1.1锐角三角函数
【题型1】三角函数的定义 5
【题型2】利用锐角三角函数的定义求三角函数值 9
【题型3】利用锐角三角函数的定义计算和证明 11
【题型4】利用锐角三角函数的定义求边长 13
【题型5】利用三角函数定义求网格中的三角函数值 16
【题型6】利用三角函数定义求图形中的三角函数值 21
【题型7】应用三角函数的定义解决实际问题 23
【题型8】利用同角三角函数的关系求三角函数值 29
【题型9】利用同角三角函数的关系计算 32
【题型10】利用同角三角函数的关系证明 33
【题型11】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值 37
【题型12】利用互余两角三角函数的关系求角 39
【题型13】利用互余两角三角函数的关系求值 40
【题型14】利用互余两角三角函数的关系证明 42
【题型15】特殊角的三角函数值 45
【题型16】根据特殊角的三角函数值求角度 46
【题型17】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 49
【题型18】特殊角的三角函数值的计算 51
【题型19】特殊角的三角函数的实际应用 53
【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 1.（2024秋 滑县期末）如图，在Rt△ABC中，，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则cosD的值是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】过点C作CE⊥AB，根据勾股定理可以求出CD=AB=2，△ACB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，再根据余弦的定义可以求出∠D的余弦值． 【解答】解：如图所示，过点C作CE⊥AB，
在Rt△ABC中，，
∴，
∴CD=AB=2，∠A=∠CBA=45°，
∴，
在Rt△CED中，，
∴．
故选：B． 【知识点2】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA． 1.（2022秋 渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（ ） A．B．C．D．
【答案】D 【分析】作出图形，根据∠A的余弦设AC=5k,AB=13k,利用勾股定理列式求出BC=12k,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式即可． 【解答】解：如图，∵∠C=90°，cosA=，
∴设AC=5k,AB=13k,
根据勾股定理得，BC===12k,
所以，sinA===．
故选：D． 【知识点3】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 1.（2024秋 九台区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（ ） A．B．C．2D．
【答案】C 【分析】利用sinB=，分别表示出AB，BC，AC的长，再利用锐角三角函数关系得出tanA的值． 【解答】解：∵∠C=90°，sinB=，
∴设AC=x,AB=3x,则BC=2x,
则tanA===2．
故选：C． 2.（2024秋 荣成市期中）在Rt△ACB中，∠C=90°，tanA=2，则sinB=（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】先根据题意设出直角三角形的两直角边，再根据勾股定理求出其斜边，运用三角函数的定义求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA=2，
设AC=x,则BC=2x,
∴AB==5x.
∴sinB===．
故选：A． 【知识点4】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 1.（2024秋 梁溪区校级期末）tan45°的值是（ ） A．B．C．1D．
【答案】C 【分析】根据45°角的锐角三角函数值，即可求解． 【解答】解：原式=1．
故选：C． 2.（2024秋 龙口市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，下列按键顺序正确的是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】求出锐角三角函数值，再由计算器求出相应的角度即可． 【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，按键顺序如下：
故选：B．
【题型1】三角函数的定义
【典型例题】sinα表示的是（ ）
A.一个角 B.一个角的度数 C.线段的长度 D.一个比值
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义解答．
sinα表示三角函数值，是个比值．
故选：D．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列叙述正确的是（ ）
A.∠A的对边与斜边的比是∠A的正弦
B.∠A的对边与斜边的比是∠A的余切
C.∠A的邻边与斜边的比是∠A的正切
D.∠A的对边与邻边的比是∠A的正弦
【答案】A
【解析】利用锐角三角函数的定义对各选项判断．
A、正确．
B、错误，∠A的对边与斜边的比应是∠A的正弦．
C、错误，A的邻边与斜边的比应是∠A的余弦．
D、错误，∠A的对边与邻边的比应是∠A的正切．
故选：A．
【举一反三2】若直角三角形两直角边长的比为2：1，α为较大锐角，则有（ ）
A．α＝30° B．α＝60° C．tanα＝2 D．sinα＝
【答案】C
【解析】利用锐角三角函数的定义：一个角的正切值＝，结合图形，直接得出结果即可．
如图
tanα＝2．
故选：C．
【举一反三3】如图（一），在平面直角坐标系中，射线OA与x轴的正半轴重合，射线OA绕着原点O逆时针到OB位置，把转过的角度记为α，把射线OA称为∠α的始边，射线OB称为∠α的终边、设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（除端点外）的坐标是P（x，y），它到原点的距离是，那么定义：∠α的正弦，∠α的余弦，∠α的正切．
根据以上的定义当α＝120°时，如图（二）在120°角的终边OB上取一点P（），则；，，
根据以上所学知识填空：
（1）sin150°＝ ，cos150°＝ ，tan150°＝
（2）猜想sin（180°﹣α）与sinα的关系式为 ；猜想cos（180°﹣α）与cosα的关系式为 ；猜想tan（180°﹣α）与tanα的关系式为 ．
（3）sin135°＝ ，cos135°＝ ，tan135°＝ ．
【答案】（1），，；
（2）sin（180°﹣α）＝sinα，cos（180°﹣α）＝﹣cosα，tan（180°﹣α）＝﹣tanα；
（3），，﹣1
【解析】根据题目中的定义，当α＝150°时，在角的终边OB上取一点P，给出其坐标；可得x、y的值，进而可得r的值；根据题目中的定义方法可得答案．
根据以上的定义：当α＝150°时，在角的终边OB上取一点P（﹣，1），则x＝﹣，y＝1，则r＝2；易得sin150°＝，cos150°＝﹣，tan150°＝﹣；
根据（180°﹣α）与α的终边的关系，得到其上的点的对应关系，进而可得其三角函数间的关系；
（180°﹣α）与α的终边关于y轴对称，故其上的点的坐标对应关系为横坐标相反，而纵坐标相等；故可得其关系为sin（180°﹣α）＝sinα，cos（180°﹣α）＝﹣cosα，tan（180°﹣α）＝﹣tanα；
（3）同（1）；当α＝135°时，在角的终边OB上取一点P（﹣1，1），可得x、y的值，进而可得r的值；根据题目中的定义方法可得答案．
同（1）；当α＝135°时，在角的终边OB上取一点P（﹣1，1），则x＝﹣1，y＝1，则r＝；易得sin135°＝，cos135°＝﹣，tan135°＝﹣1．
故答案为：（1），，；（2）sin（180°﹣α）＝sinα，cos（180°﹣α）＝﹣cosα，tan（180°﹣α）＝﹣tanα；
（3），，﹣1
【举一反三4】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝ ；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【答案】解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角B的余弦用哪两条边的比表示？cosB与sinA有什么关系？
【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，
∴cosB＝，
∵sinA＝，
∴cosB＝sinA，
即锐角B的余弦用边BC与AB的比表示，cosB与sinA相等．
【题型2】利用锐角三角函数的定义求三角函数值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据勾股定理就可以求出斜边AB，根据三角函数的定义即可判断正确的选项．
如图，在Rt△ABC中，由勾股定理得：．
A、因，故此选项不符合题意；
B、因，故此选项不符合题意；
C、因，故此选项符合题意；
D、因，故此选项不符合题意；
故选：C．
【举一反三1】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可．
