浙教版数学七年级上册期末压轴专题——动角问题

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浙教版数学七年级上册期末压轴专题——动角问题
1．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，射线OP与OC位于直线AB同侧．OM平分∠COP．
（1）如图，当∠BOP＝10°时，求∠AOM的度数．
（2）若∠AOM＝2∠BOP，通过计算判断∠COM与∠BOP的大小关系，并说明理由．
2．已知如图1，∠AOB＝40°．
（1）如图1．若∠AOC∠BOC，则∠BOC＝　 　 ；
（2）如图2，∠AOC＝30°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值．
3．如图1，OC是∠AOB内的一条射线，若∠AOC＝n∠BOC或∠BOC＝n∠AOC，则称OC为∠AOB的n比分线．
【概念初识】
（1）①若OC是∠AOB的角平分线，则n＝　 　 ．
②已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的2比分线，则∠AOC＝　 　 °．
【概念理解】
（2）已知∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条n比分线，求∠COD的度数（用含n的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图2，已知∠AOB是一个平角，OC是∠AOB的比分线，且∠AOC是一个锐角，射线OM，ON同时从OB出发，分别以每秒3°和每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，且当射线ON首次与OA重合时同时停止运动，设运动时间为t秒，当射线OC，OM，ON中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的2比分线时，请直接写出t的值．
4．如图①，直角三角尺ABC和直角三角尺ADE的顶点A重合，且顶点C，A，E在一条5的直线上，∠C＝∠E＝90°，∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，保持三角尺ADE不动，将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转，点C落在射线AE上时停止旋转．
（1）如图②，当三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，则∠CAD＝ 　 　 °，∠BAE＝ 　 　 °．
（2）如图③，当三角尺ABC顺时针旋转任意角度α°，且AB在AE上方时，∠CAD与∠BAE大小之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图④，若三角尺ABC的旋转速度为5°/秒，当AB在AE下方时，那么多少秒后∠BAE是∠CAD的两倍．
5．定义：如果两个角相差15°，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图1所示摆放，其中A、O、D三点共线，我们可以说∠C和∠COD都是∠AOB的优角．
（1）在图1中，∠BOC的优角有　 　 个．
（2）如图2，将△COD绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜120°）至△C′OD′．
①当旋转的角度α为何值时，∠AOC′与∠BOC互为优角？
②如图3，作∠AOC′的角平分线OE，是否存在这样的α，使得∠AOE，∠BOC′这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出α的值，若不存在，请说明理由．
6．如图，已知∠AOB＝110°，OC在∠AOB内部，OD在∠BOC的内部，∠COD＝40°．
（1）若∠AOC＝50°，则∠BOD＝ 　 　 ；若∠AOC＝x°，则∠BOD＝ 　 　 （用含x的代数式表示）；
（2）若∠AOD＝2∠BOC，求∠AOC的度数；
（3）将∠AOC以OC为折痕进行翻折，OA落在OE处，将∠BOD以OD为折痕进行翻折，OB落在OF处，∠AOC的度数变化时，∠EOF度数是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出∠EOF的度数．
7．如图1，在直线AB上取一点O，向上作一条射线OC，使∠BOC＝n°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OB上，另一边OE在直线AB的上方．如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动，当OD与OA第一次重合时停止．
（1）如图2，n＝54时，若∠COD和∠AOE互余，且满足OD始终在∠BOC内部，求此时∠COE的度数；
（2）如图2，当OD始终在∠BOC内部时，猜想∠COD与∠AOE有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当n＝54时，若直角三角板DOE绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，OD与OA第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　 　 秒．（直接写出结果）
8．如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为t秒，当OC旋转到与OD重合时，OC、OD都停止运动．
（1）猜想：∠AOC+∠AOD＝　 　 °，并说明理由；
（2）已知射线OE始终平分∠BOD，射线OF在∠COD内，且满足∠BOD与∠EOF互余．
①当t＝3秒时，∠EOF＝　 　 °；
②在运动过程中，试探究∠BOF与∠COF之间有怎样的数量关系，并说明理由．
9．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　 　 ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　 　 ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
10．已知∠AOB和∠COD均为锐角，且∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC＝a（0≤α＜180°）．若∠AOB＝60°，∠COD＝50°．
（1）当α＝0°时，如图1，则∠POQ＝　 　 °；
（2）当α＝70°时，如图2，求∠POQ的度数；
（3）如图3，当∠POD＝140°时，请直接写出α和∠POQ的度数．
11．如图，有一副三角板△ABC和△ADE，它们的斜边AB和AD按图1所示摆放在直线MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE．
（1）求初始位置∠PAE的度数．
（2）若将三角板ADE绕点A转到如图2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度数．
（3）在（2）的基础上，若继续将三角板ABC绕点A转动到图3位置，使，求∠PAD与∠BAN存在的等量关系．
12．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　 　 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值．
13．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
14．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝　 　 ，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
15．O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，∠AOC与∠DOE的数量关系为　 　 ，∠COF和∠DOE的数量关系为　 　 ；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由．
16．定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝45°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数．
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，同时，射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
17．将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．
（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝　 　 ；
