5.1常量与变量
【题型1】常量与变量 2
【题型2】用关系式表示变量间的关系 2
【题型3】根据表格写出两个变量之间的关系式 3
【题型4】用图象表示变量间的关系 6
【知识点1】常量与变量 （1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 1.（2025 榕江县校级二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（ ） A．总价B．数量C．单价D．总价和数量
【题型1】常量与变量
【典型例题】笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（ ）
A.a是常量时，y是变量 B.a是变量时，y是常量 C.a是变量时，y也是变量 D.无论a是常量还是变量，y都是变量
【举一反三1】在圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），常量与变量分别是（ ）
A.常量是，变量是V，h B.常量是，变量是h，r C.常量是，变量是V，h，r D.常量是，变量是V，h，π，r
【举一反三2】某市居民用电价格是0.58元/（千瓦 时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦 时，其中常量是 ，变量是 ．
【举一反三3】写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
【题型2】用关系式表示变量间的关系
【典型例题】某梯形上底长、下底长分别是x，y，高是6，面积是24，则y与x之间的关系式是（ ）
A.y＝﹣x+8 B.y＝﹣x+4 C.y＝x﹣8 D.y＝x﹣4
【举一反三1】已知A，B两地相距3km，小黄从A地到B地的速度为4km/h．若用x（h）表示行走的时间，y（km）表示余下的路程，则y与x之间的关系式是（ ）
A.y＝4x（x≥0） B.y＝4x﹣3（x） C.y＝3﹣4x（x≥0） D.y＝4x（0≤x）
【举一反三2】小红到文具店买彩笔，每打彩笔是12支，售价18元，那么买彩笔所需的钱数y（元）与购买彩笔的支数x（支）之间的关系式为（ ）
A. B. C.y＝12x D.y＝18x
【举一反三3】某公司制作毕业纪念册按照每册8元销售，则总销售额y（元）与销售纪念册的册数x（册）之间的关系式为 ．
【举一反三4】某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求：
（1）应交水费y与用水量x的关系式；
（2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？
【题型3】根据表格写出两个变量之间的关系式
【典型例题】弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
下列说法错误的是（ ）
A.弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量
B.如果物体的质量为xkg，那么弹簧的长度ycm可以表示为y＝12+0.5x
C.在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为7kg时，弹簧的长度为16cm
D.在没挂物体时，弹簧的长度为12cm
【举一反三1】一蓄水池中有水40m3，如果每分钟放出2m3的水，水池里的水量与放水时间有如下关系：
下列数据中满足此表格的是（ ）
A.放水时间8分钟，水池中水量25m3
B.放水时间20分钟，水池中水量4m3
C.放水时间26分钟，水池中水量14m3
D.放水时间18分钟，水池中水量4m3
【举一反三2】一根水管以固定的速度从一个容积为100m2的装满水的水池向外放水，如图放水时间t（min）和水池内的剩余水量Q（m3）的一些对应数据如下表所示，下面能表示剩余水量Q（m3）和放水时间t（min）的关系的式子是（ ）
A.Q＝100﹣2t B.Q＝2t C.Q＝48t D.Q＝t+94
【举一反三3】一蓄水池中有水40m3，如果每分钟放出2m3的水，水池里的水量与放水时间有如下关系：
下列数据中满足此表格的是（ ）
A.放水时间8分钟，水池中水量25m3
B.放水时间20分钟，水池中水量4m3
C.放水时间26分钟，水池中水量14m3
D.放水时间18分钟，水池中水量4m3
【举一反三4】小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为 ．
