三角形的全等三角形（一线三等角模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·义乌月考）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
2．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，，
∴△CEB △ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值．
3．（2024八上·舟山期中）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作于，过点作于，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，最后得的值.
4．小李用7块长为，高为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，如图，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】由题意可得，，，，
.
，.
在和中，
.
，，
两堵木墙之间的距离为.
故答案为：B.
【分析】根据AAS得到△ADB≌△BEC，然后根据对应边相等解答即可.
5．（2024八上·郯城期中）如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点作于点，则，根据AAS可证得，可得出，，进而，再根据AAS证得，即可得出．
6．（2024八上·沙坪坝期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于，
∴，
∴，，
∵点A坐标为，
∴，，
∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点C坐标为，
故选：A．
【分析】过作轴于，过作交于，交轴于，根据矩形性质可得，，根据两点间距离可得，，再根据折叠性质可得是等腰直角三角形，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
二、填空题
7．（2025八上·西湖月考）如图，点A，D在同侧，且，且，点P在射线上．若，则 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作交的延长线于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点E，直角三角形两锐角互余、平角的定义及同角的余角相等得，从而用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，，由等量代换得，由等式性质推出，则，由等腰直角三角形性质得，然后根据三角形外角性质得，从而即可得出答案.
8．如图，在中， ，，，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则的最小值是 .
【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，过点作于点，连接.
是等腰直角三角形，
，.
又，
.
由旋转得， ，
.
，
.
.
又 ，
，
，，
，
即，
即为等腰直角三角形. .
又 点为定点， 点在射线上运动.
过点作于点，
当点与点重合时，最小，即为的长.
易得，的最小值是.
故答案为：.
【分析】由“AAS”可证△ACP≌△PED，可得PE=AC=CF=3，CP=DE，可证△DEF为等腰直角三角形，可得点D在射线FD上运动，由等腰直角三角形的性质可求解.
9．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=3，BE=1，则DE的长为 .
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC(AAS)
∴BE=DC=1，CE=AD=3.
∴DE=EC-CD=3-1=2
故答案为：2.
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值.
10．（2024八上·广州期中）如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示：
则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据点P和点N的坐标求出，，再利用AAS证明，最后利用全等三角形的性质求解即可.
11．（2024八上·杭州期中）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①点在点左侧，
作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
根据题意知，，
设，则，
，
，
∴；
②如图，点在点右侧，作于，
用①中同样的解法可以得到，，
设，，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】
由于点D在射线CB上运动，当点D在点B左侧时，过点E作AC的垂线段交AC的延长线于点H，则可利用一线三等角全等模型证明，则由全等的性质结合已知可继续证明，则可得，再借助已知条件即可计算；当点D在点B右侧时，同理过点E作AC的垂线段EM，则可先证，再证，则、，再借助已知条件计算即可．
12．（2024八上·陆河期末）如图， 在 中， 。点 从点 出发，沿折线 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动， 点 从点 出发沿折线 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 运动， 两点同时出发。分别过 两点作 于 于 ， 设运动时间为 ， 当 与 全等时， 的值为 。
【答案】1或3.5或12
【知识点】三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴当△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ，
当P在AC上，Q在CB上时，
∵PC＝AC-AP＝6-t，CQ＝BC-BQ＝8-3t，
∴6-t＝8-3t，
∴t＝1；
当P、Q在AC上（P、Q重合）时，
∵PC＝6-t，CQ＝3t-8，
∴6-t＝3t-8，
∴t＝3.5；
当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时，
∴t＝（6＋6）÷1＝12．
∴t的值为1或3.5或12．
【分析】分类讨论：①当P在AC上，Q在CB上时，②当P、Q在AC上（P、Q重合）时，③当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时，再分别列出方程求出t的值即可.
三、解答题
13．（2025八上·西湖月考）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且．
（1）如图1，当时，猜想，，之间的数量关系是______（直接写出结论）．
（2）如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由．
【答案】（1）
（2）解：（1）中的结论还成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；猜想与证明；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出得到，从而可利用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，BD=AE，最后利用线段和差、等量代换得到；
（2）由三角形内角和定理、三角形外角性质及等式性质推出，从而可利用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，BD=AE，最后利用线段和差、等量代换得到.