由勾股定理，得
AB＝＝BC，
∴sinA＝，
故选：C．
【举一反三2】一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（ ）
A. B. C. D.或
【答案】D
【解析】先根据勾股定理求出第三边，再根据正切函数的定义求出较小锐角的正切值．
当两条边长为3和4是直角边时，则较小锐角的正切值＝；
当3是直角边，4是斜边时，另一条边＝＝，则较小锐角的正切值＝．
故选：D．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（3，2），点P到坐标原点的距离r＝，OP与x轴所成锐角为α，则sinα＝ ．
【答案】．
【解析】根据点P到坐标原点的距离和点P的纵坐标得出sinα＝，再求出答案即可．
∵O为坐标原点，点P的坐标为（3，2），点P到坐标原点的距离r＝，OP与x轴所成锐角为α，
∴sinα＝＝．
故答案为：．
【举一反三4】如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB．
【答案】解：由勾股定理得，BC＝＝8，
所以sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝，sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝．
【题型3】利用锐角三角函数的定义计算和证明
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则cosA tanA的值为（ ）
A.cotA B. C. D.sinA
【答案】D
【解析】本题可以利用锐角三角函数的定义求解即可．
∵cosA＝，tanA＝，
∴cosA tanA＝×＝＝sinA．
故选：D．
【举一反三1】如图，已知：0°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A.sinA＝cosA B.sinA＞cosA C.sinA＞tanA D.sinA＜cosA
【答案】B
【解析】根据正弦等于对边比斜边，余弦等于邻边比斜边，正切等于对边比邻边，可得答案．
由图得BC＞AC，
A、＞即sinA＞cosA，故A错误；
B、＞即sinA＞cosA，故B正确；
C、＜即sinA＜tanA，故C错误；
D、＞即sinA＞cosA，故D错误；
故选：B．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝ ．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，则S△CDG：S△ABD＝ ．
【答案】4；1：3．
【解析】先根据余弦的定义求出AC的长，再根据三角形重心的性质得到BD＝CD，AG＝2GD，然后根据三角形面积公式得到S△CDG＝S△ACD＝S△ABD．
在Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴cosA＝＝，
∴AC＝×6＝4，
∵点G为△ABC的重心，
∴BD＝CD，AG＝2GD，
∴S△ABD＝S△ACD，AD＝3GD，
∴S△CDG＝S△ACD＝S△ABD，
∴S△CDG：S△ABD＝1：3．
故答案为：4；1：3．
【举一反三3】已知角α为锐角，且tanα＝7﹣3m，求m的取值范围．
【答案】解：∵α为锐角，
∴tanα＞0，
∴7﹣3m＞0，
解得m＜．
【题型4】利用锐角三角函数的定义求边长
【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC等于（ ）
A.6 B.16 C.12 D.4
【答案】B
【解析】根据正切＝，即可求解．
如图：
∵，BC＝8，
∴，
故选：B．
【举一反三1】在Rt△ABC中，已知sinA＝，则∠A的对边为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.无法确定
【答案】D
【解析】根据三角函数的定义即可作出判断．
sinA表示∠A的对边与斜边的比值，无法确定对边和斜边的具体长度．
故选：D．
【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列式子中成立的是（ ）
A.a＝bcotB B.a＝csinB C.a＝ccosA D.b＝acotB
【答案】A
【解析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴A、cotB＝，a＝bcotB，正确；
B、sinB＝，b＝csinB，错误；
C、cosA＝，b＝ccosA，错误；
D、cotB＝，a＝bcotB，错误．
故选：A．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，当已知∠A和a时，求c，则∠A、a、c关系式是c＝ ．
【答案】
【解析】根据三角函数定义求解．
∵sinA＝，
∴c＝．
故答案为：
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a和A，有下列结论：①c＝asinA；②c＝；③c＝acosA；④c＝．其中，正确的结论是 ．
【答案】②
【解析】锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．
由sinA＝，得
c＝．
故答案为：②．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝．
（1）若AC＝6，求AB，BC的值；
（2）若BC＝8，求AB，AC的值．
【答案】解：（1）Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝．
∵AC＝6，
∴AB＝10，
∴BC＝＝＝8；
（2）设AC＝3x，
∵sinB＝＝，
∴AB＝5x，
∴BC＝＝4x，
∵BC＝8，
∴4x＝8，
∴x＝2，
∴AC＝3x＝6，AB＝5x＝10．
【题型5】利用三角函数定义求网格中的三角函数值
【典型例题】如图，在每个小正方形边长均为1的网格图中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值为（ ）
A.2 B.1 C. D.
【答案】C
【解析】根据正切值的定义解决此题．
如图，连接AB，
根据题意得，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
∴tanC＝＝，
故选：C．
【举一反三1】如图，四边形ABCD为菱形，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】答题时首先知道菱形的对角线互相垂直，然后由锐角三角函数的定义，求得．
∵菱形的对角线互相垂直，
∴＝．
故选A．
【举一反三2】如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】把CD平移到BM，过M作MH⊥AB于H，得到∠ABM＝∠AOC，由勾股定理求出AB＝，BM＝2，由三角形面积公式得到MH＝5×4，求出MH＝，即可求出sin∠ABM＝，于是得到sin∠AOC＝．
把CD平移到BM，过M作MH⊥AB于H，
∴∠ABM＝∠AOC，
由勾股定理得：AB＝＝，BM＝＝2，
∵△ABM的面积＝AB MH＝AM BN，
∴MH＝5×4，
∴MH＝，
∴sin∠ABM＝＝，
∴sin∠AOC＝sin∠ABM＝．
故选：D．
【举一反三3】∠α在正方形网格中位置如图所示，则cos（90°﹣a）的值为 ．
【答案】．
【解析】根据题意可得：∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，从而利用勾股定理可得AB＝5，然后利用锐角三角函数的定义可得cos∠ABC＝，再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ABC＝90°﹣α，即可解答．
如图：
由题意得：∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∴cos∠ABC＝＝，
∵∠CAB＝α，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣α，
∴cos（90°﹣a）＝，
故答案为：．
【举一反三4】如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是 ．
【答案】
【解析】根据同弧所对的圆周角相等，可以得到∠1＝∠A，在直角△ABC中，利用三角函数的定义即可求解
∵∠1＝∠A，
∴sin∠1＝sinA＝＝＝．
故答案为：．
【举一反三5】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为（0，4）．
（1）写出点A的坐标；
（2）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1；
（3）求出sin∠A1OB1的值．
【答案】解：（1）从图上读出点A的坐标（3，4）
（2）
（3）根据勾股定理得O1A1＝＝5
∴sin∠A1OB1＝．
【举一反三6】如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，E在格点上，连接AE，BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，求tan∠AED的值.
