三角形的尺规作图（高线、中线）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·义乌月考） 如图，在中，，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若，，连接AD，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八上·浙江期中）通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列三幅图都是“作已知三角形的高线”的尺规作图过程，其中作图正确的是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题
5．（2025八上·锦江月考）如图，在中，，尺规作图以C为圆心，以为半径作弧交于点D；再分别以B、D为圆心，以大于长度的线段为半径作弧交于点M；作射线交于点E；若，则的长是 ．
三、解答题
6．（2025八上·义乌月考）尺规作图：已知△ABC．
（1）画△ABC的角平分线CE．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）画△ABC的高线AD．（不用写作法，保留作图痕迹）
7．（2025·金平模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规作的高．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）问题与解决：在（1）的条件下，若，求．
8．（2025九下·洞头模拟）小明与小丽一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中.用尺规作BC边上的高线。
小明：作BC边上的中垂线，则中垂线为高线。
小丽：小明，你的作法有问题。
小丽：如图2，以点为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点，连接AD，作的平分线交BC于点.则AE为BC边上高线。
小明：哦……我明白了！
（1）指出小明作法中存在的问题。
（2）给出小丽作法中AE为BC边上高线的证明。
9．（2024八下·丹江口期中） 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点M也在格点上，按要求完成下列各题.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）利用无刻度的直尺作图：
①画出边上的高，并求的长；
②将线段BD平移至MN，点B的对应点为M.
10．已知：如图，在△ABC中，AC（1）尺规作图：作△ABC的BC边上的高线AD.(只需作出图形，保留作图痕迹，不必写作法)
（2）试用尺规作图在线段BC上确定一点P，使PA+PC=BC，并说明理由.
11．（2024七下·市南区期中） 在下列图形中，按要求画出AD，使得AD⊥BC，交BC于点D．
（1）如图①，所有小正方形边长都为1，点A、B、C均在格点上，用无刻度直尺画AD；
（2）如图②，已知“三角形内角和为180°”，用无刻度直尺与圆规作AD（不写作法，保留作图痕迹）．
12．如图，已知△ABC，用直尺和圆规作中线CD。
13．（2024八上·武汉期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）．
（1）画关于y轴对称的；
（2）画出的高；
（3）在x轴上作点P，使的和最小；
（4）已知M是线段上一点，画M关于y轴的对称点N．
四、作图题
14．（2025·黄岩二模）在等腰中，，点是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点，连结DE，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有 ；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：由作图过程可知：AE垂直平分CD，
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE垂直平分CD，所以(CE=DE，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积可得AE的长，根据勾股定理可得CE的长，进而可得三角形ABD的面积.
3．【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-中线
【解析】【解答】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，故选项A不符合题意；
B、，不能平分三角形面积，故选项B不符合题意；
C、是的中线，能平分三角形面积，故选项C符合题意；
D、是的垂线，不能平分三角形面积，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图确定作图，找到中线即可求解．
4．【答案】A
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：如图①，得到AD是△ABC的高；
如图②中，连接BT，AT，由作图可知.BC=BT.
AT=AC，
所以AB垂直平分线段CT，
所以线段CD是 的高；
如图③中，由作图可知BC是直径，
所以 即
所以线段BD是 的高；
故答案为： A.
【分析】根据作图，利用三角形高的定义判断即可.
5．【答案】
【知识点】勾股定理；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
设的长是，
结合作图过程得出，
即，
在中，，
在中，，
故答案为：．
【分析】先求出AE的长，再根据作图得到，然后根据勾股定理解答即可.
6．【答案】（1）解： CE即为所作；
（2）解： AD 即为所作.
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据作一个角的角平分线的作法解答即可；
（2）根据过已知点作已知直线的垂线的做法解答即可.
7．【答案】（1）解：如图所示，线段BD即为所求.
