浙教版数学七年级上册期末压轴专题——数轴动点问题（含解析）

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浙教版数学七年级上册期末压轴专题——数轴动点问题
1．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 　 　 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与 　 　 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　 　 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣3到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　 　 ．
3．在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝　 　 ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　 　 ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　 　 ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
4．数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．
例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”．
（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 　 　 ；
（2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数．
5．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ 　 　 ；
（2）若AP+BP＝6，则x＝ 　 　 ；若AP﹣BP＝1，则x＝ 　 　 ；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
（1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　 　 ，B　 　 ，C　 　 ；
（2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动；
①求18秒后动点P与点B之间的距离；
②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
7．数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．小亮在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 　 　 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使1表示的点与﹣3表示的点重合，则3表示的点与 　 　 表示的点重合；假如A、B两点经过折叠后重合，且数轴上A、B两点之间距离为5（A在B的左侧），则A、B两点表示的数分别是A：　 　 ，B：　 　 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下从﹣6到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　 　 ．
8．如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣26，﹣10，B，C两点对应的数互为相反数．
（1）求AB，AC的长．
（2）若点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点M到达B点时，点N从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，设M点的移动时间为t（秒）．
①问t为何值时，B为MN的中点？
②当时，求t的值．
9．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　 　 cm；
（2）图中点A所表示的数是　 　 ，点B所表示的数是　 　 ；
（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
10．对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为A'，则称点A'为点A的“ab倍联动点”（a、b均为正整数）．
例如，点A表示的数为2，当a＝1，b＝3时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当a＝3，b＝1时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为﹣1．请根据以上信息回答下列问题：
（1）已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是 　 　 ．
（2）若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数．
（3）已知数轴上两点M，N表示的数分别为m，n（m≠n），且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”P′与点Q之间的距离始终为3，求k的值．
11．如图，在数轴上点A表示数为﹣5，点B表示数为10，点C表示数为1．
（1）线段AB的长为 　 　 ，线段AC的中点表示的数为 　 　 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段AB的三等分点表示的数为 　 　 ；
（2）点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点A′重合且A′B＝3，求点M表示的数；
（3）若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段AQ的三等分点时，求运动时间．
12．如图，点A、B、C、D在数轴上，点A表示的数是﹣3，点D表示的数是9，AB＝2，CD＝1．
（1）线段BC＝　 　 ．
（2）若点B以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，BC＝3，求t的值．
（3）若线段AB以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，M是AC中点，N为BD中点，运动t秒后（0＜t＜9），求线段MN的长度．
13．如图，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，已知点A，B表示的数分别是﹣8，2，点B与点C相距4个单位长度．
（1）点C表示的数为 　 　 ，A，B两点间的距离是 　 　 ；
（2）若点D从点B出发，先向右平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，最后再向左平移3个单位长度，经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是多少？
（3）一点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时一点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，经过多少秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？
14．对于两条不相等的线段a和线段b（a＞b），用较长线段a减去较短线段b，得到新线段，称为第一次操作；比较较短线段b和新线段，用较长的线段减去较短的线段，又得到新线段，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作以后，两条线段的长度相等，则称线段a和线段b“n阶相等”．如图，线段a的长为3，线段b的长为2，则线段a和线段b是“2阶相等”．
（1）若线段a的长为5，线段b的长为3，则线段a和线段b为“　 　 阶相等”；
（2）若两条线段的长为a和3（a＞3），且它们“2阶相等”，求a的值；
（3）若两条线段的和为7，且它们“3阶相等”，请直接写出所有符合条件的线段．
15．定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”．
（1）线段AB的中点 　 　 该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”）
（2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝　 　 ．
（3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点．
①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值．
16．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．若点M表示数m，点N表示数n，且m，n满足（m+2）2+|n﹣4|＝0，点P为数轴上的一个动点，点P对应的数为x．
（1）m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ，点M，点N之间的距离是 　 　 ，|x﹣m|+|x﹣n|的最小值是 　 　 ；
（2）若点P在点M的右侧，且点P是点M，点N的“联盟点”，求出此时点P在数轴上对应的数x；
（3）若动点P从点M处以2个单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从点N处以1个单位/秒的速度向左运动，在相遇后，点Q立刻原速返回，且到达点N后停止运动．设点P运动的时间为t秒，在整个运动过程中，当点P是点Q，点N的“联盟点”时，则t＝ 　 　 ．
17．已知A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对点A做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至A1点，第2次从A1点向右移动6个单位长度至A2点，第3次从A2点向左移动9个单位长度至A3点，第4次从A3点向右移动12个单位长度至A4点，…，依此类推，设点Ai（i＝1，2，3，…）对应的数为ai（i＝1，2，3，…）．
（1）点A5对应的数a5＝　 　 ．点A6对应的数a6＝　 　 ．
（2）第n次移动到点An，求an的表达式（用含n的式子表示）；
（3）是否存在第m次移动到的点Am到原点的距离为2020？如果存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
18．【问题引入】对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2.若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6．
【问题解决】
（1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是6，则点B表示的数为　 　 ；
【问题迁移】