【答案】D
解：以O为圆心，1为半径作⊙O，连接OD．
∵A，B，C，E在格点上，
∴AC＝OA＝OE＝OB＝1，
∴A，B，E在⊙O上，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
又∵⊙O的直径是AB，
∴AB＝2，
∵OA＝OB，
∴，
∴点D在⊙O上，
∴∠AED＝∠ABD，
∴．
【题型6】利用三角函数定义求图形中的三角函数值
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，下列用线段比表示cosA的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】证明∠A＝∠DCB，根据余弦函数的定义判断即可．
∵在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠ACD＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴cosA＝cos∠DCB＝＝＝，
故选项A，B，C正确，选项D错误．
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据相似三角形的判定和性质可以求得CD的长，然后即可求得tanB的值．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝90°，
∵∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，BD＝4，
∴，
解得CD＝4，
∴tanB＝＝＝，
故选：D．
【举一反三2】△ABC中，a＝15，b＝17，∠A为定值，若满足上述条件的△ABC的∠C唯一存在，则tanC的值是 ．
【答案】
【解析】根据∠A为定值，又a＜b，那么∠A必为锐角，要使∠C有唯一值，则以点C为圆心，15为半径的圆与AB相切．得到直角△ABC，然后求出∠C的正切．
∵a＜b，∠A为定值，
∴∠A为锐角．
要使∠C有唯一的值，则以点C为圆心，15为半径画的弧与AB相切．如图所示：
得到直角△ABC，AC＝17，BC＝15，
则：AB＝＝8，
∴tanC＝＝．
故答案为：．
【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
【答案】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，
∴EC＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2x，
∴EM2+CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，
∴sin∠ECM＝＝．
【题型7】应用三角函数的定义解决实际问题
【典型例题】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝500m，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A.500sinαm B.500cosαm C.500tanαm D.m
【答案】A
【解析】根据正弦的定义解答即可．
在Rt△ABC中，∠B＝α，AB＝500m，
∵sinB＝，
∴AC＝AB sinB＝500sinα（m），
故选：A．
【举一反三1】近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ）
A.（9+sinα）米 B.（9+cosα）米 C.（9+tanα）米 D.9cosα米
【答案】A
【解析】过点B作BE⊥AD，垂足为E，延长BE交CF于点G，根据题意可得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF，然后在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
如图：过点B作BE⊥AD，垂足为E，延长BE交CF于点G，
由题意得：AC＝EG＝9米，BG⊥CF，
在Rt△ABE中，AB＝1米，∠BAE＝α，
∴BE＝AB sinα＝sinα（米），
∴BG＝BE+EG＝（sinα+9）米，
∴灯臂的最高点B到地面的距离为（9+sinα）米，
故选：A．
【举一反三2】如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成35°的夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为（ ）
A.480 sin35°米 B.米 C.480 tan35°米 D.米
【答案】A
【解析】根据正弦的定义计算，得到答案．
由题意得：AB＝30×16＝480（米），
在Rt△ABC中，∠A＝35°，
∵sinA＝，
∴BC＝AB sinA＝480sin35°（米），
故选：A．
【举一反三3】如图，草坪边上有两条相互垂直的小路m，n，垂足为O，在草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘上有A，B，C三棵小树，为了估测圆形花坛的半径，在小路上D，E，F三点观测，发现均有两棵树与观测点在同一直线上，从观测点E沿着ED方向走5米到G点．测得∠BGD＝45°，OF＝18米，∠AFO＝90°，tan∠BDE＝tan∠BED＝，则树B到小路m的距离为 米，圆形花坛的半径长为 米．
【答案】15，．
【解析】设圆型草坪的圆心为M，连接MB交AC于点R，延长MB交ED于点T，连接CM，先通过直角三角形BTE求出BT，利用相似三角形的性质求出CR，利用勾股定理解决问题即可．
设圆型草坪的圆心为M，连接MB交AC于点R，延长MB交ED于点T，连接CM，
∵A，F，C在同一条直线上，且∠AFO＝90°，m⊥n，
∴AC∥ED，
∴∠BED＝∠BCA，∠BDE＝∠CAB，
∵tan∠BDE＝tan∠BED，
∴∠BED＝∠BDE，
∴∠BCA＝∠BAC，
∴BA＝BC，
∴＝，
∴MT⊥AC，
∴MT⊥ED，
∵∠BGT＝45°，
∴GT＝BT，
∴在Rt△BET中，tan∠BET＝＝＝，
∴4BT＝3BT+3EG，
∴BT＝3EG＝3×5＝15（米），
∴ET＝EG+GT＝5+15＝20（米），
BR＝OF﹣BT＝18﹣15＝3（米），
∵AB∥ED，
∴△CBR∽△EBT，
∴，
∴CR＝ ET＝×20＝4（米），
在Rt△CRM中，CM＝r，
CM2＝CR2+MR2＝CR2+（CM﹣BR）2，
r2＝42+（r﹣3）2，
解得：r＝，
故答案为：15，．
【举一反三4】杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告：
请你根据以上测量报告，求大树AB的高度．
【答案】解：设AB＝x米，
在Rt△ABF中，∠AFB＝53°，
∵tan∠AFB＝，
∴BF＝≈＝x（米），
∴BC＝（33﹣x）米，
∵∠EDC＝∠ABC＝90°，∠ECD＝∠ACB，
∴△EDC∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：x＝16.5，
答：大树AB的高度约为16.5米．
【举一反三5】如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB＝36cm，∠BAC＝58°．
（1）求BC长度；
（2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，求支架直杆OP的最小值．
（结果精确到1cm，参考数据：tan58°≈1.60，cos58°≈0.53，sin58°≈0.85）
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°，
∴BC＝AB tan58°≈36×1.6＝57.6≈58（cm），
∴BC长度约为58cm；
（2）在Rt△ABC中，AB＝36cm，∠BAC＝58°，
∴AC＝≈≈67.92（cm），
∵点O是AC的中点，
∴OC＝AC＝33.96（cm），
∴当OP＝OC时，旋转过程中显示屏与支架平台EF刚好不发生磕碰，
∴支架直杆OP的最小值约为34cm．
【题型8】利用同角三角函数的关系求三角函数值
【典型例题】已知tanα＝，α是锐角，则sinα＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】据锐角三角函数的定义，设∠A＝α，放在直角三角形ACB中，设BC＝5x，AC＝12x，由勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出即可．
∵tanα＝＝，
∴设BC＝5x，则AC＝12x，
在Rt△ABC中，AB＝＝13x，
故sinα＝＝．
故选：C．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据，设AC＝5x，AB＝13x，则BC＝12x，根据正切的定义，即可得答案．
由题意，得，
故设AC＝5x，AB＝13x，
则，
∴．
故选：B．
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，可得，设BC＝x，则AB＝3x，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可．
∵，
∴，
设BC＝x，则AB＝3x，
∴，
∴，，
，；
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；
故选：D．
【举一反三3】已知：α为锐角，且cosα＝，则：tanα＝ ，sinα＝ ．
【答案】；
【解析】根据cosα＝设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出tanα的值，同理可得sinα的值．
由cosα＝＝知，如果设b＝3x，则c＝5x，
结合a2+b2＝c2得a＝4x．
∴tanα＝＝＝，sinα＝＝＝．
故答案为：；
【举一反三4】如图，试写出sinA和cosB，观察一下它们有什么关系？由你的观察试解决下面的问题：
（1）若sin27°＝0.4540，试求cos63°；
（2）若cos54°＝0.5878，试求sin36°．
【答案】解：sinA＝，cosB＝，
所以sinA＝cosB；
（1）cos63°＝sin27°＝0.4540；
（2）sin36°＝cos54°＝0.5878．
【举一反三5】（1）已知∠A是锐角，sinA＝，求∠A的其他三角函数值；
（2）已知∠A是锐角，tanA＝．求∠A的其他三角函数值．
【答案】（1）∵sinA＝，
∴＝，即c＝5a．
∴b＝＝2a．
∴cosA＝＝＝，
tanA＝＝＝．
（2）∵tanA＝，
∴＝，即a＝b．
∴c＝＝b，
∴sinA＝＝＝，
cosA＝＝．
【题型9】利用同角三角函数的关系计算
【典型例题】式子sin210°+sin220°+cos210°+cos220°的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】根据同角三角函数的平方关系：sin2A+cos2A＝1即可求解．
原式＝sin210°+cos210°+sin220°+cos220°
＝1+1
＝2．
故选：B．
