2.2等腰三角形同步练习

2.2等腰三角形同步练习
　
一．选择题（共12小题）
1．（2016春?商河县校级期中）已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为（　　）
A．36° B．45° C．60° D．72°或36°
2．（2015?衡阳）已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
3．（2016?南宁模拟）若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．10
4．（2016?滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
5．（2016?泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（　　）
A．44° B．66° C．88° D．92°
6．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（　　）21cnjy.com
A．80° B．90° C．100° D．105°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
8．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（　　）
A．75° B．15° C．75°或15° D．30°
9．（2016?淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）21世纪教育网版权所有
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2016?资阳）如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
11．（2016?六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An的度数为（　　）
A． B． C． D．
12．（2016春?户县期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．70°
　
二．填空题（共7小题）
13．（2016春?沈丘县期末）等腰△的两边长分别是3cm和6cm，则这个三角形的周长是______．
14．（2016春?深圳期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC=7，则DE的长为______．
15．（2016春?淄博期中）等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为______．
16．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于______°．
18．如图，在△ABC中，∠A=105°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠C的度数是______．
19．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=______．
　
三．解答题（共6小题）
20．根据要求将下面题目改编成一道新题：如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，求证：折叠后的重叠部分（即△FAC）是等腰三角形
请你将上述题目的条件“矩形ABCD”改为另一种四边形，其余条件都不变，使结论仍然成立．再根据改编后的题目画出图形，写出已知和求证，并进行证明．
21．如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD=CD，请说明理由．
22．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．
23．如图，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CD．
24．如图，在△ABC中，AC=BC，以腰AC、BC为边向外作等边△ACD和△BCE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：
（1）△ABD≌△BAE；
（2）CG是线段AB的垂直平分线．
25．如图，在三角形ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，过点P作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：DE=BD+EC．
　
四．附加题（共1小题）
26．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC=2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC=______．
　

2.2等腰三角形同步练习
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．（2016春?商河县校级期中）已知等腰三角形的一个角为72°，则其顶角为（　　）
A．36° B．45° C．60° D．72°或36°
【分析】等腰三角形一内角为72°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当72°角为顶角时，其顶角为72°
（2）当72°为底角时，得顶角=180°﹣2×72°=36°；
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；涉及到等腰三角形的角的计算，若没有明确哪个是底角哪个是顶角时，要分情况进行讨论．www-2-1-cnjy-com
　
2．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
【分析】分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
【解答】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论．
　
3．（2016?南宁模拟）若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．9 B．12 C．9或12 D．10
【分析】因为已知长度为2和5两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
【解答】解：①当5为底时，其它两边都为2，
∵2+2＜5，
∴不能构成三角形，故舍去，
当5为腰时，
其它两边为2和5，
5、5、2可以构成三角形，
周长为12．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
　
4．（2016?滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（　　）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，
故选D．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
　
5．（2016?泰安）如图，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（　　）
A．44° B．66° C．88° D．92°
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK=∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A=∠MKN=44°，根据三角形内角和定理计算即可．　　21*cnjy*com
