2.1直线与圆的位置关系
【题型1】判断直线与圆的位置关系 6
【题型2】根据直线与圆的位置关系求半径 10
【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 15
【题型4】直线与圆的公共点个数问题 18
【题型5】切线的定义及证明 20
【题型6】直线与圆的位置关系的实际应用 26
【题型7】切线的判定 28
【题型8】应用切线的性质求半（直）径 35
【题型9】应用切线的性质求角度 41
【题型10】应用切线的性质求面积 45
【题型11】应用切线的性质求弧长及线段长度 49
【题型12】应用切线的性质证明 57
【题型13】切线的性质的实际应用 63
【题型14】切线的判定和性质的综合应用 67
【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r． 1.（2024秋 渝中区校级月考）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则⊙O与直线的位置关系是（ ） A．相切B．相交C．相离D．相交或相离
【答案】B 【分析】判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交 d＜r,②直线l和⊙O相切 d=r,③直线l和⊙O相离 d＞r.圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切．据此解答． 【解答】解：已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离为2，
∵2＜3，
∴直线与圆的位置关系为相交．
故选：B． 2.（2024秋 新县期末）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ） A．l1B．l2C．l3D．l4
【答案】B 【分析】直接根据直线与圆的位置关系可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的半径是6，圆心O到直线l的距离是3，6＞3，
∴直线l与⊙O相交．
故选：B． 【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2024 呼兰区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D在OC的延长线上，DA与⊙O相切于点A，若∠D=32°，则∠OCB的度数为（ ） A．32°B．58°C．29°D．34°
【答案】C 【分析】通过外角求出∠BOC的度数，再证明出△BOC是等腰三角形即可解题． 【解答】解：∵DA与⊙O相切于点A，
∴∠OAD=90°，
∵∠D=32°，
∴∠BOC=∠OAD+∠D=122°，
∵OC=OB，
∴△BOC是等腰三角形，
∴，
故选：C． 【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2024秋 赣榆县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（ ） A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B 【分析】首先由AB是⊙O的直径，得出AD⊥BC，推出BD=DC，再由OA=OB，推出OD是△ABC的中位线，得DF⊥OD，即DF是⊙O的切线，然后由DF⊥AC，AD⊥BC，推出△CDE为等腰三角形，从而推出∠A=2∠FDC，CF=EF．最后由假设推出=不正确； 【解答】解：连接OD，AD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴AD⊥BC；
而在△ABC中，AB=AC，
∴AD是边BC上的中线，
∴BD=DC（正确）；
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线（正确）；
∵DF⊥AC，AD⊥BC，
∴∠FDC+∠C=∠CAD+∠C=90°，
∴∠FDC=∠CAD，
又AB=AC，∴∠BAD=∠CAD，
∴∠A=2∠CAD=2∠FDC（正确）；
∵DF是⊙O的切线，
∴∠FDE=∠CAD=∠FDC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE，
又DF⊥AC，
∴CF=EF（正确）；
当∠EAD=∠EDA时，=，此时△ABC为等边三角形，
当△ABC不是等边三角形时，
∠EAD≠∠EDA，
则≠，
∴=（不正确）；
综上，正确结论的序号是①②④⑤，
故选：B． 【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA为弦切角）．
【题型1】判断直线与圆的位置关系
【典型例题】已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是（ ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.以上答案都不对
【答案】D
【解析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．
∵点A在圆O上，已知圆O的半径是3，点A到直线a的距离是6，
∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离或相交，
故选：D．
【举一反三1】如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
【答案】A
【解析】根据已知条件AB为直径，连接AP和OP，所以AP⊥BC，可知P为BC的中点，O为AB的中点，即OP∥AC；再结合已知条件，可证出OP⊥PQ，则PQ与⊙O相切．
连接AP、OP，
在⊙O中，AB为直径，AP⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
∴P点为BC的中点，
又∵O点为AB的中点，
∴OP∥AC，
又PQ⊥AC，
即OP⊥PQ，
∴PQ与⊙O相切．
故选：A．
【举一反三2】圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（ ）
A.若d＝4.5cm时；则直线与圆相离
B.若d＝5cm时；则直线与圆相切
C.若d＝8时；则直线与圆相交
D.若d＝10cm时；则直线与圆相切
【答案】B
【解析】求圆与直线的交点个数，即确定直线与圆的位置关系，关键是把d与半径5cm进行比较．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．（d为圆心距，r为圆的半径）．
已知圆的直径为10cm，则半径为5cm，
当d＝5cm时，直线与圆相切，d＜5cm直线与圆相交，d＞5cm直线与圆相离，
故A、C、D错误，B正确，
故选：B．
【举一反三3】已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是① ，② ，③ ．
【答案】相交；相切；相离
【解析】根据：若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离解答即可．
设圆的半径为r，圆心到直线的距离d，
∵圆的直径为10cm，
∴r＝5cm，
∵圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，
∴①d＜r；②d＝r；③d＞r；
∴这三条直线与这个圆的位置关系分别是①相交；②相切；③相离；
故答案为：相交；相切；相离．
【举一反三4】如图，∠AOB＝30°，OM＝6，那么以M为圆心，4为半径的圆与射线OA的位置关系是 ．
【答案】相交
【解析】计算出点M到射线OA的距离，与4进行比较即可．
作MN⊥AO交AO于点N，
MN＝MO sin30°＝6×＝3＜4，
∴圆与射线OA相交．
故答案为：相交．
【举一反三5】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点O在AB上，AO＝x，⊙O的半径为1．问当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？
【答案】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∵AO＝x，
∴OD＝AO＝x，
（1）若圆O与AC相离，则有OD大于r，即x＞1，解得：x＞2；
（2）若圆O与AC相切，则有OD等于r，即x＝1，解得：x＝2；
（3）若圆O与AC相交，则有OD小于r，即x＜1，解得：0＜x＜2；
综上可知：当x＞2时，AC与⊙O相离；x＝2时，AC与⊙O相切；0＜x＜2时，AC与⊙O相交．
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
【答案】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
∴BC＝＝4cm，
设AB边高为h，
则h AB＝AC×BC，
∴h＝2.4cm，
（1）当r＜2.4cm，d＞r，则AB与⊙C相离；
（2）当r＝2.4cm，d＝r，则AB与⊙C相切；
（3）当r＞2.4cm，r＞d，则AB与⊙C相交．
【题型2】根据直线与圆的位置关系求半径
【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
A.5≤r≤12或 B.5＜r＜12 C. D.