（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．
（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．
18．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　 　 °；
（2）如图2，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值．
19．（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　 　 ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　 　 ．
②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．
20．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
（1）若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝　 　 ；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B'，若∠EPB'与∠B'PC互为“互优角”，则∠BPE的度数为 　 　 ；
（3）再将纸片沿着PF对折（点F在线段CD或AD上），使点C落在C'．
①如图2，若点E，C'，P在同一直线上，且∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”，求∠EPF的度数（对折时，线段PB'落在∠EPF内部）；
②若∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE与∠CPF应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
21．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
22．已知O是直线AB上点，∠COD＝90°，OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若射线OC，OD，OE在直线AB的同侧．
①若∠COE＝25°，求∠BOD的大小；
②猜想∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若射线OC与射线OD，OE分别在直线AB的两侧，且∠COE＜90°，其它条件不变（1）中第②小题的结论是否仍然成立？请说明理由．
23．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）在图1中，∠AOC＝　 　 ，∠BOC＝　 　 ．
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则∠CON＝　 　 ；
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON﹣∠COM的度数．
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参考答案与试题解析
一．解答题（共23小题）
1．如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝60°，射线OP与OC位于直线AB同侧．OM平分∠COP．
（1）如图，当∠BOP＝10°时，求∠AOM的度数．
（2）若∠AOM＝2∠BOP，通过计算判断∠COM与∠BOP的大小关系，并说明理由．
【分析】（1）先计算出∠POC＝110°，再根据角平分线定义求出∠COM＝55°，再计算∠AOC+∠COM即可得出∠AOM＝115°；
（2）设∠BOP＝x°，求出设，根据∠AOM＝2∠BOP列方程，求出x的值，可得∠BOP＝48°，∠COM＝36°，再比较大小即可．
【解答】解：（1）∵∠BOP＝10°，∠AOC＝60°，
∴∠POC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOP＝110°，
∵OM平分∠POC，
∴∠COM∠POC110°＝55°，
∴∠AOM＝∠AOC+∠COM＝60°+55°＝115°；
（2）设∠BOP＝x°，
∴∠POC＝180°﹣∠AOC﹣∠BOP＝120°﹣x°，
∵OM平分∠POC，
∴∠COM∠POC（120°﹣x°）＝60°x°，
；
∵∠AOM＝2∠BOP，
∴，
解得x＝48，
∴，
∴∠COM＜∠BOP．
【点评】本题主要考查角的大小比较，角平分线的定义，角的计算，准确识图是解答本题的关键．
2．已知如图1，∠AOB＝40°．
（1）如图1．若∠AOC∠BOC，则∠BOC＝　60°或30°　 ；
（2）如图2，∠AOC＝30°，OM为∠AOB内部的一条直线，ON是∠MOC四等分线，且3∠CON＝∠NOM，求4∠AON+∠COM的值．
【分析】（1）由题意知要分成两种情况：当OC在∠AOB外部时和当OC在∠AOB内部时，结合图形可知∠BOC的度数；
（2）设∠CON＝α，则由题意知∠AON＝30°﹣α，故4∠AON+∠COM＝4（30°﹣α）+4α＝120°．
【解答】解：（1）如图①，当OC在∠AOB外部时，
，
∴，
∴∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝40°+20°＝60°；
如图②，当OC在∠AOB内部时，
，
∴，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝40°﹣10°＝30°，
故答案为：60°或30°．
（2）设∠CON＝α，
∵ON是∠MOC四等分线，
∴∠MOC＝4α，
∵3∠CON＝∠NOM，
∴∠MON＝3∠CON＝3α，
∵∠AOC＝30°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝30°﹣α，
∴4∠AON+∠COM＝4（30°﹣α）+4α＝120°．
【点评】本题考查了与角有关的计算及角的代换，关键是结合图形求解．
3．如图1，OC是∠AOB内的一条射线，若∠AOC＝n∠BOC或∠BOC＝n∠AOC，则称OC为∠AOB的n比分线．
【概念初识】
（1）①若OC是∠AOB的角平分线，则n＝　1　 ．
②已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的2比分线，则∠AOC＝　20°或40°　 °．
【概念理解】
（2）已知∠AOB＝120°，OC，OD是∠AOB的两条n比分线，求∠COD的度数（用含n的代数式表示）．
【概念应用】
（3）如图2，已知∠AOB是一个平角，OC是∠AOB的比分线，且∠AOC是一个锐角，射线OM，ON同时从OB出发，分别以每秒3°和每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，且当射线ON首次与OA重合时同时停止运动，设运动时间为t秒，当射线OC，OM，ON中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的2比分线时，请直接写出t的值．
【分析】（1）①由OC是∠AOB的角平分线，则∠AOC＝∠BOC，从而求解；
②分当∠AOC＝2∠BOC和当∠BOC＝2∠AOC两种情况分析即可；
（2）由OC，OD是∠AOB的两条n比分线，则∠AOC＝n∠BOC，∠BOD＝n∠AOD，根据定义则有，，然后用角度和差即可求解；
（3）由ON在∠BOC内部时，即0≤t＜27，①当∠CON＝2∠MON，②当∠MON＝2∠CON，由ON在∠AOC内部时，即27＜t≤36，③当∠COM＝2∠CON，④当2∠COM＝∠CON四种情况分析即可．
【解答】解：（1）①∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴n＝1，
故答案为：1；
②当∠AOC＝2∠BOC，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC+∠BOC＝60°，
∴∠BOC＝20°，
∴∠AOC＝40°，
当∠BOC＝2∠AOC，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC+∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝20°，
综上可知：∠AOC＝40°或∠AOC＝20°，
故答案为：20°或40°；
（2）∵OC，OD是∠AOB的两条n比分线，
∴∠AOC＝n∠BOC，∠BOD＝n∠AOD，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC+∠BOC＝120°，∠AOD+∠BOD＝120°，
∴，，
∴；
（3）∵OC是∠AOB 的比分线，且∠AOC是一个锐角，
∴，
∵∠AOB是一个平角，
∴∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝45°，
射线OM，ON同时从OB出发，分别以每秒3°和每秒5°的速度绕点O逆时针旋转，
