三角形的全等三角形（手拉手模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·拱墅月考） 如图， △ACB是等腰直角三角形， ∠ACB=90°， D为AB 边上一点， 是等腰直角三角形， ∠ECD=90°， 连接AE， 若AD=1， BD=2， 则ED的长为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC， EC= DC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA， ∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中.
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠EAC =∠B=45°， AE=BD =2，
又∵∠BAC=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形，
∴ED=
故答案为：A .
【分析】根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°， 所以△AED是直角三角形， 利用勾股定理即可求出DE长度.
2．（2025八上·增城期末）如图，点C为线段AB上一点，且AC=2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC=3，设DF=a、EF=b，则a、b满足（ ）
A．a=2b+1 B．a=2b+2 C．a=2b D．a=2b+3
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：
与都为等边三角形，
即
又∵
∴≌(SAS)，
∴四点共圆，C，B，E，F四点共圆，
与都为等边三角形，
∴
∴，
即
同理可得： 即
故选：D.
【分析】根据题意可得，得到≌，再利用四点共圆的判定与性质得到从而得到即，再利用相似三角形的性质，求解即可
3．（2025八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，CH⊥CD交AD于点H，已知S△ACP﹣S△PBD＝16，则下列结论：①∠CAP＝∠CBD；②△ACH≌△BCD；③S△CHD＝16；④CD＝4，其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠CAP =∠CBD， 所以①正确；
∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
∴△ACH≌△BCD(ASA)， 所以②正确；
即 所以③正确；
∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD = 90°，
解得 所以④错误.
故答案为：C.
【分析】利用等角的余角相等可对①进行判断；通过证明∠ACH =∠BCD， 则根据“ASA”可证明△ACH≌△BCD(ASA)，则可对②进行判断；接着根据全等三角形的性质得到 则利用等量代换可得到 于是可对③进行判断；然后利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式可对④进行判断.
4．（2025八下·德阳期中）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
与不一定相等，
故不成立，故①错误；
由①中证明，
∴，
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，
故③不正确，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【分析】
由于可证明是等腰直角三角形，则由手拉手全等模型可证，则，若则有，则可证明，即有，但已知未明确指出，故结论①不正确；
如图所示，连接，则可证明，则，由勾股定理结合等量代换可得②正确；
如图设AD交EF于点G，则由知等于的一半，又由和知垂直平分，则，但显然，故结论③错误；
由根据勾股定理结合等量代换即可得出④．
5．（2025八下·兴宁期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∴，故②错误；
在线段CE上截取OE=PD，连接AO，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由②得，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上，正确的结论有3个，
故答案为：．
【分析】
根据等式的性质，结合∠BAC=∠DAE可知：∠BAD=∠CAE，再结合AB=AC，AD=AE，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BAD≌△CAE，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：BD=CE，即可判定①； 过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F， 由全等三角形的性质：全等三角形面积相等可得：，再根据三角形面积计算公式：代入数据可知：，结合BD=CE可得：AH-=AF；再根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得：∠NPD=∠DAE=α，由角的和差运算可知：∠BPE=180°-∠NPD=180°-α，即可判定②；在线段CE上截取OE=PD，连接AO，根据全等三角形的性质对应角相等可知：∠BDA=∠AEC，结合OE=PD，AE=AD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△AOE≌△APD，再由等三角形的性质：对应边相等可知：AP=AO；根据②可得：，即∠BPE=120°，再根据角平分线的定义可知：∠APO=60°，根据等边三角形的判定定理可知：△APO为等边三角形，即得AP=PO，由线段的和差运算可知：PE=PO+OE，等量代换可得：，即可判定④；综上即可求解，由此可得出答案．
6．（2024八上·陵城期中）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：①和是等边三角形，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，故①正确；
②由①得，
，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
∴为等边三角形，
，
，故②正确；
③由②得，
，故③正确；
④，，
，
∴，
，，
，
∴，
∴，故④错误；
⑤∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②③⑤，
故答案为：C．
【分析】①根据等边三角形的性质，利用“手拉手”全等模型证明，得；②由①中的全等三角形得，求出，从而证明，得，进而推出为等边三角形，得，即可得证；③由②中的全等三角形即可得证；④求出，结合三角形外角的性质得，于是得，则；⑤证明，得，则，利用三角形外角的性质求出.
