三角形的全等变换-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·镇海区开学考）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；翻折全等-公共边模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
又BE=BE，
∴
∴
∵
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴当时，取得最大值，
的最大值是．
故选：A．
【分析】先得出，再证明，从而可得出，再结合已知条件得出，从而可得，即可求解．
2．（2025八上·镇海区开学考）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．20
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：在上取点G，使得，连结，
，，，
，
，
平分，，，
，，
在与中，
，
，，，
，
，
，
∴阴影部分面积为，
故选：A．
【分析】先根据SAS证明，再证明，然后可根据三角形面积公式求解．
3．（2024八上·上城期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：等腰中，，，
，
平分，
，
，
故①正确．
，
由①知，
，
，
故②正确；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故③正确；
平分
由③知
．
故④正确．
过作，．
在和中，
，
，
平分，
故⑤正确．
故选：．
【分析】
①由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的概念可得，再利用三角形的外角性质即可；
②由等腰三角形的三线合一结合三角形的外角性质可得，即有；
③由等腰三角形三线合一得，由等角对等边得，由垂直的定义得，则依据AAS即可；
④由外角的性质及互为余角可证明，即，则由等腰三角形三线合一知，由于，则；
⑤过作，，则可利用旋转全等模型证明，则，再由角平分线的判定即可证明结论．
4．（2024八上·长兴期中）如图，圆圆做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRO的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRO的平分线：此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：由 AB=AD，BC=DC， 且AC为公共边，可利用SSS判全等，得到角平分线，
故答案为：A.
【分析】利用三条边对应相等的两个三角形全等（sss）可得到答案.
5．（2022八上·常山期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项A不合题意；
，
，故选项B不合题意；
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，故选项D不合题意；
∵，若，
则，
则，
而一定不等于，
故选项C不成立，符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由于和都等边三角形且有公共顶点C，则由旋转全等模型可得，则AD＝BE；
B、由全等三角形的对应角相等可得，再由三角形外角的性质并等量代换可得；
C、由于DE＝DC，且可求得，若DP＝DE，则为等边三角形，则，但是的外角，则，即，故结论不可能成立；
D、同A可利用旋转全等模型证明，则PC＝PQ，又可证，即是等边三角形，则，再利用内错角相等两直线平行即可证明结论成立．
6．（2025八上·龙泉期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为( )
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由折叠的性质知结合已知，则，即，则过点E分别作BA、BD的垂线段EQ、EP，则由旋转全等模型可证，则有、，再连接，则可证，则有，则可转化为，再利用勾股定理计算得即可．
二、填空题
7．（2025八上·镇海区开学考）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；翻折全等-公共边模型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于E，设的面积为m，
∵为的角平分线，垂直于点，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，再根据的面积为m，求解即可得到结论．
8．如图是一张三角形纸片，已知AC=6cm，BC=8cm.现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为 .
【答案】14cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：根据题意可得DE垂直平分AB，
故AD=BD，
∴△ACD的周长=AC+CD+DB=AC+CD+DA=6+8=14cm.
故答案为：14cm.
【分析】根据折叠的性质得出DE垂直平分AB，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AD=BD，即可求解.