（2）已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．
①已知点C在点M右侧，点C的“3倍关联点”C2表示的数为10，则点C表示的数是什么？
②若点P从M点沿数轴正方向以每秒3个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，是否存在常数k，使得在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
19．阅读理解：
若A，B，C为数轴上三点且点C在A，B之间，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．表示1的点C到A的距离是3，到B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示﹣1的点D到A的距离是1，到B的距离是3，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
知识运用：
（1）若M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣6，点N所表示的数为2．
数　 　 所表示的点是【M，N】的好点；
数　 　 所表示的点是【N，M】的好点；
（2）若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点B在点A的右边，且点B在A，C之间，点B是【C，A】的好点，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）；
（3）若A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣33，点B所表示的数为27，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒6个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．如果P，A，B中恰有一个点为其余两点的好点，求t的值．
20．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为xp．
（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xP＝　 　 ；
（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数xP的值；
（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值．
21．直线l上依次排列点A，B，C，D，已知AB＝10，CD＝4，点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点．
（1）如图1，当点B与点C重合时，求线段EF的长；
（2）如图2，当线段CD从图1位置沿直线l向右运动时，AE﹣BF的值是否为定值？若是定值，请求出AE﹣BF的值；若不是定值，请说明理由；
（3）当线段CD从图1位置沿直线l向右平移a个单位长度时，若满足AD+EF＝6CD，则求a的值．
22．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且m，n满足|m﹣12|+（n﹣4）2＝0．
（1）m＝　 　 ，n＝　 　 ．
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC﹣5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离AC＝　 　 ，线段BC的中点表示的数为 　 　 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 　 　 ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．
【拓展提升】
（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．
24．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，
若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：|a﹣b|；
若点A在B的右侧，即a＞b，则A，B两点之间的距离为：a﹣b；
②线段AB的中点表示的数为
，③点A向右运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a+m，
点A向左运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a﹣m．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒，（t＞0）
请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：
（1）AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为　 　 ；
（2）A点与C点的中点为D，则点D表示的数为　 　 ；
运动t秒后，点A表示的数为　 　 （用含t的式子表示）；
（3）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值．
25．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段MN的中点为P，点N的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AB的中点表示的数为 　 　 ；点N表示的数为 　 　 （用含t的代数式表示）．
（2）当M、N两点相距6个单位时，求t的值．
（3）当点P与数轴上表示﹣4的点重合时，求t的值；
（4）若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当PAPB时，直接写出t的值．
26．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 　 　 所表示的点是【M，N】的好点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
27．对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+3NP＝k，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+3NP＝4，所以点P是点M，N的“4和点”．
（1）如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．
①若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值 　 　 ．
②若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为 　 　 ．
③若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，求k的值．
（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．
28．数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读理解】
|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是 　 　 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝　 　 ；
（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．
①则表示10的点与表示 　 　 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是 　 　 ，B表示的数是 　 　 ；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是 　 　 ；
（3）【拓展延伸】
①当x＝　 　 时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是 　 　 ；
②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是 　 　 ，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是 　 　 ．
浙教版数学七年级下册期末压轴专题——数轴动点问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共28小题）
1．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．
（1）数轴上点B表示的数是 　﹣4　 ，点P表示的数是 　6﹣6t　 （用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB﹣OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10+4t，然后解方程得到t＝5；
②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10+4a﹣6a＝8；超过Q，则10+4a+8＝6a；由此求得答案解即可．
【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，
∴OA＝6，
则OB＝AB﹣OA＝4，
点B在原点左边，
∴数轴上点B所表示的数为﹣4；
点P运动t秒的长度为6t，
∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
∴P所表示的数为：6﹣6t；
（2）①点P运动t秒时追上点Q，
根据题意得6t＝10+4t，
解得t＝5，
答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；
②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，
当P不超过Q，则10+4a﹣6a＝8，解得a＝1；
当P超过Q，则10+4a+8＝6a，解得a＝9；
答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度．
【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键．
2．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与 　3　 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，回答以下问题：
①3表示的点与 　﹣7　 表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是 　﹣10，6　 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣3到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　，1.5或．　 ．
