浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 429.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-08 14:35:18 | ||
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文档简介
浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试
一、选择题
1.在直角坐标系中，点P的坐标是，圆P的半径为3，下列说法正确的是（ ）
A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
2.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（ ）
A.π B. C.1.5π D.
3.如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.平行 D.相离
4.已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A.S1＝S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1＜S2，再S1＝S2，最后S1＞S2
5.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A. B. C.5 D.5
6.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A.OP＝5 B.OE＝OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
7.已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A.d＝3 B.d＞3 C.0≤d＜3 D.d＜3
8.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A.20 B.15 C.18 D.12
9.如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
10.点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
11.如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（ ）
A. B. C.108cm2 D.108πcm2
12.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO＝45°；②BI＝2OI；③；④AB+BC＝2AC．其中正确的结论个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
13.如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
14.如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝ ，O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ．
15.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是 ．
16.如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
17.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是 ．
三、解答题
18.如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
19.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．
20.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，求∠PCA的度数．
21.如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O上一点，且＝，连线AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，AC＝8，求⊙O的半径的长．
22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA．
（1）求证：∠BDC＝∠BCE；
（2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE；
（3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.在直角坐标系中，点P的坐标是，圆P的半径为3，下列说法正确的是（ ）
A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【答案】D
【解析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为3，圆P的半径是3，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．
∵P（3，），圆P的半径为3，
∴以P为圆心，以3为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
2.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（ ）
A.π B. C.1.5π D.
【答案】C
【解析】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB，推出四边形ABOC是正方形，求得∠BOC＝90°，OB＝AB＝3，根据弧长公式即可得到结论．
连接OC，OB，
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB，
∵∠CAB＝60°+30°＝90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴∠BOC＝90°OB＝AB＝3，
∴的长度＝＝1.5π，
故选：C．
3.如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.平行 D.相离
【答案】D
【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离，
故选：D．
4.已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A.S1＝S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1＜S2，再S1＝S2，最后S1＞S2
【答案】A
【解析】由题意得到弧AQ长度与AP相等，利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等，都减去扇形AOB面积即可得到S1、S2的大小关系．
∵直线l与圆O相切，
∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ＝ r＝ OA，S△AOP＝OA AP，
∵＝AP，
∴S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ﹣S扇形AOB＝S△AOP﹣S扇形AOB，
则S1＝S2．
故选：A．
5.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A. B. C.5 D.5
【答案】C
【解析】根据切线长定理求得PA=PB，从而判断得△PAB为等边三角形即可求解.
解：∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝5，
故选：C．
6.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A.OP＝5 B.OE＝OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
【答案】D
【解析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
7.已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A.d＝3 B.d＞3 C.0≤d＜3 D.d＜3
【答案】C
【解析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
∵⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3，
故选：C． 【难度】基础题
8.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A.20 B.15 C.18 D.12
【答案】B
【解析】由O为△ABC的内心可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
∵O为△ABC的内心，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
9.如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
【答案】A
【解析】根据已知条件AB为直径，连接AP和OP，所以AP⊥BC，可知P为BC的中点，O为AB的中点，即OP∥AC；再结合已知条件，可证出OP⊥PQ，则PQ与⊙O相切．
连接AP、OP，
在⊙O中，AB为直径，AP⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
∴P点为BC的中点，
又∵O点为AB的中点，
∴OP∥AC，
又PQ⊥AC，
即OP⊥PQ，
∴PQ与⊙O相切．
故选：A．