【解答】解：∵PA=PB，
∴∠A=∠B，
在△AMK和△BKN中，
，
∴△AMK≌△BKN，
∴∠AMK=∠BKN，
∵∠MKB=∠MKN+∠NKB=∠A+∠AMK，
∴∠A=∠MKN=44°，
∴∠P=180°﹣∠A﹣∠B=92°，
故选：D．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
　
6．如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（　　）
A．80° B．90° C．100° D．105°
【分析】根据题意，可得AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，然后根据直径对的圆周角是90°，可得∠AMB的度数是90°，据此解答即可．
【解答】解：如图，，
AB是以点C为圆心，BC长为半径的圆的直径，
因为直径对的圆周角是90°，
所以∠AMB=90°，
所以测量∠AMB的度数，结果为90°．
故选：B．
【点评】（1）此题主要考查了作图﹣基本作图的方法，要熟练掌握，注意结合基本的几何图形的性质．
（2）此题还考查了圆周角的知识，解答此题的关键是要明确：直径对的圆周角是90°．
　
7．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（　　）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，∠ADE=∠B，
∵AB=AC，
∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
而DE不一定等于BC，
故选D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．
　
8．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（　　）
A．75° B．15° C．75°或15° D．30°
【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；
当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；
所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．
【点评】考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，应当注意需要分类讨论．
　
9．（2016?淄博）如图，△ABC的面积为16，点D是BC边上一点，且BD=BC，点G是AB上一点，点H在△ABC内部，且四边形BDHG是平行四边形，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，根据图形可知h=h1+h2．利用三角形的面积公式结合平行四边形的性质即可得出S阴影=S△ABC，由此即可得出结论．
【解答】解：设△ABC底边BC上的高为h，△AGH底边GH上的高为h1，△CGH底边GH上的高为h2，
则有h=h1+h2．
S△ABC=BC?h=16，
S阴影=S△AGH+S△CGH=GH?h1+GH?h2=GH?（h1+h2）=GH?h．
∵四边形BDHG是平行四边形，且BD=BC，
∴GH=BD=BC，
∴S阴影=×（BC?h）=S△ABC=4．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是找出S阴影=S△ABC．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据三角形的面积公式找出阴影部分的面积与△ABC的面积之间的关系是关键．
　
10．（2016?资阳）如图，两个三角形的面积分别是9，6，对应阴影部分的面积分别是m，n，则m﹣n等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．无法确定
【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出m﹣n的值．
【解答】解：设空白出图形的面积为x，
根据题意得：m+x=9，n+x=6，
则m﹣n=9﹣6=3．
故选B．
【点评】本题考查了三角形的面积；设出未知数，根据三角形的面积得出关系式是解决问题的关键．
　
11．（2016?六盘水）如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠An的度数为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1A2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律即可得出∠An﹣1AnBn﹣1的度数．
【解答】解：∵在△ABA1中，∠A=70°，AB=A1B，
∴∠BA1A=70°，
∵A1A2=A1B1，∠BA1A是△A1A2B1的外角，
∴∠B1A2A1==35°；
同理可得，
∠B2A3A2=17.5°，∠B3A4A3=×17.5°=，
∴∠An﹣1AnBn﹣1=．
故选：C．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1C2A1，∠B2A3A2及∠B3A4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
　
12．（2016春?户县期末）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（　　）
A．30° B．36° C．45° D．70°
【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A=∠ABD=x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BD=BC=AD，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
设∠A=∠ABD=x，则∠BDC=2x，∠C=，
可得2x=，
解得：x=36°，
则∠A=36°，
故选B
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．
　
二．填空题（共7小题）
13．（2016春?沈丘县期末）等腰△的两边长分别是3cm和6cm，则这个三角形的周长是　15cm　．
【分析】用分类讨论的思想，根据三角形三边关系可得腰长只能为6cm，然后即可直接求出该三角形的周长．
【解答】解：如果该等腰三角形腰长为3cm，根据三角形三边关系，
那么该三角形不存在，所以该三角形的腰长只能为6cm，
则其周长为：6+6+3=15cm．
故答案为：15cm．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形性质和三角形三边关系的理解和掌握，解答此题要用分类讨论的思想，根据三角形三边关系可得腰长只能为6cm，这是解答此题的突破点．
　
14．（2016春?深圳期末）如图，已知△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，E是AB的中点，若AC=7，则DE的长为　3.5　．
【分析】根据等腰三角形的性质可得D是BC的中点，再根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴D是BC的中点，
∵E是AB的中点，
∴DE是三角形中位线，
∵AC=7，
∴DE=3.5．
