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第5章 一元一次方程 章末检测
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列等式中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由移项，得
B．由去括号，得
C．由系数化为1，得
D．由去分母，得
3．（24-25七年级上·重庆·期中）若，，为有理数，则下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
4．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）将方程的两边同除以，将得，其原因是（ ）
A．方程本身是错的 B．方程无解
C．如果，那么方程两边不能同时除以 D．一定条件下
5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两鬓长起细细的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，与世长辞了，根据以上信息，请你算出丢番图的寿命为（ ）岁
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级上·江西上饶·期末）已知与关于x的方程的解相同，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．26 D．
9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（ ）
A．或 B．或2 C．或2 D．或或2
10．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
12．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
13．（24-25七年级上·浙江·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解为
14．（25-26七年级上·北京·阶段练习）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ．
15．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时．
16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·山东济南·期末）解方程：
(1)； (2)．
18．（24-25七年级上·浙江·期末）对于方程，小华同学的解法如下：
解：将原方程化为．…第一步
，得．…第二步
去括号，得．…第三步
移项、合并同类项，得．…第四步
系数化为1，得．…第五步
(1)第二步进行的是 ，这一步的依据是 ；以上求解步骤中，从第 步开始出现错误．
(2)请写出正确的解答过程．
19．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元．
已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？
20．（24-25七年级上·浙江·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：
每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米）
不超过22立方米 2.3
超过22立方米且不超过30立方米的部分 a
超过30立方米的部分 4.6
(1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？
(2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？
21．（24-25七年级上·广东东莞·期末）某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 50 0 100
B 49 1 97
C 37 13 61
(1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数；(3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由．
22．（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题．
(1)后队第一次追上前队用了 小时；后队第一次追上前队时联络员行了 千米．
(2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程．
(3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程．
23．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a、b满足．
(1)______，______，______．
(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为，则当时，求时间t的值；
(4)在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
24（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”．
(1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______．
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值；
(3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值．
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第5章 一元一次方程 章末检测
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）下列等式中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、，不是方程，不符合题意；
B、，不含未知数，不符合题意；
C、，不是方程，不符合题意；
D、，是方程，符合题意；故选D．
2．（24-25七年级上·贵州·期末）下列方程变形正确的是（ ）
A．由移项，得
B．由去括号，得
C．由系数化为1，得
D．由去分母，得
【答案】D
【详解】解：A．由移项，得，故选项A错误；
B．由去括号，得，故选项B错误；
C．由系数化为1，得，故选项C错误；
D．由去分母，得，故选项D正确；故选：D．
3．（24-25七年级上·重庆·期中）若，，为有理数，则下列推理错误的是（ ）
