2.3等腰三角形的性质定理同步练习

2.3等腰三角形的性质定理同步练习
一．选择题（共12小题）
1．（2016?贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
2．（2016?枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）21世纪教育网版权所有
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
3．（2016?安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20 C．16 D．以上答案均不对
4．（2016?杭州二模）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
5．（2016?孝感模拟）如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（　　）
A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°
6．（2016?赵县模拟）等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（　　）
A．42° B．60° C．36° D．46°
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）21·cn·jy·com
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．（2016春?乳山市期中）如图，在△ABC中，AB=AC，且AE=AD，∠EDC=α，则∠BAD=（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．α B．2α C．3α D．4α
9．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠AMB的度数为（　　）
A．144° B．120° C．108° D．100°
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
12．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④△CGF是等边三角形．其中正确结论的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
二．填空题（共小题）
13．等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分成的两部分的差为5cm，则此三角形的底边长为______．
14．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为5cm，则腰长为______cm．
　
三．解答题（共7小题）
15．求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）求∠AFE的度数．
17．（2016?天门）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．
18．（2016?常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
19．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
21．如图1，在△ABC中，∠C=90°，线段AD，BE是△ABC的两条角平分线，AD与BE相交于点Fwww.21-cn-jy.com
（1）求证：∠AFE=45°；
（2）如图2，过点F作GH⊥BE，GH分别与线段AB，BC相交于点G，H，试判断EF与FH的数量关系，井说明理由；
（3）如图3，连接DE，点M是线段DE的中点，连接MF，并延长与AB相交于点N，若FM=，且△DEF的面积为15，求线段FN的长．
　
四．附加题（共5小题）
22．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=______．
23．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn=______°．（用含n的代数式表示）21·世纪*教育网
24．如图是由四个大小不等的、顶角为120°的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC面积为100，三角形ACD面积为32，三角形ABF的面积为37．组成图形的四个等腰三角形中，最小的一个面积为______．
25．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC=2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC=______．
26．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=______．
　
2.3等腰三角形的性质定理同步练习
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共12小题）
1．（2016?贺州）一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为（　　）
A．12 B．16 C．20 D．16或20
【解答】解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
　
2．（2016?枣庄）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）
A．15° B．17.5° C．20° D．22.5°
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
即∠1+∠2=∠3+∠4+∠A，
∴2∠1=2∠3+∠A，
∵∠1=∠3+∠D，
∴∠D=∠A=×30°=15°．
故选A．
　
3．（2016?安顺）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
【解答】解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
　
4．（2016?杭州二模）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）
A．50° B．80° C．50°或80° D．40°或65°
【解答】解：如图所示，△ABC中，AB=AC．
有两种情况：
①顶角∠A=50°；
②当底角是50°时，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=50°，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．
故选：C．
　
5．（2016?孝感模拟）如图，∠B=∠C，∠1=∠3，则∠1与∠2之间的关系是（　　）