10.点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】连接OB、OC，由圆周角定理可得∠BOC＝140°，由三角形的内角和可得，∠OBC+∠OCB＝40°，根据点O是△BCD的内心可得，∠DBC+∠DCB＝80°，再根据三角形内角和定理即可求解．
如图，连接OB、OC，
∵点O是△ABC的外心，∠A＝70°，
∴∠BOC＝140°，
根据三角形内角和定理得，
∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝40°，
∵点O是△BCD的内心，
∴∠DBC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB，
∴∠DBC+∠DCB＝80°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝100°．
故选：C．
11.如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（ ）
A. B. C.108cm2 D.108πcm2
【答案】D
【解析】设圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，根据切线长定和切线的性质得到OA平分∠BAC，OB⊥AB，则可计算出∠OAB＝∠OAC＝60°，再在Rt△OAB中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA＝2AB＝12cm，则利用勾股定理计算出OB，然后根据圆的面积公式求解．
圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，
∵AC和AB为⊙O的切线，
∴OA平分∠BAC，OB⊥AB，
∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×（180°﹣60°）＝60°，
在Rt△OAB中，∵OA＝2AB＝12cm，
∴OB＝＝6（cm），
∴这张光盘（包含圆孔）的面积＝π×（6）2＝108π（cm2）．
故选：D．
12.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO＝45°；②BI＝2OI；③；④AB+BC＝2AC．其中正确的结论个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】由AB是半圆⊙O的直径，可得∠C＝90°，由I是△ABC的内心，可求，则∠AIB＝135°，∠AIO＝45°，可判断①的正误；如图，延长IO到E，使IO＝OE，连接AE，证明△BOI≌△AOE（SAS），则可证BI＝2OI，进而可判断②的正误；由勾股定理得，，进而可判断③的正误；如图，延长BI交AC于F，证明△AIF≌△AIO（ASA），则IF＝IO，设IF＝OI＝a，则BI＝2a，BF＝3a，由勾股定理得，，证明△BIO∽△BCF，求得，由勾股定理得，，计算求解可判断④的正误．
∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠C＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴，，
∴，
∴∠AIB＝180°﹣（∠BAI+∠ABI）＝135°，
∵OI⊥BI，
∴∠BIO＝90°，
∴∠AIO＝∠AIB﹣∠BIO＝45°，①正确，故符合要求；
如图，延长IO到E，使IO＝OE，连接AE，
∵IO＝OE，∠BOI＝∠AOE，BO＝AO，
∴△BOI≌△AOE（SAS），
∴∠AEI＝∠BIO＝90°，AE＝BI，
∴∠IAE＝45°＝∠AIE，
∴AE＝IE＝2OI，
∴BI＝2OI，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，，③正确，故符合要求；
如图，延长BI交AC于F，
∴∠AIF＝90°﹣∠AIO＝45°＝∠AIO，
∵∠AIF＝∠AIO，AI＝AI，∠IAF＝∠IAO，
∴△AIF≌△AIO（ASA），
∴IF＝IO，
设IF＝OI＝a，则BI＝2a，BF＝3a，
由勾股定理得，，
∵∠OBI＝∠FBC，∠BIO＝90°＝∠BCF，
∴△BIO∽△BCF，
∴，即，解得，，
由勾股定理得，，
∵，
∴AB+BC＝2AC，④正确，故符合要求；
故选：D．
二、填空题
13.如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
【答案】110°
【解析】根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
14.如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝ ，O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ．
【答案】116°；100°
【解析】直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案．
∵△ABC的内心为I，∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠BIC＝180°﹣×128°＝116°，
∵O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝100°．
故答案为：116°；100°．
15.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是 ．
【答案】40°
【解析】根据圆周角定理可求出∠COD的大小，再根据切线的性质，可得出∠OCD＝90°，最后利用三角形内角和定理即可求出∠D的大小．
∵∠A＝25°，
∴∠COD＝2∠A＝50°，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠COD﹣∠OCD＝180°﹣50°﹣90°＝40°．
故答案为：40°．
16.如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
【答案】4
【解析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式解析计算．
作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，
过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，
∵点B与点B′关于x轴对称，
∴PB+PN＝PB′+PN，
当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，
∴S△AOC＝（3r+4r+5r）＝×3×4，
解得r＝1，
∴ME＝MN＝1，
∴QB′＝4﹣1＝3，QM＝3+1＝4，
∴MB′＝5，
∴PB′+PN＝5﹣1＝4，
即PB+PN最小值为4，
故答案为：4．
17.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是 ．
【答案】＜AP＜或AP＝
【解析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；
如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，
∴AC⊥PE，
∴AC∥PF，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，AP＝；
①如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．
S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，
PE＝，
观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点．，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝．
故答案为：＜AP＜或AP＝．
三、解答题
18.如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
【答案】解：连接IE和ID．
∵AB和AC是圆的切线，
∴ID⊥AB，IE⊥AC．
∴∠ADI＝∠AEI＝90°，
∴∠A+∠DIE＝180°，
∴∠DIE＝180°﹣∠A．
∵∠DFE＝∠1，即∠1＝2∠DFE，
又∠1+∠DIE＝360°，
∴180°﹣∠A+2∠DFE＝360°，
∴2∠DFE﹣∠A＝180°．
【解析】
19.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．
【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠DCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．
∴cm．
【解析】
20.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，求∠PCA的度数．
【答案】解：∵PD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵CO＝CD，
∴∠D＝∠COD＝45°，
∵CO＝AO，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠A+∠OCA＝∠COD，
∴∠A＝22.5°，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝67.5°．
【解析】
21.如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O上一点，且＝，连线AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，AC＝8，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）证明：连接OD、OB，则OD＝OB，
∵＝，
∴∠AOD＝∠AOB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
