三角形的求角度（角平分线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·海曙期末）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026八上·慈溪月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E.下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP 是△ABC 的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A等于( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2024八上·凉州期中）如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．已知△ABC中，∠A=x°.
（1）如图(1)，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则∠BOC= °(用含x 的代数式表示).
（2）如图(2)，若∠ABC 和∠ACB 的三 等 分线 相交 于 点 O1，O2，则 °.(用含x的代数式表示)
（3）如图(3)，若∠ABC 和∠ACB的n等分线相交 于 点 O1， O2， …， On-1， 则 ∠BO1C = °.(用含x及n的代数式表示)
6．如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点 D2，…，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的平分线交于点D4，则∠BD4C 的度数是 .
7．（2024八上·萧山期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ．
8．如图，在△ABC 中，∠A=α，∠ABC 的平分线与△ACB 的外角(∠ACD)的平分线交于点A1； ∠A1BC 的 平 分 线 与 △A1CB 的 外 角(∠A1CD)的平分线交于点A2，…，以此类推，则 .(用含α的式子表示)
9．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC的延长线交∠ABC的外角平分线于点D.若∠D-∠E=10°，则∠A的度数为 °.
10．如图，的两条外角平分线，相交于点，于点.若 ，则下列结论： ； ；.其中正确的是 .（填序号）
11．（2024八上·越秀期末）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 ．
三、解答题
12．
（1）如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，证明：∠A+∠B=∠C+∠D.
（2）如图(2)，AP，CP 分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P 的度数.
（3）如图(3)，AP 平分∠BAD，CP 平分△OCD的外角∠BCE，BC 交 AD 于点 O，猜想∠P 与∠B，∠D 的数量关系并证明.
13．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）如图 (1)， 若 ∠BPC = α， 则 ∠A = ；(用含α的代数式表示)
（2）如图(2)，作△ABC 外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点 Q，试探究∠Q 与∠BPC 之间的数量关系，并说明理由.
14．（2024八上·金华月考）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、．
（1）如图2，当，求的大小．
（2）在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数．
15．（2024八上·郯城期中）研究三角形的角平分线：
（1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；
（2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________；
（3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
16．（2024八上·益阳开学考）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果，那么___________°
（2）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段交于点E，在中，若，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点为三个内角平分线的交点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点分别作于，于，于，得到点为三个内角平分线的交点，即可求解．
2．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解： 的平分线交于点O，
∴根据角平分线的定义得，
∵根据三角形内角和定理可得，
，所以结论A正确，不符合题意；
∵CD平分
所以结论B正确，不符合题意；
取AB的延长线于点M，AC的延长线于点N，如图：
ABC，
∵BE平分 CE平分
∵根据三角形内角和定理可得，
所以结论C正确，不符合题意；
由选项C知
无法得到 所以结论D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义可得 再由三角形的内角和定理可求解∠ 由角平分线的定义可得 结合三角形外角的额性质可判定 由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定 由 的结果无法推出 解答即可.
3．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BP是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP.
又∵∠ABP= 20°， ∠ACP = 50°，
∴∠ABC= 2×20°= 40°， ∠ACM = 2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
故答案为： D.
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴.
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴.
∵和的平分线交于点M，
∴，
∴，
在中，，
即：.
故答案为：C．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出∠M的度数即可.
5．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：(1)因为∠A=x°，
所以∠ABC+∠ACB=
因为 BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
所以 ∠OBC =
所以∠OBC+
所以
故答案为：
(2)因为∠ABC 和∠ACB 的三等分线相交于点O1，O2，
所以
所以 ∠ACB.
因为∠A+∠ABC+∠ACB = 180°，
所以
所以
所以
故答案为：
(3)根据(1)(2)可得规律为若∠ABC 和∠ACB 的 n 等分线相交于点 O1，O2，…，On-1，则
故答案为：
【分析】（1）根据三角形的内角和等于 和角平分线的定义求出 的度数，从而 在 中，根据三角形的内角和等于 即可求出 的度数.
（2）仿照（1）的解答过程解答即可；
（3）根据第一问第二问可得规律为和 的n等分线相交于点 得到规律 解答即可.