二、填空题
7．（2025八上·福田开学考）如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②∠DAE=∠ABD；③AC=DN；④EM=BN.
其中正确结论的是（填序号） .
【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型；补角
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形
∴AC=DC，EC=BC，∠ADC=∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=60°+∠DCE
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB(SAS)，①正确
∴∠CEA=∠ABD
∵A，C，B三点在同一条直线上
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°
∴∠ADC=∠DCE，∠MCE=∠NCB
∴AD∥CE
∴∠DAE=∠CEA
∴∠DAE=∠ABD，②正确
在△MCE和△NCB中
∴△MCE≌△NCB(ASA)
∴CM=CN，EM=BN，④正确
∴△MCN是等边三角形
∴∠CNM=60°
∴∠DNC>60°
∴∠DNC>∠DCN
∴DC≠DN
∴AC≠DN，③错误
故答案为：①②④
【分析】根据等边三角形性质可得AC=DC，EC=BC，∠ADC=∠ACD=∠BCE=60°，根据角之间的关系可得∠ACE=∠DCB=60°+∠DCE，根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB(SAS)，可判断①，根据全等三角形性质可得∠CEA=∠ABD，根据补角可得∠DCE，根据直线平行判定定理可得AD∥CE，则∠DAE=∠ABD，根据角之间的关系可判断②，根据全等三角形判定定理和性质可判断④，根据等边三角形判定定理可得△MCE≌△NCB(ASA)，则∠CNM=60°，根据角之间的关系可得∠DNC>∠DCN，再根据等腰三角形可判断③.
8．（2024八上·杭州期中）如图，都是等边三角形，则的度数是 ．
【答案】120°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
∴，
故答案为：120°．
【分析】根据等边三角形的性质，结合”手拉手“全等模型证明，从而得到，然后利用三角形的外角性质得到的度数.
9．（2023八上·岫岩月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的判定；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
所以其中正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC＝∠BOD，再根据全等三角形判定定理及性质可判断②，再根据三角形外角性质可判断①；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，根据全等三角形性质可得OG＝OH，再根据角平分线判定定理可判断④；再根据全等三角形判定定理可得△AMO≌△DMO（ASA），则AO＝OD，再根据边之间的关系可判断③.
10．（2023八上·凉州期中）如图，已知和都是等边三角形，点 在同一条直线上，交于，交于， 交点；下列说法：①；②为等边三角形；③；④平分∠．其中一定正确的是 （只需填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：证明：①∵和都是等边三角形，
在和中，
，
；①正确；
②
在和中，
∴为等边三角形；②正确；
③
而
；③错误；
④如图：作于 ，于；
∴平分；④正确；
故答案为：①②④
【分析】本题是等边三角形与全等三角形的综合题，需多次运用SAS，ASA判定全等，结合等边三角形的性质推导线段和角度关系，同时利用角平分线的判定定理证明角平分线，体现了几何证明的层层推导.①根据等边三角形的性质通过“”可判断，得；②由得到，结合AC=BC，∠ACM=∠BCN=60°，证，得，又因为，故为等边三角形；③根据三角形内角和，∠BOD=180°-（∠OBC+∠ODB）=180°-（∠CAD+∠ODB）=120°，故③错误；④作，，由得，根据角平分线的判定，平分.
11．（2024八上·广州期中）如图，在和中，，，，若，则 ．
【答案】110
【知识点】多边形内角与外角；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：在四边形中，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据题意求出，再利用SAS求出，最后根据全等三角形的性质求解即可.