A．因为，所以 B．因为，所以
C．因为，所以 D．因为，所以
【答案】C
【详解】解：A．∵，根据等式的基本性质，两边同时减4得：，∴此选项计算正确，故不符合题意；
B．∵，根据等式的基本性质，两边同时乘c得：∴此选项计算正确，故不符合题意；
C．∵，根据等式的基本性质，两边同时除以4得：，∴此选项计算错误，故符合题意；
D．∵，根据等式的基本性质，两边同时除以得，此选项计算正确，故不符合题意；故选：C．
4．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）将方程的两边同除以，将得，其原因是（ ）
A．方程本身是错的 B．方程无解
C．如果，那么方程两边不能同时除以 D．一定条件下
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∴，
当两边同除以时，无意义，
∴错误的原因是：如果，那么方程两边不能同时除以，故选：C．
5．（24-25七年级上·山东青岛·阶段练习）小红在解方程时，把“”处的系数看错了，解得，她把“”处的系数看成了（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：设小红将原方程中的系数“”看成了，则错误的方程为，
把代入该方程：
，故选：．
6．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）希腊数学家丢番图的墓碑上记载着：他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两鬓长起细细的胡子；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，与世长辞了，根据以上信息，请你算出丢番图的寿命为（ ）岁
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设丢番图的寿命为岁，
根据题意得，，解得：，故选：．
7．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：解方程，得，解方程，得，
关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，
，解得：．故选：A．
8．（24-25七年级上·江西上饶·期末）已知与关于x的方程的解相同，则的值为（ ）
A．18 B．20 C．26 D．
【答案】C
【详解】解：解方程可得，
∵方程的解与方程的解相同，∴方程的解为，
把代入可得：，解得：，∴．故选：C．
9．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）定义一种新运算“&”：当时，；当时，；当时，．例如：．已知，则x的值为（ ）
A．或 B．或2 C．或2 D．或或2
【答案】C
【详解】解：当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得（舍去）；
综上，或，故选：C．
10．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）已知关于的方程有负整数解，则所有满足条件的整数的值之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：解方程得，，
∵方程有负整数解，∴等于或或或，解得：或或或，
∵a是整数，∴满足条件的整数a的值之和为：，故选：A．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级上·辽宁铁岭·期末）已知方程是关于x的一元一次方程，则 ．
【答案】3
【详解】解：因为是关于x的一元一次方程，
所以 且，解得．故答案为：．
12．（2025·四川广安·二模）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】
【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解，
∴，∴，故答案为：．
13．（24-25七年级上·浙江·期中）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的方程的解为
【答案】5
【详解】解：因为方程的解为，
所以方程满足，解得，故答案为：5．
14．（25-26七年级上·北京·阶段练习）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，在如图1所示的幻方中，9个格中的数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为，在如图2所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，则的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，
∴，解得．故答案为：．
15．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）一只轮船在水速为千米的河道中航行，从地顺流到地用了小时，从地返回时用了小时，这只轮船往返的平均速度是 千米/时．
【答案】
【详解】解：设这只轮船在静水中的速度是千米/时，
依题意，得：，解得：，
∴、两地的距离为：，
∴（千米/时），
∴这只轮船往返的平均速度是千米/时，故答案为：．
16．（24-25七年级上·河南郑州·期末）我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：把无限循环小数0.6化为分数的过程如下，由，即，可得．类比上述过程，把无限循环小数化为分数的结果是 ．
【答案】
【详解】解：设，则，
，即，
解方程得，即．故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级上·山东济南·期末）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2）
，
，
，
，
，
．
18．（24-25七年级上·浙江·期末）对于方程，小华同学的解法如下：
解：将原方程化为．…第一步
，得．…第二步
去括号，得．…第三步
移项、合并同类项，得．…第四步
系数化为1，得．…第五步
(1)第二步进行的是 ，这一步的依据是 ；以上求解步骤中，从第 步开始出现错误．
(2)请写出正确的解答过程．
【答案】(1)去分母，等式的性质，一(2)，过程见解析
【详解】（1）解：第二步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质；以上求解步骤中，从第一步开始出现错误；答案为：去分母，等式的性质，一；
（2）解：
整理方程得：1，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：．