【分析】（1）根据对称性﹣1与1重合，可以得出折痕的点为原点O；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣2，①设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；②因为 AB＝16，所以 A 到折痕的点距离为8，因为折痕对应的点为﹣2，由此得出 A、B 两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，计算出对应的x的值即可．
【解答】解：（1）操作一：
∵表示的点1与﹣1表示的点重合， ∴折痕为原点 O，则﹣3表示的点与3表示的点重合；
（2）操作二：折叠纸面，若使2表示的点与﹣6表示的点重合，则折痕表示的点为﹣2，
①设3表示的点与数a表示的点重合，则 3﹣（﹣2）＝﹣2﹣a．∴a＝﹣7；
②∵ 数轴上 A、B 两点之间距离为 16，
∴数轴上 A、B 两点到折痕﹣2的距离为8，
∵A在B的左侧，则 A、B 两点表示的数分别是﹣10 和6；
（3）操作三：设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD＝1：1：2时，设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
a+a+2a＝9
∴，
∴AB，BC，CD．
∴，
设折痕处对应的点所表示的数是x如图1，
如图2，当AB：BC：CD＝1：2：1时，设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
a+a+2a＝9
∴，
∴AB，BC，CD，
∴
如图 3，当AB：BC：CD＝2：1：1时，设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，a+a+2a＝9
∴，
∴，BC，CD，AB．
，∴
综上所述，折痕点可能的数是：，1.5或．
故答案是：（1）3；（2）①﹣7，②﹣10，6；（3），1.5或．
【点评】本题主要考查的是折叠，同时应用了数轴和线段的和差，确定数轴的折点事本题的关键．
3．在数轴上，点A代表的数是﹣12，点B代表的数是2，AB代表点A与点B之间的距离．
（1）①AB＝　14　 ；
②若点P为数轴上点A与B之间的一个点，且AP＝6，则BP＝　8　 ；
③若点P为数轴上一点，且BP＝2，则AP＝　12或16　 ．
（2）若C点为数轴上一点，且点C到点A点的距离与点C到点B的距离的和是35，求C点表示的数．
（3）若P从点A出发，Q从原点出发，M从点B出发，且P、Q、M同时向数轴负方向运动，P点的运动速度是每秒6个单位长度，Q点的运动速度是每秒8个单位长度，M点的运动速度是每秒2个单位长度，当P、Q、M同时向数轴负方向运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
【分析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．（1）①根据距离定义可直接求得答案14．②根据题目要求，P在数轴上点A与B之间，所以根据BP＝AB﹣AP进行求解．③需要考虑两种情况，即P在数轴上点A与B之间时和当P不在数轴上点A与B之间时．当P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP．当P不在数轴上点A与B之间时，此时有两种情况，一种是超越A点，在A点左侧，此时BP＞14，不符合题目要求．另一种情况是P在B点右侧，此时根据AP＝AB+BP作答．（2）根据前面分析，C不可能在AB之间，所以，C要么在A左侧，要么在B右侧．根据这两种情况分别进行讨论计算．（3）因为M点的速度为每秒2个单位长度，远小于P、Q的速度，因此M点永远在P、Q的右侧．“当其中一个点与另外两个点的距离相等时”这句话可以理解成一点在另外两点正中间．因此有几种情况进行讨论，第一是Q在P和M的正中间，另一种是P在Q和M的正中间．第三种是PQ重合时，MP＝MQ，三种情况分别列式进行计算求解．
【解答】解：
（1）①AB之间的距离为2﹣（﹣12）＝14．
②AB总距离是14，P在数轴上点A与B之间，所以BP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8．
③P在数轴上点A与B之间时，AP＝AB﹣BP＝14﹣2＝12；
当P不在数轴上点A与B之间时，因为AB＝14，所以P只能在B右侧，此时BP＝2，AP＝AB+BP＝14+2＝16．
（2）假设C为x，
当C在A左侧时，AC＝﹣12﹣x，BC＝2﹣x，AC+BC＝35，解得x；
当C在B右侧时，AC＝x﹣（﹣12），BC＝x﹣2，AC+BC＝35，解得x．
（3）设经过时间T秒，则P 点坐标为﹣12﹣6T，Q点坐标为﹣8T，M点坐标为2﹣2T．
当Q在P和M的正中间，即Q为PM的中点时，2（﹣8T）＝（﹣12﹣6T）+（2﹣2T），解得Ts．
当P在Q和M的正中间，即P为QM的中点时，2（﹣12﹣6T）＝（﹣8T）+（2﹣2T），解得T＝﹣13＜0，不合题意，舍掉．
当PQ重合时，即M到P、Q距离相等时，此时MP＝MQ，
∴﹣12﹣6T＝﹣8T，
∴T＝6s．
因此，当T秒时，此时，M，Q＝﹣10，P．
当T＝6秒时，此时，M＝﹣10，Q＝﹣48，P＝﹣48．
【点评】本题考查了动点问题．在充分理解题目要求的基础上，可借助数轴用数形结合的方法求解．在解答过程中，注意动点问题的多解可能，并针对每一种可能进行讨论分析．
4．数轴上有M，N，P三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“三倍点”．
例如，数轴上点M，N，P所表示的数分别为1，4，5，此时点N是点M，P的“三倍点”．
（1）点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，下列各数1，4，6，8所对应的点分别是C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“三倍点”的是 　C1、C2　 ；
（2）点D表示的数是﹣10，点E表示的数是14，F为数轴上一个动点，若点F是点D，E的“三倍点”，求点F表示的数．
【分析】（1）根据“三倍点”的新定义，逐步计算即可；
（2）根据“三倍点”的新定义，假设点F在点D的左侧，点F在点E的右侧和点F在点D、E的两点之间三种情况，分别进行讨论，即可．
【解答】解：（1）∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C1为1，
∴AC1＝3，BC1＝1，
∴C1是A、B的“三倍点”；
∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C2为4，
∴AC2＝6，BC2＝2，
∴C2是A、B的“三倍点”；
∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C3为6，
∴AC3＝4，BC3＝4，
∴C3不是A、B的“三倍点”；
∵点A表示的数是﹣2，点B表示的数是2，点C4为8，
∴AC4＝4，BC4＝6，
∴C4不是A、B的“三倍点”；
故答案为：C1、C2．
（2）若点F在点D的左侧，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x，
则有：3FD＝FE，3（﹣10﹣x）＝14﹣x，
解得：x＝﹣22；
若点F在点E的右侧，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x，
则有：FD＝3FE，x+10＝3（x﹣14），
解得：x＝26；
若点F在点D、E的两点之间，且点F是点D，E的“三倍点”，设点F表示的数为x，
则有：DF＝3FE或3DF＝FE，x+10＝3（14﹣x）或3（x+10）＝14﹣x，
解得：x＝8或x＝﹣4，
故答案为：x＝﹣22或x＝26或x＝8或x＝﹣4．
【点评】本题考查的是数轴和一元一次方程的求解，解题的关键是读懂新定义与灵活运用分类讨论的思想．
5．已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ 　1　 ；
（2）若AP+BP＝6，则x＝ 　﹣2或4　 ；若AP﹣BP＝1，则x＝ 　　 ；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【分析】（1）若AP＝BP，则P在AB中间位置，即x＝1；
（2）若AP+BP＝6，P在A左边，得﹣1﹣x+3﹣x＝6；P在A右边，得x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，若AP﹣BP＝1，只能P在AB之间，得x﹣（﹣1）﹣（3﹣x）＝1；
（3）设运动时间为t秒，BP＝5+3t﹣（3+2t）＝2+t，AP＝5+3t﹣（﹣1﹣t）＝4t+6，故4BP﹣AP＝4（2+t）﹣（4t+6）＝2，值不变．
【解答】解：（1）若AP＝BP，则P在AB中间位置，即x＝1，
故答案为：1；
（2）若AP+BP＝6，
①P在A左边，得﹣1﹣x+3﹣x＝6，
解得：x＝﹣2，
②P在A右边，得x﹣（﹣1）+x﹣3＝6，
解得：x＝4，
故答案为：﹣2或4；
若AP﹣BP＝1，
只能P在AB之间，得x﹣（﹣1）﹣（3﹣x）＝1，
∴．
故答案为：．
（3）设运动时间为t秒，
BP＝5+3t﹣（3+2t）＝2+t，
AP＝5+3t﹣（﹣1﹣t）＝4t+6，
故4BP﹣AP＝4（2+t）﹣（4t+6）＝2，值不变．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开．
（1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　﹣4　 ，B　﹣1　 ，C　2　 ；
（2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动；
①求18秒后动点P与点B之间的距离；
②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先求出点A和点C表示的数，点B为点A和点C的中点；
（2）①根据两点间距离公式求解；②用含t的式子表示出运动时间为秒时，点P，M，Q表示的数，进而用含t和m的式子表示出QM+mMP，通过变形令t的系数为0，即可求解．
【解答】解：（1）由题意知，点A表示的数为0﹣4＝﹣4，
点C表示的数为﹣4+6＝2，
点B表示的数为，
故答案为：﹣4，﹣1，2；
（2）①18秒后点P表示的数为：2﹣18×0.2＝﹣1.6，
点P与点B之间的距离为：|﹣1﹣（﹣1.6）|＝|﹣1+1.6|＝0.6；
②由题意知，运动时间为秒时，点P表示的数为2﹣0.2t，
点Q表示的数为﹣4﹣0.6t，
点M表示的数为﹣1﹣0.3t，
则QM＝|﹣1﹣0.3t﹣（﹣4﹣0.6t）|＝|3+0.3t|＝3+0.3t，
MP＝|2﹣0.2t﹣（﹣1﹣0.3t）|＝|3+0.1t|＝3+0.1t，
QM+mMP＝3+0.3t+m（3+0.1t）＝3m+3+（0.1m+0.3）t，
当0.1m+0.3＝0时，
解得m＝﹣3．
QM+mMP＝3m+3＝﹣6，始终保持不变，
【点评】本题考查数轴上的动点问题、两点间距离公式、整式加减的应用，正确表示出各个动点表示的数是解题的关键．
7．数轴是一种非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系．小亮在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，使1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与 　2　 表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，使1表示的点与﹣3表示的点重合，则3表示的点与 　﹣5　 表示的点重合；假如A、B两点经过折叠后重合，且数轴上A、B两点之间距离为5（A在B的左侧），则A、B两点表示的数分别是A：　﹣3.5　 ，B：　1.5　 ；
