浙教版九年级下册 第三章 三视图与表面展开图 单元测试（含解析）

浙教版九年级下册 第三章 三视图与表面展开图 单元测试
一、选择题
1.当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（　　）
A.3＜h＜5 B.5＜h＜10 C.10＜h＜15 D.15＜h＜20
2.下列几何体主视图是长方形的是（　　）
A.圆锥 B.球体 C.四棱锥 D.圆柱
3.太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　）
A.平行投影，中心投影 B.中心投影，平行投影 C.平行投影，平行投影 D.中心投影，中心投影
4.有两根木杆在地上分别留下了各自的影子，过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，则下列对两直线位置关系及投影的形成的叙述错误的是（　　）
A.若木杆形成的影子是由太阳光照射形成的影子，则两直线一定平行
B.若木杆形成的影子是由灯光照射而形成的影子，则两直线一定相交
C.若两直线相交，则木杆形成的影子一定是中心投影
D.若两直线平行，则木杆形成的影子可能是平行投影，也可能是中心投影
5.如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
6.一幢4层楼房只有一个房间亮着灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的房间是（　 　）
A.1号房间 B.2号房间 C.3号房间 D.4号房间
7.从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使得剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则不能剪去的小正方形上的字是（　）
A.美 B.丽 C.迎 D.您
8.一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少、最多需要的小立方块的个数分别为（　　）
A.7，10 B.7，9 C.7，11 D.8，11
9.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　）
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不确定
10.有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字1的面所对面上的数字记为a，4的面所对的面上数字记为b，那么a+b的值为（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
11.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（　　）
A.变长3.5m B.变长2.5m C.变短3.5m D.变短2.5m
12.如图，用24块棱长分别为3cm，4cm，5cm的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（　　）
A.748cm2 B.768cm2 C.788cm2 D.808cm2
二、填空题
13.由若干个完全相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示．若俯视图正方形中的字母和数字表示该位置上小正方体的个数，则x﹣y＝　 　．
14.小青从正面、上面、左侧观看如图所示几何体，她看到的平面图形可能是 　 　．（把可能情况的序号都写出来）
15.如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，剩下了一个新的多面体，这个多面体的面数是 　 　．
16.用若干个棱长为1分米的小正方体紧密堆积成如图所示的“金字塔”图形，已知该图形一共有10层，现在将该图形露在外面的表面都涂上油漆，第十层的底面不涂油漆，那么被涂上油漆部分的总面积为 　 　平方分米．
17.提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
解析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．
探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行解析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．
请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
根据上表可知，表面积最小的是 　 　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）
探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：
在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到10×4×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为 　 　．
探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：
将4分解质因数，得到1×1×4，或1×2×2两种情况，通过与小长方体的长宽高5×4×3进行组合：
在L＝5×1＝5，K＝4×2＝8，H＝3×2＝6时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为2（L×K+K×H+L×H）＝　 　（直接写出结果）．