19．（2025·北京·模拟预测）年，为加力支持消费者购买绿色智能家电，增添绿色消费新动力，北京市商务局发布了《北京市加力支持家电以旧换新补贴实施细则》，补贴期间，对在京个人消费者购买一级和二级能效(水效)的冰箱(含冰柜)、洗衣机(含洗烘一体机)、电视、空调、电脑(含学习机)、热水器(含壁挂炉)、家用灶具(含集成灶)、吸油烟机等类家电产品予以以旧换新补贴．补贴标准：一级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴；二级能效(水效)的家电产品，按照产品销售价格的给予补贴，每位消费者每类产品可补贴件，每件补贴不超过元．
已知在补贴期间，一位顾客购买了一台一级能效的电脑和一台二级能效的洗衣机，共花费元，比补贴前便宜了元，若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜多少元？
【答案】若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元．
【详解】解：设该顾客购买的电脑补贴前售价为元，则他购买的洗衣机补贴前的售价为元，
根据题意得，解得：，
∴（元），
答：若顾客只购买一台电脑，则花费比补贴前便宜元．
20．（24-25七年级上·浙江·期末）节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价：
每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米）
不超过22立方米 2.3
超过22立方米且不超过30立方米的部分 a
超过30立方米的部分 4.6
(1)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费64.4元，求出用水在22～30立方米的收费标准a？
(2)在（1）条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？
【答案】(1)用水在立方米之间的收费标准元/立方米(2)他家8月份的用水量是32立方米
【详解】（1）解：根据题意，得，解得．
答：用水在立方米之间的收费标准元/立方米；
（2）当用水量为30立方米时，缴费元，
小明家去年8月份用水量增大，共缴费87.4元，
小明家去年8月份用水量超过30立方米，设他家8月份的用水量是x立方米．
由题意得：，解得．
答：他家8月份的用水量是32立方米．
21．（24-25七年级上·广东东莞·期末）某校组织党史知识竞赛，共设50道选择题，各题分值相同，每题必答，答错扣分，下表记录的是其中3名参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 50 0 100
B 49 1 97
C 37 13 61
(1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分；
(2)某参赛者得73分，求该参赛者答对的题数；(3)参赛者的得分可能是90吗？请说明理由．
【答案】(1)2；1；(2)该参赛者答对的题数为41．(3)不可能，理由见解析
【详解】（1）解：由表格知，答对一题得分，答错一题扣分；故答案为：2；1；
（2）设该参赛者答对的题数为x．
依题意，．解得．所以，该参赛者答对的题数为41．
（3）若某参赛者的得分为90，设其答对题数为m．
则，解得．
因为不是整数，参赛者的得分不可能是90．
22．（24-25七年级上·四川成都·期末）育红学校七年级学生步行到郊外旅行，七（1）班学生组成前队，步行速度为5千米/时，七（2）班学生组成后队，步行速度为7千米/时，前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断进行联络，他骑车的速度为12千米/时，根据上面的事实回答问题．
(1)后队第一次追上前队用了 小时；后队第一次追上前队时联络员行了 千米．
(2)联络员第一次追上前队用了多长时间？请你写出求解过程．
(3)联络员第一次与后队相遇用了多长时间？请你写出求解过程．
【答案】(1)；30(2)联络员第一次追上前队用了小时(3)联络员第一次与后队相遇用了小时
【详解】（1）解：由题得：
后队第一次追上前队用的时间为：（小时），
后队第一次追上前队时联络员行驶的路程为：（千米），
（2）解：设联络员第一次追上前队用了x小时，根据题意得：
，解得，，
即联络员第一次追上前队用了小时；
（3）解：设联络员第一次与前队相遇到与后队相遇用了y小时，根据题意得：
，解得：，
∴，
即联络员第一次与后队相遇用了小时．
23．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a、b满足．
(1)______，______，______．
(2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合；
(3)点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为，则当时，求时间t的值；
(4)在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
【答案】(1)，5，(2)(3)4或8(4)不变，
【详解】（1）解：是最大的负整数，且a、b满足，
，，，，，故答案为：；5；．
（2）解：，故答案为：
（3）解：秒钟过后，点B表示的数为，点C表示的数为，
，，解得或，时间t的值为4或8；
（4）解：的值不随着时间t的变化而变化，
t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，
，，
．
的值为定值．
24（24-25七年级上·湖南株洲·期末）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于y的方程为关于x的一元一次方程的“景元方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当时，，以为一元一次方程的“景元方程”．
(1)已知关于y的方程：①，②，以上哪个方程是一元一次方程的“景元方程”？请直接写出正确的序号______．
(2)若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请求出a的值；
(3)如关于y的方程是关于x的一元一次方程的“景元方程”，请直接写出的值．
【答案】(1)②(2)95或97(3)16
【详解】（1）解：一元一次方程的解是，方程的解是，
，①不是“景元方程”，不符合题意；
方程的解是或，
当时，，②是“景元方程”，符合题意，故答案为：②；
（2）解：∵方程，即或，解得或，
方程的解为或，一元一次方程的解为，
若，，则，解得，
若，，则，解得，
综上，a的值是95或97；
（3）解：方程，解得，
，，
，，
，，
分母m不能为0，，即，，∴．
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