【题型1】一元一次不等式组概念 4
【题型2】一元一次不等式组的整数解 5
【题型3】在数轴上表示一元一次不等式组的解集 5
【题型4】一元一次不等式组的解法 6
【题型5】根据一元一次不等式组无解求字母的值 7
【题型6】一元一次不等式组与新定义型问题 7
【题型7】根据实际问题抽象出一元一次不等式组 8
【题型8】一元一次不等式组的应用 10
【题型9】一元一次不等式组与方案选择问题 11
【知识点1】一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义：
几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
（2）概念解析
形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 1.下列选项中，是一元一次不等式组的是（ ） A．B．C．D．
2.下列各不等式组中是一元一次不等式组的有（ ）
①；②；③；④；⑤． A．2个B．3个C．4个D．5个
【知识点2】解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 1.（2025 荔湾区校级二模）对于实数a、b,定义一种运算“●”：a●，那么不等式组的解在数轴上表示为（ ） A．B．C．D．
【知识点3】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 1.（2024春 西安校级月考）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（ ） A．a≤1B．a≥1C．0＜a≤1D．0≤a＜1
2.（2024春 霍林郭勒市校级期末）不等式组的整数解的和是（ ） A．9B．10C．23D．6
【知识点4】由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 【知识点5】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答． 1.（2024 宽城区校级模拟）如果制作一件衣服需要3米布料，而用x米布料至多可制作4件衣服，则x应满足（ ） A．x=12B．12≤x＜15C．9≤x≤12D．9≤x＜15
2.（2024春 卢龙县期末）如图是测量一颗玻璃球体积的过程：①将300mL的水倒进一个容量为500ml的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满且溢出．根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（ ） A．20cm3以上，30cm3以下B．30cm3以上，40cm3以下C．40cm3以上，50cm3以下D．50cm3以上，60cm3以下
【题型1】一元一次不等式组概念
【典型例题】下列不是一元一次不等式组的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】给出下列组合：①②③④⑤其中，属于一元一次不等式组的是 （填序号）．
【举一反三3】判断下列式子中，哪些是一元一次不等式组？
（1）（2）（3）（4）（5）
【举一反三4】下列不等式组中，哪些是一元一次不等式组？
①
②
③
④
【题型2】一元一次不等式组的整数解
【典型例题】如图，若x是整数，且满足，则x落在（ ）
A.段④ B.段③ C.段② D.段①
【举一反三1】已知关于x的方程的解是非负数，且关于y的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A.27 B.28 C.35 D.36
【举一反三2】x取哪些整数值时，2≤3x﹣7＜11成立（ ）
A.2，3，4 B.3，4，5 C.4，5，6 D.3，4，5，6
【举一反三3】如果关于x的不等式组的解集为x＞4，且整数m使得关于xy的二元一次方程组的解为整数（x，y均为整数），则符合条件的所有整数m的和是 ．
【举一反三4】求不等式组的整数解．
【题型3】在数轴上表示一元一次不等式组的解集
【典型例题】右图是一个不等式组中的所有不等式的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ）
A.x≥1 B.x＞﹣1 C.﹣1＜x≤1 D.无解
【举一反三1】如图，是一个不等式组的解集在数轴上的表示，则该不等式组的解集是（ ）
A.﹣1＜x≤0 B.0＜x≤1 C.0≤x＜1 D.0＜x＜1
【举一反三2】某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A.﹣3＜x≤2 B.﹣3≤x≤2 C.x＜﹣3或x≥2 D.x≤﹣3或x≥2
【举一反三3】如图，数轴上所表示关于x的不等式组的解集 ．
【举一反三4】解不等式组并在数轴上表示该不等式组的解集．
【举一反三5】解不等式（组），并将解集在数轴上表示出来：
（1）1＞x﹣3；
（2）．
【题型4】一元一次不等式组的解法
【典型例题】不等式组的解集是（ ）
A.x≤2 B.x＜5 C.2≤x＜5 D.无解
【举一反三1】不等式组的解集是（ ）
A.x≤3 B.x＜7 C.3≤x＜7 D.无解
【举一反三2】不等式组的解为 ．
【举一反三3】不等式组的解是 ．
【举一反三4】解不等式（组），并把解集表示在下面的数轴上．
（1）3x+1≤x+5；
（2）．
【题型5】根据一元一次不等式组无解求字母的值
【典型例题】若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A.a＜﹣2 B.a≤﹣2 C.a＞﹣2 D.a≥﹣2
【举一反三1】若不等式组无解，那么m的取值范围是（ ）
A.m≤2 B.m≥2 C.m＜2 D.m＞2
【举一反三2】不等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的方程3y﹣m＝﹣2﹣y的解为非负数，则满足条件的整数m的和是 ．
【举一反三4】若不等式组无解，则a的取值范围是 ．
【举一反三5】已知关于x的不等式组．
（1）如果不等式组的解集为6＜x＜7，求m的值；
（2）如果不等式组无解，求m的取值范围．
【题型6】一元一次不等式组与新定义型问题
