浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试（含解析）
文档属性
| 名称 | 浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 724.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-08 14:36:12 | ||
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文档简介
浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试
一、选择题
1.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于( )
A. 32 B. C. 5 D. 6
3.相似多边形指的是（ ）
A.各角都相等的多边形
B.各边都相等的多边形
C.各边对应成比例的多边形
D.边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形
4.若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
5.如果两个相似三角形的周长比为1∶5，那么这两个三角形的相似比为( )
A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶8 D. 1∶16
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
7.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.若点C为线段Ab的黄金分割点，且AC＞BC，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
9.如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的角平分线，如果AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠ABE的值是（ ）
A. B. C. D.2
10.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
11.对于任意锐角α，下列等式不成立的是（ ）
A.sin2α+cos2α＝1 B.tanα＝ C.sin（90°﹣α）＝cosα D.tanα＝tan（90°﹣α）
12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤
二、填空题
13.已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝________ cm.
14.如图，sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
15.在直角三角形中，由于斜边长大于直角边长且均为正数，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范围分别是： ，，．
16.2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度AB，采取了以下方法：在校门口D点处测得大门顶A点处的仰角为45°，步行过马路后，马路宽度约为12米，在马路对面的F点处测得大门顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为CD＝EF＝1.6米，则大门高度AB约为 米．（仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留2位小数，参考数据：≈1.732）
17.已知在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA＝5，OA与x轴正方向的夹角为α，且tanα＝．将OA绕点O逆时针旋转 90° 得到OB，将OA绕点A顺时针旋转 90° 得到CA，连接BC，形成四边形OACB．那么点B的坐标为 ，OC与x轴正方向的夹角的正弦值为 ．
三、解答题
18.如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．如果CE＝6，EB＝18，DF＝4，求AD的长．
19.2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米．
20.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜边A′B′的长；
（2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高．
21.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AC＝．求BC的长．
22.如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连接FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．
浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米
【答案】D
【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴0.618，
∵b为2米，∴a约为1.24米．
故选：D．
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于( )
A. 32 B. C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】∵AB∥EF∥DC，∴，
∵DE＝3，DA＝5，CF＝4，∴，∴CB＝，∴FB＝CB－CF＝－4＝.
故选：B.
3.相似多边形指的是（ ）
A.各角都相等的多边形
B.各边都相等的多边形
C.各边对应成比例的多边形
D.边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形
【答案】D
【解析】∵如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，
∴相似多边形是指边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形．
故选：D．
4.若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
【答案】C
【解析】根据计算器的使用方法计算出度数以后再进行比较即可．
利用计算器进行计算，
即sinα＝0.848，则α≈58°；
cosβ＝0.454，则β≈63°；
tanγ＝1.804，则γ≈61°．
故α＜γ＜β．
故选：C．
5.如果两个相似三角形的周长比为1∶5，那么这两个三角形的相似比为( )
A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶8 D. 1∶16
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶5，∴这两个三角形的相似比为1∶5.
故选：B.
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，
∵E是AD的中点，∴AE＝AD＝CB，AE∥CB，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴EF＝BF，
∴S△AEF＝S△ABF＝×6＝3.
故选：B．
7.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，△ECD∽△EBA，△ADB∽△EDF．
∴图中共有3对相似三角形．
故选：C．
8.若点C为线段Ab的黄金分割点，且AC＞BC，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】∵点C为线段Ab的黄金分割点，∴ACAB，
∵BC＝AB﹣ACAB，∴.
故选：C．
9.如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的角平分线，如果AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠ABE的值是（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质，可得，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，
∴，
∴，
过点O作OF⊥AB于F，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴OF＝OD，∠ABE＝∠OBD，
∵
∴，即：，
解得：OD＝OF＝3，
∴，
故选：A．
10.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
【答案】D
【解析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，因为∠AEB＝∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角函数的增减性，即可判断．
如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
11.对于任意锐角α，下列等式不成立的是（ ）
A.sin2α+cos2α＝1 B.tanα＝ C.sin（90°﹣α）＝cosα D.tanα＝tan（90°﹣α）
【答案】D
【解析】根据锐角三角函数的定义，逐项进行计算后，再进行判断即可．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∵sin2α+cos2α＝（）2+（）2＝＝＝1，
∴选项A不符合题意；
∵＝＝＝tanα，
∴选项B不符合题意；
∵sin（90°﹣α）＝sinB＝，而cosα＝cosA＝，
∴sin（90°﹣α）＝cosα，
因此选项C不符合题意；
∵tanα＝tanA＝，而tan（90°﹣α）＝tanB＝，
∴tanα≠tan（90°﹣α），
因此选项D符合题意；
故选：D．
12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤
【答案】A
【解析】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DB＝AB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D＝＝4，则AE＝＝＝4，再作BC⊥AE于C．由S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC＝，CE＝＝，那么m的最大值为＝＝．
如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
二、填空题
13.已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝________ cm.
【答案】8
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，
∴△ABC与△DEF的面积比为81∶36＝9∶4，∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2，∴AB∶DE＝3∶2，
∵AB＝12 cm，∴DE＝8 cm.
14.如图，sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
【答案】大；小．
【解析】根据正弦值和正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，逐一判断即可解答．
梯子与地面的夹角为A，sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡．
故答案为：大；小．
15.在直角三角形中，由于斜边长大于直角边长且均为正数，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范围分别是： ，，．
【答案】0＜，0，．
【解析】根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
sinA，cosA，tanA的取值范围分别是 0＜，0，，
故答案为：0＜，0，．
16.2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度AB，采取了以下方法：在校门口D点处测得大门顶A点处的仰角为45°，步行过马路后，马路宽度约为12米，在马路对面的F点处测得大门顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为CD＝EF＝1.6米，则大门高度AB约为 米．（仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留2位小数，参考数据：≈1.732）
【答案】大门高度AB约为5.99米．
【解析】由△ADG为等腰直角三角形，得到AG＝DG，在Rt△AEG中，解直角三角形计算出AG，然后由AB＝AG+BG，得到AB．
在Rt△ADG中，
∵∠ADG＝45°，
∴∠DAG＝45°＝∠ADG，
∴AG＝DG，
在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，GE＝DG+DE＝12+AG，tan∠AEG＝，
∴AG＝GE tan30°，
∴AG＝（12+AG）
解得AG≈4.39（米），
由题意知四边形BFEG是矩形，
∴BG＝EF＝1.6米，
∴AB＝AG+BG＝4.39+1.6＝5.99（米）．
答：大门高度AB约为5.99米．
故答案为：5.99．
17.已知在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA＝5，OA与x轴正方向的夹角为α，且tanα＝．将OA绕点O逆时针旋转 90° 得到OB，将OA绕点A顺时针旋转 90° 得到CA，连接BC，形成四边形OACB．那么点B的坐标为 ，OC与x轴正方向的夹角的正弦值为 ．
【答案】（﹣3，4）；．
【解析】根据题意画出图形，借助于全等三角形即可解决问题．
如图所示
，
过点A作x轴的垂线，垂足为M，过点B作x轴的垂线，垂足为N，
因为tanα＝，
则在Rt△AOM中，
令AM＝3k，OM＝4k，
所以（3k）2+（4k）2＝52，
解得k＝1（舍负），
所以AM＝3，OM＝4，
则点A的坐标为（4，3）．
因为∠BNO＝90°，∠BOA＝90°，
所以∠BON+∠B＝∠AOM+∠BON＝90°，
所以∠B＝∠AOM．
在△BON和△OAM，
，
所以△BON≌△OAM（AAS），
所以BN＝OM＝4，NO＝AM＝3，
所以点B的坐标为（﹣3，4）．
因为AC由OA绕点A顺时针旋转90°得到，
过点C作AM的垂线，垂足为P，
同理可得，△CPA≌△AMO，
所以CP＝AM＝3，AP＝OM＝4．
过点C作x轴的垂线，垂足为Q，
则OQ＝4﹣3＝1，CQ＝PM＝3+4＝7．
在△OCQ中，
OC＝，
所以sin∠COQ＝，
即OC与x轴正方向的夹角的正弦值为．
故答案为：（﹣3，4）；．
三、解答题
18.如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．如果CE＝6，EB＝18，DF＝4，求AD的长．
【答案】解：∵AB∥EF∥CD，∴，
∵CE＝6，EB＝18，DF＝4，∴，解得：AF＝12，∴AD＝AF+DF＝12+4＝16．
【解析】
19.2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米．
【答案】解：64厘米＝0.64米，6.4厘米＝0.064米，
∵CD∥AB，∴△OAB∽△ODC，∴，∴，∴OC＝400．
答：CO的大致距离为400米．
【解析】
20.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜边A′B′的长；
（2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高．
【答案】解：（1）∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，
∵Rt△ABC的斜边AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜边A′B′＝4cm.