操作三：
（3）在数轴上剪下从﹣6到2，长度是8个单位的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀（如图），展开后得到三条线段．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 　﹣1或﹣2或﹣3　 ．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，则可以得出﹣2与2重合；
（2）1表示的点与﹣3表示的点重合，根据对称性找到折痕的点为﹣1，设3表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；因为AB＝7，所以A到折痕的点距离为3.5，由此得出A、B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：分别画出对应的图形，①当AB：BC：CD＝1：1：2时所以设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，得a+a+2a＝8a＝2，得出AB、BC、CD的值计算折痕处对应的点所表示的数的值，当AB：BC：CD＝1：2：1时，当AB：BC：CD＝2：1：1时，同理可得出折痕处对应的点所表示的数的值．
【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴由对称性找到折痕的点为原点O，
则﹣2与2重合，
故答案为：2；
（2）∵1表示的点与﹣3表示的点重合，
∴根据对称性找到折痕的点为﹣1，
设3表示的点与数a表示的点重合，，
∴3+a＝2×（﹣1），
解得：a＝﹣5，
故答案为：﹣5；
∵AB＝5，
∴A到折痕的点：﹣1距离为2.5，
∵A在B的左侧，
∴A表示的数：﹣1﹣2.5＝﹣3.5，
B表示的数：﹣1+2.5＝1.5，
故答案为：﹣5；﹣3.5；1.5；
（3）如图：①当AB：BC：CD＝1：1：2时，
设AB＝a，BC＝a，CD＝2a，
∵AB+BC+CD＝8，
∴a+a+2a＝8，
解得：a＝2，
∴AB＝2，BC＝2，CD＝4，
∴折痕处所表示的数为：﹣6+2+1＝﹣3；
②当AB：BC：CD＝1：2：1时，
设AB＝a，BC＝2a，CD＝a，
∵AB+BC+CD＝8，
∴a+2a+a＝8，
解得：a＝2，
∴AB＝2，BC＝4，CD＝2；
∴折痕处所表示的数为：﹣6+2+2＝﹣2；
③当AB：BC：CD＝2：1：1时，
设AB＝2a，BC＝a，CD＝a，
∵AB+BC+CD＝8，
∴a+a+2a＝8，
解得：a＝2，
∴AB＝4，BC＝2，CD＝2；
∴折痕处所表示的数为：﹣6+4+1＝﹣1；
综上所述：折痕处所表示的数可能为：﹣1或﹣2或﹣3，
故答案为：﹣1或﹣2或﹣3，
【点评】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，数轴上任意两点的距离为两点坐标差的绝对值，本题第三问有难度，采用了分类讨论的思想．
8．如图，已知数轴上A，B两点对应的数分别为﹣26，﹣10，B，C两点对应的数互为相反数．
（1）求AB，AC的长．
（2）若点M从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点M到达B点时，点N从A点出发，以每秒3个单位长度的速度向终点C运动，设M点的移动时间为t（秒）．
①问t为何值时，B为MN的中点？
②当时，求t的值．
【分析】（1）根据相反数的定义求出点C对应的数，再根据两点间的距离求出AB和AC；
（2）①求出M，N表示的数，根据B为MN的中点列出方程，解之即可；
②求出，分0＜t≤16和t＞16两种情况，根据M，N表示的数列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）∵A，B两点对应的数分别为﹣26，﹣10，B，C两点对应的数互为相反数，
∴C点对应的数为10，
∴AB＝﹣10﹣（﹣26）＝16，AC＝10﹣（﹣26）＝36；
（2）①由题意可得：点M表示的数为﹣26+t，
点N表示的数为﹣26+3（t﹣16）＝3t﹣74，
若B为MN的中点，
∴，
解得：t＝20，
∴t为20秒时，B为MN的中点；
②∵AC＝36，
∴，
当0＜t≤16时，AM＝MN＝6，即t＝6；
当t＞16时，﹣26+t﹣（3t﹣74）＝6或3t﹣74﹣（﹣26+t）＝6，
解得：t＝21或t＝27，
当t＝28时，N到达C点．此时C表示的数为10，
则10﹣（﹣26+t）＝6，
解得t＝30秒．
综上所述：时，t的值为6秒或21秒或27秒或30秒．
【点评】此题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，根据点的运动表示出点的位置以及列出方程是解题的关键．
9．如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为1cm）上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合．
（1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的数为6，由此可得这根木棒的长为　8　 cm；
（2）图中点A所表示的数是　14　 ，点B所表示的数是　22　 ；
（3）由（1）（2）的启发，请借助“数轴”这个工具解决下列问题：
一天，妙妙去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”请问奶奶现在多少岁了？
【分析】（1）根据图象可知3倍的AB长为30﹣6＝24（cm），这样AB长就可以求出来了．
（2）A点在6的右侧8单位长度，可以求出A点的数值为14，B点在A点右侧8个单位长度，也可以求出B点的数值．
（3）运用上边的模型把奶奶与妙妙的年龄差理解为一个线段，119﹣（﹣37）就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄．
【解答】解：（1）观察数轴可知三根木棒长为30﹣6＝24（cm），则这根木棒的长为24÷3＝8（cm）；
故答案为8．
（2）6+8＝14，
14+8＝22．
所以图中A点所表示的数为14，B点所表示的数为22．
故答案为：14，22．
（3）当奶奶像妙妙这样大时，妙妙为（﹣37）岁，
所以奶奶与妙妙的年龄差为：[119﹣（﹣37）]÷3＝52（岁），
所以奶奶现在的年龄为119﹣52＝67（岁）．
【点评】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用．解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与妙妙的年龄差，进而求出奶奶的年龄．
10．对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为A'，则称点A'为点A的“ab倍联动点”（a、b均为正整数）．
例如，点A表示的数为2，当a＝1，b＝3时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当a＝3，b＝1时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为﹣1．请根据以上信息回答下列问题：
（1）已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是 　1或4　 ．
（2）若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数．
（3）已知数轴上两点M，N表示的数分别为m，n（m≠n），且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”P′与点Q之间的距离始终为3，求k的值．
【分析】（1）选取合适的a和b的值，根据新定义的意义计算即可；
（2）求得相应的x的值，进而选取合适的a和b的值代入即可求得点C表示的数；
（3）易得点P和点Q表示的数，进而得到点P′表示的数，根据点”P′与点Q之间的距离始终为3判断出和t无关的m和n的值，根据点N为点M的“k倍联动点”进行整理即可得到k的值．
【解答】解：（1）①当a＝1，b＝2时，点B的“2倍联动点”表示的数为（3﹣1）×2＝4；
②当a＝2，b＝1时，点B的“2倍联动点”表示的数为（3﹣2）×1＝1；
∴点B的“2倍联动点”表示的数是1或4，
故答案为：1或4；
（2）设点C表示是数是x，
b（x﹣a）＝x，
bx﹣ab＝x，
（b﹣1）x＝ab，
，
由题意得：ab＝4，a、b均为正整数，
∴当b＝2时，a＝2，x＝4；
当b＝4时，a＝1，；
∴点C表示的数是或4；
（3）设P运动时间为t秒，由题意可知：P点表示的数是m+t，Q点表示的数是n+3t，
若点P′表示的数为（m+t﹣1）×6，
|（m+t﹣1）×6﹣（n+3t）|＝3，
等式左边的式子的值与t有关，所以不符合题意；
∵任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”P′与点Q之间的距离始终为3，
∴点P′表示的数为（m+t﹣2）×3，
∴|（m+t﹣2）×3﹣（n+3t）|＝3，
|3m﹣n﹣6|＝3，
∴3m﹣n﹣6＝3或3m﹣n﹣6＝﹣3，
∴3（m﹣3）＝n或3（m﹣1）＝n，
∴k＝3×3＝9或k＝3×1＝3．
【点评】本题考查一元一次方程的应用．理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键．
11．如图，在数轴上点A表示数为﹣5，点B表示数为10，点C表示数为1．
（1）线段AB的长为 　15　 ，线段AC的中点表示的数为 　﹣2　 ，能将线段“三等分”的两个点我们称为线段的三等分点．则线段AB的三等分点表示的数为 　0和5　 ；
（2）点M为点A右侧一点，将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点A′重合且A′B＝3，求点M表示的数；
（3）若点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，点Q从点B出发以每秒2个单位长度的速度先向左运动，与P相遇后再改变运动方向与点P同向而行．若P、Q两点同时出发，保持速度不变．当点P是线段AQ的三等分点时，求运动时间．
【分析】（1）由|﹣5﹣10|＝15知线段AB的长为15；由2，知线段AC的中点表示的数为﹣2；列式计算可得线段AB的三等分点表示的数为0和5；
（2）设点M表示的数为x，可得A'表示的数为2x﹣（﹣5）＝2x+5，故|2x+5﹣10|＝3，解得x＝4或x＝1，即点M表示的数为4或1；
（3）设运动时间为t秒，当0≤t≤5时，Q表示的数为10﹣2t，求出AQ＝10﹣2t﹣（﹣5）＝15﹣2t，可得t（15﹣2t）或t（15﹣2t），当t＞5时，Q表示的数为2（t﹣5）＝2t﹣10，可得t（2t﹣5）或t（2t﹣5），分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵|﹣5﹣10|＝15，
∴线段AB的长为15；
∵2，
∴线段AC的中点表示的数为﹣2；
∵﹣515＝0，﹣515＝5，
∴线段AB的三等分点表示的数为0和5；
故答案为：15，﹣2，0和5；
（2）设点M表示的数为x，
∵将数轴沿点M向右对折，点A恰好与点A′重合，