∴∠BOM＝3°t，∠BON＝5°t，
∵当射线ON首次与OA重合时同时停止运动，
∵0≤t≤36，
由ON在∠BOC内部时，即0≤t＜27，
∴∠MON＝2°t，∠CON＝135°﹣5°t
①如图，当∠CON＝2∠MON，
∴135°﹣5°t＝2×2°t，解得：t＝15，
②如图，当∠MON＝2∠CON，
∴2（135°﹣5°t）＝2°t，解得：t＝22.5，
由ON在∠AOC内部时，即27＜t≤36，
∴∠COM＝135°﹣3°t，∠CON＝5°t﹣135°，
③如图，当∠COM＝2∠CON，
∴135°﹣3°t＝2×（5°t﹣135°），解得：，
④当2∠COM＝∠CON，
∴2（135°﹣3°t）＝5°t﹣135°，解得：（舍去），
综上可知：当射线OC，OM，ON中恰好有一条射线是另外两条射线所成角的2比分线时，t的值为15或22.5或．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，角度的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．
4．如图①，直角三角尺ABC和直角三角尺ADE的顶点A重合，且顶点C，A，E在一条5的直线上，∠C＝∠E＝90°，∠BAC＝60°，∠DAE＝45°，保持三角尺ADE不动，将三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转，点C落在射线AE上时停止旋转．
（1）如图②，当三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，则∠CAD＝ 　95　 °，∠BAE＝ 　80　 °．
（2）如图③，当三角尺ABC顺时针旋转任意角度α°，且AB在AE上方时，∠CAD与∠BAE大小之间有何数量关系？并说明理由．
（3）如图④，若三角尺ABC的旋转速度为5°/秒，当AB在AE下方时，那么多少秒后∠BAE是∠CAD的两倍．
【分析】（1）首先判断三角尺ABC未旋转之前∠CAD和∠BAE的度数，进而减去40°即可得到三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°时，∠CAD和∠BAE的度数；
（2）结合图③和（1）得到的结论可得用α表示的∠CAD与∠BAE的度数，即可得到∠CAD与∠BAE的数量关系；
（3）根据AC在AD的上方，AC在AD的下方两种情况分别得到用t表示的∠CAD与∠BAE的度数，进而根据∠BAE是∠CAD的两倍可得t的值．
【解答】解：（1）由图①可得，三角尺ABC未旋转之前：∠CAD＝180°﹣∠DAE＝135°，
∠BAE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∵三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转40°，
∴∠CAD＝135°﹣40°＝95°，
∠BAE＝120°﹣40°＝80°，
故答案为：95°，80°；
（2）∠CAD﹣∠BAE＝15°，理由：
由题意得：三角尺ABC未旋转之前：∠CAD＝180°﹣∠DAE＝135°，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝120°，
∵三角尺ABC绕顶点A顺时针旋转α°，
∴∠CAD＝135°﹣α°，∠BAE＝120°﹣α°，
∴∠CAD﹣∠BAE＝（135°﹣α°）﹣（120°﹣α°）＝15°；
（3）①如图：AC在AD的上方，
由题意得：∠BAE＝（5t﹣120）°，∠CAD＝（135﹣5t）°，
∵∠BAE是∠CAD的两倍，
∴5t﹣120＝2（135﹣5t），
解得：t＝26，
②如图：AC在AD的下方，
由题意得：∠BAE＝（5t﹣120）°，∠CAD＝（5t﹣135）°，
∵∠BAE是∠CAD的两倍，
∴5t﹣120＝2（5t﹣135），
解得：t＝30，
答：26秒或30秒后∠BAE是∠CAD的两倍．
【点评】本题考查一元一次方程的应用．用类比思想得到用α表示的∠CAD与∠BAE的度数是解决本题的关键；难点是根据AC在AD的上方，AC在AD的下方两种情况分别得到用t表示的∠CAD与∠BAE的度数．
5．定义：如果两个角相差15°，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图1所示摆放，其中A、O、D三点共线，我们可以说∠C和∠COD都是∠AOB的优角．
（1）在图1中，∠BOC的优角有　3　 个．
（2）如图2，将△COD绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜120°）至△C′OD′．
①当旋转的角度α为何值时，∠AOC′与∠BOC互为优角？
②如图3，作∠AOC′的角平分线OE，是否存在这样的α，使得∠AOE，∠BOC′这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出α的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）分别求出图1中的各角，进而利用优角定义判断求解即可；
（2）①由（1）得∠AOC＝120°，∠BOC＝75°，进而得∠AOC′＝120°﹣α，再根据优角的定义可列出方程求解即可；②由角平分线得，∠BOC′＝|∠BOC﹣∠COC′|＝|75°﹣α|，根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差30°．进而分0°＜α≤75°，和75°＜α＜120°两种情况结合优角定义求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得∠ODC＝∠OAB＝90°，∠C＝30°，∠COD＝60°，∠AOB＝∠B＝45°，
∴∠BOC＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∠BOD＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BOC的优角为75°﹣15°＝60°或75°+15°＝90°，
∴∠ODC、∠OAB、∠COD是∠BOC的优角，其他角不是∠BOC的优角，
∴在图1中，∠BOC的优角有3个，
故答案为：3；
（2）①由（1）得∠AOC＝120°，∠BOC＝75°，
将△COD绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜120°）至△C′OD′，
∴∠COC′＝α，
∴∠AOC′＝120°﹣α，
当∠AOC′与∠BOC互为优角时，可列出方程：
|120°﹣α﹣75°|＝15°，
∴120°﹣α﹣75°＝15°或120°﹣α﹣75°＝﹣15°，
解得α＝60°或α＝30°；
②存在这样的α，使得∠AOE，∠BOC′这两个角都是同一个角的优角；α＝30°或90°或110°；理由如下：
∵∠AOC′＝120°﹣α，作∠AOC′的角平分线OE，
∴，∠BOC′＝|∠BOC﹣∠COC′|＝|75°﹣α|，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差30°．
当0°＜α≤75°时，
（i）∠AOE＝∠BOC′，
∴，
解得α＝30°；
（ii）|∠AOE﹣∠BOC′|＝30°，
∴，
解得α＝﹣30°（舍）或α＝90°（舍去）；
当75°＜α＜120°时，
（i）∠AOE＝∠BOC′，
∴，
解得α＝90°；
（ii）|∠AOE﹣∠BOC′|＝30°，
∴，
解得α＝110°或α＝70°（舍去），
综上所述，α＝30°或90°或110°．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角板中角的有关计算，读懂题意，理解优角定义是解题的关键．
6．如图，已知∠AOB＝110°，OC在∠AOB内部，OD在∠BOC的内部，∠COD＝40°．
（1）若∠AOC＝50°，则∠BOD＝ 　20°　 ；若∠AOC＝x°，则∠BOD＝ 　（70﹣x）°　 （用含x的代数式表示）；
（2）若∠AOD＝2∠BOC，求∠AOC的度数；
（3）将∠AOC以OC为折痕进行翻折，OA落在OE处，将∠BOD以OD为折痕进行翻折，OB落在OF处，∠AOC的度数变化时，∠EOF度数是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出∠EOF的度数．
【分析】（1）根据角度的和差，结合图形即可求解；
（2）根据图形分别得出∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣∠DOB，∠BOC＝∠COD+∠DOB＝40°+∠DOB，根据∠AOD＝2∠BOC，建立方程，解方程即可求解；
（3）根据题意得出∠BOF＝2∠BOD＝（140﹣2x）°，∠AOE＝2∠AOC＝2x，进而根据∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝110°，∠COD＝40°，∠AOC＝50°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝110°﹣50°﹣40°＝20°；
