浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试（含解析）

浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试
一、选择题
1.如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于( )
A. B. C. D.
在下列条件：，：：：：，，中，能确定是直角三角形的条件有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
已知：如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为( )
4.
A. B. C. D.
5.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
6.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A.a：b：c＝2：3：4 B.a＝3，b＝4，c＝3 C.∠B＝50°，∠C＝80° D.∠A：∠B：∠C＝1：1：2
7.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80° C.AB＝AC＝2，BC＝4 D.AB＝3，BC＝7，周长为10
8.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）
A.100° B.90° C.50° D.30°
9.一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A.2 B.8 C.2或8 D.10
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BD是AC边上的高，若AB+AD＝DC，则∠C等于（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
11.如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.4
如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（　　）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
二、填空题
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAD＝20°，则∠BAC＝　 　度．
三角形三个内角度数之比是，则此三角形是 三角形．
15.有两个角 的三角形是直角三角形．
16.如图，已知在中，于，，，则______．
17.如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　 　．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）指出图中BC，AC边上的高；
（2）画出AB边上的高CD；
（3）在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来；
19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC．
（1）作出△ABC的对称轴AD．
（2）分别作出点E，F关于AD的对称点．
20.如图，在电线杆AB上的点C处，向地面拉有一条10m长的钢缆CD，地面固定点D到电线杆底部的距离BD＝6m，AB⊥BD于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为2.5m，求电线杆的高度AB．
21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3.6，BD＝6．
（1）若∠2＝∠B，求AC的长．
（2）若∠1＝∠2，求AC的长．
22.如图，长方形ABCD中，AB＝10，BC＝7，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE＝OD．
（1）求证：OP＝OF；
（2）求AP的长．
浙教版（2024）八年级上册 第2章 特殊三角形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.如图，在3×3网格中，已知点A，B是网格顶点（也称格点），若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数为（　　）
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】如图所示，满足条件的点C的个数有5个，
故选：C．
2.如图，分别以直角三角形的三边作三个半圆，且，，则等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，， 又，． 故选：D. 根据勾股定理和半圆的面积公式，知． 【难度】基础题
在下列条件：，：：：：，，中，能确定是直角三角形的条件有( )
A.个 B.个 C.个 D.个
【答案】C
【解析】，，，，是直角三角形；：：：：，，
设，则，
解得：，，是直角三角形；，，，，是直角三角形；，，，，为钝角三角形．能确定是直角三角形的有共个，
故选：C.
已知：如图，，等边三角形的顶点在直线上，，则的度数为( )
4.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，延长交直线于，
是等边三角形，，，，，．
故选C．
5.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（　　）
A.5米 B.6米 C.7米 D.8米
【答案】D
【解析】∵AC＝4米，BC＝3米，∠ACB＝90°，
∴折断的部分长为5，
∴折断前高度为5+3＝8（米）．
故选：D．
6.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A.a：b：c＝2：3：4 B.a＝3，b＝4，c＝3 C.∠B＝50°，∠C＝80° D.∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【答案】A
【解析】A、∵a：b：c＝2：3：4，
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形；
B、∵a＝3，b＝4，c＝3，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
7.下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A.∠A＝30°，∠B＝60° B.∠A＝50°，∠B＝80° C.AB＝AC＝2，BC＝4 D.AB＝3，BC＝7，周长为10
【答案】B
【解析】A、根据三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣60°﹣30°＝90°，故不是等腰三角形；
B、根据三角形内角和定理得，∠C＝180°﹣50°﹣80°＝50°，故是等腰三角形；
C、根据三角形中三边的关系知，任意两边之和大于第三边，而AB+AC＝4＝BC，不能构成三角形；
D、周长为10，而AB+BC＝10，与周长相等，第三边为0，则不能构成三角形．
故选：B．
8.如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为（　　）
A.100° B.90° C.50° D.30°
【答案】A
【解析】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C＝30°，∠A＝50°，
∴∠C＝∠C′＝30°．
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．
故选：A．
9.一个等腰三角形的底边长为5，一腰上中线把其周长分成的两部分的差为3，则这个等腰三角形的腰长为（　　）
A.2 B.8 C.2或8 D.10
【答案】B
【解析】设腰长为2x，一腰的中线为y，