【答案】D
【解析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD＝，然后根据直线与圆的位置关系得到当≤r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点．
作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∵CD AB＝BC AC，
∴CD＝，
∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为≤r≤12．
故选：D．
【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有两个交点，再结合图形得出另一种有一个交点的情况，即可得出答案．
∵∠C＝90°，，
∴＝，
设AC＝x，BC＝2x，
∴AB＝＝x＝5，
∴x＝，
∴AC＝，BC＝2，
过点C作CD⊥AB于点D，
∴CD＝＝2，
∵⊙C与线段AB有两个交点，
∴2＜R≤，
故选：A．
【举一反三2】题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r＝4．乙答：3＜r＜4．丙答：．则正确的是（ ）
A.只有乙答的对 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】由勾股定理求出BC＝4，再根据等面积法求出斜边AC上的高为，再根据半径r的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案．
∵AB＝3，AC＝5，
∴，
∴斜边AC上的高为：，
当r＝4时，画出图如图所示：
，
此时△ABC在圆内部，⊙B与AC只有一个交点，
当3＜r＜4时，画出图如图所示，
，
此时⊙B与AC只有一个交点，
当时，画出图如图所示：
，
此时⊙B与AC只有一个交点，
∴三人的答案合在一起才完整，
故选：D．
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．
【答案】，3＜r≤4或
【解析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断．
如图，作CH⊥AB于H．
在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵，
∴，
∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，
∴r的取值范围为，
∵⊙C与AB边只有一个公共点，
∴r的取值范围为3＜r≤4或，
故答案为：，3＜r≤4或．
【举一反三4】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围．
【答案】解：过点C作CD⊥AB于点C，
∵Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，
∴CD＝，
∴以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，r的取值范围是：r≥2.4．
【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
【典型例题】已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A.d＝3 B.d＞3 C.0≤d＜3 D.d＜3
【答案】C
【解析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
∵⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3，
故选：C． 【难度】基础题
【举一反三1】已知⊙O的半径为5cm，直线l和点O的距离为dcm，若直线l与⊙O有公共点，则（ ）
A.d＞5 B.d＝5 C.d＜5 D.0≤d≤5
【答案】D
【解析】根据⊙O与直线有公共点，可得直线与圆相切或相交，从而得出点O到直线L的距离小于或等于圆的半径即可得到问题答案．
∵⊙O与直线有公共点，
∴直线L与圆相切或相交，
∴点O到直线L的距离小于或等于圆的半径，
即d≤5，
∵d≥0，
∴0≤d≤5．
故选：D．
【举一反三2】若在△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O与边AB相交于点D，AC＝4cm，BC＝3cm，则点O到AB的距离为 ．
【答案】
【解析】作OD⊥AB于点D，由勾股定理可得AB＝5，根据∠C＝90°，得到△AOE∽△ABC，然后利用相似三角形的对应边的比相等列出方程求解即可．
作OE⊥AB于点E，由勾股定理可得AB＝5，
∵∠C＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
即：，
∴OE＝，
即点O到AB的距离为．
故答案为：
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
【答案】2+1
【解析】连接OE、OF，根据正切的定义求出∠ABC，根据切线长定理得到∠OBF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理计算，得到答案．
当⊙O与BC、BA都相切时，连接AO并延长交⊙O于点D，则AD为点A到⊙O上的点的距离的最大值，
设⊙O与BC、BA的切点分别为E、F，连接OE、OF，
则OE⊥BC，OF⊥AB，
∵AC＝6，BC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，AB＝＝4，
∴∠ABC＝60°，
∴∠OBF＝30°，
∴BF＝＝，
∴AF＝AB﹣BF＝3，
∴OA＝＝2，
∴AD＝2+1，
故答案为：2+1．
【举一反三4】已知⊙O的半径r＝7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为9cm．求l1到l2的距离．
【答案】解：∵l1与⊙O相切，
∴O点到l1的距离为7cm，
当圆心O在两平行直线之间：l1与l2之间的距离＝9cm﹣7cm＝2cm；
当圆心O在两平行直线之外：l1与l2之间的距离为9cm+7cm＝16cm，
∴l1到l2的距离为2cm或16cm．
【题型4】直线与圆的公共点个数问题
【典型例题】设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（ ）
A.d≤4 B.d＜4 C.d≥4 D.d＝4
【答案】C
【解析】当d＝r时，直线与圆相切，直线L与圆有一个公共点；当d＜r时，直线与圆相交，直线L与圆有两个公共点；当d＞r时，直线与圆相离，直线L与圆没有公共点．
因为直线L与⊙O至多只有一个公共点，所以包括直线与圆有一个公共点和没有公共点两种情况，
因此d≥r．
故选：C．
【举一反三1】已知⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP＝6cm．那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【答案】C
【解析】根据直线与圆的位置关系判定方法，当d＜r，直线与圆相交即可得出答案．
∵⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP＝6cm，
∴r＞d，
∴直线l与⊙O的关系是：相交．
故选：C．
【举一反三2】已知圆的直径为12cm，如果圆心到直线的距离为4cm，那么直线与圆有 个交点．
【答案】两
【解析】先确定圆的半径为6cm，而圆心到直线的距离为4cm，即圆心O到直线l的距离小于圆的半径，根据直线与圆的位置关系得到直线与圆相交，则直线与圆有两个交点．
∵圆的直径为12cm，
∴圆的半径为6cm，
∵圆心到直线的距离为4cm，
∴直线与圆相交，
∴直线与圆有两个交点．
故答案为：两．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，1），若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为 ．
【答案】或3
【解析】由已知A（3，1），可以知道圆心A到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，到原点的距离为，由此可以确定，⊙A与坐标轴共有三个公共点时圆的半径是和3．
设⊙A的半径为r，
当1＜r＜3时，⊙A与坐标轴共有2个公共点，
当半径等于3时，如图1，⊙A与y轴相切且与x轴有2个交点，共有3个公共点，
当半径r等于A到原点的距离＝时，如图2，共有3个公共点，
当半径r大于时，⊙A与坐标轴共有4个公共点．
即⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为或3．
故答案为：或3．
【举一反三4】已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径画圆．若C是OA上一点，OC等于5cm，讨论OC与⊙M的公共点个数，并写出r相应的取值范围．
【答案】解：作MN⊥OA于N，如图，
∵∠AOB＝30°，
∴MN＝OM＝×5＝，
∴当r＝时，⊙M与射线OC只有一个公共点；
当0＜r＜时，⊙M与射线OC没有公共点；
当＜r≤5时，⊙M与射线OC有两个公共点；
当r＞5时，⊙M与射线OC只有一个公共点．
所以当0＜r＜时，⊙M与射线OC没有公共点；当r＝或r＞5时，⊙M与射线OC只有一个公共点；当＜r≤5时，⊙M与射线OC有两个公共点．
【题型5】切线的定义及证明
【典型例题】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点A（点E，F在点A的两旁），下列条件：
（1）OA＝5；
（2）OE＝OF；
（3）OA⊥EF；
（4）O到直线EF的距离是5．
能判定直线EF与⊙O相切的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】依据切线的判定定理“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线”或“圆心到直线的距离等于半径”进行判断即可．
如图，
（1）OA＝5，不能判定直线EF与⊙O相切，不符合题意；
（2）OE＝OF，不能判定直线EF与⊙O相切，不符合题意；
（3）OA⊥EF且点A在⊙O上，能判定直线EF与⊙O相切，符合题意；
（4）O到直线EF的距离是5，等于半径，能判定直线EF与⊙O相切，符合题意．
故选：B．
【举一反三1】如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
【答案】C
【解析】延长CO交⊙O于点，先根据OD＝11，CD＝6得出OC＝5，故CE＝6，再根据△ABC是等边三角形可知BC＝AC，BC＞CD，根据直线与圆的位置关系即可得出结论．
延长CO交⊙O于点，
∵OD＝11，CD＝6，
∴OC＝5，
∴CE＝6．
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，BC＞CD，
∴在旋转过程中⊙O与BC边只有一个公共点时有两次，与AB边有一次，与AC边有2次．
∴⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现5次．
故选：C．
【举一反三2】如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝（ ）时，直线DE与⊙O相切．
A.∠B B.∠BAC C.∠C D.∠DAC
【答案】C
【解析】首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C＝∠AFB，进而可得到∠BAE＝∠F，再根据直径所对的圆周角是90°，可证出∠AFB+∠BAF＝90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF＝90°，进而得到直线DE与⊙O相切．
当∠BAE＝∠C时，直线DE与⊙O相切．
理由如下：