类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：
有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
拓展延伸：将168个棱长为1cm的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是 　 　cm2．
三、解答题
18.由10个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
19.如图，小李、小张和小赵三人中小李的影子到达A处，小张的影子到达B处，请你根据这两个影子判断一下，这幅图是太阳光下的投影还是灯光下的投影？画出表示小赵影子的线段．
20.画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的平面图形．
（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
（2）小立方体的棱长为3cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
21.一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．
（1）A的对面是 　　，B的对面是 　　，C的对面是 　　；（直接用字母表示）
（2）若A＝﹣2，B＝|m﹣3|，C＝﹣（m﹣n），E＝（2+n）2，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
22.如图，夜晚，小亮从点A出发，经过路灯C的正下方点D，沿直线走到点B停止，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化．已知小亮的身高为1.6m，路灯C与地面的距离CD为4.8m，AD＝BD＝60m，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
浙教版九年级下册 第三章 三视图与表面展开图 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.当太阳光线与地面成40°角时，在地面上的一棵树的影长为10m，树高h（单位：m）的范围是（　　）
A.3＜h＜5 B.5＜h＜10 C.10＜h＜15 D.15＜h＜20
【答案】B
【解析】AC＝10．
①当∠A＝30°时，BC＝ACtan30°＝10×≈5.7．
②当∠A＝45°时，BC＝ACtan45°＝10．
∴5.7＜h＜10，
故选：B．
2.下列几何体主视图是长方形的是（　　）
A.圆锥 B.球体 C.四棱锥 D.圆柱
【答案】D
【解析】A、圆锥的主视图是等腰三角形，不符合题意；
B、球体的主视图是圆，不符合题意；
C、四棱锥的主视图是三角形，不符合题意；
D、圆柱的主视图是长方形，符合题意．
故选：D．
3.太阳发出的光照在物体上是（　　），路灯发出的光照在物体上是（　　）
A.平行投影，中心投影 B.中心投影，平行投影 C.平行投影，平行投影 D.中心投影，中心投影
【答案】A
【解析】太阳发出的光照在物体上是平行投影，路灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选：A．
4.有两根木杆在地上分别留下了各自的影子，过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线，则下列对两直线位置关系及投影的形成的叙述错误的是（　　）
A.若木杆形成的影子是由太阳光照射形成的影子，则两直线一定平行
B.若木杆形成的影子是由灯光照射而形成的影子，则两直线一定相交
C.若两直线相交，则木杆形成的影子一定是中心投影
D.若两直线平行，则木杆形成的影子可能是平行投影，也可能是中心投影
【答案】D
【解析】若木杆形成的影子是由太阳光照射形成的影子，则两直线一定平行；
若木杆形成的影子是由灯光照射而形成的影子，则两直线一定相交；
所以若两直线相交，则木杆形成的影子一定是中心投影；若两直线平行，则木杆形成的影子可能是平行投影．所以D错误．
故选：D．
5.如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】从上面看，可得选项D的图形．
故选：D．
6.一幢4层楼房只有一个房间亮着灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的房间是（　 　）
A.1号房间 B.2号房间 C.3号房间 D.4号房间
【答案】B
【解析】如图所示，
故选：B． 【难度】基础题
7.从如图所示的7个小正方形中剪去一个小正方形，使得剩余的6个小正方形折叠后能围成一个正方体，则不能剪去的小正方形上的字是（　）
A.美 B.丽 C.迎 D.您
【答案】A
【解析】根据正方体的展开图可得：要使剩余的小正方形折叠后能围成一个正方体，不应剪去标记为“美”的小正方形．
故选：A．
8.一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少、最多需要的小立方块的个数分别为（　　）
A.7，10 B.7，9 C.7，11 D.8，11
【答案】B
【解析】在俯视图的对应位置上标注，需要几何体最少和最多时该位置所摆放的正方体的个数，如图所示：
因此最少需要7个，最多需要9个，
故选：B．
9.如图所示，在长方形ABCD中，AB＝a，BC＝b，且a＞b，将长方形ABCD绕边AB所在的直线旋转一周形成圆柱甲，再将长方形ABCD绕边BC所在直线旋转一周形成圆柱乙，记两个圆柱的侧面积分别为S甲、S乙．下列结论中正确的是（　　）
A.S甲＞S乙 B.S甲＜S乙 C.S甲＝S乙 D.不确定
