2.6有理数的混合运算
【题型1】有理数四则混合运算 2
【题型2】含乘方的有理数混合运算 4
【题型3】新定义型运算 5
【题型4】有理数混合运算在程序流程图中的应用 8
【题型5】算“24”点 11
【题型6】有理数混合运算的实际应用 13
【知识点1】有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 1.（2025 鼓楼区二模）下列计算结果比-3小的是（ ） A．-2+（-4）B．-2-（-4）C．-2×（-4）D．-2÷（-4）
2.（2025 海陵区一模）根据有理数加法法则，计算3+（-4）过程正确的是（ ） A．+（4+3）B．+（4-3）C．-（4+3）D．-（4-3）
【题型1】有理数四则混合运算
【典型例题】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算的结果等于（ ）
A. B. C.1 D.11
【举一反三3】若，请推算□内的符号应是 .
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)；
(3).
【题型2】含乘方的有理数混合运算
【典型例题】计算（ ）
A.2 B. C.0.5 D.
【举一反三1】计算：（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】计算： ．
【举一反三3】计算：
(1)；
(2).
【题型3】新定义型运算
【典型例题】定义：对于一个有理数，我们把称为的相伴数．若，则；若，则．计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（ ）
A. B. C.7 D.13
【举一反三2】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（ ）
A. B.8 C.4 D.
【举一反三3】规定符号*的意义为：a*，那么(-2)*5= ．
【举一反三4】【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
(1)【概念理解】直接写出结果： _______________．
(2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③34=43；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
(3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
____________________； __________．
(4)计算：．
【题型4】有理数混合运算在程序流程图中的应用
【典型例题】根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（ ）
A.8 B.6 C. D.
【举一反三1】如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图是一个数值计算程序：
若输入的数字是，则输出的数字为（ ）
A. B. C. D.17
【举一反三3】按如图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是 ．
【举一反三4】定义某种新运算：s=a*b，运算原理如图所示，则8*6-6*6-2*3= ．
【举一反三5】小明设计了一个如图所示的数值转换程序．
(1)当输入吋，求输出的值为多少？
(2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值．
【题型5】算“24”点
【典型例题】 “24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【举一反三1】 “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A.1，6，8，7 B.1，2，3，4 C.4，4，10，10 D.6，3，3，8
【举一反三2】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ．
【举一反三3】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【题型6】有理数混合运算的实际应用
【典型例题】当温度每上升时，某种金属丝伸长；反之，当温度下降时，金属丝就缩短．把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到．金属丝最后的长度比原来的长度伸长（ ）．
A. B. C. D.
【举一反三1】已知某地高度每增加1千米，气温大约下降，现在地面气温是，那么6千米高度的气温是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】一个药瓶如图所示．它的容积是，瓶子正放时，瓶内药水液面高，瓶子倒放时，空余部分高，则瓶内药水的体积是（ ）．
A. B. C. D.无法确定
【举一反三3】把一个长36厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是 平方厘米．
【举一反三4】如图，教室后面储物柜上叠放了两堆共7个完全相同的生本教具，现测得叠放了3个教具的最高处离地面，叠放了4个教具的最高处离地面，若将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面 ．
【举一反三5】为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费．
(1)若居民甲在6月份用电90度，则他这个月应缴纳电费 元；若居民乙在7月份用电190度，则他这个月应缴纳电费____________元．
(2)若居民丙在8月份用电300度，则他这个月应缴纳电费多少元？
(3)若某户居民丁在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？
【举一反三6】（工程问题）新华机电厂计划生产台机床，已经生产了天，平均每天生产台，剩下的如果每天多生产台，还需要多少天能完成任务？2.6有理数的混合运算
【题型1】有理数四则混合运算 2
【题型2】含乘方的有理数混合运算 4
【题型3】新定义型运算 5
【题型4】有理数混合运算在程序流程图中的应用 8
【题型5】算“24”点 11
【题型6】有理数混合运算的实际应用 13
【知识点1】有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 1.（2025 鼓楼区二模）下列计算结果比-3小的是（ ） A．-2+（-4）B．-2-（-4）C．-2×（-4）D．-2÷（-4）
【答案】A． 【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：A．∵-2+（-4）=-6，|-6|=6，|-3|=3，6＞3，∴-2+（-4）＜-3，故符合题意；
B．∵-2-（-4）=2，∴-2-（-4）＞-3，故不符合题意；
C．∵-2×（-4）=8，∴-2×（-4）＞-3，故不符合题意；
D．∵-2÷（-4）=，∴-2÷（-4）＞-3，故不符合题意；
故选：A． 2.（2025 海陵区一模）根据有理数加法法则，计算3+（-4）过程正确的是（ ） A．+（4+3）B．+（4-3）C．-（4+3）D．-（4-3）
【答案】D 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【解答】解：3+（-4）=-（4-3），
故选：D．
【题型1】有理数四则混合运算
【典型例题】下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确．
故选：D．
【举一反三1】计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选D．
【举一反三2】计算的结果等于（ ）
A. B. C.1 D.11
【答案】A
【解析】，
故选：A．
【举一反三3】若，请推算□内的符号应是 .