作直径AF交圆O于F点，连接BF．
∵∠F，∠C是同弧AB所对的角，
∴∠C＝∠F，
∵∠BAE＝∠C，
∴∠BAE＝∠F，
∵AF为直径，
∴∠ABF＝90°，
在三角形ABF中，∠F+∠BAF＝90°，
∵∠F＝∠BAE，
∴∠BAE+∠BAF＝90°，
∴FA⊥DE，
∵OA是半径，
∴直线DE与⊙O相切．
故选：C．
【举一反三3】已知⊙O到直线l的距离为d，半径为R、d是方程x2﹣2x+m＝0的两根，且l与⊙O相切，则m＝ ．
【答案】1
【解析】首先根据直线l与⊙O相切，确定⊙O到直线l的距离d＝半径为R；再根据R、d是方程x2﹣2x+m＝0的两根，确定方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的根，进一步通过Δ＝0，确定m的值．
∵l与⊙O相切
∴d＝R
又∵R、d是方程x2﹣2x+m＝0的两根
∴方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的根
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0
解得m＝1
故答案为1
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的位置变化，试探究直线EF与⊙O的位置关系．
甲：如图（1），当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；
乙：如图（2），当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切．
你认为 的判断正确．
【答案】甲、乙
【解析】甲、根据直径推出∠CAB+∠B＝90°，推出∠EAC+∠CAB＝90°，根据切线判定推出即可；
乙、作直径AM，连接CM，推出∠M＝∠B＝∠EAC，求出∠EAC+∠CAM＝90°，根据切线的判定推出即可．
甲、∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵∠EAC＝∠B，
∴∠EAC+∠CAB＝90°，
∴EF⊥AB，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线；
乙、作直径AM，连接CM，
即∠B＝∠M（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），
∵∠EAC＝∠B，
∴∠EAC＝∠M，
∵AM是⊙O的直径，
∴∠ACM＝90°，
∴∠CAM+∠M＝90°，
∴∠EAC+∠CAM＝90°，
∴EF⊥AM，
∵OA是半径，
∴EF是⊙O的切线．
故甲、乙正确，
故答案为：甲、乙．
【举一反三5】若Rt△ABC的斜边AB＝6，直角边AC＝3，则圆心为点C，半径分别为2，4的两个圆与AB具有怎样的位置关系？当半径为多长时，AB与⊙C相切？
【答案】解：如图，过C作CD⊥A，于点D．
Rt△ABC的斜边AB＝6，AC＝3，
根据勾股定理得：BC＝＝3，
∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝＝．
∵2＜＜4，
∴以点C为圆心，分别以2和4为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别相离和相交；
∵CD＝．
则以点C为圆心，当半径为时，AB与⊙C相切．
【举一反三6】已知Rt△ABC的斜边AB＝5cm，直角边AC＝3cm，以C为圆心，半径分别为2cm、3cm的两个圆⊙C1和⊙C2与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与⊙C相切？
【答案】解：（1）如图1，过C作CD⊥A，于点D．
Rt△ABC的斜边AB＝5cm，AC＝3cm，
根据勾股定理得：BC＝＝4（cm），
∵S△ABC＝AB CD＝AC BC，
∴CD＝＝cm．
∵2＜＜3
∴以点C为圆心，分别以2cm和3cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别相离和相交；
（2）由（1）知，CD＝cm．
则以点C为圆心，当半径为cm时，AB与⊙C相切．
【题型6】直线与圆的位置关系的实际应用
【典型例题】如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.平行 D.相离
【答案】D
【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离，
故选：D．
【举一反三1】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.包含
【答案】A
【解析】根据直线与圆的位置关系，即可解答．
这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是相交，
故选：A．
【举一反三2】如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是 ．
【答案】相离
【解析】直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离．
根据直线和圆无公共点，则直线和圆相离．
故答案为：相离
【举一反三3】在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是 ．
【答案】相离
【解析】根据相离的概念：一条直线和圆没有公共点称为直线和圆相离，由此即可作出判断．
∵月亮与地平线没有公共点，
∴该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是相离．
故答案为：相离．
【举一反三4】在看日出时，丁丁想到：如果把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有哪几种位置关系呢？
【答案】解：太阳从地平线下方刚刚向上升起，则太阳与地平线相交，然后是相切，最后是相离．
故太阳升起的过程中，太阳和地平线的位置关系有：相交、相切、相离．
【举一反三5】如图，定滑轮⊙O静止时，半径OA在水平位置．链条AB所在的直线与⊙O有什么位置关系？请说明理由．
【答案】解：链条AB所在的直线与⊙O相切，
理由：由题意得，OA⊥AB，OA为⊙O的直径，
∴AB是⊙O的切线．
【题型7】切线的判定
【典型例题】如图，在△ABC中，∠BAC＝28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件中不符合的是（ ）
A.DE⊥AB B.∠EDB＝28° C.∠ADE＝∠ABD D.OB＝BC
【答案】D
【解析】利用切线的判定方法，结合平行线的性质以及圆周角定理得出∠ABC＝90°即可．
A、∵DE⊥AB，DE∥CB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠EDB＝28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDE+∠ADE＝90°，
∵∠BAD＝28°，
∴∠BAD+∠ADE＝90°，
∴DE⊥AB，
∵DE∥CB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵以AB为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDE+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠ABD，
∴∠BDE+∠ABD＝90°，
∴DE⊥AB，
∵DE∥CB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB为直径，
∴BC是⊙O的切线，故此选项错误；
D、OB＝BC，无法得出，AB⊥BC，故符合题意．
故选：D．
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（ ）
A.（5，2） B.（2，4） C.（1，4） D.（6，2）
【答案】D
【解析】根据切线的判定在网格中作图即可得结论．
如图，
过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，
能够与该圆弧相切的格点坐标是（6，2）．
故选：D．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A.AB＝4，AT＝3，BT＝5 B.∠B＝45°，AB＝AT C.∠B＝55°，∠TAC＝55° D.∠ATC＝∠B
【答案】D
【解析】分别利用切线的判定进而得出∠BAT＝90°，得出答案即可．
A、∵AB＝4，AT＝3，BT＝5，
∴AB2+AT2＝BT2，
∴△BAT是直角三角形，
∴∠BAT＝90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
B、∵∠B＝45°，AB＝AT，
∴∠T＝45°，
∴∠BAT＝90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
C、∵AB为直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝55°，
∴∠BAC＝35°，
∵∠TAC＝55°，
∴∠BAT＝90°，
∴直线AT是⊙O的切线，故此选项错误；
D、∠ATC＝∠B，无法得出直线AT是⊙O的切线，故此选项正确．
故选：D．
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化，已知⊙M的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b＝ 时，直线l与⊙M相切．
【答案】8±2
【解析】先求出直线y＝﹣2x+b与坐标轴的交点A坐标为（0，b），B点坐标为（，0），再计算出当直线y＝﹣2x+b过点M时与y轴的交点D的坐标（0，8），如图，作MF⊥AB于F，AE⊥DC于E，根据切线的性质得MF＝2，则AE＝MF＝2，再证明△OAB∽△EDA，利用相似比得到＝，解得b＝8﹣2，利用直线平移的方法可得当b＝8+2时，直线y＝﹣2x+b与⊙M相切．
当x＝0时，y＝﹣2x+b＝b，则A点坐标为（0，b）；当y＝0时，﹣2x+b＝0，解得x＝，则B（，0），
所以AB＝＝b，
当直线y＝﹣2x+b过点M时，把M（3，2）代入得﹣6+b＝2，解得b＝8，
则直线y＝﹣2x+8与y轴的交点坐标为（0，8），
当AB与⊙M相切时，如图，作MF⊥AB于F，AE⊥DC于E，则AE＝MF＝2，
∵CD∥AB，
∴△OAB∽△EDA，
∴＝，即＝，解得b＝8﹣2，
同样可得当b＝8+2时，直线y＝﹣2x+b与⊙M相切．
故答案为8±2．
【举一反三4】如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝ cm时，⊙M与OA相切．
【答案】6
【解析】设⊙M与OA相切于N，连接MN，N为切点，根据MN⊥AO，∠AOB＝30°，2cm为半径，利用直角三角形中30°的角所对的直角边是斜边的一半解答．
设⊙M与OA相切于N，
连接MN，
∵MN⊥AO，∠AOB＝30°，3cm为半径，
∴OM＝2MN＝2×3＝6cm．
故当OM＝6cm时，⊙M与OA相切，
故答案为：6．
【举一反三5】如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为多少秒时，BP与⊙O相切．
【答案】解：如图所示：连接OP，
∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，
∵AB＝OA，OA＝OP，
∴OB＝2OP，∠OPB＝90°，
∴∠B＝30°，
∴∠O＝60°．
∵OA＝6cm，
弧AP＝＝2π，
∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π﹣2π＝10π，
∴当t＝2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