【答案】C
【解析】∵S甲＝2π×b×a＝2πab，S乙＝2π×a×b＝2πba，
∴S甲﹣S乙
＝2πab﹣2πba
＝0，
∴S甲﹣S乙＝0，
∴S甲＝S乙，
故选：C．
10.有一个正方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果如图所示，如果标有数字1的面所对面上的数字记为a，4的面所对的面上数字记为b，那么a+b的值为（　　）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】B
【解析】由从三个不同的角度观察这个正方体所得到的结果可知，
“3”的邻面有“1、2、4、5”，
因此“3”的对面“6”，
“1”的邻面有“2、3、4、6”，
因此“1”的对面是“5”，
所以“2”对面是“4”，
即a＝5，b＝2，
所以a+b＝7．
故选：B．
11.如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小明从点A处沿AO所在的直线行走14m到点B时，人影长度（　　）
A.变长3.5m B.变长2.5m C.变短3.5m D.变短2.5m
【答案】C
【解析】设小明在A处时影长为x，AO长为a，B处时影长为y．
∵AC∥OP，BD∥OP，
∴△ACM∽△OPM，△BDN∽△OPN，
∴，，
则，
∴x＝；
，
∴y＝，
∴x﹣y＝3.5，
故变短了3.5米．
故选：C．
12.如图，用24块棱长分别为3cm，4cm，5cm的长方体搭成一个大长方体，其表面积最小为（　　）
A.748cm2 B.768cm2 C.788cm2 D.808cm2
【答案】B
【解析】根据搭成的长方体表面积最小的要求，遵循把较大面重叠在一起的原则，进行如下搭建：
将三块长方体按4cm，5cm面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为4cm，5cm，9cm．
再用两个大长方体（即6个小长方体）按5cm，9cm面重叠，可得棱长为5cm，8cm，9cm的大长方体．
再用两个大长方体（即12个小长方体）按8cm，9cm面重叠，可得棱长为8cm，9cm，10cm的大长方体．
再用两个大长方体（即24个小长方体）按9cm，10cm面重叠，可得棱长为9cm，10cm，16cm的大长方体．
此时大长方体的表面积为：2×（9×10+9×16+10×16）＝788（cm2）．
将两块块长方体按4cm，5cm面重叠得出一个大长方体，此时三条棱长为4cm，5cm，6cm．
再用三个大长方体（即6个小长方体）按5cm，6cm面重叠，可得棱长为5cm，6cm，12cm的大长方体．
再用两个大长方体（即12个小长方体）按6cm，12cm面重叠，可得棱长为6cm，12cm，10cm的大长方体．
再用两个大长方体（即24个小长方体）按10cm，12cm面重叠，可得棱长为10cm，12cm，12cm的大长方体．
此时大长方体的表面积为：2×（12×10+12×10+12×12）＝768（cm2）．
因为768＜788，
所以搭成大长方体表面积的最小值为768cm2．
故选：B．
二、填空题
13.由若干个完全相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示．若俯视图正方形中的字母和数字表示该位置上小正方体的个数，则x﹣y＝　 　．
【答案】1或0或﹣1或﹣2
【解析】由题意知，x的值为1或2，y的值为1或2或3，
∴x﹣y＝1或0或﹣1或﹣2，
故答案为：1或0或﹣1或﹣2．
14.小青从正面、上面、左侧观看如图所示几何体，她看到的平面图形可能是 　 　．（把可能情况的序号都写出来）
【答案】①②③
【解析】从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形；从左面看：共有3列，左往右分别有1，2，1个小正方形；从上面看：共分3列，从左往右分别有3，1，1个小正方形．
所以她看到的平面图形可能是①②③．
故答案为：①②③．
15.如图所示，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，剩下了一个新的多面体，这个多面体的面数是 　 　．
【答案】7
【解析】∵正方体有6个面，用经过A，B，C三点的平面截去正方体的一角，剩下的多面体比正方体多一个面，
∴剩下的多面体是7个面．
故答案为：7．
16.用若干个棱长为1分米的小正方体紧密堆积成如图所示的“金字塔”图形，已知该图形一共有10层，现在将该图形露在外面的表面都涂上油漆，第十层的底面不涂油漆，那么被涂上油漆部分的总面积为 　 　平方分米．
【答案】320
【解析】三视图如下：
从“金字塔”图形的三视图可以看出，涂上油漆部分的总面积为：
（1+2+3+……+10）×4+10×10
＝×4+100
＝320，
故答案为：320．
17.提出问题：有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
解析问题：对于这种问题，我们一般采用复杂问题简单化的策略，进行由特殊到一般的探究．
探究一：我们以两个长、宽、高分别是4、3、5的长方体为例进行解析．我们发现，无论怎样放置这两个长方体纸盒，搭成的大长方体体积都不变，但是由于摆放位置的不同，它们的表面积会发生变化，经过操作，发现共有3种不同的摆放方式，如图所示．
请计算图1、图2、图3中的拼成的新的大长方体的长、宽、高及其表面积，并填充下表：
根据上表可知，表面积最小的是 　 　所示的长方体．（填“图1”、“图2”、“图3”）
探究二：有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，现要用这4个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