∴M是AA'的中点，
∴A'表示的数为2x﹣（﹣5）＝2x+5，
∵A′B＝3，
∴|2x+5﹣10|＝3，
∴2x﹣5＝3或2x﹣5＝﹣3，
解得x＝4或x＝1，
∴点M表示的数为4或1；
（3）设运动时间为t秒，
根据题意，P表示的数为﹣5+t，AP＝t，
当0≤t≤5时，Q表示的数为10﹣2t，
∴AQ＝10﹣2t﹣（﹣5）＝15﹣2t，
∵点P是线段AQ的三等分点，
∴t（15﹣2t）或t（15﹣2t），
解得t＝3或t；
当P，Q相遇时，t＝5，相遇点表示的数为0，
当t＞5时，Q表示的数为2（t﹣5）＝2t﹣10，
∴AQ＝2t﹣10﹣（﹣5）＝2t﹣5，
∵点P是线段AQ的三等分点，
∴t（2t﹣5）或t（2t﹣5），
解得t＝﹣5（舍去）或t＝10；
综上所述，t的值为3或或10；
∴运动时间为3秒或秒或10秒．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．
12．如图，点A、B、C、D在数轴上，点A表示的数是﹣3，点D表示的数是9，AB＝2，CD＝1．
（1）线段BC＝　9　 ．
（2）若点B以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，同时点C以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动t秒后，BC＝3，求t的值．
（3）若线段AB以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，同时线段CD以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，M是AC中点，N为BD中点，运动t秒后（0＜t＜9），求线段MN的长度．
【分析】（1）根据点A和点D所对应的点及线段长可得结论；
（2）根据点B和点C的运动，可表示出点B和点C所对应的点，建立方程即可；
（3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为﹣t﹣3，点B在数轴上表示的数为﹣t﹣1，点C在数轴上表示的数为8﹣2t，点D在数轴上表示的数为9﹣2t，由中点的定义可得出点M和点N所对应的数，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵点A，D表示的数分别是﹣3和9，线段AB＝2，CD＝1．
∴点B所对应的数为﹣1，点C所对应的数为8，
∴BC＝8﹣（﹣1）＝9．
故答案为：9；
（2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t﹣1，点C在数轴上表示的数为8﹣2t，
根据题意得：|t﹣1﹣（8﹣2t）|＝3，
解得：t＝2或t＝4．
答：t的值为2或4．
（3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为﹣t﹣3，
点B在数轴上表示的数为﹣t﹣1，
点C在数轴上表示的数为8﹣2t，
点D在数轴上表示的数为9﹣2t，
因为0＜t＜9，
所以点C一直在点B的右侧，
因为M为AC的中点，N为BD的中点，
所以点M，N在数轴上表示的数分别为和，
所以MN．
【点评】本题主要考查一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离，中点的定义等知识，解答的关键是理解清楚题意，找到等量关系，列出正确的方程．
13．如图，点A，B，C在数轴上的位置如图所示，已知点A，B表示的数分别是﹣8，2，点B与点C相距4个单位长度．
（1）点C表示的数为 　6　 ，A，B两点间的距离是 　10　 ；
（2）若点D从点B出发，先向右平移2个单位长度，再向左平移6个单位长度，最后再向左平移3个单位长度，经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是多少？
（3）一点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，同时一点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向右运动，经过多少秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度？
【分析】（1）用两点间的距离公式计算即可得解；
（2）用两点间的距离公式计算即可得解；
（3）根据题意，列出方程，解方程即可得解．
【解答】解：（1）∵点B与点C相距4个单位长度，A，B表示的数分别是﹣8，2，
∴4+2＝6，2﹣（﹣8）＝10，
故答案为：6，10；
（2）∵点D从点B出发，
∴平移前点D表示的数是2，
∴2+2﹣6﹣3＝﹣5，
∴经过这三次运动后点D在数轴上表示的数是﹣5；
（3）设经过t秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度，
∴P，Q两点表示的数分别为﹣8+3t，6+t，
∴|6+t﹣（﹣8+3t）|＝3，
∴或，
∴设经过秒或秒，P，Q两点之间的距离为3个单位长度．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴上的动点问题，解题的关键是用含字母的式子表示移动前后点的坐标，
14．对于两条不相等的线段a和线段b（a＞b），用较长线段a减去较短线段b，得到新线段，称为第一次操作；比较较短线段b和新线段，用较长的线段减去较短的线段，又得到新线段，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作以后，两条线段的长度相等，则称线段a和线段b“n阶相等”．如图，线段a的长为3，线段b的长为2，则线段a和线段b是“2阶相等”．
（1）若线段a的长为5，线段b的长为3，则线段a和线段b为“　3　 阶相等”；
（2）若两条线段的长为a和3（a＞3），且它们“2阶相等”，求a的值；
（3）若两条线段的和为7，且它们“3阶相等”，请直接写出所有符合条件的线段．
【分析】（1）根据线段a和线段b“n阶相等”的概念即可得到结论；
（2）根据线段a和线段b“n阶相等”的概念列方程即可得到结论；
（3）设一条线段为a，则另一条线段为7﹣a，（a＞7﹣a），根据线段a和线段b“n阶相等”的概念列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）第一次操作：5﹣3＝2，
第二次操作：3﹣2＝1，
第三次操作：2﹣1＝1，
∴线段a和线段b为“3阶相等”；
（2）∵第一次操作：a﹣3，
第二次操作：3﹣（a﹣3或（a﹣3）﹣3，
∵它们“2阶相等”，
∴3﹣（a﹣3）＝a﹣3或（a﹣3）﹣3＝3，
解得a＝4.5或a＝9，
故a的值为：4.5或9；
（3）设一条线段为a，则另一条线段为7﹣a
第一次操作：a﹣（7﹣a）＝2a﹣7，
第二次操作：7﹣a﹣（2a﹣7）＝14﹣3a，
第三次操作：2a﹣7﹣（14﹣3a）＝14﹣3a，
解得a，
∴7﹣a，
同理得到，符合条件的线段有2和5，3和4，和，
综上所述符合条件的线段为和，2和5，3和4，和．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，正确地理解新概念“n阶相等”是解题的关键．
15．定义：在同一直线上有A，B，C三点，若点C到A，B两点的距离呈2倍关系，即AC＝2BC或BC＝2AC，则称点C是线段AB的“倍距点”．
（1）线段AB的中点 　不是　 该线段的“倍距点”．（填“是”或者“不是”）
（2）已知AB＝9，点C是线段AB的“倍距点”，直接写出AC＝　3或6或9或18　 ．
（3）如图1，在数轴上，点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点．
①现有一动点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0），求当t为何值时，点P为AC的“倍距点”？
②现有一长度为2的线段MN（如图2，点M起始位置在原点），从原点出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N为MC的“倍距点”时，请直接写出t的值．
【分析】（1）设线段AB的中点为P，看PA和PB是否呈2倍关系即可判断线段AB的中点是不是该线段的“倍距点”；
（2）根据点C是线段AB的“倍距点”，可得CA＝2CB或CB＝2CA，根据点C在线段AB上和直线AB上即可求得AC的值；
（3）①算出点C表示的数，用t表示出点P，进而表示出PA和PC的长，根据PA＝2PC或PC＝2PA列式即可求得t的值；②用t分别表示出点M和点N，进而表示出MN和NC的长，根据NM＝2NC或NC＝2NM列式求值即可求得t的值．
【解答】解：（1）设线段AB的中点为P，
∴PA＝PB．
∴点P到A，B两点的距离不呈2倍关系．
∴线段的中点不是线段AB的“倍距点”．
故答案为：不是．
（2）∵点C是线段AB的“倍距点”，
∴CA＝2CB或CB＝2CA．
①点C在线段AB上，CA＝2CB．
∵AB＝9，
∴ACAB＝6；
②点C在线段AB上，CB＝2CA．
∴ACAB＝3．
③点C在点A的左边，CB＝2CA．
∴AC＝AB＝9；
④点C在点B的右边，CA＝2CB．
∴CA＝2AB＝18．
故答案为：3或6或9或18．
（3）∵点A表示的数为2，点B表示的数为20，点C为线段AB中点，
∴点C表示的数为：11．
由题意得：点P表示的数为2t．
∴PA＝|2t﹣2|，PC＝|2t﹣11|．
∵点P为AC的“倍距点”，
∴PA＝2PC或PC＝2PA．
①PA＝2PC．
|2t﹣2|＝2|2t﹣11|，
2t﹣2＝2（2t﹣11）或2t﹣2＝2（11﹣2t）．
解得：t＝10或t＝4．
②PC＝2PA．
|2t﹣11|＝2|2t﹣2|，
2t﹣11＝2（2t﹣2）或2t﹣11＝2（2﹣2t）．
解得：t＝﹣3.5（不合题意，舍去）或t＝2.5．
综上：t为4或10或2.5．
答：当t为4或10或2.5时，点P为AC的“倍距点”；
（3）由题意得：点M表示的数为：t，点N表示的数为：2+t．
∴NM＝2，NC＝|2+t﹣11|＝|t﹣9|．
∵点N为MC的“倍距点”，
∴NM＝2NC，NC＝2NM．
①NM＝2NC．
2＝2|t﹣9|．
2＝2（t﹣9）或2＝2（9﹣t），
解得：t＝10或t＝8；
②NC＝2NM．
|t﹣9|＝2×2．
t﹣9＝4或9﹣t＝4．
解得：t＝13或t＝5．
综上：t的值为5或8或10或13．
【点评】本题综合考查动点问题的一元一次方程的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．分类探讨本题是解决本题的易错点．用到的知识点为：数轴上两点间的距离等于两点表示的数的差的绝对值．
16．对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．若点M表示数m，点N表示数n，且m，n满足（m+2）2+|n﹣4|＝0，点P为数轴上的一个动点，点P对应的数为x．
（1）m＝ 　﹣2　 ，n＝ 　4　 ，点M，点N之间的距离是 　6　 ，|x﹣m|+|x﹣n|的最小值是 　6　 ；
（2）若点P在点M的右侧，且点P是点M，点N的“联盟点”，求出此时点P在数轴上对应的数x；
（3）若动点P从点M处以2个单位/秒的速度向右运动，同时动点Q从点N处以1个单位/秒的速度向左运动，在相遇后，点Q立刻原速返回，且到达点N后停止运动．设点P运动的时间为t秒，在整个运动过程中，当点P是点Q，点N的“联盟点”时，则t＝ 　或或或　 ．