6．【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：因为∠A=52°，∠ABC 与∠ACB的平分线交于点 D1，
所以∠ABC+∠ACB=
所以 ，
即
所以
因为∠ABD1与∠ACD1 的平分线交于点 D2，
所以
所以
所以
同理可得 .
故答案为：60°.
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得规律，进而得到 的度数.
7．【答案】50°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：分别过点P作PN⊥BD于点D、PM⊥AC于点G、PF⊥BA交BA延长线于点F.
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=∠ACD，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC＝∠ABC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC、∠PCD=∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC=∠BAC=40°，即∠BAC=80°，
∴∠CAF=180°-∠BAC＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠PAF=∠PAC=∠CAF=50°．
故答案为：50°．
【分析】
由于角平分线的点的到角两边距离相等，因此可过点P分别作BA、CA、CD的垂线段PF、PM、PN，则有PF＝PN＝PM，则可利用HL证明Rt△PFA≌Rt△PMA，则∠CAP=∠CAF＝（180°-∠BAC），则由一内一外角平分线模型知∠BAC=2∠BPC＝80°即可．
8．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：因为 的平分线与△ACB 的外角(∠ACD)的平分线交于点A1，
所以
同理可得
所以 因为∠A=α，所以
故答案为：
【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质理可得规律.
9．【答案】80
【知识点】三角形外角的概念及性质；8字模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=，
∵CE平分∠ACG，BD平分∠CBF，
∴∠ACE=∠GCE=，∠DBF=∠DBC=，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠DBC+∠CBE=+=90°，
∴∠D+∠E=90°，
又 ∠D-∠E=10°，
∴∠D=50°，∠E=40°，
又∠A+∠ABE=∠ACE+∠E（8字模型），∠ACG=∠A+∠ABC（外角定理），
∴∠A-∠E=∠ACE-∠ABE=-=（∠ACG-∠ABC），∠A=∠ACG-∠ABC
∴∠A-∠E=∠A，
∴∠A=2∠E=80°，
故答案为：80°.
【分析】根据角平分线的定义及邻补角定义知∠EBD=90°，从而得∠D+∠E=90°，根据 ∠D-∠E=10° 知∠D=50°，∠E=40°，再根据外角定理及“8字模型”知∠A=2∠E，从而求∠A的大小.
10．【答案】①②③
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△ABC是等边三角形，
∵，
∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，即①正确；
又∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠DAC=∠ACE=120°，
∵的两条外角平分线，相交于点 ，
∴∠PAC=∠DAC=60°，∠PCA=∠ACE=60°，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=60°，故②正确，
由②知△APC是等边三角形，
又，
∴∠APB=∠APC=30°，
∴∠APB=∠CBP，
∴PA∥BC，故③正确；
综上所述：①②③正确
故答案为：①②③.
【分析】根据等边三角形“三线合一”性质知①，再根据等边三角形外角的平分线知△APC是等边三角形，得到②，最后根据“三线合一”及平行线的判定得③.
11．【答案】②③④
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线 ，交点是D，∴BD平分∠ABC ，
∵EF∥AC ，∴∠CAD=∠EDA，并且∠EAD=∠EDA，∴∠CAD=∠EDA=∠EAD，即EA=ED，
同理可得CF=DF，因此AE+CF=DE+DF＝EF；
由于∠ABD = ∠CBD，所以∠ADB = ∠EAD - ∠ABD。
由于∠ACD + ∠FCD = ∠ABC + ∠BAC，∴2∠FCD = 2∠ABD + 180° - 2∠EAD，
因此∠CDF = ∠ABD + 90° - ∠EAD。
∴∠ADB + ∠CDF = ∠EAD - ∠ABD + ∠ABD + 90° - ∠EAD = 90°。
综上只有②③④正确。
故答案为：②③④．
【分析】本题可以利用三角形外角平分线的性质以及平行线的性质特点，可以优先得出②③结论的正确，然后利用这两个结论并且配合角度推导，可以得出④也是正确的。结论①无法通过一直条件得出。
12．【答案】（1）证明：设 AD，BC 交于点 O.因为∠A+∠B+∠AOB = 180°，∠C +∠D +∠COD =180°，
所以∠A+∠B +∠AOB = ∠C +∠D +∠COD.