【举一反三1】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A.（sinα+cosα）2 B.sinα2+cosα2 C.sinα2+cotα2 D.sin2α+cos2α
【答案】D
【解析】根据题意即可写出式子．
“正弦平方加余弦平方”的数学语言为：sin2α+cos2α．
故选：D．
【举一反三2】若sin2α+cos218°＝1，则锐角α＝ 度．
【答案】18
【解析】根据同角三角函数直接解答．
∵sin2x+cos2x＝1，
∴α＝18°．
【举一反三3】若tanA＝2，则＝ ．
【答案】3
【解析】利用勾股定理易得∠A所在的直角三角形的斜边，运用三角函数定义求解．
∵tanA＝2，设∠A的对边为2k，则邻边为k，
∴斜边为k．
∴sinA＝，cosA＝，
∴＝3．
故答案为：3
【举一反三4】对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝．
试求：（1）sinA cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．
【答案】（1）∵sinA+cosA＝，
∴sin2A+cos2A+2sinAcosA＝，
即1+2sinAcosA＝，
∴sinAcosA＝；
（2）∵（sinA﹣cosA）2＝sin2A+cos2A﹣2sinAcosA，
＝1﹣，
＝，
∴sinA﹣cosA＝±．
【题型10】利用同角三角函数的关系证明
【典型例题】在△ABC中，已知∠C＝90°，设q＝sinA+cosA，则（ ）
A.q＜1 B.q≤1 C.q＝1 D.q＞1
【答案】D
【解析】根据锐角三角函数的定义得sinA＝，cosA＝，可得q＝，根据三角形三边的关系得a+b＞c，所以＞1，即可得出答案．
∵sinA＝，cosA＝，
∴q＝sinA+cosA＝+＝，
∵a+b＞c，
∴＞1，
∴q＞1．
故选：D．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A.cscB sinA＝1 B. C.cscA cosB＝1 D.csc2A+csc2B＝1
【答案】C
【解析】根据余割的定义：斜边与∠A的对边的比进行计算，再选择即可．
根据定义得，cscB＝，故B不符合题意；
cscB sinA＝ ＝，故A不符合题意；
cscA cosB＝ ＝1，故C符合题意；
csc2A+csc2B＝+＝，故D不符合题意；
故选：C．
【举一反三2】在△ABC中，已知sinA cosA＝0，那么这个三角形是 ．
【答案】直角三角形
【解析】根据直角三角形中角的锐角三角函数值的取值范围，判断出0＜sinA≤1，从而判断出sinA cosA＝0中cosA＝0，可判断出三角形的形状．
因为在三角形ABC中，0＜sinA≤1，所以，只有cosA＝0，从而A＝90°．
故这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝15，AB＝ ，sinA＝ ，cosA＝ ，sin2A+cos2A＝ ，sinA cosA（比较大小）．
【答案】3；；；1；>
【解析】利用勾股定理和锐角三角函数的概念进行求解．
因为AB＝＝＝＝3，
所以sinA＝＝＝，
所以cosA＝＝＝，
所以sin2A+cos2A＝1，
所以sinA＞cosA．
故答案为：3；；；1；>
【举一反三4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA＝，求sinA cosA的值．
【答案】（1）证明：∵sinA＝，cosA＝，
∴sin2A+cos2A＝，
∵∠C＝90°，
∴根据勾股定理，得BC2+AC2＝AB2，
∴sin2A+cos2A＝1．
（2）解：∵sinA+cosA＝，
∴（sinA+cosA）2＝（）2，即sin2A+cos2A+2sinA cosA＝，
∵sin2A+cos2A＝1，
∴1+2sinA cosA＝，
∴sinA cosA＝．
【举一反三5】我们知道：sin30°＝，cos30°＝，可得sin230°+cos230°＝+＝1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin2A+cos2A＝1呢？
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，可得sinA＝，cosA＝，证明sin2A+cos2A＝1．
（2）若已知sinA＝，利用（1）的结论求cosA的值．
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案．
【答案】1）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2．
又∵sinA＝，cosA＝，
∴sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1；
（2）解：∵sin2A+cos2A＝1，sinA＝，
∴cos2A＝1﹣（）2＝，
∴cosA＝；
（3）解：∵sinA＝，cosA＝，tanA＝，
∴cosA tanA＝ ＝＝sinA，
即sinA＝cosA tanA．
【题型11】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据锐角三角函数的定义得出tanB＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
由勾股定理得：AB＝＝5x，
∴sinA＝＝＝．
故选：B．
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】先利用正弦定义得到sinB＝＝，则可设AC＝3x，AB＝5x，利用勾股定理计算出BC＝4x，然后根据正切的定义求解．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝＝，
∴设AC＝3x，AB＝5x，
∴BC＝＝＝4x，
∴tanA＝＝＝．
故选：A．
【举一反三2】Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么与sinB的值相等的线段的比是 ．
【答案】
【解析】根据余角的性质，可得∠ACD与∠B的关系，根据等角的正弦相等，可得答案．
由∠B+∠BCD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，得
∠ACD＝∠B．
sin∠ACD＝，
故答案为：．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
（1）求sinA，cosB；
（2）求tanA，tanB，tanA tanB；
（3）观察（1）（2）中的计算结果，若α+β＝90°，试猜想sinα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系吗？
（4）应用：
①在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为 ；
②在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则tanB＝ ．
【答案】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，cosB＝．
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，tanB＝，tanA tanB＝ ＝1．
（3）由（1）知sinα＝cosβ，由（2）知tanα tanβ＝1．
（4）①cosB＝sinA＝；
②tanB＝＝，
故答案为：，．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠B的三个三角函数的值．
【答案】解：∵∠A+∠B＝90°，
∴cos∠B＝sin∠A＝，
sin∠B＝＝，
tan∠B＝＝＝．
【题型12】利用互余两角三角函数的关系求角
【典型例题】已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A.60°＜A＜80° B.30°＜A＜80° C.10°＜A＜60° D.10°＜A＜30°
【答案】C
【解析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．
∵＝cos60°，sin80°＝cos10°，
∴cos60°＜cosA＜cos10°，
∴10°＜A＜60°．
故选：C．
【举一反三1】已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α等于（ ）
A.25° B.55° C.65° D.75°
【答案】C
【解析】若两角互余，则一角的余弦等于另一角的正弦，解析题目，结合上面的解析可得α的余角为25°，即可求出α的度数．
因为sin25°＝cosα，所以α的余角为25°，
则可得α＝65°．
故选C．
【举一反三2】若sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【答案】B
【解析】一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，依此可得70°﹣α+50°＝90°，解方程即可求解．
∵sin（70°﹣α）＝cos50°，
∴70°﹣α+50°＝90°，
解得α＝30°．
故选：B．
【举一反三3】cos51°10′＝sin ．
【答案】38°50′
【解析】根据一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，可知所求角的度数为90°﹣51°10′，计算即可得出结果．
∵90°﹣51°10′＝38°50′，
∴cos51°10′＝sin38°50′．
故答案为：38°50′．
【举一反三4】设α，β均为锐角，且sinα﹣cosβ＝0，求a+β．
【答案】解：∵α，β均为锐角，且sinα﹣cosβ＝0，
∴sinα＝cosβ，
∴α+β＝90°，
【题型13】利用互余两角三角函数的关系求值
【典型例题】计算sin49°﹣cos41°的结果为（ ）
A. B.﹣ C.1 D.0
【答案】D
【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
∵sin49°＝cos41°，
∴sin49°﹣cos41°＝0．
故选：D．
【举一反三1】下列计算正确的是（ ）
A.tan70° tan20°＝1 B.cos70°+cos20°＝1 C.sin70°＝2sin35° D.cos70°＝cos20°+cos50°
【答案】A
【解析】先对每个选项进行化简，然后根据之间的等量关系，解出本题即可．
A、∵tan70° tan20°＝ ＝1，
故本选项正确．
B、∵cos70°+cos20°＝sin20°+cos20°
∵sin220°+cos220°＝1
sin20°+cos20°≠sin220°+cos220°
∴sin20°+cos20≠1，
∴cos70°+cos20°≠1
故本选项错误．
C、∵sin70°＝sin（35°+35°），
∴sin70°≠2sin35°，
故本选项错误．
D、∵cos70°＝cos（20°+50°），
∴cos70°≠cos20°+cos50，