12．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，且，连接．
（）如图（），当时，若， 度；
（）如图（），设（），在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示）
【答案】25；
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1），
在和中
（SAS）
故答案为：25
（2），
，
在和中
（SAS）
故答案为：
【分析】
（1）根据手拉手模型证明，然后全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形，然后得到∠ABC=60°，接着利用三角形的内角和等于求得最终结果；
（2）利用手拉手模型证明，利用全等三角形的性质得到，然后得到，接着利用三角形的内角和求得结果．
三、解答题
13．（2025八上·杭州月考）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”，请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题。
（1）【探究发现】
如图1，在△ABC和△ADE中， AB= AC. AD= AE， ∠BAC= ∠DAE=30°，点D在AC上，连接BD、CE，且B、D、E三点共线，则图中与线段BD相等的线段是 ， ∠BEC= °
（2）【初步运用】
如图2，在△ABC和△ADB中， AB=AC， AD= AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD、CE交于点O.找出图中与BD相等的线段，并证明；
（3）【迁移应用】
如图3，在四边形ABCD中，点E是四边形内一点，且∠AEB=∠DEC=90°，AE=BE=6，DE=EC=4，请计算 AD2+ BC2的值.
【答案】（1）CE和BC；30
（2）解：BD=CE；
证明： 在△ABC和△ADE中， AB= AC， AD = AE， ∠BAC =∠DAE =α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（3）解：连接AC， BD交于O，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1) 在△ABC和△ADE中， AB=AC， AD= AE， ∠BAC =∠DAE =30°， B、D、E三点共线，
∴∠ADB =180°-∠ADE = 105°，
∴∠CBD=∠ADB-∠ACB=105°-75°=30°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE， ∠AEC =∠ADB=105°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=105°-75°= 30°，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CE=BC，∴BD=CE=BC，
∴图中与线段BD相等的线段是CE和BC，∠BEC=30°，
故答案为： CE和BC， 30；
【分析】(1)根据等边对等角的性质和三角形内角和定义与外角的性质， 得到∠ADB=105°， ∠CBD=30°， 证明△ABD≌△ACE(SAS)，得到BD=CE， ∠AEC =∠ADB=105°， 进而得到∠BEC=30°， 推出BD=CE=BC， 即可得到答案；(2)根据全等三角形的判定定理证明△ABD≌△ACE(SAS)， 得到BD=CE， 即可得到答案；(3)连接AC， BD交于O， 由∠AEB=∠DEC= 90°， 得到∠AEC =∠BED， 根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠DBE，根据三角形的内角和定理得到∠AOB=∠AEB=90°， 根据勾股定理即可得到结论.
14．（2025八上·温州月考）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：
已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC=∠ACB=45°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE＝90°，且AE＝AD，连接DE，CE．
实践探究：
（1） 如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的关系是
（2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，若BC=6， BD=x（x＞6），求△CDE的面积（用含x的代数式表示）
（3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果BC=7，CE=3，利用备用图，求出线段CD的长，并说明理由．
【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE
（2）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE，
即BD＝CE＝x，BD⊥CE，
∴CD＝BD﹣BC＝x﹣6，
∴△CDE的面积为CD CE=（x＞6）；
（3）解：①当点D在BC上时，如图所示：
由（1）证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，
②当点D在CB延长线上时，如图所示：
由（2）证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE＝3，
∴CD＝BC+BD＝7+3＝10，
综上所述，CD＝4或10．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解答：(1)∵∠BAC =∠DAE=90°， AB= AC，∴∠BAD=∠CAE， ∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD =CE， ∠B=∠ACE =45°，
∴∠BCE =∠ACB+∠ACE = 90°，
∴BD⊥CE，
故答案为： BD =CE， BD⊥CE；
【分析】(1)由SAS证明 可得出BD与CE的数量和位置关系；
(2)同 (1) 中证明 得出CD=BD-BC=x-6，由三角形面积公式可得出结论；
(3)分两种情况，由全等三角形的性质求出BD，则可求出CD的长.
15．（2025八上·西湖月考）在中，，D是直线上一点，以为一边在的右侧作，使，，连接，设，．
（1）如图1，点D在线段上移动时，求证．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明．
（3）当点D在线段的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间的数量关系是______．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（3）解：D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
故答案为：.
【分析】（1）根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2） 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即；
（3）根据条件画出图形， 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即.