A．∠1=2∠2 B．3∠1﹣∠2=180° C．∠1+3∠2=180° D．2∠1+∠2=180°
【解答】解：∵∠1=∠3，∠B=∠C，∠1+∠B+∠3=180°，
∴2∠1+∠C=180°，
∴2∠1+∠1﹣∠2=180°，
∴3∠1﹣∠2=180°．
故选B．
　
6．（2016?赵县模拟）等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（　　）
A．42° B．60° C．36° D．46°
【解答】解：如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠A=84°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣84°）÷2=48°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=48°；
∴∠DBC=90°﹣48°=42°．
故选A．
　
7．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（　　）21*cnjy*com
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：共有5个．
（1）∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠BCD，
∵△ABC是等腰三角形，
∴∠EBC=∠ECB，
∴△BCE是等腰三角形；
（3）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣36°）=72°，
又BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，
∴△ABD是等腰三角形；
同理可证△CDE和△BCD是等腰三角形．
故选：A．
　
8．（2016春?乳山市期中）如图，在△ABC中，AB=AC，且AE=AD，∠EDC=α，则∠BAD=（　　）【出处：21教育名师】
A．α B．2α C．3α D．4α
【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
设∠B=∠C=β，
∴∠AED=∠EDC+∠C=α+β，
又∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED=α+β，
则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2α+β，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴2α+β=β+∠BAD，
∴∠BAD=2α．
故选B．
　
9．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长为（　　）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：延长BN交AC于D
∵∠BAN=∠DAN，AN=AN，∠ANB=∠AND
∴△ABN与△ADN全等
∴N是BD中点
∴MN是△BCD中位线
∴MN=CD=（AC﹣AD）=（AC﹣AB）
∵AB=14，AC=19
∴MN=（19﹣14）=2.5．
故选B．
　
10．如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠AMB的度数为（　　）
A．144° B．120° C．108° D．100°
【解答】
解：∵∠A=36°，∠C=∠AMC，
∴∠AMC==72°，
∴∠AMB=180°﹣72°=108°．
故选C．
　
11．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【解答】解：∵S△ABC=12cm2，
∴阴影部分面积=12÷2=6cm2．
故选：C．
　
12．如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④△CGF是等边三角形．其中正确结论的个数（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，∠ACD=60°，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴AE=BD，故①正确；
∠CBD=∠CAE，
∵∠BCA=∠ACG=60°，AC=BC，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴AG=BF，故②正确；
同理：△DFC≌△EGC（ASA），
∴CF=CG，
∴△CFG是等边三角形，
∴CF=CG
∴∠CFG=∠FCB=60°，
∴FG∥BE，故③④正确；
所以结论①②③④正确．
故选：D．
　
二．填空题（共2小题）
13．等腰三角形的周长是25cm，一腰上的中线将周长分成的两部分的差为5cm，则此三角形的底边长为　5或　．
【解答】解：设等腰三角形的腰长是x，底边长是y，
根据题意得
或
解得或，
∵5+10＞10，，
∴此等腰三角形的底长分别是5或．
故答案是5或．
　
14．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成2：1两部分，已知三角形底边长为5cm，则腰长为　20　cm．www-2-1-cnjy-com
【解答】解：设该三角形的腰长是xcm．根据题意，得：
x+x=（2x+5）或5+x=（2x+5），
解得，x=2，或x=20，
经检验，x=2不符合三角形的三边关系，
所以，等腰三角形的腰长为20cm，
故答案为20．
　
三．解答题（共7小题）
15．求证：等腰三角形的两底角相等．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求证：∠B=∠C．
【解答】证明：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC（等腰三角形三线合一）．
又∵∠ADB=∠ADC=90°，AD为公共边，
在△ABD与△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SAS）．
∴∠B=∠C．
　
16．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）求∠AFE的度数．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABD=∠C=60°，
在△ABD和△BCE中
∴△ABD≌△BCE（SAS）；
（2）解：由（1）有△ABD≌△BCE，
∴∠BAF=∠FBD，
∴∠AFE=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠FBD=∠ABD=60°．
　
17．（2016?天门）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点E在AD上，请写出图中两对全等三角形，并选择其中的一对加以证明．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：△ABE≌△ACE，△EBD≌△ECD，△ABD≌△ACD．