在△AOD和△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（SAS），
∴∠ADO＝∠ABO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且AD⊥OD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接BF，设⊙O的半径为r，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF＝90°，CF＝2r，
∵∠ABF+∠OBF＝90°，∠C+∠OFB＝90°，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠FAB＝∠BAC，
∴△FAB∽△BAC，
∴＝，
∴AB2＝AC AF，
∵AB＝6，AC＝8，
∴62＝8（8﹣2r），
解得r＝，
∴⊙O的半径的长为．
【解析】
22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA．
（1）求证：∠BDC＝∠BCE；
（2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE；
（3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵直线CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵∠OCB+∠ACO＝90°，∠OCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠CAO＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BCE；
（2）证明：如图，
∵F点为AC的中点，
∴DF⊥AC，
即DF垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CD，
即AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∵∠BOC＝∠OBD，
∴DG∥OC，
∵OC⊥CE，
∴DG⊥CE；
（3）解：图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×62＝6π﹣9．
【解析】
一、选择题
1.在直角坐标系中，点P的坐标是，圆P的半径为3，下列说法正确的是（ ）
A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
2.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（ ）
A.π B. C.1.5π D.
3.如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.平行 D.相离
4.已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A.S1＝S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1＜S2，再S1＝S2，最后S1＞S2
5.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A. B. C.5 D.5
6.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A.OP＝5 B.OE＝OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
7.已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A.d＝3 B.d＞3 C.0≤d＜3 D.d＜3
8.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A.20 B.15 C.18 D.12
9.如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
10.点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
11.如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（ ）
A. B. C.108cm2 D.108πcm2
12.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO＝45°；②BI＝2OI；③；④AB+BC＝2AC．其中正确的结论个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
13.如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
14.如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝ ，O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ．
15.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是 ．
16.如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
17.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是 ．
三、解答题
18.如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
19.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．
20.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，求∠PCA的度数．
21.如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O上一点，且＝，连线AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，AC＝8，求⊙O的半径的长．
22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA．
（1）求证：∠BDC＝∠BCE；
（2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE；
（3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
浙教版九年级下册 第二章 直线与圆的位置关系 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.在直角坐标系中，点P的坐标是，圆P的半径为3，下列说法正确的是（ ）
A.⊙P与x轴、y轴都有两个公共点
B.⊙P与x轴、y轴都没有公共点
C.⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点
D.⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点
【答案】D
【解析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为3，圆P的半径是3，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可．
∵P（3，），圆P的半径为3，
∴以P为圆心，以3为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切，
∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个．
故选：D．
2.把直尺、圆片和两个同样大小的含30°角的直角三角尺按图所示放置，两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C．若AB＝3，则＝（ ）
A.π B. C.1.5π D.
【答案】C
【解析】连接OC，OB，根据切线的性质得到∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB，推出四边形ABOC是正方形，求得∠BOC＝90°，OB＝AB＝3，根据弧长公式即可得到结论．
连接OC，OB，
∵两三角尺的斜边与圆分别相切于点B，C，
∴∠OCB＝∠OBC＝90°，OC＝OB，
∵∠CAB＝60°+30°＝90°，
∴四边形ABOC是正方形，
∴∠BOC＝90°OB＝AB＝3，
∴的长度＝＝1.5π，
故选：C．
3.如图是“海上日出”图片，图中海平面与太阳可看成直线和圆的位置关系是（ ）
A.相切 B.相交 C.平行 D.相离
【答案】D
【解析】根据直线与圆的位置关系即可得到结论．
图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相离，
故选：D．
4.已知⊙O与直线l相切于A点，点P、Q同时从A点出发，P沿着直线l向右、Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动．连接OQ、OP（如图），则阴影部分面积S1、S2的大小关系是（ ）
A.S1＝S2 B.S1≤S2 C.S1≥S2 D.先S1＜S2，再S1＝S2，最后S1＞S2
【答案】A
【解析】由题意得到弧AQ长度与AP相等，利用扇形面积公式及三角形面积公式得到扇形AOQ面积与三角形AOP面积相等，都减去扇形AOB面积即可得到S1、S2的大小关系．
∵直线l与圆O相切，
∴OA⊥AP，
∴S扇形AOQ＝ r＝ OA，S△AOP＝OA AP，
∵＝AP，
∴S扇形AOQ＝S△AOP，即S扇形AOQ﹣S扇形AOB＝S△AOP﹣S扇形AOB，
则S1＝S2．
故选：A．
5.如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（ ）
A. B. C.5 D.5
【答案】C
【解析】根据切线长定理求得PA=PB，从而判断得△PAB为等边三角形即可求解.