【举一反三6】如图，⊙O的直径AB＝4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD∥BC．
∴∠1＝∠ACB＝90°．
∵EF∥AC，
∴∠2＝∠1＝90°．
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线．
（2）解：连接OC，
∵直径AB＝4，
∴半径OB＝OC＝2．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD＝BC＝OB＝OC＝2．
∴∠B＝60°．
∵OD∥BC，
∴∠EOD＝∠B＝60°．
在Rt△EOD中，．
【题型8】应用切线的性质求半（直）径
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16），则⊙M的直径是（ ）
A.10 B.2 C.4 D.20
【答案】D
【解析】如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H，先证明四边形OAMH是矩形，进而解答即可．
如图连接AM，OM，作MH⊥BC于H．
∵⊙M与x轴相切于点A（8，0），
∴AM⊥OA，OA＝8，
∴∠OAM＝∠MHO＝∠HOA＝90°，
∴四边形OAMH是矩形，
∴AM＝OH，
∵MH⊥BC，
∴HC＝HB＝6，
∴OH＝AM＝10，
则⊙M的直径是20，
故选：D．
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，点D是切点，过点B作⊙O的切线，交CD于点E，若CD＝8，BE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】D
【解析】连接OD，利用切线的性质和相似三角形△CBE∽△CDO的对应边成比例进行解答．
如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°．
又∵BE作⊙O的切线，
∴∠CBE＝90°且BE＝ED，
∴∠CBE＝∠CDO．
又∵∠BCE＝∠DCO，
∴△CBE∽△CDO，
∴＝，即＝．
又∵CD＝8，BE＝3，
∴CE＝CD﹣DE＝CD﹣BE＝5，
∴在直角△CBE中，利用勾股定理求得CB＝4，
∴＝，则OB＝6，即该圆的半径为6．
故选：D．
【举一反三2】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A.8 B.4 C.9.6 D.4.8
【答案】D
【解析】作CD⊥AB于D，先根据勾股定理计算出BC，再利用等积法计算出CD，然后根据切线的性质即可得到⊙C的半径长．
作CD⊥AB于D，如图，
∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，
∴BC＝＝8，
∵AC BC＝AB CD，
∴CD＝＝，
∵⊙C与AB相切，
∴CD为⊙的半径，
即⊙C的半径长为．
故选：D．
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，CB＝3，AB＝4，AC＝5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为 ．
【答案】2.4
【解析】连接BD，由AC是⊙C的切线，即可得BD⊥AC，由勾股定理的逆定理可证明△ABC是直角三角形，然后由S△ABC＝AB BC＝BD AC，即可求得⊙B的半径长度．
连接BD，
在△ABC中，
∵CB＝3，AB＝4，AC＝5，
∴AB2+BC2＝32+42＝52＝AC2，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵AC是⊙C的切线，
∴BD⊥AC，
∵S△ABC＝AB BC＝AC BD，
∴AB BC＝AC BD，
即BD＝＝2.4，
故答案为：2.4．
【举一反三4】如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 ．
【答案】
【解析】连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图，先根据切线的性质得到OE⊥BC，根据正方形的性质得到AD∥BC，AB＝AD＝4，则EH⊥AD，再根据垂径定理得到AH＝DH＝2，接着证明四边形ABEH为矩形得到BE＝AB＝4，设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OAH中利用勾股定理得到22+（4﹣r）2＝r2，然后解方程求出r即可．
连接EO并延长交AD于H点，连接OA，如图，
∵BC边与⊙O相切，切点为E，
∴OE⊥BC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BC，AB＝AD＝4，
∴EH⊥AD，
∴AH＝DH＝AD＝2，
∵∠B＝∠BAH＝∠AHE＝90°，
∴四边形ABEH为矩形，
∴BE＝AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OA＝OE＝r，OH＝4﹣r，
在Rt△OAH中，22+（4﹣r）2＝r2，
解得r＝，
即⊙O的半径为．
【举一反三5】如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm．求直径AB的长．
【答案】解：∵∠A＝30°，OC＝OA，
∴∠ACO＝∠A＝30°，
∴∠COD＝60°，
∵DC切⊙O于C，
∴∠OCD＝90°，
∴∠D＝30°，
∵OD＝30cm，
∴OC＝OD＝15cm，
∴AB＝2OC＝30cm．
【题型9】应用切线的性质求角度
【典型例题】如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【答案】A
【解析】连接OC，根据切线的性质得到∠OCD＝90°，根据圆周角定理得到∠COD＝2∠ABC＝40°，根据三角形内角和定理即可得到结论．
连接OC，
∵DC与圆O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ABC＝20°，
∴∠COD＝2∠ABC＝40°，
∴∠BDC＝90°﹣40°＝50°，
故选：A．
【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠ADC＝50°，则∠CAD的度数为（ ）
A.20° B.25° C.30° D.15°
【答案】A
【解析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCD＝90°，进而得出∠COD＝90°﹣∠ADC＝40°，根据等腰三角形的性质即可求解．
连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD＝90°，
∵∠ADC＝50°，
∴∠COD＝90°﹣∠ADC＝90°﹣50°＝40°，
∴∠OAC+∠OCA＝∠COD＝40°，
∵OA＝OC，
∴，
故选：A．
【举一反三2】如图，点P在⊙O外，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，BC是直径，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ．
【答案】55°
【解析】连接OA，根据切线的性质得出∠PAO＝∠PBO＝90°，求出∠AOB＝110°，根据三角形外角性质和等腰三角形性质求出即可．
连接OA，
∵PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠APB＝70°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠ACB+∠OAC＝∠AOB＝110°，
∵OC＝OA，
∴∠ACB＝∠OAC，
∴∠ACB＝55°
故答案为：55°．
【举一反三3】如图，ABC是圆内接三角形，BC是圆的直径，∠B＝35°，MN是过A点的切线，那么∠C＝ ；∠CAM＝ ；∠BAM＝ ．
【答案】55°；35°；125°
【解析】由BC是圆的直径，得到∠BAC＝90°，根据三角形的内角和得到∠C＝55°，根据弦切角定理即可得到结论．
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠C＝55°，
∵MN是过A点的切线，
∴∠CAM＝∠B＝35°，
∴∠BAM＝∠CAM+∠CAB＝125°，
故答案为：55°；35°；125°．
【举一反三4】已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；
（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．
【答案】解：（I）连接CB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°，
∵∠ADC＝55°，
∴∠ABC＝∠ADC＝55°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝35°；
（II）连接AC，OC，DO，
∵CD＝AB＝OC＝OD，
∴△COD为等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠CAD＝∠COD＝30°，
∵C是半圆弧AB的中点，
∴＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∵AO＝CO，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝15°，
∵AD的延长线与过点B的切线相交于点P，
∴BP⊥AB，
∴∠ABP＝90°，
∴∠APB＝90°﹣∠BAP＝75°．
【题型10】应用切线的性质求面积
【典型例题】已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A.S1＝S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1＜S2，再S1＝S2，最后S1＞S2
【答案】A
【解析】由题意得到弧AQ长度与AP相等，利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等，都减去扇形AOB面积即可得到S1、S2的大小关系．
∵直线l与圆O相切，
∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ＝ r＝ OA，S△AOP＝OA AP，
∵＝AP，
∴S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ﹣S扇形AOB＝S△AOP﹣S扇形AOB，
则S1＝S2．
故选：A．
【举一反三1】如图，⊙O的半径是1，AB是⊙O的切线，A是切点，若半径OC∥AB，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】求出扇形的圆心角的度数即可解决问题、
∵AB是切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∵OC∥AB，
∴∠COA＝∠OAB＝90°，
∴阴影部分的扇形的圆心角的度数为270°，
∴S阴＝＝π．
故选：D．
【举一反三2】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，则图中AD，AE与所围成的封闭图形的面积为 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】首先连接OE，OD，由以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，易得四边形OEAD是正方形，然后由S阴影＝S正方形OEAD﹣S扇形OED，求得答案．
连接OE，OD，
∵以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，
∴OE⊥AC，OD⊥AB，
∴∠OEA＝∠ODA＝∠A＝90°，
∴四边形OEAD是矩形，