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）解：∴D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
16．（2024八上·萧山期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：．
（2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图④，在四边形中，，，，求的长．
【答案】（1）证明：，
，即，
，，
，
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等式性质及角的构成推出∠BAD=∠CAE，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得BE=CE；
（2）设交于，由等式性质及角的构成推出∠ACD=∠BCE，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，结合对顶角相等及三角形的内角和定理即可得，即；由等腰直角三角形的性质得，从而根据线段的和差及等量代换得；
（3）作，且，连接，，由等角对等边得AB=AC，由角的构成及等式性质推出∠DAB=∠CAE，从而利用SAS判断出证明，由全等三角形的对应边相等可得，由等腰直角三角形的性质及勾股定理得，进而再根据勾股定理算出CE的长，即可得出答案．
（1）证明：，
，即，
，，
，
；
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
；
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
1 / 1三角形的全等三角形（手拉手模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·拱墅月考） 如图， △ACB是等腰直角三角形， ∠ACB=90°， D为AB 边上一点， 是等腰直角三角形， ∠ECD=90°， 连接AE， 若AD=1， BD=2， 则ED的长为( )
A． B． C． D．
2．（2025八上·增城期末）如图，点C为线段AB上一点，且AC=2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC=3，设DF=a、EF=b，则a、b满足（ ）
A．a=2b+1 B．a=2b+2 C．a=2b D．a=2b+3
3．（2025八上·义乌月考）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，点P是BC上一点，BD⊥AP交AP延长线于点D，连接CD，CH⊥CD交AD于点H，已知S△ACP﹣S△PBD＝16，则下列结论：①∠CAP＝∠CBD；②△ACH≌△BCD；③S△CHD＝16；④CD＝4，其中正确的结论有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2025八下·德阳期中）如图，在中，，，D、E为上两点，，F为外一点，且，，则以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
5．（2025八下·兴宁期中）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024八上·陵城期中）如图，为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，则有以下五个结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（ ）
A．①③⑤ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
二、填空题
7．（2025八上·福田开学考）如图，A，C，B三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，有如下结论：
①△ACE≌△DCB；②∠DAE=∠ABD；③AC=DN；④EM=BN.
其中正确结论的是（填序号） .
8．（2024八上·杭州期中）如图，都是等边三角形，则的度数是 ．
9．（2023八上·岫岩月考）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA10．（2023八上·凉州期中）如图，已知和都是等边三角形，点 在同一条直线上，交于，交于， 交点；下列说法：①；②为等边三角形；③；④平分∠．其中一定正确的是 （只需填写序号）．
11．（2024八上·广州期中）如图，在和中，，，，若，则 ．
12．（2024八上·义乌月考）如图，在中，，为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，且，连接．
（）如图（），当时，若， 度；
（）如图（），设（），在点运动过程中，当时， ．（用含的式子表示）
三、解答题
13．（2025八上·杭州月考）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，数学兴趣小组称此图形为“手拉手模型”，请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题。
（1）【探究发现】
如图1，在△ABC和△ADE中， AB= AC. AD= AE， ∠BAC= ∠DAE=30°，点D在AC上，连接BD、CE，且B、D、E三点共线，则图中与线段BD相等的线段是 ， ∠BEC= °
（2）【初步运用】
如图2，在△ABC和△ADB中， AB=AC， AD= AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD、CE交于点O.找出图中与BD相等的线段，并证明；
（3）【迁移应用】
如图3，在四边形ABCD中，点E是四边形内一点，且∠AEB=∠DEC=90°，AE=BE=6，DE=EC=4，请计算 AD2+ BC2的值.
14．（2025八上·温州月考）数学实践活动课上，李老师带着小强、小凡、小颖以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情境：
已知，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠ABC=∠ACB=45°，点D是直线BC上的一个动点，连接AD，在直线AD的右侧作∠DAE＝90°，且AE＝AD，连接DE，CE．
实践探究：
（1） 如图1是小强在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC上，请直接写出线段BD与CE的关系是
（2）如图2是小凡在探究过程中画出的图形，此时点D在线段BC的延长线上，若BC=6， BD=x（x＞6），求△CDE的面积（用含x的代数式表示）
（3）小颖在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果BC=7，CE=3，利用备用图，求出线段CD的长，并说明理由．
15．（2025八上·西湖月考）在中，，D是直线上一点，以为一边在的右侧作，使，，连接，设，．
（1）如图1，点D在线段上移动时，求证．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明．
（3）当点D在线段的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间的数量关系是______．
16．（2024八上·萧山期中）定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，那么称此图形为“手拉手全等模型”．例如，如图①，与都是等腰三角形，其中，则．
（1）如图②，与都是等腰三角形，，，且，求证：．
（2）如图③若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，为中上的高，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图④，在四边形中，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC， EC= DC，∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BAC=∠B=45°，
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA， ∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中.