【典型例题】对于实数a，b，定义一种运算“ ”：a b＝a2﹣ab，那么不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】定义新运算：a b＝2a﹣b+3．例如，5 4＝2×5﹣4+3，则不等式组的解集为（ ）
A.x＞3 B.3＜x＜6 C.无解 D.﹣1＜x＜6
【举一反三2】定义[x]表示不大于x的最大整数，{x}＝x﹣[x]，例如[2]＝2，[﹣2.8]＝﹣3，[2.8]＝2，{2}＝0，{2.8}＝0.8，{﹣2.8}＝0.2
则满足2{x}＝[x]的非零实数x值为 ．
【举一反三3】我们定义[x]表示不小于实数x的最小整数，例如：[3.7]＝4．现给出下列结论：①[﹣3.14]＝﹣3；②若[x]＝3，则2≤x＜3；③若1.2≤x≤2，则[x]＝2；④若[x]＝2，[y]＝4，则4＜[x+y]≤6．以上选项中，所有正确的序号是 ．
【举一反三4】定义：[x）表示大于x的最小整数．如[2.3）＝3，[﹣4）＝﹣3．已知m满足不等式组：，求[m）的值．
【举一反三5】阅读理解：
材料一：对于任意实数a，我们规定[a]表示不大于a的最大整数．例如：[﹣1.4]＝﹣2．[5.7]＝5，[3]＝3．
材料二：对于任意实数x，y，我们定义一种新运算M（x，y）＝2x+3y，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为M（x，y），其中x，y叫做线性数的一个数对．
（1）[π]＝ ，M（3，4）＝ ；
（2）如果，求满足条件的所有整数x；
（3）若线性数M（ [5x﹣2]，﹣x）的值为1，求x的值．
【题型7】根据实际问题抽象出一元一次不等式组
【典型例题】用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A.7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3
B.7.2×3＜7.4+7.9+x≤7.8×3
C.7.2×3＞7.4+7.9+x＞7.8×3
D.7.2×3＜7.4+7.9+x＜7.8×3
【举一反三2】我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住7人，则有一间宿舍不空但所住的人数不足5人．若设宿舍间数为x，根据题意x应满足的不等式（组）为（ ）
A.4x+19﹣7（x﹣1）＞0
B.4x+19﹣7（x﹣1）＜5
C.
D.
【举一反三3】把一筐苹果分给几个学生，如果每人分3个，那么余8个；如果每人分5个，那么最后一人分到，但不足3个．设学生有x人，列不等式组为 ．
【举一反三4】已知两个语句：
①式子2x﹣1的值在1（含1）与3（含3）之间；
②式子2x﹣1的值不小于1且不大于3．
请回答以下问题：
（1）两个语句表达的意思是否一样（不用说明理由）？
（2）把两个语句分别用数学式子表示出来．
【举一反三5】用A，B两种原料配制某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表：
现配制成饮料12kg，至少含有4000单位的维生素C，试写出所需A种原料的质量x（kg）应满足的不等式： ；若购买A，B两种原料的费用不超过70元，则x（kg）应满足的另一个不等式为： ．
【题型8】一元一次不等式组的应用
【典型例题】如图是测量一颗玻璃球体积的过程：
（1）将320cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；
（2）将五颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出．
根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A.25cm3以上，30cm3以下 B.30cm3以上，33cm3以下 C.30cm3以上，36cm3以下 D.33cm3以上，36cm3以下
【举一反三1】八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（ ）
A.8人 B.9人 C.10人 D.11人
【举一反三2】把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有 本．
【举一反三3】我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 人．
【举一反三4】某市初中数学联赛，有A、B、C、D四校参加，A、B校共有16名选手，B、C校共有20名选手，C、D校共有34名选手，且各校选手人数正好按A、B、C、D次序从小到大排列，求各校人数．
【题型9】一元一次不等式组与方案选择问题
【典型例题】杭州市将在2022年举办亚运会，为加强学校体育工作，某学校决定购买一批篮球和足球共100个．已知篮球和足球的单价分别为120元和90元．根据需求，篮球购买的数量不少于40个．学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10260元，则有 种购买方案．
【举一反三1】某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品50件．已知生产一件A种产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B种产品需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．则安排A、B两种产品的生产件数有 种方案．
【举一反三2】某小区为激励更多居民积极参与“分类适宜，垃圾逢春”活动，决定购买拖把和扫帚作为奖品，奖励给垃圾分类表现优异的居民．若购买3把拖把和2把扫帚共需80元，购买2把拖把和1把扫帚共需50元．
（1）请问拖把和扫帚每把各多少元？
（2）现准备购买拖把和扫帚共200把，且要求购买拖把的费用不低于购买扫帚的费用，所有购买的资金不超过2690元，问有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【举一反三3】某县著名传统土特产“豆笋”“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱，已知2件豆笋和3件豆干进货价共240元，3件豆笋和4件豆干进货价共340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