解：∵PA，PB为⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，
∵∠APB＝60°，
∴△PAB为等边三角形，
∴AB＝PA＝5，
故选：C．
6.已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A.OP＝5 B.OE＝OF C.O到直线EF的距离是4 D.OP⊥EF
【答案】D
【解析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
7.已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是（ ）
A.d＝3 B.d＞3 C.0≤d＜3 D.d＜3
【答案】C
【解析】根据直线l和⊙O相交 d＜r，即可判断．
∵⊙O的半径为3，直线l与⊙O相交，
∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜3，
故选：C． 【难度】基础题
8.如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，O为△ABC的内心，若△ABO的面积为20，则△ACO的面积为（ ）
A.20 B.15 C.18 D.12
【答案】B
【解析】由O为△ABC的内心可得，点O到AB，BC，AC的距离相等，则△AOB、△BOC、△AOC面积的比实际为AB，BC，AC三边的比．
∵O为△ABC的内心，
∴点O到AB，AC的距离相等，
∴△AOB、△AOC面积的比＝AB：AC＝8：6＝4：3．
∵△ABO的面积为20，
∴△ACO的面积为15．
故选：B．
9.如图所示，△ABC是等腰三角形，以腰AB为直径作⊙O交底BC于点P，PQ⊥AC于Q，则PQ与⊙O（ ）
A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交
【答案】A
【解析】根据已知条件AB为直径，连接AP和OP，所以AP⊥BC，可知P为BC的中点，O为AB的中点，即OP∥AC；再结合已知条件，可证出OP⊥PQ，则PQ与⊙O相切．
连接AP、OP，
在⊙O中，AB为直径，AP⊥BC，
又∵△ABC是等腰三角形，
∴P点为BC的中点，
又∵O点为AB的中点，
∴OP∥AC，
又PQ⊥AC，
即OP⊥PQ，
∴PQ与⊙O相切．
故选：A．
10.点O是△ABC的外心，也是△BCD的内心．若∠A＝70°，则∠BDC的度数是（ ）
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C
【解析】连接OB、OC，由圆周角定理可得∠BOC＝140°，由三角形的内角和可得，∠OBC+∠OCB＝40°，根据点O是△BCD的内心可得，∠DBC+∠DCB＝80°，再根据三角形内角和定理即可求解．
如图，连接OB、OC，
∵点O是△ABC的外心，∠A＝70°，
∴∠BOC＝140°，
根据三角形内角和定理得，
∠OBC+∠OCB+∠BOC＝180°，
∴∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC＝40°，
∵点O是△BCD的内心，
∴∠DBC＝2∠OBC，∠DCB＝2∠OCB，
∴∠DBC+∠DCB＝80°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝100°．
故选：C．
11.如图，为知道一个光盘的面积，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，并量出AB＝6cm，则这张光盘（包含圆孔）的面积为（ ）
A. B. C.108cm2 D.108πcm2
【答案】D
【解析】设圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，根据切线长定和切线的性质得到OA平分∠BAC，OB⊥AB，则可计算出∠OAB＝∠OAC＝60°，再在Rt△OAB中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OA＝2AB＝12cm，则利用勾股定理计算出OB，然后根据圆的面积公式求解．
圆的圆心为O点，过O点作OC垂直于三角尺的斜边于C点，连接OB，如图，
∵AC和AB为⊙O的切线，
∴OA平分∠BAC，OB⊥AB，
∴∠OAB＝∠OAC＝∠BAC＝×（180°﹣60°）＝60°，
在Rt△OAB中，∵OA＝2AB＝12cm，
∴OB＝＝6（cm），
∴这张光盘（包含圆孔）的面积＝π×（6）2＝108π（cm2）．
故选：D．
12.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C在半圆上，I是△ABC的内心，连AI、BI、OI，OI⊥BI，下列结论：①∠AIO＝45°；②BI＝2OI；③；④AB+BC＝2AC．其中正确的结论个数有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【解析】由AB是半圆⊙O的直径，可得∠C＝90°，由I是△ABC的内心，可求，则∠AIB＝135°，∠AIO＝45°，可判断①的正误；如图，延长IO到E，使IO＝OE，连接AE，证明△BOI≌△AOE（SAS），则可证BI＝2OI，进而可判断②的正误；由勾股定理得，，进而可判断③的正误；如图，延长BI交AC于F，证明△AIF≌△AIO（ASA），则IF＝IO，设IF＝OI＝a，则BI＝2a，BF＝3a，由勾股定理得，，证明△BIO∽△BCF，求得，由勾股定理得，，计算求解可判断④的正误．