【分析】（1）根据两个非负数的和为0，这两个非负数均为0可得m和n的值；求点M，点N之间的距离，取M和M中较大的数，减去较小的数即可；|x﹣m|+|x﹣n|的最小值即是求数轴上一点到点M和点N的距离之和最小，那么x应在线段MN上，最小距离为MN的长；
（2）分别表示出点PM和PN的长度，根据点P是点M，点N的“联盟点”，得到不同的方程，求得合适的解即可；
（3）画出图形，分类探讨点P和点Q相遇前；相遇后点P在点N的左边；相遇后点P在点N的右边探讨点P是点M，点N的“联盟点”时t的值即可．
【解答】解：（1）∵（m+2）2+|n﹣4|＝0，
∴m+2＝0，n﹣4＝0，
∴m＝﹣2，n＝4，
∴MN＝4﹣（﹣2）＝4+2＝6，
∵点P在线段MN上的任意一点，点P到点M、N的距离之和最小，
∴|x﹣m|+|x﹣n|的最小值＝MN＝6．
故答案为：﹣2，4，6，6；
（2）由题意得：PM＝x﹣（﹣2）＝x+2，PN＝|4﹣x|，
∵点P是点M，点N的“联盟点”，
∴x+2＝2|4﹣x|或2（x+2）＝|4﹣x|，
①x+2＝2（4﹣x），
x+2＝8﹣2x，
解得：x＝2；
②x+2＝2（x﹣4），
x+2＝2x﹣8，
解得：x＝10，
③2（x+2）＝（4﹣x），
2x+4＝4﹣x，
解得：x＝0；
④2（x+2）＝（x﹣4），
2x+4＝x﹣4，
解得：x＝﹣8（不合题意，舍去）．
答：点P在数轴上对应的数x为2或10或0；
（3）P、Q两点相遇需要时间为：2（秒），两点相遇的点为：4﹣2＝2．
①点P和点Q未相遇前，点P是点Q，点N的“联盟点”．
由题意得：点P表示的数是﹣2+2t，点Q表示的数是4﹣t，
∴PN＝4﹣（﹣2+2t）＝6﹣2t，PQ＝4﹣t﹣（﹣2+2t）＝6﹣3t，
∵点P是点Q，点N的“联盟点”，
∴PN＝2PQ，
6﹣2t＝2（6﹣3t），
解得：t；
②点P和点Q相遇后，点P在点N的左边，点P是点Q，点N的“联盟点”．
由题意得：点P表示的数是﹣2+2t，点Q表示的数是2+（t﹣2）＝t，
∴PN＝4﹣（﹣2+2t）＝6﹣2t，PQ＝﹣2+2t﹣t＝t﹣2，
Ⅰ、PN＝2PQ，
6﹣2t＝2（t﹣2），
解得：t；
Ⅱ、PQ＝2PN，
t﹣2＝2（6﹣2t），
解得：t；
③点P和点Q相遇后，点P在点N的右边，点P是点Q，点N的“联盟点”．
由题意得：点P表示的数是﹣2+2t，点Q表示的数是2+（t﹣2）＝t，
∴PN＝（﹣2+2t）﹣4＝2t﹣6，PQ＝﹣2+2t﹣t＝t﹣2，
∵点P是点Q，点N的“联盟点”，
∴PQ＝2PN，
t﹣2＝2（2t﹣6），
解得：t．
故答案为：或或或．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．已知A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对点A做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至A1点，第2次从A1点向右移动6个单位长度至A2点，第3次从A2点向左移动9个单位长度至A3点，第4次从A3点向右移动12个单位长度至A4点，…，依此类推，设点Ai（i＝1，2，3，…）对应的数为ai（i＝1，2，3，…）．
（1）点A5对应的数a5＝　﹣8　 ．点A6对应的数a6＝　﹣10　 ．
（2）第n次移动到点An，求an的表达式（用含n的式子表示）；
（3）是否存在第m次移动到的点Am到原点的距离为2020？如果存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）按照题目，找出已知规律，推算即可．
（2）根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式就可解决问题．
（3）利用（2）中的结论，代入求值．
【解答】解：（1）第1次点A向左移动3个单位长度至点A1，则A1表示的数，1﹣3＝﹣2；
第2次从点A1向右移动6个单位长度至点A2，则A2表示的数为﹣2+6＝4；
第3次从点A2向左移动9个单位长度至点A3，则A3表示的数为4﹣9＝﹣5；
第4次从点A3向右移动12个单位长度至点A4，则A4表示的数为﹣5+12＝7；
第5次从点A4向左移动15个单位长度至点A5，则A5表示的数为7﹣15＝﹣8；
第6次从点A5向右移动18个单位长度至点A6，则A6表示的数为﹣8+18＝10；
故答案为：﹣8；10；
（2）由（1）数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：（3n+1），
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：；
（3）根据题意，得当移动次数为奇数时，（3m+1）＝﹣2020，m（舍去），
当移动次数为偶数时，2020，m＝1346．
【点评】主要考查了数轴变化的规律，一元一次方程的应用，熟悉数轴的特点是解答此题的关键．
18．【问题引入】对数轴上的点P进行如下操作：先把点P沿数轴向右平移m个单位长度，得到点P1，再把点P1表示的数乘以n，所得数对应的点为P2.若mn＝k（m，n是正整数），则称点P2为点P的“k倍关联点”．例如，当m＝1，n＝2时，若点A表示的数为﹣4，则它的“2倍关联点”对应点A2表示的数为﹣6．
【问题解决】
（1）当m＝1，n＝2时，已知点B的“2倍关联点”是点B2，若点B2表示的数是6，则点B表示的数为　2　 ；
【问题迁移】
（2）已知数轴上点M表示的数为2，点N表示的数为﹣3．
①已知点C在点M右侧，点C的“3倍关联点”C2表示的数为10，则点C表示的数是什么？
②若点P从M点沿数轴正方向以每秒3个单位长度移动，同时点Q从N点沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动，是否存在常数k，使得在任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点B表示的数为x，根据x向右平移1个单位后再乘2等于6，列方程求解即可；
（2）①易得3的正因数有1、3，可得点C向右平移1个单位后再乘3等于10或点C向右平移3个单位后再乘1等于10，列方程求得合适的解即可；
②设运动时间为t秒，易得点P、Q运动后表示的数，根据任何一个时刻，点P始终为点Q的“k倍关联点”，得到相等关系，根据0乘任何数都得0，可得m，n，k的值，看是否是正整数即可．
【解答】解：（1）设点B表示的数为x，则有：
2（x+1）＝6，
∴x＝2，
即B表示的数为2．
故答案为：2；
（2）设点C表示的数为y，C在M的右侧，则y＞2，
∵3的正因数有1、3，
∴①当m＝1，n＝3时，则有：3（y+1）＝10，
解得：y2，符合题意；
②当m＝3，n＝1时，则有：y+3＝10，
解得：y＝7＞2，符合题意；
综上所述，y为或7．
答：点C表示的数为或7．
（3）设运动时间为t秒，则P表示的数为2+3t，Q点表示的数为﹣3+t，
∵点P始终为点Q的“k倍关联点”，
∴n（﹣3+t+m）＝2+3t，
∴（n﹣3）t＝3n+2﹣mn，
∵0乘任何数都得0，
∴n＝3，3n﹣mn+2＝0，
∴n＝3，mn＝k＝11，
则m，
因为m，n均为正整数，所以不符合题意，
∴k不存在．
【点评】本题考查一元一次方程的应用．理解并灵活应用新定义的意义得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．
19．阅读理解：
若A，B，C为数轴上三点且点C在A，B之间，若点C到A的距离是点C到B的距离的3倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．表示1的点C到A的距离是3，到B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示﹣1的点D到A的距离是1，到B的距离是3，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
知识运用：
（1）若M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣6，点N所表示的数为2．
数　0　 所表示的点是【M，N】的好点；
数　﹣4　 所表示的点是【N，M】的好点；
（2）若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点B在点A的右边，且点B在A，C之间，点B是【C，A】的好点，求点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）；
（3）若A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣33，点B所表示的数为27，现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以每秒6个单位的速度向右运动，运动时间为t秒．如果P，A，B中恰有一个点为其余两点的好点，求t的值．
【分析】（1）根据题意知，所求的好点是线段MN的4等分点；
（2）由于点B是【C，A】的好点，所以BC＝3BA，据此点C所表示的数（用含a、b的代数式表示）；
（3）需要分类讨论：①P是【A，B】的好点，②P是【B，A】的好点，③B是【A，P】的好点，④B是【P，A】的好点，根据“好点”的定义列出相应的方程并解答．
【解答】解：（1）由题意知，数0所表示的点是【M，N】的好点；
数﹣4所表示的点是【N，M】的好点；
故答案为：0，﹣4；
（2）设点C所表示的数为c，
依题意得
（3）依题意得，AB＝60
①P是【A，B】的好点
②P是【B，A】的好点
③B是【A，P】的好点
④B是【P，A】的好点
答：当t或或或40时，P，A，B中恰有一个点为其余两点的好点．
【点评】考查了一元一次方程的应用，读懂题意，弄清楚“好点”的定义，找到等量关系，列出方程是解题的难点．
20．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为xp．
（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xP＝　1　 ；
（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为10，求此时点P对应的数xP的值；
（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“友好点”．如图，原点O是点A，B的友好点．现在，点A、点B分别以每秒3个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“友好点”，求此时的t值．
【分析】（1）根据点P为线段AB的中点，即可求出点P对应的数；
（2）分两种情况：①点P在点A的左侧时，②点P在点B的右侧时，分别计算即可作答；
（3）根据“友好点”的定义，点P恰好是点A，B的“友好点”分情况讨论：AP＝2PB或BP＝2AP，分别计算即可作答．
【解答】解：（1）∵点P为线段AB的中点，
∴AP＝BP，
即xP﹣（﹣2）＝4﹣xP，
∴xP＝1，
故答案为：1；
（2）∵AB＝4﹣（﹣2）＝6＜10，
∴分两种情况：
①当点P在点A的左侧时，
4﹣xP+（﹣2）﹣xP＝10，
∴xP＝﹣4，
②当点P在点A的左侧时，
xP﹣4+xP﹣（﹣2）＝10，
∴xP＝6，
∴点P对应的数xP的值为﹣4或6；
（3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为﹣2+3t，点B对应的数为4+t，点P对应的数为5﹣2t，
∵点P恰好是点A，B的“友好点”，
∴AP＝2PB或BP＝2AP，
即|（5﹣2t）﹣（﹣2+3t）|＝2|（5﹣2t）﹣（4+t）|或2|（5﹣2t）﹣（﹣2+3t）|＝|（5﹣2t）﹣（4+t）|，
解得：t＝﹣5（舍去）或t或t或t，