（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论还成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．（2025八上·绍兴月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型)，解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题。
（1）如图1，在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC，直线m经过点A， BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为D、E.求证： DE=BD+CE.
（2）如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中， AB=AC， D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角，那么结论DE=BD+CE是否仍成立
（3）如图3，在(1)中的条件改为：AB=AC，A、E、D三点都在直线m上，且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，其中β为任意锐角，那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。
【答案】（1）解：∵BD⊥m， CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠BAD =∠ACE，
∵AB =AC，
∴△BDA≌ΔAEC，
∴BD=AE， AD=CE，
∴DE=DA+AE=EC+BD，
∴DE=EC+BD.
（2）解：结论DE=BD+CE成立， 理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠BAD +∠CAE =180°-∠BAC =180°-α， ∠ACE+∠CAE=180°-∠AEC =
∴∠BAD=ACE，
∵AB=AC， ∠BDA=∠AEC，
∴△BDA≌ΔAEC，
∴BD =AE， AD =CE，
∴DE=DA+AE=EC+BD，
∴DE=EC+BD.
（3）解：结论DE=BD+CE不成立， 理由如下：
∵∠BDF =∠B+∠BAD， ∠DEC =∠C+∠EAC， ∠BAC =∠EAC+∠BAD，且∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，
∴β=∠B+∠BAD，β=∠C+∠EAC， β=∠EAC+∠BAD，
∴∠B =∠EAC， ∠C=∠BAD，
∵AB =AC，
∴△BDA≌△AEC，
∴BD=AE， AD =CE，
∵AD =AE+DE，
∴EC=BD+DE.
∴DE=EC-BD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明由全等三角形的性质得出.AE=BD，AD=CE，即可得结论；
(2)证明由全等三角形的性质得出AE=BD，AD=CE，即可得结论；
(3)证明由全等三角形的性质得出AD=CE，AE=BD，进而可以解决问题.
15．已知 CD 是经过∠BCA的顶点 C 的一条直线，CA=CB，E，F 是直线 CD上两点，∠BEC=∠CFA=∠α.
（1）若直线 CD 经过∠BCA 的内部，∠BCD>∠ACD.
①如图(1)，若∠BCA=90°，∠α=90°，则 BE，EF，AF间的数量关系为 .
②如图(2)，∠α与∠BCA 具有怎样的数量关系，才能使①中的结论仍然成立 写出∠α与∠BCA 的数量关系 .
（2）如图(3)，若直线 CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA，①中的结论是否成立 若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明.
【答案】（1）EF=BE-AF；∠α+∠BCA=180°
（2）解：不成立，EF，BE，AF 的数量关系为 EF=BE+AF.证明如下：
因为∠BEC = ∠CFA = ∠α， ∠α= ∠BCA，∠EBC +∠BCE + ∠BEC = 180°， ∠BCE +∠ACF+∠ACB=180°，所以∠EBC+∠BEC=∠ACB +∠ACF， 所以 ∠EBC = ∠ACF. 在
△BEC 和 △CFA 中， 所以△BEC≌△CFA(AAS)，所以 AF=CE，BE=CF，所以 EF=CE+CF=AF+BE.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)①当∠α=90°时，∠BEC=∠CFA=90°.因为∠BCA=90°，所以∠BCE+∠ACF=90°.因为∠BCE+∠CBE=90°，所以∠ACF=∠CBE. 因 为 AC = BC， 所 以 △BCE ≌△CAF，所以BE=CF，CE=AF.因为CF=CE+EF，所以 EF=CF-CE=BE-AF.
故答案为：EF=BE-AF.
②当∠α+∠BCA=180°时，①中的结论仍然成立. 因为 ∠BEC = ∠CFA = ∠α， ∠CBE +∠BCE+∠BEC = 180°，∠α+∠ACB = 180°，所以∠ACB=∠CBE+∠BCE.又因为∠ACB=∠ACF +∠BCE，所以 ∠CBE = ∠ACF，在△BCE 和△CAF 中， 所以△BCE≌△CAF(AAS)，所以 BE=CF，CE=AF，所以 EF=CF-CE=BE-AF.