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠EAC =∠B=45°， AE=BD =2，
又∵∠BAC=45°，
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形，
∴ED=
故答案为：A .
【分析】根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明△ACE≌△BCD，根据全等三角形的对应边相等、对应角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°， 所以△AED是直角三角形， 利用勾股定理即可求出DE长度.
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图：
与都为等边三角形，
即
又∵
∴≌(SAS)，
∴四点共圆，C，B，E，F四点共圆，
与都为等边三角形，
∴
∴，
即
同理可得： 即
故选：D.
【分析】根据题意可得，得到≌，再利用四点共圆的判定与性质得到从而得到即，再利用相似三角形的性质，求解即可
3．【答案】C
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BD⊥AP，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACP=∠BDP，
∵∠APC=∠BPD，
∴∠CAP =∠CBD， 所以①正确；
∵CH⊥CD，
∴∠HCD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACH=∠BCD，
在△ACH和△BCD中，
∴△ACH≌△BCD(ASA)， 所以②正确；
即 所以③正确；
∵△ACH≌△BCD，
∴CH=CD，
∵∠HCD = 90°，
解得 所以④错误.
故答案为：C.
【分析】利用等角的余角相等可对①进行判断；通过证明∠ACH =∠BCD， 则根据“ASA”可证明△ACH≌△BCD(ASA)，则可对②进行判断；接着根据全等三角形的性质得到 则利用等量代换可得到 于是可对③进行判断；然后利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式可对④进行判断.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
与不一定相等，
故不成立，故①错误；
由①中证明，
∴，
连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，故②正确；
设与的交点为，
∵，，
∴，，
∴，
故③不正确，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，故④正确，
故选：B．
【分析】
由于可证明是等腰直角三角形，则由手拉手全等模型可证，则，若则有，则可证明，即有，但已知未明确指出，故结论①不正确；
如图所示，连接，则可证明，则，由勾股定理结合等量代换可得②正确；
如图设AD交EF于点G，则由知等于的一半，又由和知垂直平分，则，但显然，故结论③错误；
由根据勾股定理结合等量代换即可得出④．
5．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，故①正确；
过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴平分，故③正确；
∵，，
∴，
∴，故②错误；
在线段CE上截取OE=PD，连接AO，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由②得，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，故④正确；
综上，正确的结论有3个，
故答案为：．
【分析】
根据等式的性质，结合∠BAC=∠DAE可知：∠BAD=∠CAE，再结合AB=AC，AD=AE，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△BAD≌△CAE，再由全等三角形的性质：对应边相等可知：BD=CE，即可判定①； 过点A作AH⊥BD于H，AF⊥CE于F， 由全等三角形的性质：全等三角形面积相等可得：，再根据三角形面积计算公式：代入数据可知：，结合BD=CE可得：AH-=AF；再根据角平分线的判定即可判定③；由全等三角形的性质和三角形内角和定理可得：∠NPD=∠DAE=α，由角的和差运算可知：∠BPE=180°-∠NPD=180°-α，即可判定②；在线段CE上截取OE=PD，连接AO，根据全等三角形的性质对应角相等可知：∠BDA=∠AEC，结合OE=PD，AE=AD，根据全等三角形的判定定理SAS可证得：△AOE≌△APD，再由等三角形的性质：对应边相等可知：AP=AO；根据②可得：，即∠BPE=120°，再根据角平分线的定义可知：∠APO=60°，根据等边三角形的判定定理可知：△APO为等边三角形，即得AP=PO，由线段的和差运算可知：PE=PO+OE，等量代换可得：，即可判定④；综上即可求解，由此可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：①和是等边三角形，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，故①正确；
②由①得，
，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
∴为等边三角形，
，
，故②正确；
③由②得，
，故③正确；
④，，
，
∴，
，，
，
∴，
∴，故④错误；
⑤∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有①②③⑤，
故答案为：C．
【分析】①根据等边三角形的性质，利用“手拉手”全等模型证明，得；②由①中的全等三角形得，求出，从而证明，得，进而推出为等边三角形，得，即可得证；③由②中的全等三角形即可得证；④求出，结合三角形外角的性质得，于是得，则；⑤证明，得，则，利用三角形外角的性质求出.