（2）解：=：由（1）可知，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴∠ABC=∠C=×（180°-∠A）=×（180°-70°）=55°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=55°-20°=35°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D，线段BD即为所求；
（2）利用等腰三角形的性质列式运算即可.
（1）解：如图所示即为所求：
；
（2）解：∵，为的高，
∴，
∵，
∴，
∴.
8．【答案】（1）①要过点A作高
（2）方法一：由题可得平分
方法二：
平分
又
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义：高线 是一条线段，但中垂线是一条直线，据此可得出答案；
（2）方法一：根据平分，利用中垂线的性质可得：
方法二：根据平分，利用角平分线的概念可得：，再根据AB=AD，AE=AE，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得，进而可证明结论．
9．【答案】（1）解：△ABC的形状是直角三角形．
理由如下：
∵AB2=22+42=20，AC2=12+22=5，BC2=32+42=25，
．
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：①如图①所示，取格点E，连接AE交BC于点D，
线段即为所求．
，
．
②如图①所示，取格点F，连接MF交AD的延长线于点N，线段MN即为所求．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；作图﹣平移；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）△ABC的形状是直角三角形．理由如下：根据网格图的特征和勾股定理分别计算AB2、AC2、BC2，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解；
（2）①如图，取格点E，连接AE交BC于点D，线段即为所求；然后根据三角形的面积公式可得关于AD的方程，解方程即可求解；
②如图，取格点F，连接MF交AD的延长线于点N，线段MN即为所求．
10．【答案】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求，理由如下：
∵MN垂直平分线段AB，
∴AP=BP，
∴PA+PC=BP+PC=BC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的尺规作图即可求解；
（2）先作线段AB的垂直平分线MN，根据垂直平分线的性质得AP=BP，然后进行等量代换即可得证结论.
11．【答案】（1）解：如图①，线段AD即为所求；
（2）解：如图②，AD即为所求．
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）取格点T，连接AT交BC于点D，线段AD即为所求；
（2）作∠BAD=∠B=45°，AD交BC于点D，线段AD即为所求。
12．【答案】解：作法：①以点A、B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点E、F；
②过点E，F作直线EF，交AB于点D；
③连接CD，则CD为所求作的中线.
【知识点】尺规作图-中线
【解析】【分析】 先做线段AB的垂直平分线，垂直平分线与线段AB的交点即为线段AB的中点D，连接CD，则CD为所求作的中线.
13．【答案】（1）解：即为所求；
（2）解：即为所求；
（3）解：如图，取点B关于x轴的对称点J，连接AJ，交x轴于点P，连接BP，
此时AP＋PB＝AP＋PJ＝AJ，为最小值，
则点P即为所求．
（4）解：点N即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用三角形高线的定义及作图方法作出图形即可；
（3）取点B关于x轴的对称点J，连接AJ，交x轴于点P，连接BP，则点P即为所求；
（4）利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）可得答案.
14．【答案】（1）①甲、丙：
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知AE平分
又点为AB的中点
方法二：由图可知AE平分
为BC边上的中线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
丙的做法证明如下：
方法一：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线
又点为AB的中点
方法二：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)①根据作图判断即可；
②根据尺规作图和等腰三角形的性质，三角形中位线定理证明即可；
(2)根据题意作图使得点E是BC中点或DE=BD即可，做法不唯一.
1 / 1三角形的尺规作图（高线、中线）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·宁波期末）下列尺规作图中，一定能得到AD+BD=BC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：选项C中， 由作图可知.
故答案为： C.
【分析】由 推出 由此判断即可.
2．（2025八上·义乌月考） 如图，在中，，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若，，连接AD，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：由作图过程可知：AE垂直平分CD，
故答案为：C.
【分析】根据作图过程可得AE垂直平分CD，所以(CE=DE，根据勾股定理可得BC，再根据三角形面积可得AE的长，根据勾股定理可得CE的长，进而可得三角形ABD的面积.