【举一反三5】老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如表：
根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 ．
【举一反三6】为了解某种汽车的耗油量，实验人员对这种车进行了试验，并把试验的数据记录下来，制成如表所示，剩余油量Q（单位：升）与汽车行驶时间t（单位：小时）的关系式是 ．
【举一反三7】某超市进了一批草莓，出售时销售量x与销售总价y的关系如表：
根据表中的数据写出销售总价y（元）与销售量x（kg）之间的关系式： ．
【题型4】用图象表示变量间的关系
【典型例题】艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个上山顶的过程中变量y与x之间关系的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【举一反三2】如图中所反映的过程是：李红从家跑步去体育中心广场，在那里锻炼了一阵后，又去面馆吃面，然后步行回家．其中x表示时间，y表示李红离家的距离．根据图象，以下四个说法错误的是（ ）
A.李红从面馆回家的平均速度是3千米/小时
B.体育中心广场离面馆4千米
C.李红在体育中心广场锻炼了15分钟
D.体育中心广场离李红家2.5千米
【举一反三3】艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个上山顶的过程中变量y与x之间关系的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.5.1常量与变量
【题型1】常量与变量 2
【题型2】用关系式表示变量间的关系 3
【题型3】根据表格写出两个变量之间的关系式 5
【题型4】用图象表示变量间的关系 9
【知识点1】常量与变量 （1）变量和常量的定义：
在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量．
（2）方法：
①常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化；
②常量和变量是相对于变化过程而言的．可以互相转化；
③不要认为字母就是变量，例如π是常量． 1.（2025 榕江县校级二模）如图是佳佳购买贵州刺梨干的销售标签，则在单价、数量、总价的关系中，常量是（ ） A．总价B．数量C．单价D．总价和数量
【答案】C 【分析】根据常量是固定不变的量，变量是变化的量来判断结果． 【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，单价是不变的，而总价是随着数量的变化而变化，
故选：C．
【题型1】常量与变量
【典型例题】笔记本每本a元，买3本笔记本共支出y元，下列选项判断正确的有（ ）
A.a是常量时，y是变量 B.a是变量时，y是常量 C.a是变量时，y也是变量 D.无论a是常量还是变量，y都是变量
【答案】C
【解析】根据题意，可知a是变量时，y也是变量，
故选：C．
【举一反三1】在圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），常量与变量分别是（ ）
A.常量是，变量是V，h B.常量是，变量是h，r C.常量是，变量是V，h，r D.常量是，变量是V，h，π，r
【答案】C
【解析】由圆锥体积公式中（其中，r表示圆锥底面半径，h表示圆锥的高），
可知：常量是，变量是V，h，r．
故选：C．
【举一反三2】某市居民用电价格是0.58元/（千瓦 时），居民应付电费为y元，用电量为x千瓦 时，其中常量是 ，变量是 ．
【答案】0.58；x，y
【解析】由题意，可知：常量是0.58，变量是x，y．
故答案为：0.58；x，y．
【举一反三3】写出下列各问题中的关系式中的常量与变量：
（1）分针旋转一周内，旋转的角度n（度）与旋转所需要的时间t（分）之间的关系式n＝6t；
（2）一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程S（千米）与行驶时间t（时）之间的关系式s＝40t．
【答案】解：（1）常量：6；变量：n，t．
（2）常量：40；变量：s，t．
【题型2】用关系式表示变量间的关系
【典型例题】某梯形上底长、下底长分别是x，y，高是6，面积是24，则y与x之间的关系式是（ ）
A.y＝﹣x+8 B.y＝﹣x+4 C.y＝x﹣8 D.y＝x﹣4
【答案】A
【解析】梯形上底长、下底长分别是x，y，高是6，面积是24，
则y与x之间的表达式是：24＝（x+y）×6÷2，