（2）∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线，
∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2cm.
【解析】
21.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AC＝．求BC的长．
【答案】解：过点A作BC边的垂线，垂足为M，
∵∠B＝30°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝60°．
∵∠BAC＝105°，
∴∠MAC＝105°﹣60°＝45°．
在Rt△AMC中，
sinC＝，
∴AM＝，
同理可得，CM＝1．
在Rt△ABM中，
tanB＝，
∴BM＝，
∴BC＝BM+MC＝．
【解析】
22.如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连接FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．
【答案】解：（1）∵AO＝3CO＝6，∴CO＝2，∴C（2，0），A（0，6）．
设BO＝x，且x＞0；则BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；
又∵BC＝AB，∴（2+x）2＝36+x2，解得x＝8，∴B（﹣8，0）.
（2）如图1，过F点作FK⊥BC于K，
可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，则：BF＝5t，TO＝FK＝3t；∴AT＝6﹣3t，
又∵FE∥BC，∴△AFE∽△ABC，
而AO⊥BC交EF于T，则：，∴，即EF＝10﹣5t，
故S△EFOEF×TO（10﹣5t）×3t，即S△EFO（t﹣2）t，
∴当t＝1时，△EFO的面积达到最大值；
此时BF＝FA，EF恰好为△ABC的中位线，则：，
又有AO⊥BC于O，则：，∴，∴△EFO∽△CBA．
【解析】
一、选择题
1.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于( )
A. 32 B. C. 5 D. 6
3.相似多边形指的是（ ）
A.各角都相等的多边形
B.各边都相等的多边形
C.各边对应成比例的多边形
D.边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形
4.若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
5.如果两个相似三角形的周长比为1∶5，那么这两个三角形的相似比为( )
A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶8 D. 1∶16
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
7.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
8.若点C为线段Ab的黄金分割点，且AC＞BC，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
9.如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的角平分线，如果AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠ABE的值是（ ）
A. B. C. D.2
10.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
11.对于任意锐角α，下列等式不成立的是（ ）
A.sin2α+cos2α＝1 B.tanα＝ C.sin（90°﹣α）＝cosα D.tanα＝tan（90°﹣α）
12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤
二、填空题
13.已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝________ cm.
14.如图，sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
15.在直角三角形中，由于斜边长大于直角边长且均为正数，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范围分别是： ，，．
16.2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度AB，采取了以下方法：在校门口D点处测得大门顶A点处的仰角为45°，步行过马路后，马路宽度约为12米，在马路对面的F点处测得大门顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为CD＝EF＝1.6米，则大门高度AB约为 米．（仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留2位小数，参考数据：≈1.732）
17.已知在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA＝5，OA与x轴正方向的夹角为α，且tanα＝．将OA绕点O逆时针旋转 90° 得到OB，将OA绕点A顺时针旋转 90° 得到CA，连接BC，形成四边形OACB．那么点B的坐标为 ，OC与x轴正方向的夹角的正弦值为 ．
三、解答题
18.如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．如果CE＝6，EB＝18，DF＝4，求AD的长．
19.2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米．
20.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜边A′B′的长；
（2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高．
21.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AC＝．求BC的长．
22.如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连接FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．
浙教版九年级下册 第一章 解直角三角形 单元测试（参考答案）
一、选择题
1.生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时：使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ）
A.1.52米 B.1.38米 C.1.42米 D.1.24米
【答案】D
【解析】∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，∴0.618，
∵b为2米，∴a约为1.24米．
故选：D．
2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别在AD和BC上，AB∥EF∥DC，且DE＝3，DA＝5，CF＝4，则FB等于( )
A. 32 B. C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】∵AB∥EF∥DC，∴，
∵DE＝3，DA＝5，CF＝4，∴，∴CB＝，∴FB＝CB－CF＝－4＝.
故选：B.