因为∠AOB=∠COD，
所以∠A+∠B=∠C+∠D
（2）解：因为 AP，CP 分别平分∠BAD，∠BCD，
所以∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD.由(1) 的结论得， ∠P+∠BCP = ∠ABC +∠BAP，① ∠P+∠PAD=∠ADC+∠PCD，②①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD=∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
所以2∠P=∠ABC+∠ADC. 因为∠ABC= 36°， ∠ADC = 16°，
所以
所以∠P=26°
（3）解：猜想：
证明如下：因为AP 平分∠BAD，CP 平分△OCD 的外角 ∠BCE，
所以 ∠PAB = ∠PAD， ∠PCB =∠PCE.
因为∠BAO+∠B =∠BCD+∠D，
所以 2∠PAB +∠B = 180°-2∠PCB +∠D，
所以180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D =∠B.
因为∠P+∠PAD=∠PCB+∠AOC=∠PCB+∠B+2∠PAD，
所以 ∠P = ∠PAD +∠B +∠PCB=∠PAB+∠B+∠PCB，
所以∠PAB+∠PCB=∠P-∠B，
所以180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B，即
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；8字模型；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；
(2)由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，进而推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题；
(3)同(2)法列出方程组即可解决问题.
13．【答案】（1）2α-180°
（2）解：∠BPC+∠Q=180°.
理由：因为 BQ，CQ分别平分∠MBC，∠NCB，
所以∠QBC =
所以∠QBC+
所以∠QBC+
所以∠QBC+∠QCB=90°+
以
由(1)知
所以∠BPC+∠Q=180°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：(1)因为 BP，CP 分别平分∠ABC 与∠ACB，
所以
因为 ∠BPC = 180°-(∠PBC +∠PCB)，
所以
所以
因为∠BPC=α，所以∠A=2α-180°.
故答案为：2α-180°.
【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 ，进而求出即可解决问题；
(2)由角平分线的定义可得 结合平角的定义可求得 利用四边形的内角和为 可求得 与 的关系.
14．【答案】（1）解：∵∠MON=50°，∠OAB=70°，
∴∠OBA=180°-∠MON-∠OAB=60°，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠OAB=70°，∠OBA=60°，
∴∠ABC=30°，∠CAB=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=115°.
（2）解：∠ACB的度数不变，∠ACB=115°，
理由：点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠MON=50°，
∴∠ACB=180°-（∠ABC+∠CAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（180°-∠MON）=90°+∠MON=115°.
（3）解：设∠OBA=m，
∴∠MBA=180°-m，
∵∠MON+∠OBA+∠BAO=180°，∠MON=50°，
∴∠OBA+∠BAO=130°，
∴∠BAO=130°-m，
∵∠BP是∠ABM的角平分线，
∴∠ABP=∠ABM=（180°-∠OBA）=90°-∠OBA=90°-m，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBC=m，∠BOC=∠MON=25°，
∴∠BCP=∠OBC+∠BOC=m+25°，
∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=m+90°-m=90°，
∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°-m，
∵在△BCP中有一个角是另一个角的2倍，
∴①∠CBP=2∠BCP，
∴90°=2（m+25°），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
②∠CBP=2∠P，
∴90°=2（65°-m），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
③∠BCP=2∠P，
∴m+25°=2（65°-m），
解得：m=70°，
∴∠BAO=130°-m=60°，
④∠P=2∠BCP，
∴65°-m=2（m+25°），
解得l：m=10°，
∴∠BAO=130°-m=120°，
综上所述，∠BAO的度数为90°或60°或120
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和可知∠OBA=60°，根据角平分线的定义可知，∠ABC=∠OBA=30°，∠CAB=∠OAB=35°，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（2）根据题意可得∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（3）设∠OBA=m，根据三角形的内角和定理可得∠BAO=130°-m，△BCP的三个内角分别为：∠BCP=m+25°，∠CBP=90°，∠P=65°-m，根据 一个角是另一个角的2倍，分情况讨论即可.