∵OE＝OD，
∴四边形OEAD是正方形，
∵在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，O为BC的中点，
∴OE＝AB＝1，
∴S阴影＝S正方形OEAD﹣S扇形OED＝1﹣＝1﹣．
故答案为：1﹣．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明：连结OC，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠DAC＝∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∴∠DAC＝∠CAO，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连结OE，EC，
∵E为弧AC的中点，
∴AE＝EC，S弓形AE＝S弓形EC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠OAC，
∴∠ECA＝∠OAC，
∴EC∥OA，
而OC∥AE，
∴四边形OAEC为平行四边形，
而OA＝OC，
∴四边形OAEC为菱形，
∴CE＝OC＝OE＝1，
∴△OCE都为等边三角形，
∴∠COE＝∠OCE＝60°，
而∠DCO＝90°，
∴∠DCE＝30°，
在Rt△DCE中，CE＝1，
∴DE＝CE＝，DC＝DE＝，
∴S△DCE＝××＝，
∵S弓形AE＝S弓形EC，
∴S阴影＝S△DCE＝．
【题型11】应用切线的性质求弧长及线段长度
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD为⊙O的切线，切点为点D，点E在⊙O上，且∠ABE＝∠C．若BC＝1，，则BE的长为（ ）
A.4 B. C. D.8
【答案】B
【解析】连接OD，如图所示，由切线性质得到∠ODC＝90°，设O D＝O B＝r，则OC＝OB+BC＝r+1，在Rt△ODC中，由三角函数定义列式求解的得到r＝4，得到相关线段长，再由直径所对的圆周角是直角，利用相等角的三角函数值相等，在Rt△ABE中，由三角函数定义列式求出AE，最后利用勾股定理求解即可得到答案．
连接OD，如图所示：
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC＝90°．
设O D＝O B＝r，则OC＝OB+BC＝r+1．
在Rt△ODC中，，
∴，
解得r＝4．
∴OB＝4，
∴AB＝2OB＝8．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°．
∵∠ABE＝∠C，
∴．
在Rt△ABE中，，
∴．
∴．
故选：B．
【举一反三1】如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于点A，AB垂直平分OD．若，则线段OC的长为（ ）
A. B.4 C. D.8
【答案】B
【解析】连接AD，根据垂直平分线的性质得到△AOD为等边三角形，可得∠AOD＝60°，再利用垂径定理得到，求得OD的长，即可求得OC．
∵AB垂直平分OD，
∴，
∵OA＝OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
∴，
∴OD＝2OE＝2，
∴OC＝2OD＝4，
故选：B．
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC＝144°，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，若⊙O的半径为1，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】连接OB、OC，如图，先根据切线的性质得到∠OBA＝90°，则可计算出∠OBC＝54°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BOC＝72°，然后根据弧长公式计算．
连接OB、OC，如图，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∵∠ABC＝144°，
∴∠OBC＝144°﹣90°＝54°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝54°，
∴∠BOC＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴的长＝＝π．
故选：D．
【举一反三3】如图，已知在直角坐标系中，点P是直线y＝﹣x+4上的一个动点，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，切点为A，则PA长度的最小值为 ．
【答案】
【解析】连接OA、OP，由切线性质可知OA⊥PA，且OA＝1，则当OP最小时，PA最小，故当OP与直线y＝﹣x+4垂直时，PA最小，再利用等腰直角三角形的性质可求得OP的值，可求得答案．
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，且OA＝1，
∴当OP最小时，PA最小，
∴当OP与直线y＝﹣x+4垂直时，OP最小，
如图，设直线y＝﹣x+4交x轴、y轴于点B、C，
则B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴OP＝BC＝2，即OP的最小值为2，
∴PA的最小值＝＝，
故答案为：．
【举一反三4】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，求⊙O的半径和线段PB的长．
【答案】解：（1）AB＝AC，理由如下：
如图1，连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥l，
∴∠OBA＝∠OAC＝90°，
∴∠OBP+∠ABP＝90°，∠ACP+∠APC＝90°，
∵OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB，
∵∠OPB＝∠APC，
∴∠ACP＝∠ABC，
∴AB＝AC；
（2）如图2，延长AP交⊙O于E，连接BE，
设圆半径为r，则OP＝OB＝r，PA＝10﹣r，
则AB2＝OA2﹣OB2＝102﹣r2，
∵AC2+PA2＝PC2，
∴，
解得：r＝6，
∴AB＝AC＝8，PA＝OA﹣OP＝4，
∵PE是⊙O的直径，
∴∠PBE＝90°＝∠PAC，
又∵∠EPB＝∠CPA，
∴△EPB∽△CPA，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝90°，
∴∠CAD+∠CAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAD＝∠B，
∵CE＝CD，
∴AE＝AD，
∴∠CAE＝∠CAD＝∠B，
∵∠B＝∠F，
∴∠CAE＝∠F，
∴AC＝CF；
（2）解：由（1）可知，sin∠CAE＝sin∠CAD＝sinB＝．
∵AB＝4，
∴在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝5，
∴在Rt△ACD中，CD＝，
∴DE＝，BE＝，
∵∠CEF＝∠AEB，∠B＝∠F，
∴△CEF∽△AEB．
∴．
∴EF＝．
【题型12】应用切线的性质证明
【典型例题】如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是⊙O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则．
对上述结论描述正确的是（ ）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②③正确 D.①②③④都正确
【答案】C
【解析】由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，由此可判断①正确；根据直径所对的圆周角等于90°，可判断②正确；根据切线长定理可判断③正确；先证明△POQ≌△POR，由此可得S△POQ＝S△POR，进而可得，因此可判断④错误．
如图：
由第一步作图痕迹可知直线MN是PO的垂直平分线，因此点A是PO的中点，
故①正确；
∵PO是⊙A的直径，
∴∠PQO＝∠PRO＝90°，
∴PQ⊥OQ，PR⊥OR，
∴直线PQ，PR都是⊙O的切线，
故②正确；
直线PQ，PR都是⊙O的切线，根据切线长定理，可知 PQ＝PR，
故③正确；
∵PQ＝PR，OQ＝OR，PO＝PO，
∴△POQ≌△POR，
∴S△POQ＝S△POR，
∴．
∵点A是PO的中点，
∴，
故④错误．
故选：C．
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝21，BC＝20，有一个半径为10的圆分别与AB、BC相切，则此圆的圆心是（ ）
A.AB边的中垂线与BC中垂线的交点
B.∠B的平分线与AB的交点
C.∠B的平分线与AB中垂线的交点
D.∠B的平分线与BC中垂线的交点
【答案】D
【解析】因为圆分别与AB、BC相切，所以圆心到AB、CB的距离一定相等，都等于半径．而到角的两边距离相等的点在角的平分线上，圆的半径为10，所以圆心到AB的距离为10．因为BC＝20，所以BC的中垂线上的点到AB的距离为10，所以∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．
∵圆分别与AB、BC相切，
∴圆心到AB、CB的距离都等于半径，
∵到角的两边距离相等的点在角的平分线上，
∴圆心定在∠B的角平分线上，
∵因为圆的半径为10，
∴圆心到AB的距离为10，
∵BC＝20，
又∵∠B＝90°，
∴BC的中垂线上的点到AB的距离为10，
∴∠B的角平分线与BC的中垂线的交点即为圆心．
故选：D．
【举一反三2】如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②AD＝CB；③点P是△ACQ的外心；④GP＝GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【答案】③④
【解析】根据切线的性质、垂径定理、圆周角定理、弧与弦的关系、三角形的外心的定义、等腰三角形的判定方法．平行线的判定方法一一判断即可．
∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，
∴＝≠，
∴∠BAD≠∠ABC，故①错误；
∵≠，
∴+≠+，
即 ≠，
∴AD≠BC，故②错误；
∵弦CE⊥AB于点F，
∴A为 的中点，即 ＝，
又∵C为 的中点，
∴＝，
∴＝，
∴∠CAP＝∠ACP，
∴AP＝CP．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACQ＝90°，
∴∠PCQ＝∠PQC，
∴PC＝PQ，
∴AP＝PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，故③正确；
连接OD，
则OD⊥GD，∠OAD＝∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP＝90°，∠EPA+∠FAP＝∠FAP+∠GPD＝90°，
∴∠GPD＝∠GDP；
∴GP＝GD，故④正确；
∵CE⊥AB，
∴＝，
∵≠，
∴≠，
∴∠GDA≠∠BCE，
又∵∠BCE＝∠PQC，
∴∠GDA≠∠PQC，
∴CB与GD不平行，故⑤错误．
综上可知，正确的结论是③④，一共2个．
故答案为：③④．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．求证：∠ABC＝∠CBD．
【答案】证明：连接OC，如图，
∵MN为⊙O的切线，
∴OC⊥MN，
∵BD⊥MN，
∴OC∥BD，
∴∠CBD＝∠BCO，
又∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC．
【举一反三4】如图，AB是半圆O的直径，C，D是上的两点，AC与BD相交于点F，AD＝BC，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若BE＝BF，求证：AE平分∠DAB．