3．（2024八上·浙江期中）通过如下尺规作图，能说明的面积和的面积相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-中线
【解析】【解答】解：A、是中的角平分线，不能平分三角形面积，故选项A不符合题意；
B、，不能平分三角形面积，故选项B不符合题意；
C、是的中线，能平分三角形面积，故选项C符合题意；
D、是的垂线，不能平分三角形面积，故选项D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据尺规作图确定作图，找到中线即可求解．
4．下列三幅图都是“作已知三角形的高线”的尺规作图过程，其中作图正确的是( )
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：如图①，得到AD是△ABC的高；
如图②中，连接BT，AT，由作图可知.BC=BT.
AT=AC，
所以AB垂直平分线段CT，
所以线段CD是 的高；
如图③中，由作图可知BC是直径，
所以 即
所以线段BD是 的高；
故答案为： A.
【分析】根据作图，利用三角形高的定义判断即可.
二、填空题
5．（2025八上·锦江月考）如图，在中，，尺规作图以C为圆心，以为半径作弧交于点D；再分别以B、D为圆心，以大于长度的线段为半径作弧交于点M；作射线交于点E；若，则的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；尺规作图-作高
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
设的长是，
结合作图过程得出，
即，
在中，，
在中，，
故答案为：．
【分析】先求出AE的长，再根据作图得到，然后根据勾股定理解答即可.
三、解答题
6．（2025八上·义乌月考）尺规作图：已知△ABC．
（1）画△ABC的角平分线CE．（不用写作法，保留作图痕迹）
（2）画△ABC的高线AD．（不用写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解： CE即为所作；
（2）解： AD 即为所作.
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据作一个角的角平分线的作法解答即可；
（2）根据过已知点作已知直线的垂线的做法解答即可.
7．（2025·金平模拟）如图，在中，．
（1）实践与操作：利用尺规作的高．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）问题与解决：在（1）的条件下，若，求．
【答案】（1）解：如图所示，线段BD即为所求.
（2）解：=：由（1）可知，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=90°-∠ABD=70°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠ABC+∠C+∠A=180°，
∴∠ABC=∠C=×（180°-∠A）=×（180°-70°）=55°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=55°-20°=35°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D，线段BD即为所求；
（2）利用等腰三角形的性质列式运算即可.
（1）解：如图所示即为所求：
；
（2）解：∵，为的高，
∴，
∵，
∴，
∴.
8．（2025九下·洞头模拟）小明与小丽一起研究一个尺规作图问题：
如图1，在中.用尺规作BC边上的高线。
小明：作BC边上的中垂线，则中垂线为高线。
小丽：小明，你的作法有问题。
小丽：如图2，以点为圆心，AB长为半径作弧，交BC于点，连接AD，作的平分线交BC于点.则AE为BC边上高线。
小明：哦……我明白了！
（1）指出小明作法中存在的问题。
（2）给出小丽作法中AE为BC边上高线的证明。
【答案】（1）①要过点A作高
（2）方法一：由题可得平分
方法二：
平分
又
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据三角形高的定义：高线 是一条线段，但中垂线是一条直线，据此可得出答案；
（2）方法一：根据平分，利用中垂线的性质可得：
方法二：根据平分，利用角平分线的概念可得：，再根据AB=AD，AE=AE，利用全等三角形的判定定理SAS可证明，利用全等三角形的性质可得：，利用角的运算可得，进而可证明结论．
9．（2024八下·丹江口期中） 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，点M也在格点上，按要求完成下列各题.
（1）判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）利用无刻度的直尺作图：
①画出边上的高，并求的长；
②将线段BD平移至MN，点B的对应点为M.