9．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
10．（2023八上·海曙期中）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若，，则 ， ．
【答案】60°；10
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图，在BE上取点F，连接CF，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB ∠ACF＝∠FCE ∠ACF，
即∠BCF＝∠ACE，
由对称的性质可得：PC垂直平分AD，
则EA＝ED，CA＝CD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD ∠EAD＝∠CDA ∠EDA，
即∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝CD，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
又∵∠FCE＝60°，
∴△CFE是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，即=60°．
∵△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
又∵AE＝ED，
∴BF＝AE＝ED，
∵△CFE是等边三角形，
∴CE＝EF，
∵BF＋EF＋ED＝BD，
∴2AE＋CE＝BD，
∵，，
∴BD=10．
故答案为：60°，10
【分析】在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，根据全等三角形的判定定理证明△CBF≌△CAE，再证△CFE是等边三角形，可推出∠CEF＝60°，即可求解；由BF＝AE＝ED，△CFE是等边三角形， CE＝EF，即可推出结论BD=2AE＋CE，进而得到答案．
11．（2025八上·路桥期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，
则是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴（或），
∴，
∴，
∴，
当点E与点H重合时，有最小值，为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
由直角三角形两锐角互余可得， 则可在上取点G，使，则是等边三角形，由于也是等边三角形，且与等边有公共顶点D，则连接AF，可由旋转全等模型证明，由全等的性质可得AF=GE，由于点G是AB上的定点，则当GE垂直BC时取小值，此时可过点G作BC的垂线段GH，则GE的最小值为GH，即AF的最小值为GH，此时再利用直角三角形中30度角的性质先求出AC，再由中点的概念求出AD，则BG可求，再利用直角三角形中30度角的性质求出GH即可．
三、解答题
12．（2025八上·镇海区开学考）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和．
【答案】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则，
，，
∴．
∵，
∴．
又，，
∴，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴与的面积之和为21．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，，然后得到．
13．（2025八上·余杭月考）在等腰中，、．
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接．
①求证：．
②当，时，求的长．
（2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在直线的上方），当，时，求的长．
【答案】解： （1）①如图1中，
由旋转的性质得AE=AF，，
，，
，
，
，，
．
②如图1中，设，则，
，，
，
，
，
，
，
在，
，，
，
，
．
（2）①当点在线段上时，如图2中，连接，
，
，
，，
，
，，
，
，．
②当点在的延长线上时，如图3中，连接，
同法可证是直角三角形，，，
，，
综上所述，的值为或．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）①由旋转的性质得AE=AF，∠BAE=∠CAF，然后根据角的构成推出∠DAE=∠DAF=45°，从而利用“SAS”可判断出△AED≌△AFD；②设DE=x，则CD=9-x，由等腰直角三角形的性质及旋转的性质可得出∠ABE=∠ACF=∠ACB=45°，由全等三角形的对应边相等得DE=DF=x，再在Rt△FDC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出DE的长；
（2）分类讨论：①当点D在线段BC上时，连接BE，由同角的余角相等得出∠EAB=∠DAC，从而利用“SAS”可证△EAB≌△ADC，由全等三角形对应边相等，对应角相等得EB=CD=6， ∠ABE =∠C=∠ABC=45°，在Rt△BDE中，再利用勾股定理计算即可；②当点D在CB的延长线上时，连接BE，同法可证△BED是直角三角形，EB=CD=12，DB=3，在Rt△BDE中，再利用勾股定理计算即可，综上可得答案.
14．（2024八上·平原期中）在等边三角形的两边所在直线上分别有两点M、N，P为外一点，且，，．探究：当点M、N分别在直线移动时，之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边上，且时，的数量关系是 .
（2）如图②，当点M、N在边上，且时，上述结论还成立吗？试说明理由．
（3）如图③，当点M、N分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，同理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长至，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
1 / 1三角形的全等变换-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·镇海区开学考）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（ ）
A．8 B． C． D．6
2．（2025八上·镇海区开学考）如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（ ）
A．12 B．24 C．18 D．20
3．（2024八上·上城期中）如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤平分，其中正确结论有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（2024八上·长兴期中）如图，圆圆做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRO的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRO的平分线：此角平分仪的画图原理是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（2022八上·常山期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·龙泉期末）如图，点，，在同一直线上，沿折叠，点恰好落在的直角顶点处．若，，则的值为( )
A．2 B． C．4 D．
二、填空题
7．（2025八上·镇海区开学考）如图，已知的面积为，为的角平分线，垂直于点，则的面积为 ．
8．如图是一张三角形纸片，已知AC=6cm，BC=8cm.现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则△ACD的周长为 .