故答案为：∠α+∠BCA=180°.
【分析】(1)①根据题意，推导得∠ACF=∠CBE，通过证明∠ACF≌△CBE，得BE=CF， CE=AF，结合EF=CF-CE，即可得到答案；
②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得∠CBE=∠ACF，通过证明△BCE≌△CAF，即可完成证明；
(2)根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得∠CBE=∠ACF，通过证明△BCE≌△CAF，得EC=FA， BE=CF；根据EF=CE+CF，即可得到答案。
16．（2024八上·前郭尔罗斯期中）已知三点均在直线上，且．
（1）如图①，若，则线段的长为_________；
（2）如图②，判断之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长．
【答案】（1）5
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：DE得长为3.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）利用平角的定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得，再利用证明，由全等三角形的对应边相等得 ，最后根据线段和差可得答案；
（2），理由如下：利用平角的定义、三角形内角和定理及等式性质推出，再利用证明，由全等三角形的对应边相等得， 最后根据线段和差可得答案；
（3）利用邻补角及等角的补角相等得，再利用三角形的外角性质及角的构成可推出，再利用证明，由全等三角形的对应边相等得 ， 最后根据线段和差可得答案 ．
（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1三角形的全等三角形（一线三等角模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·义乌月考）如图，，．，，垂足分别是点、，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·拱墅月考）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD=3，BE=1，则DE的长是（ ）
A．1.5
B．2
C．
D．
3．（2024八上·舟山期中）如图，、、、是四根长度均为5cm的火柴棒，点A、C、E共线．若，，则线段的长度为（ ）
A．6 cm B．7 cm C． D．8cm
4．小李用7块长为，高为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，如图，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点，分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八上·郯城期中）如图，三角形纸片中，，．将点C放在直线l上，过点A作于点D；三角形纸片中，顶点P放在直线l上，，．点M与点B重合，过点N作于点H．若，，，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2024八上·沙坪坝期中）如图，在平面直角坐标系中，将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，若点A坐标为，则点C坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2025八上·西湖月考）如图，点A，D在同侧，且，且，点P在射线上．若，则 ．
8．如图，在中， ，，，点是线段上的动点，连接，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，则的最小值是 .
9．如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=3，BE=1，则DE的长为 .
10．（2024八上·广州期中）如图，在中，点P，M在坐标轴上，，，，，则点M的坐标是
11．（2024八上·杭州期中）如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ．
12．（2024八上·陆河期末）如图， 在 中， 。点 从点 出发，沿折线 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动， 点 从点 出发沿折线 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 运动， 两点同时出发。分别过 两点作 于 于 ， 设运动时间为 ， 当 与 全等时， 的值为 。
三、解答题
13．（2025八上·西湖月考）直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且．
（1）如图1，当时，猜想，，之间的数量关系是______（直接写出结论）．
（2）如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由．
14．（2025八上·绍兴月考）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型(角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型)，解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题。
（1）如图1，在△ABC中， ∠BAC=90°， AB=AC，直线m经过点A， BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为D、E.求证： DE=BD+CE.
（2）如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中， AB=AC， D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角，那么结论DE=BD+CE是否仍成立
（3）如图3，在(1)中的条件改为：AB=AC，A、E、D三点都在直线m上，且有∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，其中β为任意锐角，那么结论DE=BD+CE是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。
15．已知 CD 是经过∠BCA的顶点 C 的一条直线，CA=CB，E，F 是直线 CD上两点，∠BEC=∠CFA=∠α.
（1）若直线 CD 经过∠BCA 的内部，∠BCD>∠ACD.
①如图(1)，若∠BCA=90°，∠α=90°，则 BE，EF，AF间的数量关系为 .
②如图(2)，∠α与∠BCA 具有怎样的数量关系，才能使①中的结论仍然成立 写出∠α与∠BCA 的数量关系 .
（2）如图(3)，若直线 CD 经过∠BCA 的外部，∠α=∠BCA，①中的结论是否成立 若成立，进行证明；若不成立，写出新结论并进行证明.