故本选项错误．
故选：A．
【举一反三2】已知在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB+cosA＝ ．
【答案】
【解析】直接利用已知表示三角形各边长，再利用锐角三角函数关系求出答案．
如图所示：∵∠C＝90°，sinA＝，
∴设BC＝x，则AB＝3x，AC＝2x，
∴tanB+cosA＝+＝．
故答案为：．
【举一反三3】化简下列各式：
（1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4
（2）．
【答案】解：（1）原式＝4sin2θ+4cos2θ+4＝4（sin2θ+cos2θ）+4＝4+4＝8；
（2）原式＝﹣1＝﹣1＝1+tan2θ﹣1＝tan2θ．
【题型14】利用互余两角三角函数的关系证明
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系中一定正确的是（ ）
A.sinA+cosB＝0 B.sinA﹣cosB＝0 C.sinA＞1 D.sinA＝0
【答案】B
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠B＝90°，然后根据任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，即可解答．
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
A、sinA+cosB＞0，故A不符合题意；
B、sinA﹣cosB＝0，故B符合题意；
C、0＜sinA＜1，故C不符合题意；
D、0＜sinA＜1，故D不符合题意；
故选：B．
\【难度】基础题
【举一反三1】对于任意锐角α，下列等式不成立的是（ ）
A.sin2α+cos2α＝1 B.tanα＝ C.sin（90°﹣α）＝cosα D.tanα＝tan（90°﹣α）
【答案】D
【解析】根据锐角三角函数的定义，逐项进行计算后，再进行判断即可．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∵sin2α+cos2α＝（）2+（）2＝＝＝1，
∴选项A不符合题意；
∵＝＝＝tanα，
∴选项B不符合题意；
∵sin（90°﹣α）＝sinB＝，而cosα＝cosA＝，
∴sin（90°﹣α）＝cosα，
因此选项C不符合题意；
∵tanα＝tanA＝，而tan（90°﹣α）＝tanB＝，
∴tanα≠tan（90°﹣α），
因此选项D符合题意；
故选：D．
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是 ，sinA与cosB的关系是 ．因此sin（90°﹣A）＝ ；cos（90°﹣A）＝ ．
【答案】互余，sinA＝cosB，cosA，sinA．
【解析】根据余角的定义，一个角的正弦等于它余角的余弦，可得答案．
Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是互余，sinA与cosB的关系是sinA＝cosB．因此sin（90°﹣A）＝cosA；cos（90°﹣A）＝sinA，
故答案为：互余，sinA＝cosB，cosA，sinA．
【举一反三3】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1＝ ；sin2A2+sin2B2＝ ；sin2A3+sin2B3＝ ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A+sin2B＝ ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知∠A+∠B＝90°，且sinA＝，求sinB的值．
【答案】解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1＝（）2+（）2＝1，
sin2A2+sin2B2＝（）2+（）2＝1，
sin2A3+sin2B3＝（）2+（）2＝1，
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B＝1，
故答案为：1，1，1，1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
∵sinA＝，sinB＝，
∴sin2A+sin2B＝．
∵∠C＝90°，
∴a2+b2＝c2，
∴sin2A+sin2B＝1．
（3）∵sinA＝，sin2A+sin2B＝1，
∴sinB＝＝．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，证明sin2A+sin2B=1．
【答案】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，
sin2A+sin2B＝（）2+（）2＝+＝＝1．
【题型15】特殊角的三角函数值
【典型例题】tan30°的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
tan30°＝．
故选：D．
【举一反三1】sin45°＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据sin45°＝即可求解．
sin45°＝，
故选：D．
【举一反三2】tan60°的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
【答案】B
【解析】根据60°的正切值是解答即可．
tan60°＝，
故选：B．
【举一反三3】若0°＜α＜90°，sinα＝cos60°，则tanα＝ ．
【答案】
【解析】首先根据互余两角的三角函数关系，求得α的度数，然后根据特殊角的三角函数值求解．
∵0°＜α＜90°，sinα＝cos（90°﹣α），
∴cos60°＝cos（90°﹣α），即α＝30°．
∴tanα＝tan30°＝．
故答案为：
【举一反三4】已知：tan（α﹣30°）＝1，则锐角∠α的度数为 ．
【答案】75°．
【解析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
∵tan（α﹣30°）＝1，
∴α﹣30°＝45°，
∴锐角∠α的度数为75°．
故答案为：75°．
【举一反三5】已知∠a＝45°，求sina的值.
【答案】解：∵∠a＝45°，
∴sina＝sin45°，
∵sin45°＝，
∴sina＝sin45°＝．
【题型16】根据特殊角的三角函数值求角度
【典型例题】已知tanA＝，则锐角A满足（ ）
A.0°＜A＜30° B.30°＜A＜45° C.45°＜A＜60° D.60°＜A＜90°
【答案】B
【解析】结合特殊角的三角函数值进行求解即可．
∵tan30°＝，tan45°＝1，
tanA＝，
∴＜tanA＜1，
∴30°＜A＜45°．
故选：B．
【举一反三1】∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）
A.30° B.60° C.45° D.37.5°
【答案】B
【解析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．
∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，
∴cosβ＝，
∴∠β＝60°．
故选：B．
【举一反三2】已知，则锐角A＝ ．
【答案】30．
【解析】由，可得，根据，作答即可．
∵，
∴，
∴A＝30°，
故答案为：30．
【举一反三3】求适合下列各式的锐角：①2sinα＝1；②2cosα﹣＝0．
解：①2sinα＝1，所以sinα＝，因为α为锐角，且知 ＝，所以α＝ ．
②因为2cosα﹣＝0，所以cosα＝，因为α为锐角， ＝，所以α＝ ．
（2）仿上式求适合下列各式的锐角：
①tan2α﹣（1+）tanα+＝0；
②3cot（α﹣10°）＝．
【答案】解：①因为2sinα＝1，
所以sinα＝，
因为α为锐角，且知 sin30°＝，
所以α＝30°，
②因为2cosα﹣＝0，
所以cosα＝，
因为α为锐角，cos30°＝，
所以α＝30°；
故答案为：30°，30°；
（2）①∵tan2α﹣（1+）tanα+＝0，
∴tanα＝1或tanα＝，
∵α是锐角，tan 45°＝1，
∴α＝45，
∵α是锐角，tan60°＝，
∴α＝60°；
②∵3cot（α﹣10°）＝，
∴cot（α﹣10°）＝．
∵α是锐角，cot60°＝，
∴α﹣10°＝60°，即α＝70°．
【举一反三4】（1）已知3tanα﹣2cos30°＝0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°＝0，求锐角α．
【答案】解：（1）3tanα﹣2cos30°＝0，
3tanα＝2×，
∴3tanα＝，
解得：tanα＝，
则α＝30°；
（2）2sinα﹣3tan30°＝0，
2sinα＝3×，
∴2sinα＝，
解得：sinα＝，
则α＝60°．
【题型17】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】已知△ABC中，sinA＝，tanB＝1，则△ABC的形状（ ）
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定
【答案】C
【解析】根据特殊角三角函数值，可得∠A与∠B的值，根据三角形的形状，可得答案．
由sinA＝，得∠A＝30°，
tanB＝1，得∠B＝45°，
∠C＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
故是钝角三角形，
故选：C．
【举一反三1】△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【解析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
∵sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．
【举一反三2】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【答案】B
【解析】先由三角函数sin30°＝，cos30°＝，得出∠A与∠B的度数，再由三角形内角和定理求出∠C的度数，即可得出答案．
∵cosB＝，
∴∠B＝30°，
∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
∴△ABC是钝角三角形，
故选：B．
【举一反三3】若（3tanA﹣）2+|2sinB﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是 ．
【答案】直角三角形．
【解析】直接利用偶次方的性质、绝对值的性质得出∠A＝30°，∠B＝60°，进而得出△ABC的形状．
∵（3tanA﹣）2+|2sinB﹣|＝0，
∴3tanA﹣＝0，2sinB﹣＝0，
则tanA＝，sinB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【举一反三4】已知△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且满足＝0，则△ABC是 三角形．