若∠AOC＝x°，则∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝110°﹣40°﹣x°＝（70﹣x）°；
故答案为：20°；（70﹣x）°．
（2）∵∠AOB＝110°，∠COD＝40°，
∵∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣∠DOB，∠BOC＝∠COD+∠DOB＝40°+∠DOB
∵∠AOD＝2∠BOC
∴110°﹣∠DOB＝2（40°+∠DOB）
解得：∠DOB＝10°
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COD﹣∠DOB＝110°﹣40°﹣10°＝60°；
（3）不变，∠EOF＝30°，理由如下，如图，
设∠AOC＝x°，由（1）可得∠BOD＝（70﹣x）°，
∴∠BOF＝2∠BOD＝（140﹣2x）°，∠AOE＝2∠AOC＝2x，
∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠BOF＝110﹣x°﹣（140﹣2x）°＝（x﹣30）°，
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝（2x﹣30）°，
∴∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF＝2∠AOC﹣∠AOF＝2x°﹣（2x﹣30）°＝30°，
∴∠EOF的度数不发生变化．
【点评】本题考查了几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．
7．如图1，在直线AB上取一点O，向上作一条射线OC，使∠BOC＝n°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OD在射线OB上，另一边OE在直线AB的上方．如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针转动，当OD与OA第一次重合时停止．
（1）如图2，n＝54时，若∠COD和∠AOE互余，且满足OD始终在∠BOC内部，求此时∠COE的度数；
（2）如图2，当OD始终在∠BOC内部时，猜想∠COD与∠AOE有怎样的数量关系（用含n的等式表示），并说明理由；
（3）如图2，当n＝54时，若直角三角板DOE绕点O以每秒3°的速度沿逆时针方向旋转，OD与OA第一次重合时停止，在旋转的过程中，若恰好有，旋转的时间是 　25.2或54　 秒．（直接写出结果）
【分析】（1）因为∠COD和∠AOE互余，∠EOD＝90°，可得∠EOC＝∠AOE，所以∠AOE∠AOC，已知∠COB＝54°，可得∠COE的度数；
（2）∠EOC＝∠EOD﹣∠COD，因为∠BOC＝n°，所以∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC，即∠AOE＝180°﹣n°﹣（90°﹣∠COD）＝90°+∠COD﹣n°，可得∠COD与∠AOE的数量关系；
（3）分OE在直线AB上方、OE不在直线AB上方两种情况讨论．
【解答】解：（1）∵∠COD和∠AOE互余，
∴∠COD+∠AOE＝90°，
∵∠EOD＝90°，
∴∠COD+∠EOC＝90°，
∴∠EOC＝∠AOE，
∴∠AOE∠AOC，
∵∠COB＝54°，
∴∠AOC＝126°，
∴∠COE＝63°；
（2）∵∠EOD＝90°，
∴∠EOC＝90°﹣∠COD，
∵∠BOC＝n°，
∴∠AOC＝180°﹣n°，
∴∠AOE＝180°﹣n°﹣（90°﹣∠COD）＝90°+∠COD﹣n°，
∴∠AOE﹣∠COD＝90°﹣n°；
（3）设旋转的时间为t秒，
①OE在直线AB上方时，
∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°，
∴∠COD＝3t°﹣54°，
∠AOE＝180°﹣3t°﹣90°＝90°﹣3t°，
∵，
∴3t°﹣54°（90°﹣3t°），
解得：t＝25.2，
∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°，
∴∠COD＝54°﹣3t°，
∠AOE＝180°﹣3t°﹣90°＝90°﹣3t°，
∵，
∴54°﹣3t°（90°﹣3t°），
解得：t＝54，
②OE不在直线AB上方时，
∠BOC＝54°，∠BOD＝3t°，
∴∠COD＝3t°﹣54°，
∠AOE＝3t°﹣90°，
∵，
∴3t°﹣54°（3t°﹣90°），
解得：t＝54，
故答案为：25.2或54．
【点评】本题考查了角的计算，关键是注意分类讨论．
8．如图，O是直线AB上一点，射线OC绕点O顺时针旋转，从OA出发，每秒旋转10°，射线OD绕点O逆时针旋转，以相同的速度从OB出发，射线OC与OD同时旋转，设旋转的时间为t秒，当OC旋转到与OD重合时，OC、OD都停止运动．
（1）猜想：∠AOC+∠AOD＝　180　 °，并说明理由；
（2）已知射线OE始终平分∠BOD，射线OF在∠COD内，且满足∠BOD与∠EOF互余．
①当t＝3秒时，∠EOF＝　60　 °；
②在运动过程中，试探究∠BOF与∠COF之间有怎样的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由已知条件可以知道∠AOC＝∠BOD，再根据补角的性质即可得出答案；
（2）①当t＝3秒时，可求出∠BOD＝30°，又根据∠BOD与∠EOF互余，得出∠EOF的度数；
②根据题意，设∠AOC＝∠BOD＝10t°，然后根据角平分线的定义和余角的性质可知∠BOE＝∠EOD＝5t°，
∠DOF＝90°﹣15t°，再根据角的和差得出∠BOF＝∠COF．
【解答】解：（1）∠AOC+∠AOD＝180°，理由如下：
由题意可知：∠AOC＝∠BOD，
∵∠BOD+∠AOD＝180°，
∴∠AOC+AOD＝∠BOD+∠AOD＝180°．
故答案为：180．
（2）①当t＝3秒时，∠BOD＝30°，
∵∠BOD与∠EOF互余，
∴∠EOF＝90°﹣∠BOD＝60°．
故答案为：60．
②∠BOF＝∠COF，理由如下：
设∠AOC＝∠BOD＝10t°，
∵射线OE始终平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠EOD∠BOD＝5t°，
∵∠BOD+∠EOF＝90°，
∴∠BOD+∠EOD+∠DOF＝90°，
∴10t°+5t°+∠DOF＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣15t°，
∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝10t°+90°﹣15t°＝90°﹣5t°，
∴∠COF＝180°﹣∠AOC﹣∠FOD﹣∠DOB＝180﹣10t°﹣（90°﹣15t°）﹣10t°＝90°﹣5t°，
∴∠BOF＝∠COF．
【点评】本题主要考查余角、补角、角平分线的定义及角的和差知识点，解决本题的关键是找出要求角与已知角之间的关系．
9．定义：如果一个角内部的一条射线将这个角分成两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们将这条射线称为这个角的n+1分位线．例如：如图1，∠MOP＝4∠NOP，则OP为∠MON的5分位线；∠NOQ＝4∠MOQ，则OQ也是∠MON的5分位线．
（1）若∠AOB＝45°，OP为∠AOB的3分位线，且∠BOP＞∠POA，则∠BOP＝　30°　 ．
（2）如图2，点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，OP，OQ分别为∠AOC与∠BOC的4分位线，（∠COP＞∠POA，∠COQ＞∠QOB）．
①已知，∠AOC＝120°，则∠POQ＝　135°　 ．
②若∠AOC＝α，当α变化时，∠POQ的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
（3）如果点A、O、B在同一条直线上，OC为一条射线，已知射线OM、ON分别为∠AOC与∠BOC的5分位线，且∠MON＝87°，请直接写出∠AOC的度数．
【分析】（1）根据题意可写出∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°，进而求得∠BOP；
（2）根据题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ，①因为∠AOC＝120°，可求得∠POQ＝135°；
②写出∠POQ用α表达的表达式，可以看出α的大小并不影响∠POQ的大小，即∠POQ的大小并不会随着∠AOC的大小变化而变化；
（3）因为OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论，第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，再利用等式∠AOM+∠MON+∠BON＝180°求解．
【解答】解：（1）∵由题可得：∠BOP＝2∠POA，且∠AOB＝45°
∴∠BOP＝30°，∠POA＝15°．
（2）∵由题意可得：∠COP＝3∠AOP，∠COQ＝3∠BOQ