∴t的值为或或．
【点评】本题考查数轴、一元一次方程的应用和新定义，解题的关键是理解题意，分类讨论．
21．直线l上依次排列点A，B，C，D，已知AB＝10，CD＝4，点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点．
（1）如图1，当点B与点C重合时，求线段EF的长；
（2）如图2，当线段CD从图1位置沿直线l向右运动时，AE﹣BF的值是否为定值？若是定值，请求出AE﹣BF的值；若不是定值，请说明理由；
（3）当线段CD从图1位置沿直线l向右平移a个单位长度时，若满足AD+EF＝6CD，则求a的值．
【分析】（1）根据中点求出CE，CF，即可解答；
（2）设BC＝x，则AC＝AB+BC＝x+10，BD＝BC+CD＝x+4，根据中点表示出AE，BF，即可解答；
（3）根据题意求出AC，BD，根据中点表示出CE，BF，即可解答；
【解答】解：（1）∵点B与点C重合，
∴AB＝AC，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，AB＝10，CD＝4，
∴，，
∴EF＝CE+CF＝5+2＝7．
（2）设BC＝x，则AC＝AB+BC＝x+10，BD＝BC+CD＝x+4，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
∴，，
∴，
∴AE﹣BF的值为定值3．
（3）∵CD沿直线l向右平移a个单位长度，
∴BC＝a，
∵AB＝10，CD＝4，
∴AD＝AB+BC+CD＝10+a+4＝a+14，
∴AC＝AB+BC＝a+10，
∴BD＝BC+CD＝a+4，
∵点E是线段AC的中点，点F是线段BD的中点，
∴，，
∴，
∵AD+EF＝6CD，
∴a+14+7＝6×4，
∴a＝3．
【点评】本题考查几何变换的综合应用，解题的关键是根据中点求出线段的长度．
22．已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且m，n满足|m﹣12|+（n﹣4）2＝0．
（1）m＝　12　 ，n＝　4　 ．
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC﹣5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【分析】（1）根据绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，即可求出m，n的值；
（2）①由题意，得MN＝CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得出答案；
②设PA＝a，则PC＝8+a，PE＝10+a，然后再列出方程，求出a＝2，然后分情况分析，求出每一种的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵|m﹣12|+（n﹣4）2＝0，
∴m﹣12＝0，n﹣4＝0，
∴m＝12，n＝4．
故答案为：12，4；
（2）①如图所示，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，
∴AC，，
∴MN＝CM+CD+DN
∵AB＝m＝12，CD＝n＝4，
∴MN（m+n）；
②如图，设PA＝a，则PC＝8+a，PE＝10+a，
由题意，得，
解得：a＝2．
在整个运动过程中，BD＝2t，BC＝4+2t，
∵E是线段BC的中点，
∴BE＝CE．
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t＝2时，
F，C重合，D，E重合，则FC＝0，DE＝0，
∴FC﹣5DE＝0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t＜2时，
则FC＝10﹣5t，DE＝BE﹣BD＝2+t﹣2t＝2﹣t，
∴FC﹣5DE＝10﹣5t﹣5（2﹣t）＝0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时，
则FC＝5t﹣10，DE＝BD﹣BE＝2t﹣（2+t）＝t﹣2，
∴FC﹣5DE＝5t﹣10﹣5（t﹣2）＝0．
综上所述，在整个运动过程中，FC﹣5DE的值为定值，且定值为0．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，两点间的距离，熟练掌握解一元一次方程的方法，绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，利用分类讨论思想是解题的关键．
23．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．研究数轴时，我们发现有许多重要的规律：若数轴上点A，B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．
【知识应用】
如图，在数轴上，点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t秒t＞0，根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：
①A，C两点之间的距离AC＝　7　 ，线段BC的中点表示的数为 　　 ．
②用含t的代数式表示：t秒后点P表示的数为 　﹣2+2t　 ．
（2）若点M为PA的中点，当t为何值时，．
【拓展提升】
（3）在数轴上，点D表示的数为9，点E表示的数为6，点F表示的数为﹣4，点G从点D，点H从点E同时出发，分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴的负方向运动，且当它们各自到达点F时停止运动，设运动时间为t秒，线段GH的中点为点K，当t为何值时，HK＝3．
【分析】（1）①根据两点间距离公式、线段中点公式代入即可得到答案；
②根据点P的运动方向和运动速度，结合点C表示的数即可得到结果；
（2）点M表示为，根据题意得，解出t即可；
（3）分两种情况：①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为6﹣2t，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值；②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为﹣4，则点K表示的数为，根据HK＝3列出方程，求出t值即可得到结果．
【解答】解：（1）①∵点A表示的数为5，点B表示的数为3，点C表示的数为﹣2，
∴AC＝|5﹣（﹣2）|＝7，
线段BC的中点表示的数为；
故答案为：7，；
②∵点P从点C出发，以每秒2个单位沿数轴向右匀速运动，
∴t秒后点P表示的数为﹣2+2t；
故答案为：﹣2+2t；
（2）∵点M为PA的中点，
∴点M表示为，
∵，
∴，
解得：t＝2或t＝1，
∴当t的值为1或2时，；
（3）①当0≤t≤5时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为6﹣2t，
∵线段GH的中点为点K，
∴点K表示的数为，
∵HK＝3
∴HK，
解得：t＝3，
②当5≤t≤13时，运动t秒后，点G表示的数为9﹣t，点H表示的数为﹣4，
∵线段GH的中点为点K，
∴点K表示的数为，
∵HK＝3，
∴HK，
解得：t＝7，
综上，当t＝3或t＝7时，HK＝3．
【点评】本题主要考查数轴、两点距离公式、一元一次方程的应用，正确理解题意，找准等量关系列出方程是解题关键．
24．【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律：
①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，
若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：|a﹣b|；
若点A在B的右侧，即a＞b，则A，B两点之间的距离为：a﹣b；
②线段AB的中点表示的数为
，③点A向右运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a+m，
点A向左运动m个单位长度（m＞0）后，点A表示的数为：a﹣m．
同学们可以在数轴上取点验证上述规律，并完成下列问题．
【问题情境】
如图：在数轴上点A表示数﹣3，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒，（t＞0）
请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：
（1）AB表示点A到点B之间的距离，运动之前，AB的距离为　4　 ；
（2）A点与C点的中点为D，则点D表示的数为　3　 ；
运动t秒后，点A表示的数为　﹣3﹣2t　 （用含t的式子表示）；
（3）若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值．
【分析】（1）列式计算可得AB的距离为1﹣（﹣3）＝4；
（2）点D表示的数为 ；运动t秒后，点A表示的数为：﹣3﹣2t．
（3）分别用t的代数式写出点A，B，C表示的数，分类讨论，根据背景知识②列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵A点表示数﹣3，B点示数1，
∴AB的距离为：1﹣（﹣3）＝4；
故答案为：4；
（2）∵点A表示数﹣3，点C表示数9，点D为AC中点，
∴点D表示的数为 ；
∵A点表示数﹣3，以每秒2个单位长度向左运动，
∴运动t秒后，点A表示的数为：﹣3﹣2t．
故答案为：3，﹣3﹣2t；
（3）由题意可知，t秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t，B点所在的数为：1﹣t，C点所在的数为：9﹣4t．
分三种情况：
①若B为AC中点，则 ．
解得t＝1；
②若C为AB中点，则 ．
解得t＝4；
③若A为BC中点，则 ．
解得t＝16．
综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，数轴，列代数式，理解题意，能用代数式表示出点所表示的数是解题的关键．
25．知识背景：数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律：比如数轴上点A、点B表示的数为a、b，则A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|；线段AB的中点P表示的数为．问题呈现：已知数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10，点M从点A出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，同时点N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动．设线段MN的中点为P，点N的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段AB的中点表示的数为 　﹣5　 ；点N表示的数为 　10﹣2t　 （用含t的代数式表示）．
（2）当M、N两点相距6个单位时，求t的值．
（3）当点P与数轴上表示﹣4的点重合时，求t的值；
（4）若点M到达点B后停留7秒，随后立即以原速返回，点N到达点A后立即以原速返回，两点再次相遇时，停止运动在整个运动过程中，当PAPB时，直接写出t的值．