【答案】
【解析】∵，
∵，
∴，
故□内的符号应是；
故选：．
【举一反三4】计算：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】解：（1）
；
（2）
；
（3）原式
．
【题型2】含乘方的有理数混合运算
【典型例题】计算（ ）
A.2 B. C.0.5 D.
【答案】B
【解析】．
故选：B．
【举一反三1】计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
故选C.
【举一反三2】计算： ．
【答案】11
【解析】
，
故答案为：11．
【举一反三3】计算：
(1)；
(2).
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【题型3】新定义型运算
【典型例题】定义：对于一个有理数，我们把称为的相伴数．若，则；若，则．计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，
∴，
=，
．
故选B．
【举一反三1】现定义新运算“”，对任意有理数，规定，例，则计算（ ）
A. B. C.7 D.13
【答案】B
【解析】根据题意，得，
故选：B．
【举一反三2】用“*”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定，如，则的值为（ ）
A. B.8 C.4 D.
【答案】D
【解析】根据，
可得，
故选：D．
【举一反三3】规定符号*的意义为：a*，那么(-2)*5= ．
【答案】
【解析】由题意可知，(-2)*5=(-2)×5-(-2)-5+1
，
故答案为：．
【举一反三4】【概念探究】在学习了有理数的乘方运算后．小芳对类似于这样几个相同有理数（均不等于0）的除法运算产生了兴趣，决定探究学习．经过查阅资料，类比有理数的乘方运算，小芳知道这种除法运算叫做除方，并把记作，读作“的4次商”．
【概念归纳】一般地，我们把个（）相除记作，读作“的次商”
(1)【概念理解】直接写出结果： _______________．
(2)关于除方，下列说法正确的是：________（填序号）
①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数，；③34=43；
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数
(3)【概念运用】经过探究，小芳发现有理数的除方运算可转化为乘方运算，例：．仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：
____________________； __________．
(4)计算：．
【答案】解：（1）由题意得，
故答案为：；
（2）①任何非零数的2次商都等于这两个数相除，所以结果为1，该说法正确，
②对于任何正整数，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以原说法错误，
③，43，则34≠43，原说法错误，
④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，
故答案为：①④；
（3）由题意可得：
=，
=，
故答案为：，；
（4）
=
=
=
=
=
=．
【题型4】有理数混合运算在程序流程图中的应用
【典型例题】根据如图所示的运算程序计算y的值，若输入，，则输出y的值是（ ）
A.8 B.6 C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴，
故选：C.
【举一反三1】如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入时，输出结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三2】如图是一个数值计算程序：
若输入的数字是，则输出的数字为（ ）
A. B. C. D.17
【答案】A
【解析】当输入的数字是，，
∴输出的结果为，
故选A．
【举一反三3】按如图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是 ．
【答案】
【解析】当时，
，
把代入得，
，
∴输出的结果是，
故答案为：．
【举一反三4】定义某种新运算：s=a*b，运算原理如图所示，则8*6-6*6-2*3= ．
【答案】
【解析】∵8*6，
6*6，
2*3，
∴8*6-6*6-2*3，
故答案为：.