【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，
，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，
由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∵∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
【题型13】切线的性质的实际应用
【典型例题】如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°，则∠AOB的度数为（ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【答案】C
【解析】首先求出∠ACB，然后根据切线的性质可得∠CAO＝∠CBO＝90°，再根据四边形的内角和定理计算即可．
∵∠α＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵AC、BC是切线，
∴∠CAO＝∠CBO＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣∠ACB﹣∠CAB﹣∠CBA＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，
故选：C．
【举一反三1】如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（ ）
A. B. C.108cm2 D.108πcm2
【答案】D
【解析】设圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，根据切线长定和切线的性质得到OA平分∠BAC，OB⊥AB，则可计算出∠OAB＝∠OAC＝60°，再在Rt△OAB中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA＝2AB＝12cm，则利用勾股定理计算出OB，然后根据圆的面积公式求解．
圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，
∵AC和AB为⊙O的切线，
∴OA平分∠BAC，OB⊥AB，
∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×（180°﹣60°）＝60°，
在Rt△OAB中，∵OA＝2AB＝12cm，
∴OB＝＝6（cm），
∴这张光盘（包含圆孔）的面积＝π×（6）2＝108π（cm2）．
故选：D．
【举一反三2】把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为 ．
【答案】（8﹣π）cm2
【解析】连接OE，由切线的性质得到∠BEO＝90°，∠DOE＝60°，，由∠BOF＝120°，得到∠OFC＝30°，求出OF的长，即可求出BE的长，从而求出△BOE的面积，扇形DOE的面积，即可得到阴影的面积．
连接OE，
∵AB与半圆相切于E，
∴半径OE⊥AB，
∴∠BEO＝90°，
∵∠BOF＝120°，
∴∠FOC＝180°﹣120°＝60°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠OFC＝90°﹣60°＝30°，
∴OF＝2OC＝2×2＝4cm，
∵∠B＝30°，
∴BE＝OE＝4cm，
∴△BOE的面积＝BE OE＝×4×4＝8cm2，
∵∠EOD＝90°﹣∠B＝60°，
∴扇形DOE的面积＝＝π（ cm2），
∴阴影的面积＝△BOE的面积﹣扇形DOE的面积＝（8﹣π）cm2．
故答案为：（8﹣π）cm2．
【举一反三3】如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC＝4cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
【答案】10
【解析】设圆的半径为rcm，连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2＝（r﹣4）2+82，求出r即可．
连接OB、OA，过点A作AD⊥OB，垂足为D，如图所示：
∵CB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥CB，
∴∠CBD＝∠BDA＝∠ACB＝90°，
∴四边形ACBD为矩形，
∴AD＝CB＝8，BD＝AC＝4，
设圆的半径为r cm，
在Rt△AOD中，根据勾股定理可得：OA2＝OD2+AD2，
即r2＝（r﹣4）2+82，
解得：r＝10，
即⊙O的半径为10cm．
故答案为：10．
【举一反三4】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如图所示为正视图．已知EF＝CD＝16厘米，求出这个球的半径．
【答案】解：由题意，⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧于点H、I，再连接OF，
在矩形ABCD中，AD∥BC，而IG⊥BC，
∴IG⊥AD，
∴在⊙O中，FH＝EF＝8，
设求半径为r，则OH＝16﹣r，
在Rt△OFH中，r2﹣（16﹣r）2＝82，
解得r＝10，
∴这个球的半径是10厘米．
【题型14】切线的判定和性质的综合应用
【典型例题】如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】A
【解析】连接OC，OD，根据全等三角形的性质得到∠ODM＝∠OCM，求得∠ODM＝90°，得到MD与⊙O相切；故①正确；根据全等三角形的性质得到AC＝AD，求得AC＝AD＝CM＝DM，于是得到四边形ACMD是菱形，故②正确；根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠COM＝2∠CMO，求得∠CMO＝30°，求得AB＝OM，故③正确；根据菱形的性质和三角形的内角和得到∠ADM＝120°，故④正确．
连接OC，OD，
∵OC＝OD，CM＝DM，OM＝OM，
∴△CMO≌△DMO（SSS），
∴∠ODM＝∠OCM，
∵MC与⊙O相切于点C，
∴∠OCM＝90°，
∴∠ODM＝90°，
∵OD是⊙O的直径，
∴MD与⊙O相切；故①正确；
∵△CMO≌△DMO，
∴∠COM＝∠DOM，
∴∠AOC＝∠AOD，
∵OA＝OA，
∴△AOC≌△AOD（SAS），
∴AC＝AD，
∴AC＝AD＝CM＝DM，
∴四边形ACMD是菱形，故②正确；
∵AC＝CM，
∴∠CAM＝∠CMA，
∵∠COM＝2∠CAM，
∴∠COM＝2∠CMO，
∴∠CMO＝30°，
∴OC＝OM，
∵OC＝AB，
∴AB＝OM，故③正确；
∵四边形ACMD是菱形，
∴∠DAM＝∠DMA＝∠AMC＝∠CAM＝30°，
∴∠ADM＝120°，故④正确；
故选：A．
【举一反三1】已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
【答案】B
【解析】由切线的判定，结合角平分线的性质，即可证明．
连接NP．
∵⊙P与OC相切．
∴PN⊥OC．
即PN为圆半径，
作PM⊥OB．
又∵OA平分∠BOC，并由角平分线的性质．
∴PM＝PN＝圆半径．
∴⊙P与OB的位置关系为相切．
故选：B．
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（ ）
A.若DE＝DO，则DE是⊙O的切线
B.若AB＝AC，则DE是⊙O的切线
C.若CD＝DB，则DE是⊙O的切线
D.若DE是⊙O的切线，则AB＝AC
【答案】A
【解析】根据AB＝AC，连接AD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质可以得到点D是BC的中点，OD是△ABC的中位线，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE＝90°，可以证明DE是⊙O的切线．根据CD＝BD，AO＝BO，得到OD是△ABC的中位线，同上可以证明DE是⊙O的切线．根据切线的性质得出AC∥OD，由等腰三角形的判定与性质得出结论．
当AB＝AC时，如图：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以B正确．
当CD＝BD时，AO＝BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
所以C正确．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD．
∵DE⊥AC，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠C＝∠OBD，
∴AC＝AB，
所以D正确．
若DE＝DO，不能判断DE是⊙O的切线．
故选：A．
【举一反三3】如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 ．
【答案】（3﹣2，0）或P（3+2，0）
【解析】根据函数解析式求得A（3，0），B（0．﹣3），得到OA＝3，OB＝3根据勾股定理得到AB＝6，设⊙P与直线AB相切于D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论．
∵直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，
∴令x＝0，得y＝﹣3，令y＝0，得x＝3，
∴A（3，0），B（0．﹣3），
∴OA＝3，OB＝3，
∴AB＝6，
设⊙P与直线AB相切于D，
连接PD，
则PD⊥AB，PD＝1，
∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，
∴△APD∽△ABO，
∴＝，
∴＝，
∴AP＝2，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2，
∴P（3﹣2，0）或P（3+2，0），
故答案为（3﹣2，0）或P（3+2，0）．
【举一反三4】如图，已知∠APB＝30°，O是线段PB上的一点，OP＝5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动 s后与PA相切．
【答案】2
【解析】首先根据题意画出图形，然后由切线的性质，可得∠O′CP＝90°，又由∠APB＝30°，O′C＝1cm，即可求得O′P的长，继而求得答案．
如图，当⊙O平移到⊙O′位置时，⊙O与PA相切时，且切点为C，
连接O′C，则O′C⊥PA，
即∠O′CP＝90°，
∵∠APB＝30°，O′C＝1.5cm，
∴O′P＝2O′C＝3cm，
∵OP＝5cm，
∴OO′＝OP﹣O′P＝2（cm），
∴⊙O移动的时间为2÷1＝2（s）
故答案为：2．
【举一反三5】如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径．
【答案】（1）证明：如图，连接OD，
∵⊙O与边AB相切于点D，
∴OD⊥AB，即∠ADO＝90°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠ADO＝∠ACO＝90°，
∴OD⊥AB，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：∵tanB＝＝，
∴设AC＝4x，BC＝3x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴16x2+9x2＝100，
∴x＝2，
∴BC＝6，
∵AC＝AD＝8，AB＝10，
∴BD＝2，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴（6﹣OC）2＝OC2+4，
∴OC＝，
故⊙O的半径为．