16．（2024八上·前郭尔罗斯期中）已知三点均在直线上，且．
（1）如图①，若，则线段的长为_________；
（2）如图②，判断之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，若将题中的“”变为“”，其他条件不变，且，请直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；线段的和、差、倍、分的简单计算；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：，，
，
．
，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
故答案为：．
【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，最后利用线段的和差求出DE的长即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=，
∴在Rt△EBC中，∠EBC+∠BCE=，
∵∠BCE+∠ACD=∠ACB=，
∴∠EBC=∠DCA，
在△CEB和△ADC中，，
∴△CEB △ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3，
∴DE=EC-CD=3-1=2，
故答案为：B．
【分析】根据垂直的定义得∠E=∠ADC=，再利用直角三角形的两内角互余可推出∠EBC=∠DCA，进一步可利用AAS推出 CEB ADC，可得BE=DC，进而求出DE的值．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴均为等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】过点作于，过点作于，利用“一线三垂直”全等模型证明，得，然后根据等腰三角形“三线合一”性质得，利用勾股定理得，最后得的值.
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】由题意可得，，，，
.
，.
在和中，
.
，，
两堵木墙之间的距离为.
故答案为：B.
【分析】根据AAS得到△ADB≌△BEC，然后根据对应边相等解答即可.
5．【答案】C
【知识点】垂线的概念；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；等腰三角形的概念
【解析】【解答】
解：如图，过点作于点，则，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】过点作于点，则，根据AAS可证得，可得出，，进而，再根据AAS证得，即可得出．
6．【答案】A
【知识点】点的坐标；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，过作交于，交轴于，
∴，
∴，，
∵点A坐标为，
∴，，
∵将等腰直角三角形沿直角边翻折，点B落在点C处，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴点C坐标为，
故选：A．
【分析】过作轴于，过作交于，交轴于，根据矩形性质可得，，根据两点间距离可得，，再根据折叠性质可得是等腰直角三角形，则，，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：作交的延长线于点E，如图，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】作交的延长线于点E，直角三角形两锐角互余、平角的定义及同角的余角相等得，从而用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等，对应角相等得，，，由等量代换得，由等式性质推出，则，由等腰直角三角形性质得，然后根据三角形外角性质得，从而即可得出答案.
8．【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接，过点作于点，连接.
是等腰直角三角形，
，.
又，
.
由旋转得， ，
.
，
.
.
又 ，
，
，，
，
即，
即为等腰直角三角形. .
又 点为定点， 点在射线上运动.
过点作于点，
当点与点重合时，最小，即为的长.
易得，的最小值是.
故答案为：.
【分析】由“AAS”可证△ACP≌△PED，可得PE=AC=CF=3，CP=DE，可证△DEF为等腰直角三角形，可得点D在射线FD上运动，由等腰直角三角形的性质可求解.
9．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°
∵∠BCE+∠ACD=90°
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中，
∴△CEB≌△ADC(AAS)
∴BE=DC=1，CE=AD=3.
∴DE=EC-CD=3-1=2
故答案为：2.
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值.
10．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点P作x轴的平行线，过点M作于点A，过点N作于点B，如图所示：
则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点M的坐标为．
故答案为：．
【分析】根据点P和点N的坐标求出，，再利用AAS证明，最后利用全等三角形的性质求解即可.
11．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：①点在点左侧，
作，交的延长线于，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
根据题意知，，
设，则，
，
，
∴；
②如图，点在点右侧，作于，
用①中同样的解法可以得到，，
设，，，
，
∴．
故答案为：或．
【分析】
由于点D在射线CB上运动，当点D在点B左侧时，过点E作AC的垂线段交AC的延长线于点H，则可利用一线三等角全等模型证明，则由全等的性质结合已知可继续证明，则可得，再借助已知条件即可计算；当点D在点B右侧时，同理过点E作AC的垂线段EM，则可先证，再证，则、，再借助已知条件计算即可．
12．【答案】1或3.5或12
【知识点】三角形全等及其性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵PE⊥l于E，QF⊥l于F，
∴当△PEC与△QFC全等时，PC＝CQ，
当P在AC上，Q在CB上时，
∵PC＝AC-AP＝6-t，CQ＝BC-BQ＝8-3t，
∴6-t＝8-3t，
∴t＝1；
当P、Q在AC上（P、Q重合）时，
∵PC＝6-t，CQ＝3t-8，
∴6-t＝3t-8，
∴t＝3.5；
当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时，
∴t＝（6＋6）÷1＝12．
∴t的值为1或3.5或12．
【分析】分类讨论：①当P在AC上，Q在CB上时，②当P、Q在AC上（P、Q重合）时，③当P在BC上，Q在AC上时，即A与Q重合时，再分别列出方程求出t的值即可.