①当∠AOC＝120°时，可求得∠COP＝90°，∠AOP＝30°，∠BOC＝180°﹣120°＝60°，∠COQ＝45°，∠BOQ＝15°
所以∠POQ＝∠POC+∠COQ＝135°．
②不会发生变化．当∠AOC＝α时，
（3）设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α
∵射线OM、ON分别是∠AOC与∠BOC的5分位线
∴∠COM＝4∠AOM，∠BON＝4∠CON
∵∠AOM+∠COM+∠CON+∠BON＝180°
∵OM、ON的位置不确定，所以分4种情况讨论
第一种情况又分2种即：∠AOM＝4∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON，
①当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
②当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠NOC＝87°﹣α，∠AOM＝4α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴4α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝19°
∴∠AOC＝5α＝5×19°＝95°
第二种情况又分2种即：4∠AOM＝∠COM，时，∠BON＝4∠CON或4∠BON＝∠CON
③当∠BON＝4∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON＝4（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°+4（87°﹣α）＝180°
∴α＝68°
∴∠AOCα+α68°+68°＝85°
④当4∠BON＝∠CON时
设∠MOC＝α，则∠AOMα，∠CON＝87°﹣α，∠BON（87°﹣α）
又∵∠AOM+∠MON+∠BON＝180°
∴α+87°（87°﹣α）＝180°
∴α＝任意解，不符合实际情况，舍去
综上所述：∠AOC＝85°或95°．
【点评】本题考查了新定义、几何图形中角度的计算，正确理解新定义的内容是解决此题的关键．
10．已知∠AOB和∠COD均为锐角，且∠AOB＞∠COD，OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，将∠COD绕着点O逆时针旋转，使∠BOC＝a（0≤α＜180°）．若∠AOB＝60°，∠COD＝50°．
（1）当α＝0°时，如图1，则∠POQ＝　55　 °；
（2）当α＝70°时，如图2，求∠POQ的度数；
（3）如图3，当∠POD＝140°时，请直接写出α和∠POQ的度数．
【分析】（1）根据角的和差以及角平分线的定义即可求出最后结果；
（2）根据角的和差以及角平分线的定义结合转动角度α＝70°，即可求出最后结果；
（3）由∠POD＝140°，∠COD＝50°，可求出∠POC＝90°，利用角平分线的定义即可求出最后结果；
【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°，∠COD＝50°，
∴∠AOD＝110°，
∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠POB∠AOB∠AOC＝30°，∠BOQ∠COD∠BOD＝25°，
∴∠POQ＝∠POB+∠BOQ＝55°
故答案是：55
（2）∵∠AOB＝60°，∠BOC＝α＝70°
∴∠AOD＝130°，
∵OP平分∠AOC，OQ平分∠BOD，
∴∠POC∠AOC＝65°，∠DOQ∠BOD＝60°，
∴∠COQ＝∠DOQ﹣∠DOC＝10°，
∴∠POQ＝∠POC﹣∠COQ＝65°﹣10°＝55°，
故答案是55°
（3）∵∠POD＝140°，∠COD＝50°，
∴∠POC＝90°，
∵OP平分∠AOC，
∴∠POC＝∠POA＝90°
∵∠AOB＝60°，
∴∠POB＝30°，
∴∠BOC＝α＝∠POB+∠POC＝120°
∴∠BOD＝170°
∵OQ平分∠BOD，
∴∠BOQ∠BOD＝85°
∴∠POQ＝∠BOQ﹣∠POB＝55°
故答案是：α＝120°，∠POQ＝55°
【点评】本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确识图是解题关键．
11．如图，有一副三角板△ABC和△ADE，它们的斜边AB和AD按图1所示摆放在直线MN上，∠BAC＝30°，∠DAE＝45°，已知AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE．
（1）求初始位置∠PAE的度数．
（2）若将三角板ADE绕点A转到如图2位置，使∠DAN＝α，且0°＜α＜45°，求∠PAQ的度数．
（3）在（2）的基础上，若继续将三角板ABC绕点A转动到图3位置，使，求∠PAD与∠BAN存在的等量关系．
【分析】（1）由补角的定义得到∠CAD＝150°，再根据角平分线的定义得到∠PAD∠CAD＝75°，然后利用角的和差求解即可；
（2）同（1）思路一致，利用∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC，分别求出∠PAC和∠QAC即可得解；
（3）由题易得∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°α，∠PADCAD＝75°α，要找二者的关系，需要消除α，则根据两式关系消去α即可的解．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝30°，
∴∠CAD＝150°，
∵AP平分∠CAD，
∴∠PAD∠CAD＝75°，
∵∠EAD＝45°，
∴∠PAE＝∠PAD﹣∠EAD＝30°；
（2）∵∠BAC＝30°，∠DAN＝α，∠DAE＝45°
∴∠CAD＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN＝150°﹣α，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠DAN﹣∠DAE＝105°﹣α，
∵AP平分∠CAD，AQ平分∠CAE，
∴∠PACCAD＝75°α，∠CAE＝52.5°α，
∴∠PAQ＝∠PAC﹣∠QAC＝22.5°；
（3）∵∠BAC＝30°，∠MAB，
∴∠CAM＝30°α，∠BAN＝180°﹣∠MAB＝180°α，
∴∠CAD＝180°﹣∠CAM﹣∠DAN＝180°﹣30°α＝150°α，
∵AP平分∠CAD，
∴∠PADCAD＝75°α，
∴4∠PAD＝300°α，
∴4∠PAD﹣∠BAN＝120°．
【点评】本题主要考查了角平分线的定义、角的计算等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
12．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝　40　 °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当射线OC、OD相遇后，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线，求此时t的值．
【分析】（1）根据新定义直接可得答案；
（2）①分两种情况：在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，即可解得答案；
②分2种情况：若OD是OC的友好线，3t°+2t°﹣180°2t°，若OC是OD的友好线，3t°+2t°﹣180°3t°，解方程可得答案．
【解答】解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②若OD是OC的友好线，则∠COD∠AOC，
∴3t°+2t°﹣180°2t°，
∴t，
若OC是OD的友好线，则∠COD∠BOD，
∴3t°+2t°﹣180°3t°，
∴t＝45；
综上所述，当t为秒或45秒时，射线OC、OD中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
【点评】本题考查角的和差及新定义，解题的关键是读懂新定义，用方程的思想解决问题．
13．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）试说明：∠DPC＝90°；
（2）如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．
（3）如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s．同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中（PC转到与PM重合时，三角板都停止转动），问的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．