先画出各种摆法的示意图，再根据各自的表面积得到最小摆法，是一种常规的方法，但比较耗时，也不方便，可以按照下列思路考虑：
在图1的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图2的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到10×4×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
在图3的基础上继续摆，要使表面积小，就要重叠大面，得到5×8×6的长方体，这个长方体的表面积为 　 　；
综上所述，有4个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是5、4、3，要用这4个纸盒搭成一个大长方体的表面积最小为 　 　．
探究三：我们知道，在体积相同的前提下，正方体的表面积最小，所以我们可以尽可能地使所搭成的几何体为正方体或接近正方体，我们还可以这样思考：
将4分解质因数，得到1×1×4，或1×2×2两种情况，通过与小长方体的长宽高5×4×3进行组合：
在L＝5×1＝5，K＝4×2＝8，H＝3×2＝6时，搭成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小，表面积为2（L×K+K×H+L×H）＝　 　（直接写出结果）．
类比应用：请你仿照探究三的解题思路，解答开始提出的问题：
有12个相同的长方体纸盒，它们的长、宽、高分别是4、3、5，现要用这12个纸盒搭成一个大长方体，怎样搭可使长方体的表面积最小？
拓展延伸：将168个棱长为1cm的小正方体，拼成一个长方体，使得长方体的表面积达到最小，这个表面积是 　 　cm2．
【答案】探究一：158，图1；
探究二：236，248，236，236；
探究三：236；
类比应用：表面积最小为484；
拓展延伸：188．
【解析】探究一：∵2×（5×8+8×3+5×3）＝158，
∴图1表面积最小，
故答案为：158，图1；
探究二：∵2×（5×6+6×8+5×8）＝236，
2×（10×4+4×6+10×6）＝248，
2×（5×8+8×6+5×6）＝236，
∴大长方体的表面积最小为236，
故答案为：236，248，236，236；
探究三：∵2×（5×8+8×6+5×6）＝236，
故答案为：236；
类比应用：由探究三可得：
当L＝5×2＝10，K＝4×2＝8，H＝3×3＝9时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（10×8+8×9+10×9）＝484；
拓展延伸：∵168＝2×2×2×3×7，
∴当L＝4，K＝6，H＝7时，达成的L×K×H的大长方体最接近正方体，此时表面积最小为：2×（4×6+6×7+4×7）＝188，
故答案为：188．
三、解答题
18.由10个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，请在网格中画出从正面看，从左面看，从上面看得到的平面图形．
【答案】解：如图，
【解析】
19.如图，小李、小张和小赵三人中小李的影子到达A处，小张的影子到达B处，请你根据这两个影子判断一下，这幅图是太阳光下的投影还是灯光下的投影？画出表示小赵影子的线段．
【答案】解：如图，这幅图是灯光下的投影，
分别作过小李，小张两人头部和相应的影子的顶点A，B的直线得到的交点就是点光源所在的位置．
连接光源的位置和小赵的头部的顶端，得到D点，则：小赵的影子到达C处，线段CD是表示小赵影子的线段．
【解析】
20.画出下面由11个小正方体搭成的几何体从不同角度看得到的平面图形．
（1）请画出从正面看、从左面看、从上面看的平面图形．
（2）小立方体的棱长为3cm，现要给该几何体表面涂色（不含底面），求涂上颜色部分的总面积．
【答案】解：（1）作出图形如图所示：
（2）表面积为3×3×7×2+3×3×5×2+3×3×7+3×3×2＝315（cm2），
∴涂上颜色部分的总面积为315cm2．
【解析】
21.一个正方体的六个面分别标有字母A、B、C、D、E、F，从三个不同方向看到的情形如图所示．
（1）A的对面是 　　，B的对面是 　　，C的对面是 　　；（直接用字母表示）
（2）若A＝﹣2，B＝|m﹣3|，C＝﹣（m﹣n），E＝（2+n）2，且小正方体各对面上的两个数都互为相反数，请求出F所表示的数．
【答案】解：（1）由图可知，A相邻的字母有C、E、B、F，
所以，A对面的字母是D，
与B相邻的字母有C、D、A、F，
所以，B对面的字母是E，
所以，C对面的字母是F；
故答案为：D，E，F；
（2）∵小正方体各对面上的两个数都互为相反数，
∴|m﹣3|+（2+n）2＝0，
解得m＝3，n＝﹣2，
∴C＝﹣（3+2）＝﹣5，
∴点F表示的数在5．
【解析】
22.如图，夜晚，小亮从点A出发，经过路灯C的正下方点D，沿直线走到点B停止，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化．已知小亮的身高为1.6m，路灯C与地面的距离CD为4.8m，AD＝BD＝60m，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围．
【答案】解：当小亮在线段AD上，用PQ表示小亮，此时影长为QM，如图1，
则PQ＝1.6，MQ＝y，AQ＝x，
∵AD＝60，
∴QD＝60﹣x，
∵PQ∥CD，
∴△MQP∽△MDC，
∴＝，即＝，
∴y＝﹣x+30（0≤x≤60）；
当小亮在线段BD上，用PQ表示小亮，此时影长为QM，如图2，
则PQ＝1.6，MQ＝y，AQ＝x，
∵AD＝60，
∴QD＝x﹣60，
∵PQ∥CD，
∴△MQP∽△MDC，
∴＝，即＝，
∴y＝x﹣30（60＜x≤120），
综上所述，y＝．
【解析】