3.相似多边形指的是（ ）
A.各角都相等的多边形
B.各边都相等的多边形
C.各边对应成比例的多边形
D.边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形
【答案】D
【解析】∵如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形，
∴相似多边形是指边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形．
故选：D．
4.若三个锐角α，β，γ满足sinα＝0.848，cosβ＝0.454，tanγ＝1.804，则α，β，γ的大小关系为（ ）
A.β＜α＜γ B.α＜β＜γ C.α＜γ＜β D.β＜γ＜α
【答案】C
【解析】根据计算器的使用方法计算出度数以后再进行比较即可．
利用计算器进行计算，
即sinα＝0.848，则α≈58°；
cosβ＝0.454，则β≈63°；
tanγ＝1.804，则γ≈61°．
故α＜γ＜β．
故选：C．
5.如果两个相似三角形的周长比为1∶5，那么这两个三角形的相似比为( )
A. 1∶2 B. 1∶5 C. 1∶8 D. 1∶16
【答案】B
【解析】∵两个相似三角形的周长比为1∶5，∴这两个三角形的相似比为1∶5.
故选：B.
6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E是AD的中点，连接BE交AC于点F，S△ABF＝6，则S△AEF＝（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD＝CB，
∵E是AD的中点，∴AE＝AD＝CB，AE∥CB，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴EF＝BF，
∴S△AEF＝S△ABF＝×6＝3.
故选：B．
7.如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形共有（ ）
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】C
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴△BCD∽△BEF，△ECD∽△EBA，△ADB∽△EDF．
∴图中共有3对相似三角形．
故选：C．
8.若点C为线段Ab的黄金分割点，且AC＞BC，则的值为（ ）
A. B. C. D.2
【答案】C
【解析】∵点C为线段Ab的黄金分割点，∴ACAB，
∵BC＝AB﹣ACAB，∴.
故选：C．
9.如图，在△ABC中，AD，BE是△ABC的角平分线，如果AB＝AC＝10，BC＝12，那么tan∠ABE的值是（ ）
A. B. C. D.2
【答案】A
【解析】根据等腰三角形的性质，可得，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解．
AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，
∴，
∴，
过点O作OF⊥AB于F，如图，
∵BE平分∠ABC，
∴OF＝OD，∠ABE＝∠OBD，
∵
∴，即：，
解得：OD＝OF＝3，
∴，
故选：A．
10.如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A.①② B.②③ C.①②③ D.①③
【答案】D
【解析】连接BE，根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，因为∠AEB＝∠D+∠DBE，所以∠AEB＞∠D，所以∠C＞∠D，根据锐角三角函数的增减性，即可判断．
如图，连接BE，
根据圆周角定理，可得∠C＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠D+∠DBE，
∴∠AEB＞∠D，
∴∠C＞∠D，
根据锐角三角函数的增减性，可得，
sin∠C＞sin∠D，故①正确；
cos∠C＜cos∠D，故②错误；
tan∠C＞tan∠D，故③正确；
故选：D．
11.对于任意锐角α，下列等式不成立的是（ ）
A.sin2α+cos2α＝1 B.tanα＝ C.sin（90°﹣α）＝cosα D.tanα＝tan（90°﹣α）
【答案】D
【解析】根据锐角三角函数的定义，逐项进行计算后，再进行判断即可．
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，则∠B＝90°﹣α，
∵sin2α+cos2α＝（）2+（）2＝＝＝1，
∴选项A不符合题意；
∵＝＝＝tanα，
∴选项B不符合题意；
∵sin（90°﹣α）＝sinB＝，而cosα＝cosA＝，
∴sin（90°﹣α）＝cosα，
因此选项C不符合题意；