【举一反三6】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵CO平分∠BCD，
∴∠OCD＝∠OCB，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠OBC+∠OCB＝2∠B，∠DAB＝∠DCB＝2∠OCB＝2∠B，
∴∠AOC＝∠DAB，
∴OC∥DE，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥OC，
∵OC是半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
即∠OCA+∠ACE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠ACE＝∠B，
∵∠E＝∠ACB＝90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝＝sinB＝，
∵AB＝5×2＝10，
∴AC＝6，AE＝．2.1直线与圆的位置关系
【题型1】判断直线与圆的位置关系 4
【题型2】根据直线与圆的位置关系求半径 5
【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离 6
【题型4】直线与圆的公共点个数问题 7
【题型5】切线的定义及证明 8
【题型6】直线与圆的位置关系的实际应用 9
【题型7】切线的判定 11
【题型8】应用切线的性质求半（直）径 13
【题型9】应用切线的性质求角度 14
【题型10】应用切线的性质求面积 15
【题型11】应用切线的性质求弧长及线段长度 17
【题型12】应用切线的性质证明 19
【题型13】切线的性质的实际应用 20
【题型14】切线的判定和性质的综合应用 22
【知识点1】直线与圆的位置关系 （1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交 d＜r
②直线l和⊙O相切 d=r
③直线l和⊙O相离 d＞r． 1.（2024秋 渝中区校级月考）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线的距离为2，则⊙O与直线的位置关系是（ ） A．相切B．相交C．相离D．相交或相离
2.（2024秋 新县期末）如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距离为3，则这条直线可能是（ ） A．l1B．l2C．l3D．l4
【知识点2】切线的性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题． 1.（2024 呼兰区校级开学）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点D在OC的延长线上，DA与⊙O相切于点A，若∠D=32°，则∠OCB的度数为（ ） A．32°B．58°C．29°D．34°
【知识点3】切线的判定 （1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”． 1.（2024秋 赣榆县校级月考）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D，DF⊥AC于F．给出以下五个结论：①BD=DC；②CF=EF；③弧AE=弧DE；④∠A=2∠FDC；⑤DF是⊙O的切线．其中正确的有（ ） A．5个B．4个C．3个D．2个
【知识点4】切线的判定与性质 （1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（3）常见的辅助线的：
①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；
②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”． 【知识点5】弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半．
如右图所示，直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦，则有∠PCA=∠PBC（∠PCA为弦切角）．
【题型1】判断直线与圆的位置关系
【典型例题】已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是（ ）
A.相交 B.相离 C.相切 D.以上答案都不对
【举一反三1】如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
【举一反三2】圆的直径为10cm，如果圆心与直线的距离是d，那么（ ）
A.若d＝4.5cm时；则直线与圆相离
B.若d＝5cm时；则直线与圆相切
C.若d＝8时；则直线与圆相交
D.若d＝10cm时；则直线与圆相切
【举一反三3】已知圆的直径为10cm，若圆心到三条直线的距离分别为：①4cm；②5cm；③10cm，则这三条直线和圆的位置关系分别是① ，② ，③ ．
【举一反三4】如图，∠AOB＝30°，OM＝6，那么以M为圆心，4为半径的圆与射线OA的位置关系是 ．
【举一反三5】如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，点O在AB上，AO＝x，⊙O的半径为1．问当x在什么范围内取值时，AC与⊙O相离、相切、相交？
【举一反三6】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，以点C为圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
【题型2】根据直线与圆的位置关系求半径
【典型例题】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，若以C为圆心，r长为半径的圆C与边AB有交点，那么r的取值范围是（ ）
A.5≤r≤12或 B.5＜r＜12 C. D.
【举一反三1】如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，如果以点C为圆心，半径为R的⊙C与线段AB有两个交点，那么⊙C的半径R的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】题目：“如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，以点B为圆心的⊙B的半径为r，若对于r的一个值，⊙B与AC只有一个交点，求r的取值范围．”对于其答案，甲答：r＝4．乙答：3＜r＜4．丙答：．则正确的是（ ）
A.只有乙答的对 B.甲、乙的答案合在一起才完整 C.乙、丙的答案合在一起才完整 D.三人的答案合在一起才完整
【举一反三3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 ；若⊙C与AB边只有一个公共点，则r的取值范围为 ．
【举一反三4】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°．若以点C为圆心，r为半径的圆与直线AB不相离，求r的取值范围．
【题型3】根据直线与圆的位置关系求点到直线的距离
【典型例题】已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A.d＝3 B.d＞3 C.0≤d＜3 D.d＜3
【举一反三1】已知⊙O的半径为5cm，直线l和点O的距离为dcm，若直线l与⊙O有公共点，则（ ）
A.d＞5 B.d＝5 C.d＜5 D.0≤d≤5
【举一反三2】若在△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O与边AB相交于点D，AC＝4cm，BC＝3cm，则点O到AB的距离为 ．
【举一反三3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2，半径为1的⊙O在Rt△ABC内平移（⊙O可以与该三角形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为 ．
【举一反三4】已知⊙O的半径r＝7cm，直线l1∥l2，且l1与⊙O相切，圆心O到l2的距离为9cm．求l1到l2的距离．
【题型4】直线与圆的公共点个数问题
【典型例题】设⊙O的半径为4，点O到直线a的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为（ ）
A.d≤4 B.d＜4 C.d≥4 D.d＝4
【举一反三1】已知⊙O的半径是6.5cm，点P是直线l上一点，且OP＝6cm．那么直线l与⊙O的公共点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【举一反三2】已知圆的直径为12cm，如果圆心到直线的距离为4cm，那么直线与圆有 个交点．
【举一反三3】在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（3，1），若⊙A与坐标轴有三个公共点，则⊙A的半径为 ．
【举一反三4】已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5cm，以M为圆心，r为半径画圆．若C是OA上一点，OC等于5cm，讨论OC与⊙M的公共点个数，并写出r相应的取值范围．
【题型5】切线的定义及证明
【典型例题】已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点A（点E，F在点A的两旁），下列条件：
（1）OA＝5；
（2）OE＝OF；
（3）OA⊥EF；
（4）O到直线EF的距离是5．
能判定直线EF与⊙O相切的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【举一反三1】如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝11，CD＝6，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现（ ）
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
【举一反三2】如图，△ABC内接于⊙O，过A点作直线DE，当∠BAE＝（ ）时，直线DE与⊙O相切．
A.∠B B.∠BAC C.∠C D.∠DAC
【举一反三3】已知⊙O到直线l的距离为d，半径为R、d是方程x2﹣2x+m＝0的两根，且l与⊙O相切，则m＝ ．
【举一反三4】如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF，已知∠B＝∠EAC，根据弦AB的位置变化，试探究直线EF与⊙O的位置关系．
甲：如图（1），当弦AB过点O时，EF与⊙O相切；
乙：如图（2），当弦AB不过点O时，EF也与⊙O相切．
你认为 的判断正确．
【举一反三5】若Rt△ABC的斜边AB＝6，直角边AC＝3，则圆心为点C，半径分别为2，4的两个圆与AB具有怎样的位置关系？当半径为多长时，AB与⊙C相切？
【举一反三6】已知Rt△ABC的斜边AB＝5cm，直角边AC＝3cm，以C为圆心，半径分别为2cm、3cm的两个圆⊙C1和⊙C2与AB有怎样的位置关系？半径为多长时，AB与⊙C相切？
【题型6】直线与圆的位置关系的实际应用
【典型例题】如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.平行 D.相离
【举一反三1】如图，一辆汽车的轮胎因为漏气瘪掉了，将轮胎外轮廓看作一个圆，则这个圆和它在同一平面内的地面（看作一条直线）的位置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.包含
【举一反三2】如图，若把太阳看成一个圆，则太阳与地平线l的位置关系是 ．
【举一反三3】在“海上生明月”这幅图中，把月亮与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆之间的位置关系是 ．