【分析】（1）利用含有30°、60°的三角板得出∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，进而求出即可；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，则∠APF＝∠DPF＝2x+y，进而利用∠CPA＝60°求出即可；
（3）首先得出值不变，设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，表示出∠CPD和∠BPN的度数即可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠DPC＝180°﹣∠CPA﹣∠DPB，∠CPA＝60°，∠DPB＝30°，
∴∠DPC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；
（2）设∠CPE＝∠DPE＝x，∠CPF＝y，
则∠APF＝∠DPF＝2x+y，
∵∠CPA＝60°，
∴y+2x+y＝60°，
∴x+y＝30°
∴∠EPF＝x+y＝30°
（3）不变．
设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝360﹣∠DPB﹣∠BPN﹣∠CPA﹣∠APN＝90﹣t，
∴．
【点评】本题考查了角的计算，利用数形结合得出等式是解题关键，还要理清角之间的关系．
14．数学活动课上，小聪同学摆弄着自己刚购买的一套三角板，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起，然后转动三角板，在转动过程中，请解决以下问题：
（1）如图（1）：当∠DCE＝30°时，∠ACB+∠DCE＝　30°　 ，若∠DCE为任意锐角时，你还能求出∠ACB与∠DCE的数量关系吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
（2）当转动到图（2）情况时，∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系？请说明理由．
【分析】（1）当∠DCE＝30°时，利用互余计算出∠BCD，然后可得到∠ACB+∠DCE的度数；若∠DCE为任意锐角时，利用∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，然后计算出∠ACB+∠DCE＝180°；
（2）利用周角定义得到∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°所以∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝180°．
【解答】解：（1）∠ACB+∠DCE＝180°；
若∠DCE为任意锐角时，∠ACB+∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACE+∠DCE＝90°，
∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝90°+90°＝180°；
（2）∠ACB+∠DCE＝180°．
理由如下：∵∠ACD＝90°＝∠ECB，∠ACD+∠ECB+∠ACB+∠DCE＝360°，
∴∠ECD+∠ACB＝360°﹣（∠ACD+∠ECB）＝360°﹣180°＝180°．
故答案为30°．
【点评】本题考查了余角和补角：等角的补角相等．等角的余角相等；余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．
15．O为直线AD上一点，以O为顶点作∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，∠AOC与∠DOE的数量关系为　互余　 ，∠COF和∠DOE的数量关系为　　 ；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，射线OF仍然平分∠AOE，请写出∠COF和∠DOE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据已知条件和图形可知：∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，从而可以得到∠AOC与∠DOE的数量关系；由射线OF平分∠AOE，∠AOC与∠DOE的数量关系，从而可以得到∠COF和∠DOE的数量关系；
（2）由图2，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系；
（3）由图3和已知条件可以建立各个角之间的关系，从而可以得到∠COF和∠DOE之间的数量关系．
【解答】解：（1）∵∠COE＝90°，∠COE+∠AOC+∠DOE＝180°，
∴∠AOC+∠DOE＝90°，
∵射线OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF∠AOE，
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC∠AOE﹣（90°﹣∠DOE），
故答案为：互余，；
（2）
∵OF平分∠AOE，
∴，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOE，
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝90°﹣∠AOE∠AOE＝90°∠AOE，
∵∠AOE＝180°﹣∠DOE，
∴∠COF＝90°（180°﹣∠DOE）∠DOE，
即；
（3）．
∵OF平分∠AOE，
∴，
∴∠COF＝∠COE+∠EOF＝90°90°180°，
即．
【点评】本题考查角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．
16．定义：如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“妙分线”．
（1）如图1，若∠AOB＝45°，且射线OC是∠AOB的“妙分线”，求∠AOC的度数．
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8°的速度顺时针旋转，同时，射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，当PQ与PN成180°时，射线PQ，射线PM同时停止旋转，设旋转的时间为t秒，求t为何值时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
【分析】（1）根据妙分线定义即可求解；
（2）分3种情况，根据妙分线定义即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，
∴∠AOC＝2∠BOC或∠BOC＝2∠AOC或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∴∠AOC＝30°或15°或22.5°；
（2）依题意有：
①8t（6t+60），
解得t；
②8t（6t+60），
解得t＝6；
③8t（6t+60），
解得t＝10．
故当t为或6或10时，射线PQ是∠MPN的“妙分线”．
【点评】本题考查了旋转的性质，妙分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力．理解“妙分线”的定义是解题的关键．
17．将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线OM、ON，且∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．
（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝　110°　 ；
（2）如图2，若旋转角为α（0°＜α＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．
（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．
【分析】（1）先根据周角可得：∠BOD+∠AOC＝240°，由∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC可得：∠DOM+∠CON＝80°，最后由角的和可得结论；
（2）同理可得结论；
（3）根据角的和差，∠COD＝30°可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣90°﹣30°＝240°，
∵∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，
∴∠DOM+∠CON240°＝80°，
∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；
故答案为：110°；
（2）如图2，∠MON的度数不会发生改变，
由（1）可知：∠DOM+∠CON＝80°，
∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；
（3）∵∠MON＝∠AOB﹣∠BOM﹣∠AON
＝90°﹣2∠DOM﹣2∠CON
＝90°﹣2（∠DOM+∠CON）