则（2x+x）﹣（5+x）＝3或（5+x）﹣（2x+x）＝3，
解得：x＝4，x＝1，
∴2x＝8或2，
①三角形ABC三边长为8、8、5，符合三角形三边关系定理；
②三角形ABC三边是2、2、5，2+2＜5，不符合三角形三边关系定理；
故选：B．
10.如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，BD是AC边上的高，若AB+AD＝DC，则∠C等于（　　）
A.10° B.20° C.30° D.40°
【答案】B
【解析】如图，延长DA到E，使AE＝AB，
∵AB+AD＝DC，
∴AE+AD＝AB+AD＝DC，
又∵BD是AC边上的高，
∴BD是CE的垂直平分线，
∴BC＝BE，
根据等边对等角，∠C＝∠E，∠E＝∠ABE，
根据三角形的外角性质，∠BAD＝∠E+∠ABE＝2∠C，
在△ABC中，∠BAD+∠C+∠ABC＝180°，
∴2∠C+∠C+120°＝180°，
解得∠C＝20°．
故选：B．
11.如图，△ABC中∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝4，若点M、N分别是DE、AB的中点，则MN的最小值为（　　）
A.2 B.3 C.3.5 D.4
【答案】B
【解析】如图，连接CM、CN，
△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∵DE＝4，点M、N分别是DE、AB的中点，
∴CNAB＝5，CMDE＝2，
当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为：5﹣2＝3．
故选：B．
如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（　　）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案】D
【解析】连接等边△ABC各边上的三等分点，如下图所示：
依题意得：图中9个三角形是全等的等边三角形，
∴这9个小等边三角的面积都相等，设每个小等边三角形的面积为a，
则S△ABC＝9a，
∴S△ABC＝3a，
图①中阴影部分的面积S1＝S△AEI+S△OEI+S△OFG＝3a
∴S1S△ABC，
故图①符合题意；
∵BF＝FG，
∴△BOF与△OFG等底上的高相同，
∴S△BOF＝S△OFG＝a，
∴图②中阴影部分的面积S2＝S△BOF+S△OFG+S△CGH＝3a，
∴S2S△ABC，
故图②符合题意；
∵AI＝IH，
∴△HEI和△AEI等底上的高相同，
∴S△HEI＝S△AEI，
即S△AEH＝S△HEI+S△AEI＝2a，
同理：S△BFE＝2a，S△CHF＝2a，
∴图③中阴影部分的面积S3＝S△ABC﹣S△AEH﹣S△BFE﹣S△CHF＝3a，
∴S3S△ABC，
故图③符合题意，
综上所述：符合题意的图是①②③．
故选：D．
二、填空题
13.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，∠BAD＝20°，则∠BAC＝　 　度．
【答案】40
【解析】∵AB＝CA，
∴△ABC是等腰三角形，
∵D是BC边上的中点，
∴AD平分∠BAC，
∵∠BAD＝20°．
∴∠BAC＝2×20°＝40°．
故答案为：40．
三角形三个内角度数之比是，则此三角形是 三角形．
【答案】直角
【解析】设三角形的三个内角分别为、、，
由题意得，，
解得，
，
此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
15.有两个角 的三角形是直角三角形．
【答案】互余
【解析】有两个角互余的三角形是直角三角形．
16.如图，已知在中，于，，，则______．
【答案】
【解析】，，，，，，，． 故答案为：．
17.如图，△ABC的顶点A，C在直线l上，∠B＝130°，∠ACB＝30°，若点P在直线l上运动，当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是 　 　．
【答案】10°，80°，140°或20°
【解析】∵∠B＝130°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝20°，
分三种情况：
当AP＝AB时，点P在CA的延长线上，如图：
∵∠BAC是ABP的一个外角，
∴∠BAC＝∠APB+∠ABP＝20°，
∵AB＝AP，
∴∠APB＝∠ABP＝10°；
当AP＝AB时，点P在AC上，如图：
∵AB＝AP，∠BAP＝20°，
∴∠ABP＝∠APB80°；
当BA＝BP时，如图：
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝20°，
∴∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠BPA＝140°；
当PA＝PB时，如图：
∵PA＝PB，
∴∠BAP＝∠ABP＝20°；
综上所述：当△ABP是等腰三角形时，∠ABP的度数是10°，80°，140°或20°，
故答案为：10°，80°，140°或20°．
三、解答题
18.如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）指出图中BC，AC边上的高；
（2）画出AB边上的高CD；
（3）在（2）的条件下，图中有几个直角三角形？分别表示出来；
【答案】解：（1）AC边上的高是线段BC，BC边上的高是线段AC；
（2）作高CD，如图所示：
（3）图中的直角三角形有△ACD，△BCD，△ABC，共3个；
【解析】
19.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC．
（1）作出△ABC的对称轴AD．
（2）分别作出点E，F关于AD的对称点．
【答案】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
【解析】
20.如图，在电线杆AB上的点C处，向地面拉有一条10m长的钢缆CD，地面固定点D到电线杆底部的距离BD＝6m，AB⊥BD于B，电线杆上的固定点C到电线杆顶端A的距离为2.5m，求电线杆的高度AB．
【答案】解：在Rt△BCD中，由勾股定理得，
BC8（m），
∴AB＝BC+AC＝8+2.5＝10.5（m），
∴电线杆的高度AB为10.5m．
【解析】
21.如图，在△ABC中，∠C＝90°，CD＝3.6，BD＝6．
（1）若∠2＝∠B，求AC的长．
（2）若∠1＝∠2，求AC的长．
【答案】解：（1）∵∠2＝∠B，
∴AD＝BD＝6，
∵∠C＝90°，CD＝3.6，
∴AC4.8；
（2）如图，过点D作DE工AB于点E，
∵∠1＝∠2，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴CD＝DE＝3.6，AC＝AE，
在Rt△DEB中，BE4.8，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣BC2，
即AC2＝（AE+EB）2﹣（CD+DB）2＝（AC+4.8）2﹣（3.6+6）2，
解得AC＝7.2．
【解析】
22.如图，长方形ABCD中，AB＝10，BC＝7，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD交于点O，且OE＝OD．
（1）求证：OP＝OF；
（2）求AP的长．
【答案】解：（1）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝7，CD＝AB＝10，
由翻折的性质可知：EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝10，
在△ODP和△OEF中，
，
∴△ODP≌△OEF（ASA）．
∴OP＝OF．
（2）∵△ODP≌△OEF（ASA），
∴OP＝OF，PD＝EF．
∴DF＝EP．
设AP＝EP＝DF＝x，则PD＝EF＝7﹣x，CF＝10﹣x，BF＝10﹣（7﹣x）＝3+x，
在Rt△FCB根据勾股定理得：BC2+CF2＝BF2，即72+（10﹣x）2＝（3+x）2，
解得：x，
∴AP．
【解析】