7．【答案】①②④
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；手拉手全等模型；补角
【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形
∴AC=DC，EC=BC，∠ADC=∠ACD=∠BCE=60°
∴∠ACE=∠DCB=60°+∠DCE
在△ACE和△DCB中
∴△ACE≌△DCB(SAS)，①正确
∴∠CEA=∠ABD
∵A，C，B三点在同一条直线上
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=60°
∴∠ADC=∠DCE，∠MCE=∠NCB
∴AD∥CE
∴∠DAE=∠CEA
∴∠DAE=∠ABD，②正确
在△MCE和△NCB中
∴△MCE≌△NCB(ASA)
∴CM=CN，EM=BN，④正确
∴△MCN是等边三角形
∴∠CNM=60°
∴∠DNC>60°
∴∠DNC>∠DCN
∴DC≠DN
∴AC≠DN，③错误
故答案为：①②④
【分析】根据等边三角形性质可得AC=DC，EC=BC，∠ADC=∠ACD=∠BCE=60°，根据角之间的关系可得∠ACE=∠DCB=60°+∠DCE，根据全等三角形判定定理可得△ACE≌△DCB(SAS)，可判断①，根据全等三角形性质可得∠CEA=∠ABD，根据补角可得∠DCE，根据直线平行判定定理可得AD∥CE，则∠DAE=∠ABD，根据角之间的关系可判断②，根据全等三角形判定定理和性质可判断④，根据等边三角形判定定理可得△MCE≌△NCB(ASA)，则∠CNM=60°，根据角之间的关系可得∠DNC>∠DCN，再根据等腰三角形可判断③.
8．【答案】120°
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
∴，
故答案为：120°．
【分析】根据等边三角形的性质，结合”手拉手“全等模型证明，从而得到，然后利用三角形的外角性质得到的度数.
9．【答案】①②④
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的判定；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；
∵∠OAC＝∠OBD，
由三角形的外角性质得：
∠AMB＋∠OBD＝∠OAC＋∠AOB，
∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；
作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，
则∠OGA＝∠OHB＝90°，
∵△AOC≌△BOD，
∴OG＝OH，
∴MO平分∠AMD，故④正确；
假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，
在△AMO与△DMO中，，
∴△AMO≌△DMO（ASA），
∴AO＝OD，
∵OC＝OD，
∴OA＝OC，
而OA＜OC，故③错误；
所以其中正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【分析】根据角之间的关系可得∠AOC＝∠BOD，再根据全等三角形判定定理及性质可判断②，再根据三角形外角性质可判断①；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，根据全等三角形性质可得OG＝OH，再根据角平分线判定定理可判断④；再根据全等三角形判定定理可得△AMO≌△DMO（ASA），则AO＝OD，再根据边之间的关系可判断③.
10．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；角平分线的判定；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：证明：①∵和都是等边三角形，
在和中，
，
；①正确；
②
在和中，
∴为等边三角形；②正确；
③
而
；③错误；
④如图：作于 ，于；
∴平分；④正确；
故答案为：①②④
【分析】本题是等边三角形与全等三角形的综合题，需多次运用SAS，ASA判定全等，结合等边三角形的性质推导线段和角度关系，同时利用角平分线的判定定理证明角平分线，体现了几何证明的层层推导.①根据等边三角形的性质通过“”可判断，得；②由得到，结合AC=BC，∠ACM=∠BCN=60°，证，得，又因为，故为等边三角形；③根据三角形内角和，∠BOD=180°-（∠OBC+∠ODB）=180°-（∠CAD+∠ODB）=120°，故③错误；④作，，由得，根据角平分线的判定，平分.
11．【答案】110
【知识点】多边形内角与外角；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：在四边形中，，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据题意求出，再利用SAS求出，最后根据全等三角形的性质求解即可.