＝90°﹣2（30°+∠MON），
∴3∠MON＝30°，
∴∠MON＝10°．
【点评】本题考查的是角的计算，角的和与差的运用，正确的读图确定各角的关系是解题的关键，这是一道难度较大的题目．
18．新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．
如图1，若射线OC、OD在∠AOB的内部，且∠COD∠AOB，则∠COD是∠AOB的内半角．
根据以上信息，解决下面的问题：
（1）如图1，∠AOB＝70°，∠AOC＝25°，若∠COD是∠AOB的内半角，则∠BOD＝ 　10　 °；
（2）如图2，已知∠AOB＝60°，将∠AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α（0＜α＜60°）至∠COD．若∠COB是∠AOD的内半角，求α的值；
（3）把一块含有30°角的三角板COD按图3方式放置．使OC边与OA边重合，OD边与OB边重合．如图4，将三角板COD绕顶点O以3度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒，当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据题意算出∠COD的度数，利用∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD即可算出∠BOD的度数；
（2）根据旋转性质可推出∠AOC＝∠BOD＝α和∠COD＝∠AOB＝60°，然后可用含有α的式子表示∠AOD和∠COB的度数，根据∠COB是∠AOD的内半角，即可求出α的值；
（3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应t值即可．
【解答】解：（1）∵∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB＝70°，
∴∠COD∠AOB＝35°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD＝70°﹣25°﹣35°＝10°，
故答案为：10°；
（2）由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝α，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝α+60°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣α，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠AOD＝2∠COB，即α+60°＝2（60°﹣α），
解得：α＝20°，
∴α的值为20°；
（3）①如图4所示，此时∠COB是∠AOD的内半角，
由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝30°﹣3t°，
∵∠COB是∠AOD的内半角，
∴∠AOD＝2∠COB，即3t°+30°＝2（30°﹣3t°），
解得：t；
②如图所示，此时∠BOC是∠AOD的半角，
由旋转性质可得：∠AOC＝∠BOD＝3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝3t°+30°，∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝3t°﹣30°，
∵∠BOC是∠AOD的内半角，
∴∠AOD＝2∠BOC，即3t°+30°＝2（3t°﹣30°），
解得：t＝30；
③如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，
由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝330°﹣3t°，
∵∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（330°﹣3t°），
解得：t＝90；
④如图所示，此时∠AOD是∠BOC的内半角，
由旋转性质可知：∠AOC＝∠BOD＝360°﹣3t°，∠COD＝∠AOB＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD+∠COD＝390°﹣3t°，∠AOD＝∠COD﹣∠AOC＝3t°﹣330°，
∵∠AOD是∠BOC的内半角，
∴∠BOC＝2∠AOD，即390°﹣3t°＝2（3t°﹣330°），
解得：t；
综上所述：当射线OA、OB、OC、OD构成内半角时，t的值为或30或90或．
【点评】本题考查的主要是角的相关计算，解题关键：一是理解什么是内半角，二是根据旋转情况画出图形．
19．（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝　155°　 ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝　50°　 ．
②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）已知∠AOB＝α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．
【分析】（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠ACD+∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD求出即可；
②根据∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCE求出即可；
（2）根据∠DAB＝∠DAE+∠CAE+∠CAB求出即可；
（3）根据∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD求出即可．
【解答】解：（1）①∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，
∴∠BCD＝∠BCE﹣∠DCE＝65°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°+65°＝155°；
∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝130°﹣90°＝40°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE﹣∠BCD＝90°﹣40°＝50°，
故答案为：155°，50°；
②∠ACB+∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE
＝∠ACE+∠DCE+∠DCB+∠DCE
＝∠ACD+∠BCE
＝180°；
（2）∠DAB与∠CAE的数量关系是：∠DAB+∠CAE＝120°．
理由：
∵∠DAB+∠CAE＝（∠DAC+∠BAC）+∠CAE
＝∠DAC+∠BAC+∠CAE
＝∠DAC+（∠BAC+∠CAE）
＝∠DAC+∠BAE
又∠DAC＝∠BAE＝60°，
∴∠DAB+∠CAE＝60°+60°＝120°；
（3）∠AOD+∠BOC＝α+β，理由如下：
∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC
＝∠AOC+∠COB+∠BOD+∠BOC
＝∠AOB+∠COD
＝α+β．
【点评】本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键，求解过程类似．
20．如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，即若|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“互优角”．（本题中所有角都是大于0°且小于180°的角）
（1）若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1＝90°时，则∠2＝　30°或150°　 ；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折，（点P在线段BC上，点E在线段AB上），使点B落在B'，若∠EPB'与∠B'PC互为“互优角”，则∠BPE的度数为 　40°或80°　 ；
（3）再将纸片沿着PF对折（点F在线段CD或AD上），使点C落在C'．
①如图2，若点E，C'，P在同一直线上，且∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”，求∠EPF的度数（对折时，线段PB'落在∠EPF内部）；
②若∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE与∠CPF应满足什么样的数量关系（直接写出结果即可）．
【分析】（1）按照“互优角”的定义写出式子，解方程即可；
（2）由∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°即可求；