【答案】直角．
【解析】先利用非负数的性质得到sinA＝，cosB＝，再根据特殊角的三角函数值得到∠A＝30°，∠B＝60°，然后根据三角形内角和计算出∠C的度数．
∵＝0，
∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，
∴sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角．
【举一反三5】在△ABC中，cosA＝，tanC＝，试判断△ABC的形状．
【答案】解：∵cosA＝，
∴∠A＝45°，
∵tanC＝，
∴∠C＝30°，
∴∠B＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∴△ABC是钝角三角形．
【题型18】特殊角的三角函数值的计算
【典型例题】与2sin30°的结果相同的是（ ）
A.1﹣sin30° B.sin45° C.tan60° D.cos245°
【答案】B
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，逐一判断即可解答．
2sin30°＝2×＝1，
A、1﹣sin30°＝1﹣＝，故A不符合题意；
B、sin45°＝×＝1，故B符合题意；
C、tan60°＝，故C不符合题意；
D、cos245°＝（）2＝，故D不符合题意；
故选：B．
【举一反三1】sin45°+cos45°的值为（ ）
A.1 B.2 C. D.2
【答案】C
【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
原式＝+
＝．
故选：C．
【举一反三2】4cos30°﹣2tan45°＝ ．
【答案】2﹣2．
【解析】将相应的三角函数值代入即可．
原式＝4×﹣2×1
＝2﹣2．
故答案为：2﹣2．
【举一反三3】计算：（3﹣π）0+2sin30°＝ ．
【答案】2．
【解析】先计算零次幂，再代入特殊角的函数值算乘法，最后算加减．
原式＝1+2×
＝1+1
＝2．
故答案为：2．
【举一反三4】计算：．
【答案】解：
＝
＝．
【题型19】特殊角的三角函数的实际应用
【典型例题】如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2m、l2＝6.2m、l3＝7.8m、l4＝10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
【答案】B
【解析】根据30度直角边等于斜边一半，高是5，然后用勾股来算；或根据正弦函数等于对边比斜边即可解答．
方法1：∠ACD＝90°﹣60°＝30°，
设拉线AC＝x，则AD＝x，则．
x2＝（x）2+52，
AC＝x＝≈5.77，AC＝x＝﹣（不合题意舍去）．
方法2：如图CD＝5米，∠A＝60°
∴AC＝＝＝≈5.77米
所以最好选用l2
故选：B．
【举一反三1】身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（ ）
A.甲的最高 B.乙的最高 C.丙的最高 D.一样高
【答案】B
【解析】风筝线与所放风筝距离地面的高度为直角三角形的斜边和相应度数所对的对边，利用相应度数的正弦值可得所放风筝的高度，再比较即可．
∵甲、乙、丙三人放风筝，各人放出的线长分别为300米、350米、280米，线与地平面所成的角分别为30°、45°、60°，
∴分别为300×sin30°＝150（m）；
350×sin45°＝175≈247.45（m）；
280×sin60°＝140≈242.48（m）；
∴乙同学放的风筝最高．
故选：B．
【举一反三2】由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，求AB的长”．小南查找了书本提供的答案：AB＝5，通过计算得知污渍部分的内容是（ ）
A. B.1 C. D.
【答案】D
【解析】作辅助线CH⊥AB于H．Rt△ACH中，利用正弦求得CH＝2，利用余弦求得AH＝6，所以BH＝AB﹣AH＝2；然后根据直角三角形的正切值求得tanB的值．
作CH⊥AB于H．
Rt△ACH中，CH＝AC sinA＝2×sin30°＝，AH＝AC cosA＝2×cos30°＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝2，
∴tanB＝＝，
∴污渍部分内容内为．
故选：D．
【举一反三3】身高1.7米的小明站在平坦的公路上，见前方有AB，CD两建筑物，这时还能从CD的上端见到AB的一部分，且他的视线与水平线的夹角α＝30°，已知CD＝16.7米高，若小明继续向前走到N的位置时，AB刚好被CD遮住，此时他的视线与水平线的夹角β＝45°，则小明从M向N行进了 米．
【答案】（15﹣15）
【解析】将题目中的已知条件总结为CD＝16.7，HM＝GN＝1.7，∠CHE＝30°，∠CGE＝45°，然后在两个直角三角形中求得DM和DN的长，相减即可求得MN的值．
如图，由已知得：CD＝16.7，HM＝GN＝1.7，∠CHE＝30°，∠CGE＝45°，
∴CE＝CD﹣HM＝16.7﹣1.7＝15米，
∴EH＝DM＝＝＝15m
在Rt△CEG中，
∵∠CGE＝45°，
∴EG＝DN＝CE＝15m
∴MN＝DM﹣DN＝15﹣15
∴小明从M向N行进了（15﹣15）米，
故答案为：（15﹣15）
【举一反三4】无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A为80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度BC为 （结果保留根号）．
【答案】30米．
【解析】过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，则四边形 CQHB是矩形，先解Rt△APH，求出PH，AH，得到CQ的长度，再解Rt△PQC，得到PQ的长，即可解决问题．
如图所示：
过P作 PH⊥AB于H，过C作CQ⊥PH于Q，而 CB⊥AB，
则四边形 CQHB是矩形，
∴QH＝BC，BH＝CQ，
由题意可得：AP＝80米，∠PAH＝60°，∠PCQ＝30°，AB＝70米，
∴PH＝APsin60°＝80×＝40（米），AH＝APcos60°＝40（米），
∴CQ＝BH＝70﹣40＝30（米），
∴PQ＝CQ tan30°＝10（米），
∴BC＝QH＝40﹣10＝30（米），
∴大楼的高度BC为30米．
故答案为：30米．
【举一反三5】小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时∠BFE＝30°，已知树高AC＝10米，楼房BD＝30米，E处离地面25米．
（1）求树与楼房之间的距离AB的长；
（2）小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）
【答案】解：（1）由题意得：
BE＝25米，∠DBF＝90°，
在Rt△ACF中，∠BFE＝30°，AC＝10，
∴AF＝＝＝10（米），
在Rt△BFE中，BF＝＝＝25（米），
∴（米），
∴树与楼房之间的距离AB的长为15米；
（2）由题意得：
∠CAG＝∠DBG＝90°，
∵∠AGC＝∠BGD，
∴△ACG∽△BDG，
∴，
∴，
解得：米，
∴（米），
∴小亮向前走米刚好看不到楼房BD．1.1锐角三角函数
【题型1】三角函数的定义 3
【题型2】利用锐角三角函数的定义求三角函数值 5
【题型3】利用锐角三角函数的定义计算和证明 6
【题型4】利用锐角三角函数的定义求边长 6
【题型5】利用三角函数定义求网格中的三角函数值 7
【题型6】利用三角函数定义求图形中的三角函数值 9
【题型7】应用三角函数的定义解决实际问题 9
【题型8】利用同角三角函数的关系求三角函数值 12
【题型9】利用同角三角函数的关系计算 12
【题型10】利用同角三角函数的关系证明 13
【题型11】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值 14
【题型12】利用互余两角三角函数的关系求角 15
【题型13】利用互余两角三角函数的关系求值 15
【题型14】利用互余两角三角函数的关系证明 16
【题型15】特殊角的三角函数值 17
【题型16】根据特殊角的三角函数值求角度 17
【题型17】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状 17
【题型18】特殊角的三角函数值的计算 18
【题型19】特殊角的三角函数的实际应用 18
【知识点1】锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
即sinA=∠A的对边除以斜边=．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
即cosA=∠A的邻边除以斜边=．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．
即tanA=∠A的对边除以∠A的邻边=．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 1.（2024秋 滑县期末）如图，在Rt△ABC中，，点D在AB的延长线上，且CD=AB，则cosD的值是（ ） A．B．C．D．
【知识点2】同角三角函数的关系 （1）平方关系：sin2A+cos2A=1；
（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA． 1.（2022秋 渌口区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，若cosA=，则sinA的值为（ ） A．B．C．D．
【知识点3】互余两角三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：
①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-∠A）；
②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；
也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA． 1.（2024秋 九台区期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（ ） A．B．C．2D．
2.（2024秋 荣成市期中）在Rt△ACB中，∠C=90°，tanA=2，则sinB=（ ） A．B．C．D．
【知识点4】特殊角的三角函数值 （1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°=； cos30°=；tan30°=；
sin45°=；cos45°=；tan45°=1；
sin60°=；cos60°=； tan60°=；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 1.（2024秋 梁溪区校级期末）tan45°的值是（ ） A．B．C．1D．