（1）解：，，
，
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：不变，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
；
（3）解：设，
，
，
∵平分，
，
∵平分，
∴，
，
，
，，
，
．
在中有一个角是另一个角的2倍，
①若，则
解得：
②若，则，解得：
③若，则，解得：，
④若，则，解得：
在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或．
15．【答案】（1）解：
（2）
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作角的平分线；三角形的双内角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：（2），
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法正确作出∠B的平分线即可；
（2）首先根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可求得；
（3）先求出，进而求出，即可求出．
（1）
（2）解：，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
16．【答案】（1）
（2）解：的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
（3）解： 为的外角的角平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】（1），
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
【分析】
（1）先由三角形的内角和定理求出，再由角平分线的概念可得，再利用内角和定理即可；
（2）先由三角形的外角性质分别表示出，再由角平分线的概念可得，再利用内角和定理即可；
（3）先由三角形的外角性质表示出，再由角平分线的概念可表示出在，再利用三角形的外角性质表示出，则等量代换可得，又由（2）知，结合可得关于的一元一次方程并求解即可．
（1），
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
（2）的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
（3）如图，延长至，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
1 / 1三角形的求角度（角平分线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·海曙期末）如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的双内角平分线模型
【解析】【解答】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点为三个内角平分线的交点，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】过点分别作于，于，于，得到点为三个内角平分线的交点，即可求解．
2．（2026八上·慈溪月考）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E.下列结论中错误的是：（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解： 的平分线交于点O，
∴根据角平分线的定义得，
∵根据三角形内角和定理可得，
，所以结论A正确，不符合题意；
∵CD平分
所以结论B正确，不符合题意；
取AB的延长线于点M，AC的延长线于点N，如图：
ABC，
∵BE平分 CE平分
∵根据三角形内角和定理可得，
所以结论C正确，不符合题意；
由选项C知
无法得到 所以结论D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义可得 再由三角形的内角和定理可求解∠ 由角平分线的定义可得 结合三角形外角的额性质可判定 由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定 由 的结果无法推出 解答即可.
3．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP 是△ABC 的外角∠ACM的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A等于( )
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BP是△ABC 中∠ABC 的平分线，CP 是△ABC 的外角∠ACM 的平分线，
∴∠ABC=2∠ABP，∠ACM=2∠ACP.
又∵∠ABP= 20°， ∠ACP = 50°，
∴∠ABC= 2×20°= 40°， ∠ACM = 2×50°=100°，
∴∠A=∠ACM-∠ABC=60°，
故答案为： D.
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数.
4．（2024八上·凉州期中）如图，的外角和的平分线交于点E，和的平分线交于点M，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴.
∵和的平分线交于点E，
∴，
∴.
∵和的平分线交于点M，
∴，
∴，
在中，，
即：.
故答案为：C．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换求出，最后利用三角形的内角和求出∠M的度数即可.
二、填空题
5．已知△ABC中，∠A=x°.
（1）如图(1)，BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则∠BOC= °(用含x 的代数式表示).
（2）如图(2)，若∠ABC 和∠ACB 的三 等 分线 相交 于 点 O1，O2，则 °.(用含x的代数式表示)
（3）如图(3)，若∠ABC 和∠ACB的n等分线相交 于 点 O1， O2， …， On-1， 则 ∠BO1C = °.(用含x及n的代数式表示)
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：(1)因为∠A=x°，
所以∠ABC+∠ACB=
因为 BO，CO 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线，
所以 ∠OBC =
所以∠OBC+
所以
故答案为：
(2)因为∠ABC 和∠ACB 的三等分线相交于点O1，O2，
所以
所以 ∠ACB.
因为∠A+∠ABC+∠ACB = 180°，
所以
所以
所以
故答案为：
(3)根据(1)(2)可得规律为若∠ABC 和∠ACB 的 n 等分线相交于点 O1，O2，…，On-1，则
故答案为：
【分析】（1）根据三角形的内角和等于 和角平分线的定义求出 的度数，从而 在 中，根据三角形的内角和等于 即可求出 的度数.
（2）仿照（1）的解答过程解答即可；
（3）根据第一问第二问可得规律为和 的n等分线相交于点 得到规律 解答即可.
6．如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点 D2，…，依次类推，∠ABD3与∠ACD3的平分线交于点D4，则∠BD4C 的度数是 .
【答案】60°
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：因为∠A=52°，∠ABC 与∠ACB的平分线交于点 D1，
所以∠ABC+∠ACB=
所以 ，
即
所以
因为∠ABD1与∠ACD1 的平分线交于点 D2，
所以
所以
所以
同理可得 .