故答案为：3.5．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形中位线定理，关键是掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的知识点．www.21-cn-jy.com
　
15．（2016春?淄博期中）等腰三角形的周长为14，其中一边长为4，则另外两边长为　5，5或6，4　．【出处：21教育名师】
【分析】题中没有指明这个边是底边还是腰，故应该分情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．
【解答】解：①当4为底边时，另外两边为5，5，因为4+5＞5，所以能构成三角形；
②当4是腰长时，另外两边为6，4，因为4+4＞6，所以能构成三角形；
故答案为：5，5或6，4．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两腰相等的性质，难点在于分情况讨论并注意从三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
　
16．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为　50°或65°　．
【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°；
（2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°；
所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°．
故答案是：50°或65°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
　
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线BD交AC于D，把直角三角形沿着直线BD翻折，使点C落在斜边AB上，如果△ABD是等腰三角形，那么∠A等于　30　°．
【分析】根据翻折的性质得∠CBD=∠ABD，又△ABD是等腰三角形，所以∠ABD=∠BAD，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠A等于30°．
【解答】解：根据题意，∠CBD=∠ABD，
∵△ABD是等腰三角形，
∴∠ABD=∠A，
∴∠ABD=∠A=∠CBD，
∵∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=3∠A=90°，
解得∠A=30°．
故答案为：30．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质；解题中主要运用翻折前后的两个图形全等，等角对等边的性质以及直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质得到∠ABD=∠A=∠CBD角之间的关系是解题的关键．21*cnjy*com
　
18．如图，在△ABC中，∠A=105°，AD⊥BC，垂足为D，且AB+BD=CD，则∠C的度数是　25°　．
【分析】延长DB至E，使BE=AB，连接AE，则DE=CD，从而可求得∠C=∠E，再根据外角的性质即可求得∠ABD=2∠E，根据三角形内角和公式即可求得∠C的度数．
【解答】解：延长DB至E，使BE=AB，连接AE．
∵AB+BD=CD（已知），
∴BE+BD=CD（等量代换），即DE=CD
∴∠C=∠E；
∵BE=AB，
∴∠ABD=2∠E（外角定理）；
∵∠BAC=105°，
∴∠C=25°（三角形内角和定理）．
故答案是：25°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识点的综合运用．作出辅助线是正确解答本题的关键．
　
19．如图，∠BOC=9°，点A在OB上，且OA=1，按下列要求画图：
以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A1，得第1条线段AA1；
再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2，得第2条线段A1A2；
再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…
这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n=　9　．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠A1AB的度数，∠A2A1C的度数，∠A3A2B的度数，∠A4A3C的度数，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解．
【解答】解：由题意可知：AO=A1A，A1A=A2A1，…，
则∠AOA1=∠OA1A，∠A1AA2=∠A1A2A，…，
∵∠BOC=9°，
∴∠A1AB=18°，∠A2A1C=27°，∠A3A2B=36°的度数，∠A4A3C=45°，…，
∴9°n＜90°，
解得n＜10．
由于n为整数，故n=9．
故答案为：9．
【点评】考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
　
三．解答题（共6小题）
20．根据要求将下面题目改编成一道新题：如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，求证：折叠后的重叠部分（即△FAC）是等腰三角形
请你将上述题目的条件“矩形ABCD”改为另一种四边形，其余条件都不变，使结论仍然成立．再根据改编后的题目画出图形，写出已知和求证，并进行证明．
【分析】由折叠的性质得出∠BAC=∠FAC，由平行四边形的性质得出∠BAC=∠FCA，得出∠FAC=∠FCA，证出FA=FC即可．
【解答】已知：如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F；
求证：折叠后的重叠部分（即△FAC）是等腰三角形；
证明：∵将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点F，
∴∠BAC=∠FAC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠FCA，
∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，
即△FAC是等腰三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、翻折变换的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握翻折变换和平行四边形的性质，弄清角之间的相等关系是解决问题的关键．
　
21．如图，已知AB=AC，∠B=∠C，则BD=CD，请说明理由．
【分析】作辅助线连接BC，根据等边对等角和等角对等边可以求得结论成立，本题得以解决．
【解答】解：连接BC，如下图所示，
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠C，∠B=∠1+∠3，∠C=∠2+∠4，
∴∠3=∠4，
∴BD=CD．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是作出合适的辅助线，明确等边对等角，等角对等边．
　
22．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．
①若BF′=6，求CE′的长；
②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直接写出旋转角α的大小．