2.（2024秋 龙口市期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=1，AB=5，用科学计算器计算∠A，下列按键顺序正确的是（ ） A．B．C．D．
【题型1】三角函数的定义
【典型例题】sinα表示的是（ ）
A.一个角 B.一个角的度数 C.线段的长度 D.一个比值
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则下列叙述正确的是（ ）
A.∠A的对边与斜边的比是∠A的正弦
B.∠A的对边与斜边的比是∠A的余切
C.∠A的邻边与斜边的比是∠A的正切
D.∠A的对边与邻边的比是∠A的正弦
【举一反三2】若直角三角形两直角边长的比为2：1，α为较大锐角，则有（ ）
A．α＝30° B．α＝60° C．tanα＝2 D．sinα＝
【举一反三3】如图（一），在平面直角坐标系中，射线OA与x轴的正半轴重合，射线OA绕着原点O逆时针到OB位置，把转过的角度记为α，把射线OA称为∠α的始边，射线OB称为∠α的终边、设α是一个任意角，α的终边上任意一点P（除端点外）的坐标是P（x，y），它到原点的距离是，那么定义：∠α的正弦，∠α的余弦，∠α的正切．
根据以上的定义当α＝120°时，如图（二）在120°角的终边OB上取一点P（），则；，，
根据以上所学知识填空：
（1）sin150°＝ ，cos150°＝ ，tan150°＝
（2）猜想sin（180°﹣α）与sinα的关系式为 ；猜想cos（180°﹣α）与cosα的关系式为 ；猜想tan（180°﹣α）与tanα的关系式为 ．
（3）sin135°＝ ，cos135°＝ ，tan135°＝ ．
【举一反三4】如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝ ；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
【举一反三5】在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角B的余弦用哪两条边的比表示？cosB与sinA有什么关系？
【题型2】利用锐角三角函数的定义求三角函数值
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，那么下列各式中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（ ）
A. B. C. D.或
【举一反三3】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P的坐标为（3，2），点P到坐标原点的距离r＝，OP与x轴所成锐角为α，则sinα＝ ．
【举一反三4】如图，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，求sinA、cosA、tanA、sinB、cosB、tanB．
【题型3】利用锐角三角函数的定义计算和证明
【典型例题】在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，则cosA tanA的值为（ ）
A.cotA B. C. D.sinA
【举一反三1】如图，已知：0°＜A＜90°，则下列各式成立的是（ ）
A.sinA＝cosA B.sinA＞cosA C.sinA＞tanA D.sinA＜cosA
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝，那么AC＝ ．如图，点G为△ABC的重心，连接CG，则S△CDG：S△ABD＝ ．
【举一反三3】已知角α为锐角，且tanα＝7﹣3m，求m的取值范围．
【题型4】利用锐角三角函数的定义求边长
【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，，BC＝8，则AC等于（ ）
A.6 B.16 C.12 D.4
【举一反三1】在Rt△ABC中，已知sinA＝，则∠A的对边为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.无法确定
【举一反三2】在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列式子中成立的是（ ）
A.a＝bcotB B.a＝csinB C.a＝ccosA D.b＝acotB
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，当已知∠A和a时，求c，则∠A、a、c关系式是c＝ ．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知a和A，有下列结论：①c＝asinA；②c＝；③c＝acosA；④c＝．其中，正确的结论是 ．
【举一反三5】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝．
（1）若AC＝6，求AB，BC的值；
（2）若BC＝8，求AB，AC的值．
【题型5】利用三角函数定义求网格中的三角函数值
【典型例题】如图，在每个小正方形边长均为1的网格图中，点A，B，C均在格点上，则tanC的值为（ ）
A.2 B.1 C. D.
【举一反三1】如图，四边形ABCD为菱形，则等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在正方形网格中，小正方形的边长为1，点A，B，C，D都在格点上，AB与CD相交于点O，则∠AOC的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】∠α在正方形网格中位置如图所示，则cos（90°﹣a）的值为 ．
【举一反三4】如图，在正方形网格图中，每个小正方形的边长均为1，则∠1的正弦值是 ．
【举一反三5】如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，且点B的坐标为（0，4）．
（1）写出点A的坐标；
（2）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1；
（3）求出sin∠A1OB1的值．
【举一反三6】如图，边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，E在格点上，连接AE，BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，求tan∠AED的值.
【题型6】利用三角函数定义求图形中的三角函数值
【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，下列用线段比表示cosA的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．如果AD＝8，BD＝4，那么tanB的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】△ABC中，a＝15，b＝17，∠A为定值，若满足上述条件的△ABC的∠C唯一存在，则tanC的值是 ．
【举一反三3】如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
【题型7】应用三角函数的定义解决实际问题
【典型例题】2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为α的斜坡，从点A滑行到点B．若AB＝500m，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ）
A.500sinαm B.500cosαm C.500tanαm D.m
【举一反三1】近年，长春市城区内的背街小巷都安装上了路灯，为市民提供更多的出行方便．如图所示，其中一款路灯的灯杆AC高9米，灯臂AB长1米，灯臂与水平面的夹角为α，则灯臂的最高点B到地面的距离为（ ）
A.（9+sinα）米 B.（9+cosα）米 C.（9+tanα）米 D.9cosα米
【举一反三2】如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成35°的夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚A到山顶B需16分钟，则山的高度为（ ）
A.480 sin35°米 B.米 C.480 tan35°米 D.米
【举一反三3】如图，草坪边上有两条相互垂直的小路m，n，垂足为O，在草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘上有A，B，C三棵小树，为了估测圆形花坛的半径，在小路上D，E，F三点观测，发现均有两棵树与观测点在同一直线上，从观测点E沿着ED方向走5米到G点．测得∠BGD＝45°，OF＝18米，∠AFO＝90°，tan∠BDE＝tan∠BED＝，则树B到小路m的距离为 米，圆形花坛的半径长为 米．
【举一反三4】杨老师组织学生开展测量物体高度的实践活动，小文同学所在小组的任务是测量观山湖公园一棵大树的高度，由于有围栏保护，他们无法到达底部．于是小文同学制订了测量方案进行实地测量，得出如下的测量报告：
请你根据以上测量报告，求大树AB的高度．
【举一反三5】如图，某电脑显示器由显示屏（矩形ABCD）和支架组成，显示屏对角线AC中点O固定在支架直杆OP一端处，显示屏可绕点O顺时针或逆时针旋转，已知AB＝36cm，∠BAC＝58°．
（1）求BC长度；
（2）为避免在旋转过程中显示屏与支架平台EF发生磕碰，求支架直杆OP的最小值．
（结果精确到1cm，参考数据：tan58°≈1.60，cos58°≈0.53，sin58°≈0.85）
【题型8】利用同角三角函数的关系求三角函数值
【典型例题】已知tanα＝，α是锐角，则sinα＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则tanA的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则有（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】已知：α为锐角，且cosα＝，则：tanα＝ ，sinα＝ ．
【举一反三4】如图，试写出sinA和cosB，观察一下它们有什么关系？由你的观察试解决下面的问题：
（1）若sin27°＝0.4540，试求cos63°；
（2）若cos54°＝0.5878，试求sin36°．
【举一反三5】（1）已知∠A是锐角，sinA＝，求∠A的其他三角函数值；
（2）已知∠A是锐角，tanA＝．求∠A的其他三角函数值．
【题型9】利用同角三角函数的关系计算
【典型例题】式子sin210°+sin220°+cos210°+cos220°的值为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】常听到的“…正弦平方加余弦平方…”，上述话语中所含有的数学语言应正确表达为（ ）（假设有任意角α）
A.（sinα+cosα）2 B.sinα2+cosα2 C.sinα2+cotα2 D.sin2α+cos2α
【举一反三2】若sin2α+cos218°＝1，则锐角α＝ 度．