【举一反三5】小明设计了一个如图所示的数值转换程序．
(1)当输入吋，求输出的值为多少？
(2)若的值大于4，直接写出一个符合条件的的值．
【答案】解：（1）由题意知，，
∵，
∴，
∴输出的值为；
（2）由题意知，，
当时，，且，
∴，
∴符合条件．
【题型5】算“24”点
【典型例题】 “24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（ ）
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
【答案】D
【解析】①这四个数分别为6、-3、6、2，
∵，
∴①符合题意；
②这四个数分别为-4、-6、6、2，
∵，
∴②符合题意；
③这四个数分别为-4、-3、12、2，
∵，
∴③符合题意；
④这四个数分别为-4、-3、6、1，
∵，
∴④符合题意；
故选D．
【举一反三1】 “算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（ ）
A.1，6，8，7 B.1，2，3，4 C.4，4，10，10 D.6，3，3，8
【答案】A
【解析】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意；
B项，，能算出结果为24，故不符合题意；
C项，，能算出结果为24，故不符合题意；
D项，，能算出结果为24，故不符合题意；
故选：A．
【举一反三2】嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】本题中设计的数字有：8，4，2，12．
根据题目规则，可得满足条件的算式如下：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）等．
故答案为：（答案不唯一）．
【举一反三3】有一种“24”点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为1，并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负．任取4张牌（可使用括号）．每个数用且只用一次，使其结果等于24．
如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3，可做运算：．
(1)若抽出黑桃3，梅花1，方块5，红桃3，请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(2)若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃Q，请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；
(3)若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3，请设计1种含“乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验证结果为24．
【答案】解：（1）答案不唯一，如
；
（2）①答案不唯一，如
；
②答案不唯一，如
；
（3）答案不唯一，如
．
【题型6】有理数混合运算的实际应用
【典型例题】当温度每上升时，某种金属丝伸长；反之，当温度下降时，金属丝就缩短．把的这种金属丝加热到，再使它冷却降温到．金属丝最后的长度比原来的长度伸长（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：把的这种金属丝加热到，
金属丝伸长,
再使它冷却降温到，
金属丝缩短，
，
∴金属丝最后的长度比原来的长度伸长，
故选：B．
【举一反三1】已知某地高度每增加1千米，气温大约下降，现在地面气温是，那么6千米高度的气温是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
故选：B．
【举一反三2】一个药瓶如图所示．它的容积是，瓶子正放时，瓶内药水液面高，瓶子倒放时，空余部分高，则瓶内药水的体积是（ ）．
A. B. C. D.无法确定
【答案】B
【解析】
（立方厘米），
故选：B．
【举一反三3】把一个长36厘米，宽8厘米，高6厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是 平方厘米．
【答案】864
【解析】∵长方体的体积为：（立方厘米），
∴拼成的大正方体棱长为12厘米，
∴这个大正方体的表面积为：（平方厘米），
故答案为：864．
【举一反三4】如图，教室后面储物柜上叠放了两堆共7个完全相同的生本教具，现测得叠放了3个教具的最高处离地面，叠放了4个教具的最高处离地面，若将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面 ．
【答案】183
【解析】
，
∴将7个教具叠成一堆放在柜子上，则最高处离地面，
故答案为：．
【举一反三5】为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费．
(1)若居民甲在6月份用电90度，则他这个月应缴纳电费 元；若居民乙在7月份用电190度，则他这个月应缴纳电费____________元．
(2)若居民丙在8月份用电300度，则他这个月应缴纳电费多少元？
(3)若某户居民丁在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？
【答案】解：（1）(元)，
(元)，
故答案为：45，108.5；
（2）
(元),
答：他这个月应缴纳电费190元．
（3）∵，
∴用电大于300度，大于200度，
(度),
答：他这个月用电460度．
【举一反三6】（工程问题）新华机电厂计划生产台机床，已经生产了天，平均每天生产台，剩下的如果每天多生产台，还需要多少天能完成任务？
【答案】解：（天），
答：还需要天能完成任务．