故答案为：60°.
【分析】根据角平分线的定义和三角形的内角和定理可得规律，进而得到 的度数.
7．（2024八上·萧山期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= ．
【答案】50°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：分别过点P作PN⊥BD于点D、PM⊥AC于点G、PF⊥BA交BA延长线于点F.
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=∠ACD，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC＝∠ABC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC、∠PCD=∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC=∠BAC=40°，即∠BAC=80°，
∴∠CAF=180°-∠BAC＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠PAF=∠PAC=∠CAF=50°．
故答案为：50°．
【分析】
由于角平分线的点的到角两边距离相等，因此可过点P分别作BA、CA、CD的垂线段PF、PM、PN，则有PF＝PN＝PM，则可利用HL证明Rt△PFA≌Rt△PMA，则∠CAP=∠CAF＝（180°-∠BAC），则由一内一外角平分线模型知∠BAC=2∠BPC＝80°即可．
8．如图，在△ABC 中，∠A=α，∠ABC 的平分线与△ACB 的外角(∠ACD)的平分线交于点A1； ∠A1BC 的 平 分 线 与 △A1CB 的 外 角(∠A1CD)的平分线交于点A2，…，以此类推，则 .(用含α的式子表示)
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：因为 的平分线与△ACB 的外角(∠ACD)的平分线交于点A1，
所以
同理可得
所以 因为∠A=α，所以
故答案为：
【分析】根据角平分线的定义和三角形的外角性质理可得规律.
9．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点E，EC的延长线交∠ABC的外角平分线于点D.若∠D-∠E=10°，则∠A的度数为 °.
【答案】80
【知识点】三角形外角的概念及性质；8字模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=，
∵CE平分∠ACG，BD平分∠CBF，
∴∠ACE=∠GCE=，∠DBF=∠DBC=，
∵∠ABC+∠CBF=180°，
∴∠DBC+∠CBE=+=90°，
∴∠D+∠E=90°，
又 ∠D-∠E=10°，
∴∠D=50°，∠E=40°，
又∠A+∠ABE=∠ACE+∠E（8字模型），∠ACG=∠A+∠ABC（外角定理），
∴∠A-∠E=∠ACE-∠ABE=-=（∠ACG-∠ABC），∠A=∠ACG-∠ABC
∴∠A-∠E=∠A，
∴∠A=2∠E=80°，
故答案为：80°.
【分析】根据角平分线的定义及邻补角定义知∠EBD=90°，从而得∠D+∠E=90°，根据 ∠D-∠E=10° 知∠D=50°，∠E=40°，再根据外角定理及“8字模型”知∠A=2∠E，从而求∠A的大小.
10．如图，的两条外角平分线，相交于点，于点.若 ，则下列结论： ； ；.其中正确的是 .（填序号）
【答案】①②③
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△ABC是等边三角形，
∵，
∴∠ABP=∠CBP=∠ABC=30°，即①正确；
又∠BAC=∠ACB=60°，
∴∠DAC=∠ACE=120°，
∵的两条外角平分线，相交于点 ，
∴∠PAC=∠DAC=60°，∠PCA=∠ACE=60°，
∴∠APC=180°-∠PAC-∠PCA=60°，故②正确，
由②知△APC是等边三角形，
又，
∴∠APB=∠APC=30°，
∴∠APB=∠CBP，
∴PA∥BC，故③正确；
综上所述：①②③正确
故答案为：①②③.
【分析】根据等边三角形“三线合一”性质知①，再根据等边三角形外角的平分线知△APC是等边三角形，得到②，最后根据“三线合一”及平行线的判定得③.