即y＝﹣x+8，
故选：A．
【举一反三1】已知A，B两地相距3km，小黄从A地到B地的速度为4km/h．若用x（h）表示行走的时间，y（km）表示余下的路程，则y与x之间的关系式是（ ）
A.y＝4x（x≥0） B.y＝4x﹣3（x） C.y＝3﹣4x（x≥0） D.y＝4x（0≤x）
【答案】C
【解析】∵小黄x小时行驶4xkm，
∴剩余路程为（3﹣4x）km，
∴y与x之间的表达式是y＝3﹣4x（x≥0）．
故选：C．
【举一反三2】小红到文具店买彩笔，每打彩笔是12支，售价18元，那么买彩笔所需的钱数y（元）与购买彩笔的支数x（支）之间的关系式为（ ）
A. B. C.y＝12x D.y＝18x
【答案】B
【解析】每支彩笔的价格是（元）
∴，
故选：B．
【举一反三3】某公司制作毕业纪念册按照每册8元销售，则总销售额y（元）与销售纪念册的册数x（册）之间的关系式为 ．
【答案】y＝8x
【解析】y＝8x．
故答案为：y＝8x．
【举一反三4】某市为了加强公民节水意识，某市制定了如下用水收费标准．每户每月用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元：超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，现有某户居民5月份用水x吨（x＞10），应交水费y元，则求：
（1）应交水费y与用水量x的关系式；
（2）若小明家里本月缴水费39元，请问小明家里用水多少吨？
【答案】解：（1）根据题意得，y＝1.2×10+（x﹣10）×1.8＝1.8x﹣6，
答：应交水费y与用水量x的关系式为：y＝1.8x﹣6．
（2）当y＝39时，1.8x﹣6＝39，
解得，x＝25，
答：小明家里用水25吨．
【题型3】根据表格写出两个变量之间的关系式
【典型例题】弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm）与所挂物体的质量（kg）之间的关系如下表：
下列说法错误的是（ ）
A.弹簧的长度随物体的质量的变化而变化，物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量
B.如果物体的质量为xkg，那么弹簧的长度ycm可以表示为y＝12+0.5x
C.在弹簧能承受的范围内，当物体的质量为7kg时，弹簧的长度为16cm
D.在没挂物体时，弹簧的长度为12cm
【答案】C
【解析】A、反映了所挂物体的质量和弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量；弹簧的长度是因变量，故本选项正确，不符合题意；
B、当物体的质量为xkg时，弹簧的长度是y＝12+0.5x，故本选项正确，不符合题意；
C、由B中7＝12+0.5x，解得x＝﹣10，不在弹簧的弹性范围内，故本选项错误，符合题意；
D、这是正确的，不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】一蓄水池中有水40m3，如果每分钟放出2m3的水，水池里的水量与放水时间有如下关系：
下列数据中满足此表格的是（ ）
A.放水时间8分钟，水池中水量25m3
B.放水时间20分钟，水池中水量4m3
C.放水时间26分钟，水池中水量14m3
D.放水时间18分钟，水池中水量4m3
【答案】D
【解析】设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝40﹣2t，
A、放水8分钟，水池中水量为24m3，故本选项错误；
B、放水时间20分钟，水池中水量0，故本选项错误；
C、放水时间26分钟，水池中水量0，故本选项错误；
D、放水时间18分钟，水池中水量4m3，故本选项正确；
故选：D．
【举一反三2】一根水管以固定的速度从一个容积为100m2的装满水的水池向外放水，如图放水时间t（min）和水池内的剩余水量Q（m3）的一些对应数据如下表所示，下面能表示剩余水量Q（m3）和放水时间t（min）的关系的式子是（ ）
A.Q＝100﹣2t B.Q＝2t C.Q＝48t D.Q＝t+94
【答案】A
【解析】由表格数据可知，每分钟减少水量2m3
∴Q＝100﹣2t．
故选：A．
【举一反三3】一蓄水池中有水40m3，如果每分钟放出2m3的水，水池里的水量与放水时间有如下关系：
下列数据中满足此表格的是（ ）
A.放水时间8分钟，水池中水量25m3
B.放水时间20分钟，水池中水量4m3
C.放水时间26分钟，水池中水量14m3
D.放水时间18分钟，水池中水量4m3
【答案】D