（3）①由∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，即可求；
②按照①的证明方法即可．
【解答】解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角”，∠1＝90°，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴90°﹣∠2＝60°或90°﹣∠2＝﹣60°，
解得：∠2＝30°或150°，
故答案为：30°或150°；
（2）∵∠EPB′与∠B′PC互为“互优角”，
当∠EPB′＜∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，
∴∠B′PC＝∠EPB′+60°，
∵△BEP翻折得△B'EP，
∴∠EPB＝∠EPB'，
∵∠EPB+∠EPB'+∠B′PC＝180°，
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB′+60°＝180°，
解得：∠EPB′＝40°，
当∠EPB′＞∠B′PC时，∠B′PC﹣∠EPB′＝60°，可得∠EPB′＝80°．
综上所述，∠EPB的值为40°或80°．
（3）①∵点E、C′、P在同一直线上，且∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，
∴∠B′PC＜∠EPF，∠EPF﹣∠B′PC＝60°＝∠B′PF，
∵∠BPE＝∠B′PE＝∠EPF﹣60°，∠FPC＝∠EPF，
∴∠BPE+∠EPB′+∠B′PF+∠FPC＝180°，
∴∠EPF﹣60°+∠EPF+∠EPF＝180°，得∠EPF＝80°，
②按照①的证明方法即可，∠BPE与∠CPF的和为60°或100°或140°时，若∠B'PC'与∠EPF互为“互优角”．
【点评】此题考查了通过翻折计算角的度数，关键在于翻折后两个角相等．
21．已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，点F、G在边CD上，连接EF、EG．将∠BEG对折，点B落在直线EG上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的点A′处，得折痕EN．
（1）如图1，若点F与点G重合，求∠MEN的度数；
（2）如图2，若点G在点F的右侧，且∠FEG＝30°，求∠MEN的度数；
（3）若∠MEN＝α，请直接用含α的式子表示∠FEG的大小．
【分析】（1）根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
（2）根据∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
（3）分两种情形分别求解即可．
【解答】解：（1）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEF
∴∠NEF∠AEF，∠MEF∠BEF
∴∠MEN＝∠NEF+∠MEF∠AEF∠BEF（∠AEF+∠BEF）∠AEB
∵∠AEB＝180°
∴∠MEN180°＝90°
（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG
∴∠NEF∠AEF，∠MEG∠BEG
∴∠NEF+∠MEG∠AEF∠BEG（∠AEF+∠BEG）（∠AEB﹣∠FEG）
∵∠AEB＝180°，∠FEG＝30°
∴∠NEF+∠MEG（180°﹣30°）＝75°
∴∠MEN＝∠NEF+∠FEG+∠MEG＝75°+30°＝105°
（3）若点G在点F的右侧，∠FEG＝2α﹣180°，
若点G在点F的左侧，∠FEG＝180°﹣2α．
【点评】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
22．已知O是直线AB上点，∠COD＝90°，OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若射线OC，OD，OE在直线AB的同侧．
①若∠COE＝25°，求∠BOD的大小；
②猜想∠COE与∠BOD的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若射线OC与射线OD，OE分别在直线AB的两侧，且∠COE＜90°，其它条件不变（1）中第②小题的结论是否仍然成立？请说明理由．
【分析】（1）①由∠COD＝90°，∠COE＝25°，得∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝65°．根据角平分线的定义，由OE是∠A0D的平分线，得∠AOD＝2∠DOE＝130°，那么∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°．
②根据角平分线的定义，由OE是∠A0D的平分线，得∠AOD＝2∠DOE，那么180°﹣∠BOD＝2∠DOE，进而推断出∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE，从而解决此题．
（2）由角平分线的定义，由OE是∠A0D的平分线，得∠AOD＝2∠DOE，那么∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2∠DOE．由∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE，得∠BOD＝180°﹣2（90°﹣∠COE），进而推断出∠BOD＝2∠COE．
【解答】解：（1）①∵∠COD＝90°，∠COE＝25°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝65°．
∵OE是∠A0D的平分线，
∴∠AOD＝2∠DOE＝130°．
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝50°．
②∠BOD＝2∠COE，理由如下：
∵OE是∠A0D的平分线，
∴∠AOD＝2∠DOE．
∴180°﹣∠BOD＝2∠DOE．
∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE．
∴180°﹣∠BOD＝2（90°﹣∠COE）．
∴∠BOD＝2∠COE．
（2）第②小题的结论仍然成立，即∠BOD＝2∠COE，理由如下：
∵OE是∠A0D的平分线，
∴∠AOD＝2∠DOE．
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2∠DOE．
∵∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣∠COE，
∴∠BOD＝180°﹣2（90°﹣∠COE）．
∴∠BOD＝2∠COE．
【点评】本题主要考查角平分线、角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义、角的和差关系是解决本题的关键．
23．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，将直角三角板的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM在直线AB的下方．
（1）在图1中，∠AOC＝　120°　 ，∠BOC＝　60°　 ．
（2）将图1中的三角板按图2的位置放置，使得OM在射线OA上，则∠CON＝　30°　 ；
（3）将上述直角三角板按图3的位置放置，使得OM在∠BOC的内部，求∠BON﹣∠COM的度数．
【分析】（1）点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，可以求得∠AOC和∠BOC的度数；
（2）根据∠AOC的度数和∠MON的度数可以得到∠CON的度数；
（3）根据∠BOC＝60°，∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM，∠COM＝∠BOC﹣∠BOM，可以得到∠BON﹣∠COM的度数．
【解答】解：（1）∵点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝2：1，∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝120°，∠BOC＝60°
故答案为：120°，60°；
（2）∵由（1）可知：∠AOC＝120°，∠MON＝90°，∠AOC＝∠MON+∠CON，
∴∠CON＝∠AOC﹣∠MON＝120°﹣90°＝30°，
故答案为：30°；
（3）由图可知：∠BOC＝60°，∠MON＝90°，∠BON＝∠MON﹣∠BOM，∠COM＝∠BOC﹣∠BOM，
则，∠BON﹣∠COM＝90°﹣∠BOM﹣（60°﹣∠BOM）＝30°，
即∠BON﹣∠COM的度数是30°．
【点评】本题考查角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，与已知条件建立关系，然后求出所求角的度数．
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