11．（2024八上·越秀期末）如图，AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线，过点D作EF∥AC分别交BA和BC的延长线于点E和F．给出以下结论：①ED＝DF；②AE+CF＝EF；③BD平分∠ABC；④∠ADB+∠CDF＝90°．其中正确的是 ．
【答案】②③④
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：∵AD和CD分别为△ABC的两个外角的平分线 ，交点是D，∴BD平分∠ABC ，
∵EF∥AC ，∴∠CAD=∠EDA，并且∠EAD=∠EDA，∴∠CAD=∠EDA=∠EAD，即EA=ED，
同理可得CF=DF，因此AE+CF=DE+DF＝EF；
由于∠ABD = ∠CBD，所以∠ADB = ∠EAD - ∠ABD。
由于∠ACD + ∠FCD = ∠ABC + ∠BAC，∴2∠FCD = 2∠ABD + 180° - 2∠EAD，
因此∠CDF = ∠ABD + 90° - ∠EAD。
∴∠ADB + ∠CDF = ∠EAD - ∠ABD + ∠ABD + 90° - ∠EAD = 90°。
综上只有②③④正确。
故答案为：②③④．
【分析】本题可以利用三角形外角平分线的性质以及平行线的性质特点，可以优先得出②③结论的正确，然后利用这两个结论并且配合角度推导，可以得出④也是正确的。结论①无法通过一直条件得出。
三、解答题
12．
（1）如图(1)的图形我们把它称为“8字形”，证明：∠A+∠B=∠C+∠D.
（2）如图(2)，AP，CP 分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，求∠P 的度数.
（3）如图(3)，AP 平分∠BAD，CP 平分△OCD的外角∠BCE，BC 交 AD 于点 O，猜想∠P 与∠B，∠D 的数量关系并证明.
【答案】（1）证明：设 AD，BC 交于点 O.因为∠A+∠B+∠AOB = 180°，∠C +∠D +∠COD =180°，
所以∠A+∠B +∠AOB = ∠C +∠D +∠COD.
因为∠AOB=∠COD，
所以∠A+∠B=∠C+∠D
（2）解：因为 AP，CP 分别平分∠BAD，∠BCD，
所以∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD.由(1) 的结论得， ∠P+∠BCP = ∠ABC +∠BAP，① ∠P+∠PAD=∠ADC+∠PCD，②①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD=∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
所以2∠P=∠ABC+∠ADC. 因为∠ABC= 36°， ∠ADC = 16°，
所以
所以∠P=26°
（3）解：猜想：
证明如下：因为AP 平分∠BAD，CP 平分△OCD 的外角 ∠BCE，
所以 ∠PAB = ∠PAD， ∠PCB =∠PCE.
因为∠BAO+∠B =∠BCD+∠D，
所以 2∠PAB +∠B = 180°-2∠PCB +∠D，
所以180°-2(∠PAB+∠PCB)+∠D =∠B.
因为∠P+∠PAD=∠PCB+∠AOC=∠PCB+∠B+2∠PAD，
所以 ∠P = ∠PAD +∠B +∠PCB=∠PAB+∠B+∠PCB，
所以∠PAB+∠PCB=∠P-∠B，
所以180°-2(∠P-∠B)+∠D=∠B，即
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；8字模型；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】(1)根据三角形内角和定理即可证明；
(2)由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠BAP=∠PAD，∠BCP=∠PCD，进而推出2∠P=∠ABC+∠ADC，即可解决问题；
(3)同(2)法列出方程组即可解决问题.
13．在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点 P.
（1）如图 (1)， 若 ∠BPC = α， 则 ∠A = ；(用含α的代数式表示)
（2）如图(2)，作△ABC 外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点 Q，试探究∠Q 与∠BPC 之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）2α-180°
（2）解：∠BPC+∠Q=180°.
理由：因为 BQ，CQ分别平分∠MBC，∠NCB，
所以∠QBC =
所以∠QBC+
所以∠QBC+
所以∠QBC+∠QCB=90°+
以
由(1)知
所以∠BPC+∠Q=180°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：(1)因为 BP，CP 分别平分∠ABC 与∠ACB，
所以
因为 ∠BPC = 180°-(∠PBC +∠PCB)，
所以
所以
因为∠BPC=α，所以∠A=2α-180°.
故答案为：2α-180°.
【分析】(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出 ，进而求出即可解决问题；
(2)由角平分线的定义可得 结合平角的定义可求得 利用四边形的内角和为 可求得 与 的关系.
14．（2024八上·金华月考）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、．
（1）如图2，当，求的大小．
（2）在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由；
（3）如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数．
【答案】（1）解：∵∠MON=50°，∠OAB=70°，
∴∠OBA=180°-∠MON-∠OAB=60°，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠OAB=70°，∠OBA=60°，
∴∠ABC=30°，∠CAB=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=115°.