【举一反三4】在看日出时，丁丁想到：如果把太阳看作一个圆，把地平线看作一条直线，太阳升起的过程中，太阳和地平线会有哪几种位置关系呢？
【举一反三5】如图，定滑轮⊙O静止时，半径OA在水平位置．链条AB所在的直线与⊙O有什么位置关系？请说明理由．
【题型7】切线的判定
【典型例题】如图，在△ABC中，∠BAC＝28°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，DE∥CB，连接BD，若添加一个条件，使BC是⊙O的切线，则下列四个条件中不符合的是（ ）
A.DE⊥AB B.∠EDB＝28° C.∠ADE＝∠ABD D.OB＝BC
【举一反三1】如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C画圆弧，则点B与下列格点连线所得的直线中，能够与该圆弧相切的格点坐标是（ ）
A.（5，2） B.（2，4） C.（1，4） D.（6，2）
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，下列条件中不能判定直线AT是⊙O的切线的是（ ）
A.AB＝4，AT＝3，BT＝5 B.∠B＝45°，AB＝AT C.∠B＝55°，∠TAC＝55° D.∠ATC＝∠B
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣2x+b（b≥0）的位置随b的不同取值而变化，已知⊙M的圆心坐标为（3，2），半径为2，当b＝ 时，直线l与⊙M相切．
【举一反三4】如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝ cm时，⊙M与OA相切．
【举一反三5】如图，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB＝OA，动点P从点A出发，以πcm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为多少秒时，BP与⊙O相切．
【举一反三6】如图，⊙O的直径AB＝4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．
【题型8】应用切线的性质求半（直）径
【典型例题】如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A（8，0），与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16），则⊙M的直径是（ ）
A.10 B.2 C.4 D.20
【举一反三1】如图，AB是⊙O的直径，点C是AB延长线上一点，CD是⊙O的切线，点D是切点，过点B作⊙O的切线，交CD于点E，若CD＝8，BE＝3，则⊙O的半径为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
【举一反三2】Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为（ ）
A.8 B.4 C.9.6 D.4.8
【举一反三3】已知：如图，在△ABC中，CB＝3，AB＝4，AC＝5，以点B为圆心的圆与AC相切于点D，则⊙B的半径为 ．
【举一反三4】如图，已知AD是⊙O的弦，且AD＝4，以AD为一边作正方形ABCD．若BC边与⊙O相切，切点为E，则⊙O的半径为 ．
【举一反三5】如图，已知⊙O中直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30cm．求直径AB的长．
【题型9】应用切线的性质求角度
【典型例题】如图，AB是圆O的直径，D是BA延长线上一点，DC与圆O相切于点C，连接BC，∠ABC＝20°，则∠BDC的度数为（ ）
A.50° B.45° C.40° D.35°
【举一反三1】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠ADC＝50°，则∠CAD的度数为（ ）
A.20° B.25° C.30° D.15°
【举一反三2】如图，点P在⊙O外，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，BC是直径，若∠APB＝70°，则∠ACB的度数为 ．
【举一反三3】如图，ABC是圆内接三角形，BC是圆的直径，∠B＝35°，MN是过A点的切线，那么∠C＝ ；∠CAM＝ ；∠BAM＝ ．
【举一反三4】已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
（Ⅰ）如图①，连接AC，AD，若∠ADC＝55°，求∠CAB的大小；
（Ⅱ）如图②，C是半圆弧AB的中点，AD的延长线与过点B的切线相交于点P，若CD＝，求∠APB的大小．
【题型10】应用切线的性质求面积
【典型例题】已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A.S1＝S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1＜S2，再S1＝S2，最后S1＞S2
【举一反三1】如图，⊙O的半径是1，AB是⊙O的切线，A是切点，若半径OC∥AB，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，O为BC的中点，以O为圆心的圆弧分别与AB，AC相切于点D，E，则图中AD，AE与所围成的封闭图形的面积为 ．
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
【题型11】应用切线的性质求弧长及线段长度
【典型例题】如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD为⊙O的切线，切点为点D，点E在⊙O上，且∠ABE＝∠C．若BC＝1，，则BE的长为（ ）
A.4 B. C. D.8
【举一反三1】如图，CD切⊙O于点D，OC交⊙O于点A，AB垂直平分OD．若，则线段OC的长为（ ）
A. B.4 C. D.8
【举一反三2】如图，在△ABC中，∠ABC＝144°，AB与⊙O相切于点B，点C在⊙O上，若⊙O的半径为1，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，已知在直角坐标系中，点P是直线y＝﹣x+4上的一个动点，⊙O的半径为1，过点P作⊙O的切线，切点为A，则PA长度的最小值为 ．
【举一反三4】如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝10，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC＝4，求⊙O的半径和线段PB的长．
【举一反三5】如图，△ABC内接于以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线相交于点D，在CB上截取CE＝CD，连接AE并延长，交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：AC＝CF；
（2）若AB＝4，sinB＝，求EF的长．
【题型12】应用切线的性质证明
【典型例题】如图，已知⊙O及⊙O外一定点P，嘉嘉进行了如下操作后，得出了四个结论：
①点A是PO的中点；
②直线PQ，PR都是⊙O的切线；
③点P到点Q、点R的距离相等；
④连接PQ，QA，PR，RO，OQ，则．
对上述结论描述正确的是（ ）
A.只有①正确 B.只有②正确 C.①②③正确 D.①②③④都正确
【举一反三1】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝21，BC＝20，有一个半径为10的圆分别与AB、BC相切，则此圆的圆心是（ ）
A.AB边的中垂线与BC中垂线的交点
B.∠B的平分线与AB的交点
C.∠B的平分线与AB中垂线的交点
D.∠B的平分线与BC中垂线的交点
【举一反三2】如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②AD＝CB；③点P是△ACQ的外心；④GP＝GD；⑤CB∥GD．其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
【举一反三3】如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D．求证：∠ABC＝∠CBD．
【举一反三4】如图，AB是半圆O的直径，C，D是上的两点，AC与BD相交于点F，AD＝BC，BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△ABC≌△BAD；
（2）若BE＝BF，求证：AE平分∠DAB．
【题型13】切线的性质的实际应用
【典型例题】如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°，则∠AOB的度数为（ ）
A.40° B.50° C.60° D.70°
【举一反三1】如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（ ）
A. B. C.108cm2 D.108πcm2
【举一反三2】把量角器和含30°角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度2处，短直角边过量角器外沿刻度120处（即OC＝2cm，∠BOF＝120°）．则阴影部分的面积为 ．
【举一反三3】如图，木工用角尺的短边紧靠⊙O于点A，长边与⊙O相切于点B，角尺的直角顶点为C，已知AC＝4cm，CB＝8cm，则⊙O的半径为 cm．
【举一反三4】把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，如图所示为正视图．已知EF＝CD＝16厘米，求出这个球的半径．
【题型14】切线的判定和性质的综合应用
【典型例题】如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD．现有下列结论：
①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°．
其中正确的结论有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【举一反三1】已知OA平分∠BOC，P是OA上一点，以P为圆心的⊙P与OC相切，则⊙P与OB的位置关系为（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
【举一反三2】如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，下列说法不正确的是（ ）
A.若DE＝DO，则DE是⊙O的切线
B.若AB＝AC，则DE是⊙O的切线
C.若CD＝DB，则DE是⊙O的切线
D.若DE是⊙O的切线，则AB＝AC
【举一反三3】如图，直线y＝x﹣3交x轴于点A，交y轴于点B，点P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是 ．
【举一反三4】如图，已知∠APB＝30°，O是线段PB上的一点，OP＝5cm，若以点O为圆心，1.5cm为半径的⊙O沿BP方向以1cm/s的速度移动，则⊙O移动 s后与PA相切．
【举一反三5】如图，在△ABC的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，AC＝AD，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，tanB＝，求⊙O的半径．
【举一反三6】如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的一点，CO平分∠BCD，CE⊥AD，垂足为点E，AB与CD相交于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）当⊙O的半径为5，时，求AE的长．