12．【答案】25；
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【解答】（1），
在和中
（SAS）
故答案为：25
（2），
，
在和中
（SAS）
故答案为：
【分析】
（1）根据手拉手模型证明，然后全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形，然后得到∠ABC=60°，接着利用三角形的内角和等于求得最终结果；
（2）利用手拉手模型证明，利用全等三角形的性质得到，然后得到，接着利用三角形的内角和求得结果．
13．【答案】（1）CE和BC；30
（2）解：BD=CE；
证明： 在△ABC和△ADE中， AB= AC， AD = AE， ∠BAC =∠DAE =α，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD， 即∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE；
（3）解：连接AC， BD交于O，
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1) 在△ABC和△ADE中， AB=AC， AD= AE， ∠BAC =∠DAE =30°， B、D、E三点共线，
∴∠ADB =180°-∠ADE = 105°，
∴∠CBD=∠ADB-∠ACB=105°-75°=30°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE， ∠AEC =∠ADB=105°，
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=105°-75°= 30°，
∴∠CBE=∠BEC，
∴CE=BC，∴BD=CE=BC，
∴图中与线段BD相等的线段是CE和BC，∠BEC=30°，
故答案为： CE和BC， 30；
【分析】(1)根据等边对等角的性质和三角形内角和定义与外角的性质， 得到∠ADB=105°， ∠CBD=30°， 证明△ABD≌△ACE(SAS)，得到BD=CE， ∠AEC =∠ADB=105°， 进而得到∠BEC=30°， 推出BD=CE=BC， 即可得到答案；(2)根据全等三角形的判定定理证明△ABD≌△ACE(SAS)， 得到BD=CE， 即可得到答案；(3)连接AC， BD交于O， 由∠AEB=∠DEC= 90°， 得到∠AEC =∠BED， 根据全等三角形的性质得到∠CAE=∠DBE，根据三角形的内角和定理得到∠AOB=∠AEB=90°， 根据勾股定理即可得到结论.
14．【答案】（1）BD＝CE，BD⊥CE
（2）解：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE，
即BD＝CE＝x，BD⊥CE，
∴CD＝BD﹣BC＝x﹣6，
∴△CDE的面积为CD CE=（x＞6）；
（3）解：①当点D在BC上时，如图所示：
由（1）证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝7﹣3＝4，
②当点D在CB延长线上时，如图所示：
由（2）证明可知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE＝3，
∴CD＝BC+BD＝7+3＝10，
综上所述，CD＝4或10．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解答：(1)∵∠BAC =∠DAE=90°， AB= AC，∴∠BAD=∠CAE， ∠B=∠ACB=45°，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴BD =CE， ∠B=∠ACE =45°，
∴∠BCE =∠ACB+∠ACE = 90°，
∴BD⊥CE，
故答案为： BD =CE， BD⊥CE；
【分析】(1)由SAS证明 可得出BD与CE的数量和位置关系；
(2)同 (1) 中证明 得出CD=BD-BC=x-6，由三角形面积公式可得出结论；
(3)分两种情况，由全等三角形的性质求出BD，则可求出CD的长.
15．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（3）解：D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
故答案为：.
【分析】（1）根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2） 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即；
（3）根据条件画出图形， 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即.
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）解：∴D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
16．【答案】（1）证明：，
，即，
，，
，
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
【知识点】等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）由等式性质及角的构成推出∠BAD=∠CAE，从而利用SAS判断出△ABD≌△ACE，由全等三角形的对应边相等得BE=CE；
（2）设交于，由等式性质及角的构成推出∠ACD=∠BCE，从而利用SAS证明，由全等三角形的对应边相等，对应角相等可得，，结合对顶角相等及三角形的内角和定理即可得，即；由等腰直角三角形的性质得，从而根据线段的和差及等量代换得；
（3）作，且，连接，，由等角对等边得AB=AC，由角的构成及等式性质推出∠DAB=∠CAE，从而利用SAS判断出证明，由全等三角形的对应边相等可得，由等腰直角三角形的性质及勾股定理得，进而再根据勾股定理算出CE的长，即可得出答案．
（1）证明：，
，即，
，，
，
；
（2）解：，；理由如下：
设交于，如图：
，
，即，
，，
，
，，
，，
，
即；
为等腰直角中边上的高，
，
，
；
（3）解：作，且，连接，，如图，
，
，
，
，
即，
，，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
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