【答案】（1）解：△ABC的形状是直角三角形．
理由如下：
∵AB2=22+42=20，AC2=12+22=5，BC2=32+42=25，
．
∴△ABC是直角三角形．
（2）解：①如图①所示，取格点E，连接AE交BC于点D，
线段即为所求．
，
．
②如图①所示，取格点F，连接MF交AD的延长线于点N，线段MN即为所求．
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；作图﹣平移；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）△ABC的形状是直角三角形．理由如下：根据网格图的特征和勾股定理分别计算AB2、AC2、BC2，然后根据勾股定理的逆定理即可判断求解；
（2）①如图，取格点E，连接AE交BC于点D，线段即为所求；然后根据三角形的面积公式可得关于AD的方程，解方程即可求解；
②如图，取格点F，连接MF交AD的延长线于点N，线段MN即为所求．
10．已知：如图，在△ABC中，AC（1）尺规作图：作△ABC的BC边上的高线AD.(只需作出图形，保留作图痕迹，不必写作法)
（2）试用尺规作图在线段BC上确定一点P，使PA+PC=BC，并说明理由.
【答案】（1）解：如图，AD即为所求；
（2）解：如图，点P即为所求，理由如下：
∵MN垂直平分线段AB，
∴AP=BP，
∴PA+PC=BP+PC=BC．
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）根据作线段垂直平分线的尺规作图即可求解；
（2）先作线段AB的垂直平分线MN，根据垂直平分线的性质得AP=BP，然后进行等量代换即可得证结论.
11．（2024七下·市南区期中） 在下列图形中，按要求画出AD，使得AD⊥BC，交BC于点D．
（1）如图①，所有小正方形边长都为1，点A、B、C均在格点上，用无刻度直尺画AD；
（2）如图②，已知“三角形内角和为180°”，用无刻度直尺与圆规作AD（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）解：如图①，线段AD即为所求；
（2）解：如图②，AD即为所求．
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）取格点T，连接AT交BC于点D，线段AD即为所求；
（2）作∠BAD=∠B=45°，AD交BC于点D，线段AD即为所求。
12．如图，已知△ABC，用直尺和圆规作中线CD。
【答案】解：作法：①以点A、B为圆心，以相同长度（大于AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点E、F；
②过点E，F作直线EF，交AB于点D；
③连接CD，则CD为所求作的中线.
【知识点】尺规作图-中线
【解析】【分析】 先做线段AB的垂直平分线，垂直平分线与线段AB的交点即为线段AB的中点D，连接CD，则CD为所求作的中线.
13．（2024八上·武汉期末）如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）．
（1）画关于y轴对称的；
（2）画出的高；
（3）在x轴上作点P，使的和最小；
（4）已知M是线段上一点，画M关于y轴的对称点N．
【答案】（1）解：即为所求；
（2）解：即为所求；
（3）解：如图，取点B关于x轴的对称点J，连接AJ，交x轴于点P，连接BP，
此时AP＋PB＝AP＋PJ＝AJ，为最小值，
则点P即为所求．
（4）解：点N即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形；尺规作图-作高
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用三角形高线的定义及作图方法作出图形即可；
（3）取点B关于x轴的对称点J，连接AJ，交x轴于点P，连接BP，则点P即为所求；
（4）利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）可得答案.
四、作图题
14．（2025·黄岩二模）在等腰中，，点是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点，连结DE，使得．现有甲、乙、丙三位同学的做法如下：
（1）①做法正确的同学有 ；
②请选择你认为正确的一种做法给出证明；
（2）用尺规作图的方法画出一种不同于以上三位同学的画法．
【答案】（1）①甲、丙：
②甲的做法证明如下：
方法一：由图可知AE平分
又点为AB的中点
方法二：由图可知AE平分
为BC边上的中线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
丙的做法证明如下：
方法一：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线
又点为AB的中点
方法二：连结BF，CF
由图可知点在BC的垂直平分线上
点在BC的垂直平分线上
是BC的垂直平分线，即点为BC的中点
又点为AB的中点
是的中位线
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)①根据作图判断即可；
②根据尺规作图和等腰三角形的性质，三角形中位线定理证明即可；
(2)根据题意作图使得点E是BC中点或DE=BD即可，做法不唯一.
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