∵tanα＝tanA＝，而tan（90°﹣α）＝tanB＝，
∴tanα≠tan（90°﹣α），
因此选项D符合题意；
故选：D．
12.如图，A（0，8），B（0，2），点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m的取值范围是（ ）
A.0＜m≤ B.0＜m≤ C.＜m＜ D.0＜m≤
【答案】A
【解析】点E为x轴正半轴上一动点，设tan∠AEB＝m，则m＞0，再求出m的最大值即可．过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大，m的值最大．作O′D⊥AB于D，由垂径定理得出AD＝DB＝AB＝3，OD＝OA﹣AD＝5，那么⊙O′的半径为5．在直角△O′AD中，由勾股定理得出O′D＝＝4，则AE＝＝＝4，再作BC⊥AE于C．由S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，求出BC＝，CE＝＝，那么m的最大值为＝＝．
如图，过A、B、E三点的圆O′与x轴相切时，∠AEB最大．
方法1：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∴OE＝O′D＝4，
∴AE＝＝＝4，
作BC⊥AE于C．
∵S△AOE＝OA OE＝S△BOE+S△ABE，
∴×8×4＝×2×4+×4×BC，
∴BC＝，
∵BE2＝OB2+OE2＝22+42＝20，
∴CE＝＝，
∴m的最大值为＝＝，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
方法2：作O′D⊥AB于D，则AD＝DB＝AB＝3，
∵OA＝8，
∴OD＝OA﹣AD＝5，
∴O′E＝O′A＝OD＝5，即⊙O′的半径为5．
在直角△O′AD中，由勾股定理得O′D＝＝4，
∵∠AEB＝∠AO′D，
∴tan∠AO′D＝＝，
∴m的最大值为，
又∵m＞0，
∴0＜m≤．
故选：A．
二、填空题
13.已知△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，且AB＝12 cm，若△ABC∽△DEF，则DE＝________ cm.
【答案】8
【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81 cm2，△DEF的面积为36 cm2，
∴△ABC与△DEF的面积比为81∶36＝9∶4，∴△ABC与△DEF的相似比为3∶2，∴AB∶DE＝3∶2，
∵AB＝12 cm，∴DE＝8 cm.
14.如图，sinA的值越 ，梯子越陡；cosA的值越 ，梯子越陡．
【答案】大；小．
【解析】根据正弦值和正切值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，逐一判断即可解答．
梯子与地面的夹角为A，sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡．
故答案为：大；小．
15.在直角三角形中，由于斜边长大于直角边长且均为正数，所以0＜，0，，由此可知：sinA，cosA，tanA的取值范围分别是： ，，．
【答案】0＜，0，．
【解析】根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
sinA，cosA，tanA的取值范围分别是 0＜，0，，
故答案为：0＜，0，．
16.2023年暑假，我校顺利完成了大门改造，新大门气势磅礴，宏伟壮观，彰显着非凡的尊贵气息．小蓝为了测量大门的高度AB，采取了以下方法：在校门口D点处测得大门顶A点处的仰角为45°，步行过马路后，马路宽度约为12米，在马路对面的F点处测得大门顶A点处的仰角为30°，已知小蓝的眼睛距离地面高度为CD＝EF＝1.6米，则大门高度AB约为 米．（仰角：是从低处向高处观察目标时，视线与水平线所形成的角度．结果保留2位小数，参考数据：≈1.732）
【答案】大门高度AB约为5.99米．
【解析】由△ADG为等腰直角三角形，得到AG＝DG，在Rt△AEG中，解直角三角形计算出AG，然后由AB＝AG+BG，得到AB．
在Rt△ADG中，
∵∠ADG＝45°，
∴∠DAG＝45°＝∠ADG，
∴AG＝DG，
在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，GE＝DG+DE＝12+AG，tan∠AEG＝，
∴AG＝GE tan30°，
∴AG＝（12+AG）
解得AG≈4.39（米），
由题意知四边形BFEG是矩形，
∴BG＝EF＝1.6米，
∴AB＝AG+BG＝4.39+1.6＝5.99（米）．
答：大门高度AB约为5.99米．
故答案为：5.99．
17.已知在平面直角坐标系中，点A在第一象限，OA＝5，OA与x轴正方向的夹角为α，且tanα＝．将OA绕点O逆时针旋转 90° 得到OB，将OA绕点A顺时针旋转 90° 得到CA，连接BC，形成四边形OACB．那么点B的坐标为 ，OC与x轴正方向的夹角的正弦值为 ．