【分析】（1）由数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10，知线段AB的中点表示的数为﹣5，点N表示的数为10﹣2t；
（2）由M、N两点相距6个单位，可得|﹣20+3t﹣（10﹣2t）|＝6，即可解得答案；
（3）根据点P与数轴上表示﹣4的点重合得4，可解得答案；
（4）分四种情况：当0≤t≤10时，20（10），当10＜t≤15时，10﹣t﹣（﹣20）[10﹣（10﹣t）]，当15＜t≤17时，t﹣20﹣（﹣20）[10﹣（t﹣20）]，当17＜t时，（﹣20）（10），分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵数轴上两点A、B表示的数分别为﹣20、10，
∴线段AB的中点表示的数为5，
∵N从点B出发，以每秒2个单位的速度向点A运动，点N的运动时间为t秒，
∴点N表示的数为10﹣2t，
故答案为：﹣5，10﹣2t；
（2）点M表示的数为﹣20+3t，点N表示的数为10﹣2t，
∵M、N两点相距6个单位，
∴|﹣20+3t﹣（10﹣2t）|＝6，
解得t或t，
∴t的值为或；
（3）∵点M表示的数为﹣20+3t，点N表示的数为10﹣2t，
∴MN的中点P表示的数是，
∴4，
解得t＝2，
∴t的值为2；
（4）M从A到B所需时间为（10+20）÷3＝10（秒），
N从B到A所需时间为（20+10）÷2＝15（秒），
当0≤t≤10时，M表示的数为﹣20+3t，点N表示的数为10﹣2t，P表示的数是，
∴20（10），
解得t；
当10＜t≤15时，M表示的数是10，N表示的数是10﹣2t，P表示的数是10﹣t，
∴10﹣t﹣（﹣20）[10﹣（10﹣t）]，
解得t；
当15＜t≤17时，M表示的数是10，N表示的数是﹣20+2（t﹣15）＝2t﹣50，P表示的数是t﹣20，
∴t﹣20﹣（﹣20）[10﹣（t﹣20）]，
解得t；
当17＜t时，M表示的数是10﹣3（t﹣17）＝﹣3t+61，N表示的数是2t﹣50，P表示的数为，
∴（﹣20）（10），
解得t，
综上所述，t的值为或或或．
【点评】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后所表示的数．
26．阅读理解：
若A、B、C为数轴上三点，若点C到A的距离是点C到B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的好点．
例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的好点，但点D是【B，A】的好点．
如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣2，点N所表示的数为4．
（1）数 　2或10　 所表示的点是【M，N】的好点；
（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣20，点B所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁P从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当t为何值时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点？
【分析】（1）设所求数为x，根据好点的定义列出方程x﹣（﹣2）＝2（4﹣x），解方程即可；
（2）根据好点的定义可知分五种情况：①P为【A，B】的好点；②A为【B，P】的好点；③P为【B，A】的好点；④A为【P，B】的好点．⑤B为【A，P】的好点，设点P表示的数为y，根据好点的定义列出方程，进而得出t的值．
【解答】解：（1）设所求数为x，由题意得
x﹣（﹣2）＝2（4﹣x）或x﹣（﹣2）＝2（x﹣4），
解得x＝2或x＝10；
（2）设点P表示的数为y，分四五情况：
①P为【A，B】的好点．
由题意，得y﹣（﹣20）＝2（40﹣y），
解得y＝20，
t＝（40﹣20）÷2＝10（秒）；
②A为【B，P】的好点．
由题意，得40﹣（﹣20）＝2[y﹣（﹣20）]，
解得y＝10，
t＝（40﹣10）÷2＝15（秒）；
③P为【B，A】的好点．
由题意，得40﹣y＝2[y﹣（﹣20）]，
解得y＝0，
t＝（40﹣0）÷2＝20（秒）；
④A为【P，B】的好点
由题意得y﹣（﹣20）＝2[40﹣（﹣20）]
解得y＝100（舍）．
⑤B为【A，P】的好点
30＝2t，
t＝15．
综上可知，当t为10秒、15秒或20秒时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的好点．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解好点的定义，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
27．对于数轴上给定的两点M，N（M在N的左侧），若数轴上存在点P，使得MP+3NP＝k，则称点P为点M，N的“k和点”．例如，如图1，点M，N表示的数分别为0，2，点P表示的数为1，因为MP+3NP＝4，所以点P是点M，N的“4和点”．
（1）如图2，已知点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2．
①若点O表示的数为0，点O为点A，B的“k和点”，则k的值 　8　 ．
②若点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，则点C表示的数为 　1.5　 ．
③若点D是点A，B的“k和点”，且AD＝2BD，求k的值．
（2）数轴上点E表示的数为a，点F在点E的右侧，EF＝4，点T是点E，F的“6和点”，请求出点T表示的数t的值（用含a的代数式表示）．
【分析】（1）①由数轴上的点表示的数求出AO＝2，BO＝2，再由“k和点”的定义即可得出结果；
②设点C表示的数为x，由AC+3BC＝5，则x+2+3（2﹣x）＝5，解方程即可；
③分两种情况，当点D在AB之间时，当点D在点B右侧时，由“k和点”的定义分别求出k的值即可；
（2）分三种情况：①当点T在点E的左侧时，求得t＝6+a，与t＜a矛盾，则不存在当点T在点E的左侧的情况；
②当点T在线段EF上时，由“k和点”的定义列出方程，解方程即可；
③当点T在点F的右侧时，由“k和点”的定义列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）①∵点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2，点O表示的数为0，
∴AO＝2，BO＝2，
∵点O为点A，B的“k和点”，
∴k＝2+3×2＝8，
故答案为：8；
②∵点C在线段AB上，且点C是点A，B的“5和点”，
∴AC+3BC＝5，
设点C表示的数为x，
则x+2+3（2﹣x）＝5，
解得：x＝1.5，
故答案为：1.5；
③当点D在AB之间时，设点D表示的数为y，
则y+2＝2（2﹣y），
解得：y，
∴k2+3（2）；
当点D在点B右侧时，设点D表示的数为z，
则z+2＝2（z﹣2），
解得：z＝6，
∴k＝6+2+3（6﹣2）＝20；
综上所述，k的值为或20；
（2）分三种情况：
①当点T在点E的左侧时，t＜a，
a﹣t+3×4＝6，
解得：t＝6+a，
与t＜a矛盾，
∴不存在当点T在点E的左侧的情况；
②当点T在线段EF上时，a＜t＜4+a，
t﹣a+3（4+a﹣t）＝6，
解得：t＝a+3；
③当点T在点F的右侧时，t＞a+4，
t﹣a+3（t﹣4﹣a）＝6，
解得：t＝a；
综上所述，点T表示的数t的值为a+3或a．
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离、新概念“k和点”、一元一次方程的应用、分类讨论等知识，正确理解新概念“k和点”、列出方程是解题的关键．
28．数轴是一个非常重要的数学工具，它使实数和数轴上的点建立起一一对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
【阅读理解】
|3﹣1|表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣1|可以理解为x与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，|x+1|＝|x﹣（﹣1）|就表示x在数轴上对应的点到﹣1的距离．
（1）【尝试应用】
①数轴上表示﹣4和2的两点之间的距离是 　6　 （写出最后结果）；
②若|x﹣（﹣2）|＝3，则x＝　1或﹣5　 ；
（2）【动手探究】小明在草稿纸上画了一条数轴，并折叠纸面，若表示2的点与表示﹣4的点重合．
①则表示10的点与表示 　﹣12　 的点重合；
②这时如果A，B（A在B的左侧）两点之间的距离为2022，且A，B两点经过折叠后重合，则A表示的数是 　﹣1012　 ，B表示的数是 　1010　 ；
③若点A表示的数为a，点B表示的数为b（A在B的左侧），且A，B两点经折叠后刚好重合，那么a与b之间的数量关系是 　a+b＝﹣2　 ；
（3）【拓展延伸】
①当x＝　1　 时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|有最小值，最小值是 　5　 ；
②|x+1|﹣|x﹣4|有最大值，最大值是 　5　 ，|x+1|﹣|x﹣4|有最小值，最小值是 　﹣5　 ．
【分析】（1）①根据两点间距离公式可得答案；②根据绝对值的定义可以解答；
（2）①首先求出折叠点是﹣1，列式为﹣1﹣（10+1）可得答案；②根据折叠点为﹣1可列式解答；③由题意得，（a+b）＝﹣1，整理可得答案；
（3）根据绝对值的定义和分类讨论的数学思想可以解答本题．
【解答】解：（1）①﹣4和2的两点之间的距离是：2﹣（﹣4）＝6，
故答案为：6；
②∵|x﹣（﹣2）|＝3，
∴x＝1或﹣5，
故答案为：1或﹣5；
（2）∵表示2的点与表示﹣4的点重合，
∴折叠点是﹣1，
①﹣1﹣（10+1）＝﹣12，
故答案为：﹣12；
②2022÷2＝1011，﹣1﹣1011＝﹣1012，﹣1+1011＝1010，
∴则A表示的数是﹣1012，B表示的数是1010，
故答案为：﹣1012，1010；
③由题意得，（a+b）＝﹣1，
∴a+b＝﹣2，
故答案为：a+b＝﹣2；
（3）①当x≤﹣2时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝﹣x﹣2﹣x+1﹣x+3＝﹣3x+2≥8，
当﹣2＜x≤1时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2﹣x+1﹣x+3＝﹣x+6，5≤﹣x+6＜8，
当1＜x≤3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1﹣x+3＝x+4，5＜x+4≤7，
当x＞3时，|x+2|+|x﹣1|+|x﹣3|＝x+2+x﹣1+x﹣3＝3x﹣2＞7，
∴当x＝1时，最小值是5，
故答案为：1，5；
②当x＜﹣1时，|x+1|﹣|x﹣4|＝﹣x﹣1+x﹣4＝﹣5，
当﹣1≤x≤4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1+x﹣4＝2x﹣3，﹣5≤2x﹣3≤5，
当x＞4时，|x+1|﹣|x﹣4|＝x+1﹣x+4＝5，
∴最大值是5，最小值是﹣5，
故答案为：5，﹣5．
【点评】本题考查数轴、绝对值、两点的距离，解答本题的关键是明确绝对值的定义，利用绝对值的知识和分类讨论的数学思想解答．
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