9．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当 时，为直角三角形．
10．（2023八上·海曙期中）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，，点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE，若，，则 ， ．
11．（2025八上·路桥期末）如图，在中，，，，是的中点，是上一动点，若以为边在其右侧作等边三角形，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
12．（2025八上·镇海区开学考）如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和．
13．（2025八上·余杭月考）在等腰中，、．
（1）如图1，，是等腰斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转90后，得到，连接．
①求证：．
②当，时，求的长．
（2）如图2，点是等腰斜边所在直线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在直线的上方），当，时，求的长．
14．（2024八上·平原期中）在等边三角形的两边所在直线上分别有两点M、N，P为外一点，且，，．探究：当点M、N分别在直线移动时，之间的数量关系．
（1）如图①，当点M、N在边上，且时，的数量关系是 .
（2）如图②，当点M、N在边上，且时，上述结论还成立吗？试说明理由．
（3）如图③，当点M、N分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；翻折全等-公共边模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图所示，取的中点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴，
又BE=BE，
∴
∴
∵
∴
∵点为的中点，
∴
∴，
∴
∴
∴当时，取得最大值，
的最大值是．
故选：A．
【分析】先得出，再证明，从而可得出，再结合已知条件得出，从而可得，即可求解．
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】解：在上取点G，使得，连结，
，，，
，
，
平分，，，
，，
在与中，
，
，，，
，
，
，
∴阴影部分面积为，
故选：A．
【分析】先根据SAS证明，再证明，然后可根据三角形面积公式求解．
3．【答案】A
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：等腰中，，，
，
平分，
，
，
故①正确．
，
由①知，
，
，
故②正确；
，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
故③正确；
平分
由③知
．
故④正确．
过作，．
在和中，
，
，
平分，
故⑤正确．
故选：．
【分析】
①由等腰直角三角形的性质可得，由角平分线的概念可得，再利用三角形的外角性质即可；
②由等腰三角形的三线合一结合三角形的外角性质可得，即有；
③由等腰三角形三线合一得，由等角对等边得，由垂直的定义得，则依据AAS即可；
④由外角的性质及互为余角可证明，即，则由等腰三角形三线合一知，由于，则；
⑤过作，，则可利用旋转全等模型证明，则，再由角平分线的判定即可证明结论．
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：由 AB=AD，BC=DC， 且AC为公共边，可利用SSS判全等，得到角平分线，
故答案为：A.
【分析】利用三条边对应相等的两个三角形全等（sss）可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，，故选项A不合题意；
，
，故选项B不合题意；
在和中，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，故选项D不合题意；
∵，若，
则，
则，
而一定不等于，
故选项C不成立，符合题意，
故选：C．
【分析】
A、由于和都等边三角形且有公共顶点C，则由旋转全等模型可得，则AD＝BE；
B、由全等三角形的对应角相等可得，再由三角形外角的性质并等量代换可得；
C、由于DE＝DC，且可求得，若DP＝DE，则为等边三角形，则，但是的外角，则，即，故结论不可能成立；
D、同A可利用旋转全等模型证明，则PC＝PQ，又可证，即是等边三角形，则，再利用内错角相等两直线平行即可证明结论成立．
6．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作于点，交的延长线于点，则，
沿折叠，点落在的直角顶点处，且，，
，，，
，
，
在和中，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故选：B．
【分析】
由折叠的性质知结合已知，则，即，则过点E分别作BA、BD的垂线段EQ、EP，则由旋转全等模型可证，则有、，再连接，则可证，则有，则可转化为，再利用勾股定理计算得即可．
7．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；翻折全等-公共边模型；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：延长交于E，设的面积为m，
∵为的角平分线，垂直于点，
∴，，
又，
∴，
∴，，
∴和等底同高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：4．
【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，得到和等底同高，求得，再根据的面积为m，求解即可得到结论．
8．【答案】14cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；翻折全等-公共边模型
【解析】【解答】解：根据题意可得DE垂直平分AB，
故AD=BD，
∴△ACD的周长=AC+CD+DB=AC+CD+DA=6+8=14cm.
故答案为：14cm.