【答案】（﹣3，4）；．
【解析】根据题意画出图形，借助于全等三角形即可解决问题．
如图所示
，
过点A作x轴的垂线，垂足为M，过点B作x轴的垂线，垂足为N，
因为tanα＝，
则在Rt△AOM中，
令AM＝3k，OM＝4k，
所以（3k）2+（4k）2＝52，
解得k＝1（舍负），
所以AM＝3，OM＝4，
则点A的坐标为（4，3）．
因为∠BNO＝90°，∠BOA＝90°，
所以∠BON+∠B＝∠AOM+∠BON＝90°，
所以∠B＝∠AOM．
在△BON和△OAM，
，
所以△BON≌△OAM（AAS），
所以BN＝OM＝4，NO＝AM＝3，
所以点B的坐标为（﹣3，4）．
因为AC由OA绕点A顺时针旋转90°得到，
过点C作AM的垂线，垂足为P，
同理可得，△CPA≌△AMO，
所以CP＝AM＝3，AP＝OM＝4．
过点C作x轴的垂线，垂足为Q，
则OQ＝4﹣3＝1，CQ＝PM＝3+4＝7．
在△OCQ中，
OC＝，
所以sin∠COQ＝，
即OC与x轴正方向的夹角的正弦值为．
故答案为：（﹣3，4）；．
三、解答题
18.如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O．如果CE＝6，EB＝18，DF＝4，求AD的长．
【答案】解：∵AB∥EF∥CD，∴，
∵CE＝6，EB＝18，DF＝4，∴，解得：AF＝12，∴AD＝AF+DF＝12+4＝16．
【解析】
19.2023年11月23日，第十批在韩中国人民志愿军烈士遗骸归国，英烈们前仆后继的牺牲奉献，换来了我们国家的富强和人民的幸福，在抗美援朝期间“跳眼法”是炮兵常用的一种简易测距方法（图1）．
如图2，点A为左眼，点B为右眼，点O为右手大拇指，点C为敌人的位置，点D为敌人正左侧方的某一个参照物（CD∥AB），目测CD的长度后，然后利用相似三角形的知识来计算C处敌人距离我方的大致距离．
已知大多数人的眼距AB长约为6.4厘米左右，手臂长OB约为64厘米左右．若CD的估测长度为40米，那么CO的大致距离为多少米．
【答案】解：64厘米＝0.64米，6.4厘米＝0.064米，
∵CD∥AB，∴△OAB∽△ODC，∴，∴，∴OC＝400．
答：CO的大致距离为400米．
【解析】
20.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.
（1）求△A′B′C′斜边A′B′的长；
（2）求△A′B′C′斜边A′B′上的高．
【答案】解：（1）∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，
∵Rt△ABC的斜边AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜边A′B′＝4cm.
（2）∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线，
∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2cm.
【解析】
21.如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠BAC＝105°，AC＝．求BC的长．
【答案】解：过点A作BC边的垂线，垂足为M，
∵∠B＝30°，AM⊥BC，
∴∠BAM＝60°．
∵∠BAC＝105°，
∴∠MAC＝105°﹣60°＝45°．
在Rt△AMC中，
sinC＝，
∴AM＝，
同理可得，CM＝1．
在Rt△ABM中，
tanB＝，
∴BM＝，
∴BC＝BM+MC＝．
【解析】
22.如图，等腰△ABC中，BA＝BC，AO＝3CO＝6．动点F在BA上以每分钟5个单位长度的速度从B点出发向A点移动，过F作FE∥BC交AC边于E点，连接FO、EO．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）证明：当△EFO面积最大时，△EFO∽△CBA．
【答案】解：（1）∵AO＝3CO＝6，∴CO＝2，∴C（2，0），A（0，6）．
设BO＝x，且x＞0；则BC2＝（2+x）2，AB2＝AO2+OB2＝36+x2；
又∵BC＝AB，∴（2+x）2＝36+x2，解得x＝8，∴B（﹣8，0）.
（2）如图1，过F点作FK⊥BC于K，
可设F点移动的时间为t，且0＜t＜2，则：BF＝5t，TO＝FK＝3t；∴AT＝6﹣3t，
又∵FE∥BC，∴△AFE∽△ABC，
而AO⊥BC交EF于T，则：，∴，即EF＝10﹣5t，
故S△EFOEF×TO（10﹣5t）×3t，即S△EFO（t﹣2）t，
∴当t＝1时，△EFO的面积达到最大值；
此时BF＝FA，EF恰好为△ABC的中位线，则：，
又有AO⊥BC于O，则：，∴，∴△EFO∽△CBA．
【解析】