∵AB是半圆⊙O的直径，
∴∠C＝90°，∠CAB+∠CBA＝90°，
∵I是△ABC的内心，
∴，，
∴，
∴∠AIB＝180°﹣（∠BAI+∠ABI）＝135°，
∵OI⊥BI，
∴∠BIO＝90°，
∴∠AIO＝∠AIB﹣∠BIO＝45°，①正确，故符合要求；
如图，延长IO到E，使IO＝OE，连接AE，
∵IO＝OE，∠BOI＝∠AOE，BO＝AO，
∴△BOI≌△AOE（SAS），
∴∠AEI＝∠BIO＝90°，AE＝BI，
∴∠IAE＝45°＝∠AIE，
∴AE＝IE＝2OI，
∴BI＝2OI，②正确，故符合要求；
由勾股定理得，，③正确，故符合要求；
如图，延长BI交AC于F，
∴∠AIF＝90°﹣∠AIO＝45°＝∠AIO，
∵∠AIF＝∠AIO，AI＝AI，∠IAF＝∠IAO，
∴△AIF≌△AIO（ASA），
∴IF＝IO，
设IF＝OI＝a，则BI＝2a，BF＝3a，
由勾股定理得，，
∵∠OBI＝∠FBC，∠BIO＝90°＝∠BCF，
∴△BIO∽△BCF，
∴，即，解得，，
由勾股定理得，，
∵，
∴AB+BC＝2AC，④正确，故符合要求；
故选：D．
二、填空题
13.如图，已知点O是△ABC的内心，∠A＝40°，则∠BOC＝ ．
【答案】110°
【解析】根据角平分线的性质得到BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝140°，
∵点O是△ABC的内心，
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝×（∠ABC+∠ACB）＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
14.如图，△ABC的内心为I，∠A＝52°，则∠BIC＝ ，O为△ABC的外心，则∠BOC＝ ．
【答案】116°；100°
【解析】直接利用三角形内心即角平分线的交点，外心是外接圆圆心，进而得出答案．
∵△ABC的内心为I，∠A＝52°，
∴∠ABC+∠ACB＝128°，
∴∠BIC＝180°﹣×128°＝116°，
∵O为△ABC的外心，
∴∠BOC＝100°．
故答案为：116°；100°．
15.如图，AB是⊙O的直径，过⊙O上的点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，若∠A＝25°，则∠D的度数是 ．
【答案】40°
【解析】根据圆周角定理可求出∠COD的大小，再根据切线的性质，可得出∠OCD＝90°，最后利用三角形内角和定理即可求出∠D的大小．
∵∠A＝25°，
∴∠COD＝2∠A＝50°，
∵CD是切线，
∴OC⊥CD，即∠OCD＝90°，
∴∠D＝180°﹣∠COD﹣∠OCD＝180°﹣50°﹣90°＝40°．
故答案为：40°．
16.如图，矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，3），⊙M是△AOC的内切圆，点N，点P分别是⊙M，x轴上的动点，则BP+PN的最小值是 ．
【答案】4
【解析】作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，此时BP+PN取得最小值，然后结合勾股定理及三角形的面积公式解析计算．
作点B关于x轴的对称点B′，连接MB′，交⊙M于点N，交x轴于点P，
过点M作MQ⊥x轴，交x轴于点E，过点B′作B′Q⊥MQ，
∵点B与点B′关于x轴对称，
∴PB+PN＝PB′+PN，
当N、P、B’在同一直线上且经过点M时取最小值．
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
由⊙M是△AOC的内切圆，设⊙M的半径为r，
∴S△AOC＝（3r+4r+5r）＝×3×4，
解得r＝1，
∴ME＝MN＝1，
∴QB′＝4﹣1＝3，QM＝3+1＝4，
∴MB′＝5，
∴PB′+PN＝5﹣1＝4，
即PB+PN最小值为4，
故答案为：4．
17.如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AB＝5，BC＝3，点P在边AB上运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P，若⊙P与平行四边形ABCD的边有四个公共点，则AP的长度的取值范围是 ．
【答案】＜AP＜或AP＝
【解析】求出⊙P与BC，CD相切时AP的长以及⊙P经过A，B，C三点时AP的长即可判断；
如图1中，当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝4，
设AP＝x，则BP＝5﹣x，PE＝x，
∵⊙P与边BC相切于点E，
∴PE⊥BC，∵AB⊥AC，
∴AC⊥PE，
∴AC∥PF，
∴＝，
∴＝，
∴x＝，AP＝；
①如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．
S平行四边形ABCD＝2××3×4＝5PE，
PE＝，
观察图象可知：＜AP＜时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点．，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP＝，