【分析】根据折叠的性质得出DE垂直平分AB，根据垂直平分线上的点到两端点的距离相等得出AD=BD，即可求解.
9．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
10．【答案】60°；10
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；旋转全等模型
【解析】【解答】解：如图，在BE上取点F，连接CF，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB ∠ACF＝∠FCE ∠ACF，
即∠BCF＝∠ACE，
由对称的性质可得：PC垂直平分AD，
则EA＝ED，CA＝CD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD ∠EAD＝∠CDA ∠EDA，
即∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝CD，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
又∵∠FCE＝60°，
∴△CFE是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，即=60°．
∵△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
又∵AE＝ED，
∴BF＝AE＝ED，
∵△CFE是等边三角形，
∴CE＝EF，
∵BF＋EF＋ED＝BD，
∴2AE＋CE＝BD，
∵，，
∴BD=10．
故答案为：60°，10
【分析】在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，根据全等三角形的判定定理证明△CBF≌△CAE，再证△CFE是等边三角形，可推出∠CEF＝60°，即可求解；由BF＝AE＝ED，△CFE是等边三角形， CE＝EF，即可推出结论BD=2AE＋CE，进而得到答案．
11．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
在上取点G，使，过点G作于点H，连接，
则是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴（或），
∴，
∴，
∴，
当点E与点H重合时，有最小值，为，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】
由直角三角形两锐角互余可得， 则可在上取点G，使，则是等边三角形，由于也是等边三角形，且与等边有公共顶点D，则连接AF，可由旋转全等模型证明，由全等的性质可得AF=GE，由于点G是AB上的定点，则当GE垂直BC时取小值，此时可过点G作BC的垂线段GH，则GE的最小值为GH，即AF的最小值为GH，此时再利用直角三角形中30度角的性质先求出AC，再由中点的概念求出AD，则BG可求，再利用直角三角形中30度角的性质求出GH即可．
12．【答案】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则，
，，
∴．
∵，
∴．
又，，
∴，
∴，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴与的面积之和为21．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【分析】先证明，根据全等三角形的性质得到，，，然后得到．
13．【答案】解： （1）①如图1中，
由旋转的性质得AE=AF，，
，，
，
，
，，
．
②如图1中，设，则，
，，
，
，
，
，
，
在，
，，
，
，
．
（2）①当点在线段上时，如图2中，连接，
，
，
，，
，
，，
，
，．
②当点在的延长线上时，如图3中，连接，
同法可证是直角三角形，，，
，，
综上所述，的值为或．
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SSS；旋转全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）①由旋转的性质得AE=AF，∠BAE=∠CAF，然后根据角的构成推出∠DAE=∠DAF=45°，从而利用“SAS”可判断出△AED≌△AFD；②设DE=x，则CD=9-x，由等腰直角三角形的性质及旋转的性质可得出∠ABE=∠ACF=∠ACB=45°，由全等三角形的对应边相等得DE=DF=x，再在Rt△FDC中，利用勾股定理建立方程，求解即可得出DE的长；
（2）分类讨论：①当点D在线段BC上时，连接BE，由同角的余角相等得出∠EAB=∠DAC，从而利用“SAS”可证△EAB≌△ADC，由全等三角形对应边相等，对应角相等得EB=CD=6， ∠ABE =∠C=∠ABC=45°，在Rt△BDE中，再利用勾股定理计算即可；②当点D在CB的延长线上时，连接BE，同法可证△BED是直角三角形，EB=CD=12，DB=3，在Rt△BDE中，再利用勾股定理计算即可，综上可得答案.
14．【答案】（1）
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转全等模型
【解析】【解答】（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据等边三角形判定定理可得为等边三角形，则，再根据含30°角的直角三角形性质可得，同理可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）延长至，使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：为等边三角形，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
为等边三角形，
，
在中，，
，
同理可得，，
；
（2）解：一定成立，
理由如下：如图，延长至，使，连接，
由（1）可知：，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（3）解：如图，在上截取，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
1 / 1