（2）解：∠ACB的度数不变，∠ACB=115°，
理由：点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，
∵∠MON=50°，
∴∠ACB=180°-（∠ABC+∠CAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（∠OBA+∠OAB）=180°-（180°-∠MON）=90°+∠MON=115°.
（3）解：设∠OBA=m，
∴∠MBA=180°-m，
∵∠MON+∠OBA+∠BAO=180°，∠MON=50°，
∴∠OBA+∠BAO=130°，
∴∠BAO=130°-m，
∵∠BP是∠ABM的角平分线，
∴∠ABP=∠ABM=（180°-∠OBA）=90°-∠OBA=90°-m，
∵点C是△ABO三条内角平分线的交点，
∴∠ABC=∠OBC=m，∠BOC=∠MON=25°，
∴∠BCP=∠OBC+∠BOC=m+25°，
∴∠CBP=∠ABC+∠ABP=m+90°-m=90°，
∴∠P=180°-∠CBP-∠BCP=65°-m，
∵在△BCP中有一个角是另一个角的2倍，
∴①∠CBP=2∠BCP，
∴90°=2（m+25°），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
②∠CBP=2∠P，
∴90°=2（65°-m），
解得：m=40°，
∴∠BAO=130°-m=90°，
③∠BCP=2∠P，
∴m+25°=2（65°-m），
解得：m=70°，
∴∠BAO=130°-m=60°，
④∠P=2∠BCP，
∴65°-m=2（m+25°），
解得l：m=10°，
∴∠BAO=130°-m=120°，
综上所述，∠BAO的度数为90°或60°或120
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和可知∠OBA=60°，根据角平分线的定义可知，∠ABC=∠OBA=30°，∠CAB=∠OAB=35°，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（2）根据题意可得∠ABC=∠OBA，∠CAB=∠OAB，再运用三角形的内角和定理可得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB即可得解；
（3）设∠OBA=m，根据三角形的内角和定理可得∠BAO=130°-m，△BCP的三个内角分别为：∠BCP=m+25°，∠CBP=90°，∠P=65°-m，根据 一个角是另一个角的2倍，分情况讨论即可.
（1）解：，，
，
点为三条内角平分线交点，
，，
（2）解：不变，理由如下：
点为三条内角平分线交点，
，，
；
（3）解：设，
，
，
∵平分，
，
∵平分，
∴，
，
，
，，
，
．
在中有一个角是另一个角的2倍，
①若，则
解得：
②若，则，解得：
③若，则，解得：，
④若，则，解得：
在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或．
15．（2024八上·郯城期中）研究三角形的角平分线：
（1）尺规作图：如图1，作的平分线，不写作法，只保留作图痕迹；
（2）如图2，与的平分线相交于点，若，则的度数是________；
（3）如图3，作外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系．
【答案】（1）解：
（2）
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；尺规作图-作角的平分线；三角形的双内角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】解：（2），
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图法正确作出∠B的平分线即可；
（2）首先根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可求得；
（3）先求出，进而求出，即可求出．
（1）
（2）解：，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
故答案为：
（3）解：，理由如下：
，，
，
，的角平分线交于点
，，
，
．
16．（2024八上·益阳开学考）综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧．在中，与的平分线相交于点P．
（1）如图1，如果，那么___________°
（2）如图2，作的外角，的平分线交于点Q，试探究与的数量关系．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段交于点E，在中，若，求的度数．
【答案】（1）
（2）解：的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
（3）解： 为的外角的角平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】（1），
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
【分析】
（1）先由三角形的内角和定理求出，再由角平分线的概念可得，再利用内角和定理即可；
（2）先由三角形的外角性质分别表示出，再由角平分线的概念可得，再利用内角和定理即可；
（3）先由三角形的外角性质表示出，再由角平分线的概念可表示出在，再利用三角形的外角性质表示出，则等量代换可得，又由（2）知，结合可得关于的一元一次方程并求解即可．
（1），
，
与的平分线交于点，
，，
；
故答案为：；
（2）的外角，的平分线交于点，
，．
，
，
；
（3）如图，延长至，
为的外角的角平分线，
是的外角的平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
又，
，即，
，
，
，
，
．
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