2.5逆命题和逆定理同步练习

2.5逆命题和逆定理同步练习
一．选择题（共10小题）
1．（2016?聊城模拟）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）21世纪教育网版权所有
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
2．（2016春?普宁市期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C
3．（2016春?户县期末）用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（　　）
A．a不垂直与c B．a，b都不垂直与c
C．a⊥b D．a与b相交
4．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（　　）
A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1
5．（2016春?杭州期末）选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°
C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60° D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°
6．（2016春?禹州市期中）下列定理有逆定理的是（　　）
A．直角都相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
7．下列说法正确的是（　　）
A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题
C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题
8．（2016?衡阳）下列命题是假命题的是（　　）
A．经过两点有且只有一条直线
B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半
C．平行四边形的对角线相等
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
9．（2016?大庆）如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（2016?孝感模拟）下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
　
二．填空题（共7小题）
11．写出“对顶角相等”的逆命题______．
12．（2016春?灌云县期末）“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是______．
13．（2016春?台州校级月考）线段垂直平分线性质定理的逆定理是______．
14．（2016春?江西期末）若a2=b2，则a=b，这个命题是______（填“正确的”或“错误的”）．
15．定理：角平分线上的点到这个角的______相等．逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的______上．21教育名师原创作品
16．举例说明命题“如果a2≠b2，那么a≠b”的逆命题为假命题______．
17．某中学教工家属院住着3户祖孙3代都是教师的教师之家，说来也巧，9个教师分别教数学、语文和英语，不但每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．现知爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，那么爷爷辈中英语老师的孙子教______
　
　
三．解答题（共10小题）
18．（用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．
19．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）
20．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A______60°，∠B______60°，∠C______60°，
则∠A+∠B+∠C＞______．
这与______相矛盾．
∴______不成立．
∴______．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）21·世纪*教育网
22．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，那么______
∴∠A+∠B+∠C＞______
这与三角形______相矛盾．
∴假设不成立
∴______．
　
23．证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．
24．（2016春?揭阳校级月考）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）2-1-c-n-j-y
26．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1______l2
证明：假设l1______l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P______180°______
所以∠1+∠2______180°，这与______矛盾，故______不成立．
所以______．
27．判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
　

2.5逆命题和逆定理同步练习
参考答案与试题解析
　
一．选择题（共10小题）
1．（2016?聊城模拟）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（　　）【来源：21cnj*y.co*m】
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，
应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即每一个内角都大于60°．
故选：D．
　
2．（2016春?普宁市期末）已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C．若用反证法来证明这个结论，可以假设（　　）【版权所有：21教育】
A．∠A=∠B B．AB=BC C．∠B=∠C D．∠A=∠C
【解答】解：∠B≠∠C的反面是∠B=∠C．
故可以假设∠B=∠C．
故选C．
　
3．（2016春?户县期末）用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设（　　）
A．a不垂直与c B．a，b都不垂直与c
C．a⊥b D．a与b相交
【解答】解：用反证法证明“同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时应假设a与b相交，
故选：D．
　
4． 要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（　　）
A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1
【解答】解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，
∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，
只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．
故选：D．
　
5．（2016春?杭州期末）选择用反证法证明“已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，求证：∠A，∠B，∠C三个内角中至少有一个角大于或等于60°”时，应先假设（　　）
A．∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60° B．∠A≥60°，∠B≥60°，∠C≥60°
C．∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60° D．∠A≤60°，∠B≤60°，∠C≤60°
【解答】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于60°．
故选：C．
　
6．（2016春?禹州市期中）下列定理有逆定理的是（　　）
A．直角都相等 B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等 D．全等三角形的对应角相等
【解答】解；A、直角都相等的逆命题是相等的角是直角，错误；
B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，正确；
C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，错误；
D、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，错误；
故选B．
　
7． 下列说法正确的是（　　）
A．每个定理都有逆定理 B．每个命题都有逆命题
C．假命题没有逆命题 D．真命题的逆命题是真命题
【解答】解：A、每个定理的逆命题不一定正确，故不一定都有逆定理，故错误；
B、每个命题都有逆命题，正确；
C、假命题也有逆命题，故错误；
D、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，
故选B．
　
8．（2016?衡阳）下列命题是假命题的是（　　）
A．经过两点有且只有一条直线
B．三角形的中位线平行且等于第三边的一半
C．平行四边形的对角线相等
D．圆的切线垂直于经过切点的半径
【解答】解：A、经过两点有且只有一条直线，正确．
B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确．