以△ABE≌△ACE为例，证明如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
　
18．（2016?常州）如图，已知△ABC中，AB=AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB=OC；
（2）若∠ABC=50°，求∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠DBC=∠ECB，
∴OB=OC；
（2）∵∠ABC=50°，AB=AC，
∴∠A=180°﹣2×50°=80°，
∴∠BOC=180°﹣80°=100°．
　
19．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．
【解答】证明：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，
∴∠ABC=∠CBD+∠D，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D，
∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，
又∵∠C=∠ABC，
∴∠C=2∠D．
　
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．【版权所有：21教育】
【解答】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∠CAD=∠BAD，
∴∠CBE=∠BAD．
　
21．如图1，在△ABC中，∠C=90°，线段AD，BE是△ABC的两条角平分线，AD与BE相交于点F　　21*cnjy*com
（1）求证：∠AFE=45°；
（2）如图2，过点F作GH⊥BE，GH分别与线段AB，BC相交于点G，H，试判断EF与FH的数量关系，井说明理由；21教育名师原创作品
（3）如图3，连接DE，点M是线段DE的中点，连接MF，并延长与AB相交于点N，若FM=，且△DEF的面积为15，求线段FN的长．
【解答】证明：（1）如图1，∵∠C=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∵AD、BE是△ABC的两条角平分线，
∴∠DAB=∠CAB，∠FBA=∠CBA，
∴∠DAB+∠FBA=（∠CAB+∠CBA）=×90°=45°，
∵∠AFE=∠DAB+∠FBA，
∴∠AFE=45°；
（2）如图2，EF=FH，理由是：
∵∠GFB=∠HFB=90°，BF=BF，∠CBE=∠ABE，
∴△GBF≌△HBF，
∴FH=FG，
由（1）得：∠AFE=45°，
∴∠AFG=90°﹣45°=45°，
∴∠AFE=∠AFG，
∵∠CAD=∠BAD，AF=AF，
∴△AFE≌△AFG，
∴EF=FG，
∴EF=FH；
（3）如图3，在AB上取两点H、O，使AE=AH，BO=BD，连接FH、FO，
得△AEF≌△AHF，则∠AFH=∠AFE=45°，
同理得：∠BFD=∠BFO=45°，
∴∠HFO=180°﹣45°﹣45°﹣45°=45°，
延长FM至L，使LM=FM，连接EL，
得△EML≌△DMF，则EL=DF，∠LEM=∠FDM，
∵∠BFD=∠FED+∠FDM=45°，
∴∠FED+∠LEM=45°，
即∠LEF=45°，
∴∠LEF=∠HFO=45°，
∵EF=FH，OF=FD=EC，
∴△LEF≌△OFH，
∴∠EFM=∠FHN，
过E作EG⊥MN，交NM的延长线于点G，
∵∠GEF+∠EFG=90°，∠EFG+∠HFN=90°，
∴∠GEF=∠HFN，
∴△EGF≌△FNH，
∴EG=FN，
∵M是DE的中点，
∴S△DEF=2S△EFM=2×FM?EG=FM?EG=15，
∵FM=，
∴EG=6，
∴FN=EG=6．
　
四．附加题（共5小题）
22．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=　44°　．
【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=68°，
∴∠BAC=180°﹣2×68°=44°，
∵AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=44°．
故答案为：44°．
　
23．如图1，是我们平时使用的等臂圆规，即CA=CB．若n个相同规格的等臂圆规的两脚依次摆放在同一条直线上如图2所示，其张角度数变化如下：∠A1C1A2=160°，∠A2C2A3=80°，∠A3C3A4=40°，∠A4C4A5=20°，…．，根据上述规律请你写出∠An+1AnCn=　（90﹣）　°．（用含n的代数式表示）21教育网
【解答】解：由张角度数变化可知顶角∠An+1CnAn=，
则∠An+1AnCn=（180﹣）÷2=90﹣．
故答案为：（90﹣）．
　
24．如图是由四个大小不等的、顶角为120°的等腰三角形拼接而成．已知三角形ABC面积为100，三角形ACD面积为32，三角形ABF的面积为37．组成图形的四个等腰三角形中，最小的一个面积为　9.61　．21cnjy.com
【解答】解：设△ABC的高为h，由已知三角形ABC面积为100，
可得h2=①，
设S△ABF的高为x，则x=，
由sin60°=，得BF=
∴BN=，同理可得CM=，
MN=2h﹣，
△NME的高为（2h﹣）×，
S△MNE=×（2h﹣）×（2h﹣）×②，
将①代入②得S△MNE=9.61．
故答案为：9.61．
　
25．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，且3BC=2AD．点E、F是AD的三等分点，则∠BEC+∠BFC+∠BAC=　180°　．2·1·c·n·j·y
【解答】解：∵3BC=2AD，且E，F为AD三等分点，D为BC中点．
∴AD=BC，即BD=DE；
∴∠BED=45°；
∴BE2=2DE2=EF?AE；
∵∠AEB=∠BEF，
∴△BEF∽△AEB，
∴∠BFD=∠ABE；
即∠ABE+∠BAD=45°；
∴∠ABE+∠EBD+∠BAD=90°，
∴∠BEC+∠BFC+∠BAC=180°．
故答案为：180°．
　
26．如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC内，∠PBC=10°，∠PCB=30°，则∠PAB=　70°　．2-1-c-n-j-y
【解答】解：在BC下方取一点D，使得三角形ABD为等边三角形，连接DP、DC
∴AD=AB=AC，
∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=20°，
∴∠ACD=∠ADC=80°，
∵AB=AC，∠BAC=80°，
∴∠ABC=∠ACB=50°，
∴∠CDB=140°=∠BPC，
又∠DCB=30°=∠PCB，BC=CB，
∴△BDC≌△BPC，
∴PC=DC，
又∠PCD=60°，
∴△DPC是等边三角形，
∴△APD≌△APC，
∴∠DAP=∠CAP=∠DAC=20=10°，
∴∠PAB=∠DAP+∠DAB=10°+60°=70°．
故答案为：70°．