【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等∠B=∠C，再根据平行线的性质得出，∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，得出∠AFE=∠AEF，进一步得出结论；21·cn·jy·com
（2）求出AE=AF，再根据旋转的性质可得∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，然后利用“边角边”证明△CAE′和△BAF′全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；21·世纪*教育网
（3）把△AEF绕点A逆时针旋转AE′与过点C与AB平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．【版权所有：21教育】
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠A，∠AEF=∠C，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF．
（2）解：①由旋转的性质得，∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
在△CAE′和△BAF′中，
，
∴△CAE′≌△BAF′（SAS），
∴CE′=BF′=6；
②由（1）可知AE=BC，
所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l相交于点M、N，如图，
①当点E的像E′与点M重合时，四边形ABCM是等腰梯形，
所以，∠BAM=∠ABC=72°，
又∵∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°；
②当点E的像E′与点N重合时，
∵CE′∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°﹣72°×2=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36°+36°=72°，
综上所述，当旋转角α为36°或72°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
　
23．如图，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CD．
【分析】连接BC，由等腰三角形的性质得出∠ACB=∠ABC，进而证明∠DCB=∠DBC，即可解决问题．
【解答】证明：连接BC，如图所示：
∵AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC；
∵∠DCB=∠ACD﹣∠ACB，
∠DBC=∠ABD﹣∠ABC，而∠ACD=∠ABD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴BD=CD．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定及其性质；通过作辅助线构造等腰三角形是解决问题的关键．
　
24．如图，在△ABC中，AC=BC，以腰AC、BC为边向外作等边△ACD和△BCE，AE与BD相交于点F，连接CF并延长，交AB于点G．求证：
（1）△ABD≌△BAE；
（2）CG是线段AB的垂直平分线．
【分析】（1）根据等腰三角形和等边三角形的性质，证明AD=BE，∠DAB=∠CBA，由AB=AB，证明△ABD≌△BAE；
（2）先证明点F在AB的垂直平分线上，再证明点C在AB的垂直平分线上，从而证明CG是线段AB的垂直平分线．
【解答】证明：（1）∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠DAC=∠CBE=60°，AD=AC，BE=AC，
∴AD=BE，
∴∠CAB+∠DAC=∠CBA+∠CBE，
即：∠DAB=∠CBA，
在△ABD和△BAE中，
，
∴△ABD≌△BAE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△BAE，
∴∠EAB=∠DBA，
∴点F在AB的垂直平分线上，
又∵CA=CB，
∴点C在AB的垂直平分线上，
∴CF是线段AB的垂直平分线，
即CG是线段AB的垂直平分线．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰或等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质和判定，解题的关键是结合图形寻找证明三角形全等的条件，另外证明直线是线段的垂直平分线，必须证明直线上的两个点都在线段的垂直平分线上．
　
25．如图，在三角形ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，过点P作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：DE=BD+EC．21教育网
【分析】根据△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P．求证∠DBP=∠PBC，∠ECP=∠BCP，再利用两直线平行内错角相等，求证出∠DPB=∠DBP，∠CPE=∠BCP，即BD=DP，PE=CE，然后利用等量代换即可证明．2-1-c-n-j-y
【解答】证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠DBP=∠PBC，∠ECP=∠BCP，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DPB=∠DBP，∠CPE=∠BCP，
∴BD=DP，PE=CE，
∴DE=BD+EC．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，此题难度不大，是一道基础题．【来源：21cnj*y.co*m】
　
四．填空题（共1小题）
26．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC=2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC=　180°　．21教育名师原创作品
【分析】根据等腰三角形三线合一的特点可知：AD垂直平分BC，因此不难得出∠BAC=2∠BAD、∠BFC=2∠BFD、∠BEC=2∠BED，因此本题证∠BAD+∠BFD+∠BED=90°即可．根据3BC=2AD，且AD=3DE，可知BD=ED；因此△BDE是等腰三角形，可得出∠BED=45°，且BE2=2DE2=EF?AE，由此可得出△BEF∽△AEB．那么∠BFD=∠ABE，由此即可得出∠ABE+∠EBD+∠BAD=90°，进而可得出本题所求的结论．
【解答】解：∵3BC=2AD，且E，F为AD三等分点，D为BC中点．
∴AD=BC，即BD=DE；
∴∠BED=45°；
∴BE2=2DE2=EF?AE；
∵∠AEB=∠BEF，
∴△BEF∽△AEB，
∴∠BFD=∠ABE；
即∠ABE+∠BAD=45°；
∴∠ABE+∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BEC+∠BFC+∠BAC=180°．
故答案为：180°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要运用了三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，得到BD=DE是解决本题的关键．