C、平行四边形的对角线相等，错误．矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等．
D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确．
故选C．
　
9．（2016?大庆）如图，从①∠1=∠2 ②∠C=∠D ③∠A=∠F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：如图所示：当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当②∠C=∠D，
故∠4=∠C，
则DF∥AC，
可得：∠A=∠F，
即?③；
当①∠1=∠2，
则∠3=∠2，
故DB∥EC，
则∠D=∠4，
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
故可得：∠C=∠D，
即?②；
当③∠A=∠F，
故DF∥AC，
则∠4=∠C，
当②∠C=∠D，
则∠4=∠D，
故DB∥EC，
则∠2=∠3，
可得：∠1=∠2，
即?①，
故正确的有3个．
故选：D．
　
10．（2016?孝感模拟）下列命题：
①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；
其中真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①两点确定一条直线，正确，是真命题；
②两点之间，线段最短，正确，是真命题；
③对顶角相等，正确，是真命题；
④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；
正确的有3个，
故选：C．
　
二．填空题（共7小题）
11．（2015春?邳州市期末）写出“对顶角相等”的逆命题　相等的角是对顶角　．
【解答】解：∵原命题的条件是：如果两个角是对顶角，结论是：那么这两个角相等；
∴其逆命题应该为：如两个角相等那么这两个角是对顶角，简化后即为：相等的角是对顶角．
　
12．（2016春?灌云县期末）“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是　锐角三角形是等边三角形　．
【解答】解：其逆命题是：锐角三角形是等边三角形．
　
13．（2016春?台州校级月考）线段垂直平分线性质定理的逆定理是　到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上　．21教育网
【解答】解：∵线段垂直平分线性质定理线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
∴其逆定理为到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，
故答案为：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
　14．（2016春?江西期末）若a2=b2，则a=b，这个命题是　错误　（填“正确的”或“错误的”）．21·cn·jy·com
【解答】解：∵（﹣1）2=12，﹣1≠1，
∴若a2=b2，则a=b，这个命题是错误的，
故答案为：错误．
　
15． 定理：角平分线上的点到这个角的　两边的距离　相等．逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的　平分线　上．2·1·c·n·j·y
【解答】解：根据定义可知：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．www-2-1-cnjy-com
故答案为：两边的距离，平分线．
　
16． 举例说明命题“如果a2≠b2，那么a≠b”的逆命题为假命题　如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52　．　　21*cnjy*com
【解答】解：如果a2≠b2，那么a≠b的逆命题是：如果a≠b，那么a2≠b2．
如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．
故如果a≠b，那么a2≠b2为假命题．
故答案为：如果﹣5≠5，而（﹣5）2=52．
　
17．某中学教工家属院住着3户祖孙3代都是教师的教师之家，说来也巧，9个教师分别教数学、语文和英语，不但每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．现知爷爷辈中语文教师的儿子不教数学，那么爷爷辈中英语老师的孙子教　语文　
【解答】解：由每户的祖孙3人所教学科互不相同，而且同辈份的3人所教学科也互不相同．爷爷辈中语文教师的儿子不教数学可以推出第一户儿子教英语，孙子教数学，再由问题中的爷爷教英语和第一户儿子教英语，孙子教数学，可以推出爷爷辈中英语老师的孙子不能教数学，故：爷爷辈中英语老师的孙子教语文．
　
三．解答题（共10小题）
18． （用反证法证明）已知直线a∥c，b∥c，求证：a∥b．
【解答】证明：假设a与b相交，
则过M点有两条直线平行于直线c，
这与过直线外一点平行于已知直线的直线有且只有一条相矛盾，
所以a∥b．
　
19．如图，已知AB∥CD，CD⊥EF，垂足为N，AB与EF交于点M，求证：AB⊥EF．（用反证法证明）21*cnjy*com
【解答】证明：假设AB与EF不垂直，则∠AME≠90°，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠CNE，
∴∠CNE≠90°，
这与CD⊥EF相矛盾，
∴AB⊥EF．
　
20． 用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”
证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A　＞　60°，∠B　＞　60°，∠C　＞　60°，
则∠A+∠B+∠C＞　180°　．
这与　内角和180°　相矛盾．
∴　假设　不成立．
∴　求证的命题正确　．
【解答】解：证明：假设所求证的结论不成立，即
∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
则∠A+∠B+∠C＞180°．
这与内角和为180°相矛盾．
则假设不成立．
则求证的命题正确．
故答案为：＞，＞，＞，180°，内角和180°，假设，求证的命题正确．
　
21． 如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）21cnjy.com
【解答】证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
　
22． 用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，那么　三角形中所有角都大于60°　
∴∠A+∠B+∠C＞　180°　
这与三角形　的三内角和为180°　相矛盾．
∴假设不成立
∴　三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度　．
【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．www.21-cn-jy.com
　
23． 证明：在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．
【解答】证明：假设△ABC中每个内角都小于60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°，
这与三角形内角和定理矛盾，
故假设错误，即原结论成立，在△ABC中，∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°．
　
24．（2016春?揭阳校级月考）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
【解答】证明：
假设三角形的三个内角A、B、C中有两个直角，不妨设∠A=∠B=90°，
则A+B+C=90°+90°+C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，∴∠A=∠B=90°不成立；
所以一个三角形中不能有两个直角．
　
25． 如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）【出处：21教育名师】
【解答】证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
　
26． 用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．
求证：l1　∥　l2
证明：假设l1　不平行　l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P　=　180°　（三角形内角和定理）　
所以∠1+∠2　＜　180°，这与　已知　矛盾，故　假设　不成立．
所以　l1∥l2　．
【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P=180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2=180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．
　
27． 判断下列命题的真假，并给出证明（若是真命题给出证明，若是假命题举出反例）：
（1）若，则a=3；
（2）如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，且BE=CF．则AD是△ABC的中线．
【解答】（1）解：是假命题，
当a=﹣3时，，但a≠3，所以命题（1）是假命题；
（2）是真命题，
证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠DEB=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS）
∴BD=CD，
∴AD是△ABC的中线，
∴所以命题（2）是真命题．