综上所述，AP的值的取值范围是：＜AP＜或AP＝．
故答案为：＜AP＜或AP＝．
三、解答题
18.如图，已知在△ABC中，内切圆I与边AB、AC分别相切于点D、E，点F是劣弧DE上一点，探索∠DFE与∠A的数量关系．
【答案】解：连接IE和ID．
∵AB和AC是圆的切线，
∴ID⊥AB，IE⊥AC．
∴∠ADI＝∠AEI＝90°，
∴∠A+∠DIE＝180°，
∴∠DIE＝180°﹣∠A．
∵∠DFE＝∠1，即∠1＝2∠DFE，
又∠1+∠DIE＝360°，
∴180°﹣∠A+2∠DFE＝360°，
∴2∠DFE﹣∠A＝180°．
【解析】
19.如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm．求BC的长．
【答案】解：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G；
∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠DCB，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，
∴∠CBO+∠BCO＝∠ABC+∠DCB＝（∠ABC+∠DCB）＝90°．
∴cm．
【解析】
20.如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，求∠PCA的度数．
【答案】解：∵PD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
∵CO＝CD，
∴∠D＝∠COD＝45°，
∵CO＝AO，
∴∠A＝∠OCA，
∵∠A+∠OCA＝∠COD，
∴∠A＝22.5°，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝67.5°．
【解析】
21.如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于点C，连接BC，点D为⊙O上一点，且＝，连线AD．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，AC＝8，求⊙O的半径的长．
【答案】（1）证明：连接OD、OB，则OD＝OB，
∵＝，
∴∠AOD＝∠AOB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴AB⊥OB，
在△AOD和△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（SAS），
∴∠ADO＝∠ABO＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且AD⊥OD，
∴AD是⊙O的切线．
（2）解：连接BF，设⊙O的半径为r，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CBF＝90°，CF＝2r，
∵∠ABF+∠OBF＝90°，∠C+∠OFB＝90°，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠FAB＝∠BAC，
∴△FAB∽△BAC，
∴＝，
∴AB2＝AC AF，
∵AB＝6，AC＝8，
∴62＝8（8﹣2r），
解得r＝，
∴⊙O的半径的长为．
【解析】
22.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB，直线CE为⊙O的切线，CE交AB的延长线于点E，连接DB、BC、CA．
（1）求证：∠BDC＝∠BCE；
（2）连接DO，延长DO交AC于点F，延长DB交CE于点G．当F为AC的中点时，求证：DG⊥CE；
（3）若⊙O的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）证明：连接OC，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵直线CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE＝90°，
∵∠OCB+∠ACO＝90°，∠OCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACO＝∠BCE，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠ACO，
∵∠CAO＝∠BDC，
∴∠BDC＝∠BCE；
（2）证明：如图，
∵F点为AC的中点，
∴DF⊥AC，
即DF垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∵CD⊥AB，
∴AB平分CD，
即AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∴AC＝CD＝AD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠CAD＝60°，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD＝60°，
∵∠BOC＝∠OBD，
∴DG∥OC，
∵OC⊥CE，
∴DG⊥CE；
（3）解：图中阴影部分面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×62＝6π﹣9．
【解析】