【举一反三3】若tanA＝2，则＝ ．
【举一反三4】对于同一锐角α有：sin2α+cos2α＝1，现锐角A满足sinA+cosA＝．
试求：（1）sinA cosA的值；（2）sinA﹣cosA的值．
【题型10】利用同角三角函数的关系证明
【典型例题】在△ABC中，已知∠C＝90°，设q＝sinA+cosA，则（ ）
A.q＜1 B.q≤1 C.q＝1 D.q＞1
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示．如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则，那么下列说法正确的是（ ）
A.cscB sinA＝1 B. C.cscA cosB＝1 D.csc2A+csc2B＝1
【举一反三2】在△ABC中，已知sinA cosA＝0，那么这个三角形是 ．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝15，AB＝ ，sinA＝ ，cosA＝ ，sin2A+cos2A＝ ，sinA cosA（比较大小）．
【举一反三4】已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）求证：sin2A+cos2A＝1；
（2）若sinA+cosA＝，求sinA cosA的值．
【举一反三5】我们知道：sin30°＝，cos30°＝，可得sin230°+cos230°＝+＝1，那么对于任意的锐角A，是否都有sin2A+cos2A＝1呢？
（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C对边分别为a，b，c，可得sinA＝，cosA＝，证明sin2A+cos2A＝1．
（2）若已知sinA＝，利用（1）的结论求cosA的值．
（3）用以上探究的方法你能得出sinA，cosA，tanA三者之间的关系吗？请直接写出答案．
【题型11】利用互余两角三角函数的关系求三角函数值
【典型例题】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则tanA＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，那么与sinB的值相等的线段的比是 ．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别表示Rt△ABC中∠A，∠B，∠C的对边．
（1）求sinA，cosB；
（2）求tanA，tanB，tanA tanB；
（3）观察（1）（2）中的计算结果，若α+β＝90°，试猜想sinα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系吗？
（4）应用：
①在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，则cosB的值为 ；
②在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则tanB＝ ．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，求∠B的三个三角函数的值．
【题型12】利用互余两角三角函数的关系求角
【典型例题】已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（ ）
A.60°＜A＜80° B.30°＜A＜80° C.10°＜A＜60° D.10°＜A＜30°
【举一反三1】已知锐角α满足sin25°＝cosα，则α等于（ ）
A.25° B.55° C.65° D.75°
【举一反三2】若sin（70°﹣α）＝cos50°，则α的度数是（ ）
A.20° B.30° C.40° D.50°
【举一反三3】cos51°10′＝sin ．
【举一反三4】设α，β均为锐角，且sinα﹣cosβ＝0，求a+β．
【题型13】利用互余两角三角函数的关系求值
【典型例题】计算sin49°﹣cos41°的结果为（ ）
A. B.﹣ C.1 D.0
【举一反三1】下列计算正确的是（ ）
A.tan70° tan20°＝1 B.cos70°+cos20°＝1 C.sin70°＝2sin35° D.cos70°＝cos20°+cos50°
【举一反三2】已知在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，那么tanB+cosA＝ ．
【举一反三3】化简下列各式：
（1）4cos2（90°﹣θ）+4sin2（90°﹣θ）+4
（2）．
【题型14】利用互余两角三角函数的关系证明
【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列关系中一定正确的是（ ）
A.sinA+cosB＝0 B.sinA﹣cosB＝0 C.sinA＞1 D.sinA＝0
【举一反三1】对于任意锐角α，下列等式不成立的是（ ）
A.sin2α+cos2α＝1 B.tanα＝ C.sin（90°﹣α）＝cosα D.tanα＝tan（90°﹣α）
【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是 ，sinA与cosB的关系是 ．因此sin（90°﹣A）＝ ；cos（90°﹣A）＝ ．
【举一反三3】如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1＝ ；sin2A2+sin2B2＝ ；sin2A3+sin2B3＝ ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，都有sin2A+sin2B＝ ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知∠A+∠B＝90°，且sinA＝，求sinB的值．
【举一反三4】在Rt△ABC中，∠C＝90°，证明sin2A+sin2B=1．
【题型15】特殊角的三角函数值
【典型例题】tan30°的值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】sin45°＝（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】tan60°的值为（ ）
A.1 B. C.2 D.
【举一反三3】若0°＜α＜90°，sinα＝cos60°，则tanα＝ ．
【举一反三4】已知：tan（α﹣30°）＝1，则锐角∠α的度数为 ．
【举一反三5】已知∠a＝45°，求sina的值.
【题型16】根据特殊角的三角函数值求角度
【典型例题】已知tanA＝，则锐角A满足（ ）
A.0°＜A＜30° B.30°＜A＜45° C.45°＜A＜60° D.60°＜A＜90°
【举一反三1】∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）
A.30° B.60° C.45° D.37.5°
【举一反三2】已知，则锐角A＝ ．
【举一反三3】求适合下列各式的锐角：①2sinα＝1；②2cosα﹣＝0．
解：①2sinα＝1，所以sinα＝，因为α为锐角，且知 ＝，所以α＝ ．
②因为2cosα﹣＝0，所以cosα＝，因为α为锐角， ＝，所以α＝ ．
（2）仿上式求适合下列各式的锐角：
①tan2α﹣（1+）tanα+＝0；
②3cot（α﹣10°）＝．
【举一反三4】（1）已知3tanα﹣2cos30°＝0，求锐角α；
（2）已知2sinα﹣3tan30°＝0，求锐角α．
【题型17】根据特殊角的三角函数值判断三角形的形状
【典型例题】已知△ABC中，sinA＝，tanB＝1，则△ABC的形状（ ）
A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.无法确定
【举一反三1】△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
【举一反三2】在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，cosB＝，则△ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定
【举一反三3】若（3tanA﹣）2+|2sinB﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是 ．
【举一反三4】已知△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且满足＝0，则△ABC是 三角形．
【举一反三5】在△ABC中，cosA＝，tanC＝，试判断△ABC的形状．
【题型18】特殊角的三角函数值的计算
【典型例题】与2sin30°的结果相同的是（ ）
A.1﹣sin30° B.sin45° C.tan60° D.cos245°
【举一反三1】sin45°+cos45°的值为（ ）
A.1 B.2 C. D.2
【举一反三2】4cos30°﹣2tan45°＝ ．
【举一反三3】计算：（3﹣π）0+2sin30°＝ ．
【举一反三4】计算：．
【题型19】特殊角的三角函数的实际应用
【典型例题】如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的l1＝5.2m、l2＝6.2m、l3＝7.8m、l4＝10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ）
A.l1 B.l2 C.l3 D.l4
【举一反三1】身高相同的甲、乙、丙三人放风筝，各人放出线长分别为300米、350米、280米，线与地面的夹角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），三人所放风筝（ ）
A.甲的最高 B.乙的最高 C.丙的最高 D.一样高
【举一反三2】由于保管不慎，小南正在解的一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，AC＝2，求AB的长”．小南查找了书本提供的答案：AB＝5，通过计算得知污渍部分的内容是（ ）
A. B.1 C. D.
【举一反三3】身高1.7米的小明站在平坦的公路上，见前方有AB，CD两建筑物，这时还能从CD的上端见到AB的一部分，且他的视线与水平线的夹角α＝30°，已知CD＝16.7米高，若小明继续向前走到N的位置时，AB刚好被CD遮住，此时他的视线与水平线的夹角β＝45°，则小明从M向N行进了 米．
【举一反三4】无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A为80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度BC为 （结果保留根号）．
【举一反三5】小亮周末到公园散步，当他沿着一段平坦的直线跑道行走时，前方出现一棵树AC和一栋楼房BD，如图，假设小亮行走到F处时正好通过树顶C看到楼房的E处，此时∠BFE＝30°，已知树高AC＝10米，楼房BD＝30米，E处离地面25米．
（1）求树与楼房之间的距离AB的长；
（2）小亮再向前走多少米从树顶刚好看不到楼房BD？（结果保留根号）