【解析】设蓄水量为y，时间为t，
则可得y＝40﹣2t，
A、放水8分钟，水池中水量为24m3，故本选项错误；
B、放水时间20分钟，水池中水量0，故本选项错误；
C、放水时间26分钟，水池中水量0，故本选项错误；
D、放水时间18分钟，水池中水量4m3，故本选项正确；
故选：D．
【举一反三4】小颖准备乘出租车到距家超过3km的科技馆参观，出租车的收费标准如下：
则小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为 ．
【答案】y＝1.8x+2.6
【解析】小颖应付车费y（元）与行驶里程数x（km）之间的关系式为：y＝1.8x+2.6；
故答案为：y＝1.8x+2.6．
【举一反三5】老张购进一批柚子，在集贸市场零售，已知卖出的柚子重量x（kg）与售价y（元）之间的关系如表：
根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为 ．
【答案】y＝1.2x+0.1
【解析】根据表中数据可知，售价y（元）与重量x（kg）之间的关系式为：y＝1.2x+0.1．
故答案为：y＝1.2x+0.1．
【举一反三6】为了解某种汽车的耗油量，实验人员对这种车进行了试验，并把试验的数据记录下来，制成如表所示，剩余油量Q（单位：升）与汽车行驶时间t（单位：小时）的关系式是 ．
【答案】Q＝52﹣5t
【解析】由表格中的数据可得，汽车行驶时间每增加1小时，油箱中剩余油量就减少5升，
所以剩余油量Q（单位：升）与汽车行驶时间t（单位：小时）的关系式是Q＝52﹣5t，
故答案为：Q＝52﹣5t．
【举一反三7】某超市进了一批草莓，出售时销售量x与销售总价y的关系如表：
根据表中的数据写出销售总价y（元）与销售量x（kg）之间的关系式： ．
【答案】y＝40.5x
【解析】观察表格即可得到：y＝40.5x，
故答案为：y＝40.5x．
【题型4】用图象表示变量间的关系
【典型例题】艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个上山顶的过程中变量y与x之间关系的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
刚开始，艳艳与君君是坐缆车上山，变化趋势比较快，
休息一段时间，步行登山至缙云山山顶，变化趋势比较平缓，
故选：B．
【举一反三1】重庆一中初三学生小欣暑假骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回500米，再前进了1000米，则她离起点的距离s与时间t的关系示意图是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】根据他先前进了1000米，得图象是一段上升的直线，
休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，
沿原路返回500米，得图象是一段下降的直线，
最后再前进了1000米，得图象是一段上升的直线．
综合得图象是C．
故选：C．
【举一反三2】如图中所反映的过程是：李红从家跑步去体育中心广场，在那里锻炼了一阵后，又去面馆吃面，然后步行回家．其中x表示时间，y表示李红离家的距离．根据图象，以下四个说法错误的是（ ）
A.李红从面馆回家的平均速度是3千米/小时
B.体育中心广场离面馆4千米
C.李红在体育中心广场锻炼了15分钟
D.体育中心广场离李红家2.5千米
【答案】B
【解析】A、∵李红从面馆回家所用时间为95﹣65＝30（分钟），距离为1.5km，
∴李红从面馆回家的平均速度1.5÷0.5＝3（千米/时），故本选项不符合题意；
B、体育中心广场离小红家2.5千米，体育中心广场离面馆距离无法确定，因为题目没说体育中心广场、面馆和家三者在同一直线上，故本选项符合题意；
C、由图象可得出小红在体育中心广场锻炼30﹣15＝15（分钟），故本选项不符合题意；
D、由图象可知，体育中心广场离李红家2.5千米，故本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三3】艳艳与君君约定去爬缙云山，开始两人一起坐缆车至中转点，休息片刻后步行登山至缙云山山顶欣赏美景．设所用的时间为x，离山脚的高度为y，如图能反映整个上山顶的过程中变量y与x之间关系的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】由题意可得，
刚开始，艳艳与君君是坐缆车上山，变化趋势比较快，
休息一段时间，步行登山至缙云山山顶，变化趋势比较平缓，
故选：B．