13．【答案】（1）
（2）解：（1）中的结论还成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；猜想与证明；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、平角定义及同角的余角相等推出得到，从而可利用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，BD=AE，最后利用线段和差、等量代换得到；
（2）由三角形内角和定理、三角形外角性质及等式性质推出，从而可利用“AAS”证，由全等三角形的对应边相等得AD=CE，BD=AE，最后利用线段和差、等量代换得到.
（1）解：；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：（1）中的结论还成立；理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
14．【答案】（1）解：∵BD⊥m， CE⊥m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠CAE+∠BAD=90°，
∴∠BAD =∠ACE，
∵AB =AC，
∴△BDA≌ΔAEC，
∴BD=AE， AD=CE，
∴DE=DA+AE=EC+BD，
∴DE=EC+BD.
（2）解：结论DE=BD+CE成立， 理由如下：
∵∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，
∴∠BAD +∠CAE =180°-∠BAC =180°-α， ∠ACE+∠CAE=180°-∠AEC =
∴∠BAD=ACE，
∵AB=AC， ∠BDA=∠AEC，
∴△BDA≌ΔAEC，
∴BD =AE， AD =CE，
∴DE=DA+AE=EC+BD，
∴DE=EC+BD.
（3）解：结论DE=BD+CE不成立， 理由如下：
∵∠BDF =∠B+∠BAD， ∠DEC =∠C+∠EAC， ∠BAC =∠EAC+∠BAD，且∠BDF=∠DEC=∠BAC=β，
∴β=∠B+∠BAD，β=∠C+∠EAC， β=∠EAC+∠BAD，
∴∠B =∠EAC， ∠C=∠BAD，
∵AB =AC，
∴△BDA≌△AEC，
∴BD=AE， AD =CE，
∵AD =AE+DE，
∴EC=BD+DE.
∴DE=EC-BD.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明由全等三角形的性质得出.AE=BD，AD=CE，即可得结论；
(2)证明由全等三角形的性质得出AE=BD，AD=CE，即可得结论；
(3)证明由全等三角形的性质得出AD=CE，AE=BD，进而可以解决问题.
15．【答案】（1）EF=BE-AF；∠α+∠BCA=180°
（2）解：不成立，EF，BE，AF 的数量关系为 EF=BE+AF.证明如下：
因为∠BEC = ∠CFA = ∠α， ∠α= ∠BCA，∠EBC +∠BCE + ∠BEC = 180°， ∠BCE +∠ACF+∠ACB=180°，所以∠EBC+∠BEC=∠ACB +∠ACF， 所以 ∠EBC = ∠ACF. 在
△BEC 和 △CFA 中， 所以△BEC≌△CFA(AAS)，所以 AF=CE，BE=CF，所以 EF=CE+CF=AF+BE.
【知识点】三角形全等的判定-AAS；异侧一线三等角全等模型（锐角）；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：(1)①当∠α=90°时，∠BEC=∠CFA=90°.因为∠BCA=90°，所以∠BCE+∠ACF=90°.因为∠BCE+∠CBE=90°，所以∠ACF=∠CBE. 因 为 AC = BC， 所 以 △BCE ≌△CAF，所以BE=CF，CE=AF.因为CF=CE+EF，所以 EF=CF-CE=BE-AF.
故答案为：EF=BE-AF.
②当∠α+∠BCA=180°时，①中的结论仍然成立. 因为 ∠BEC = ∠CFA = ∠α， ∠CBE +∠BCE+∠BEC = 180°，∠α+∠ACB = 180°，所以∠ACB=∠CBE+∠BCE.又因为∠ACB=∠ACF +∠BCE，所以 ∠CBE = ∠ACF，在△BCE 和△CAF 中， 所以△BCE≌△CAF(AAS)，所以 BE=CF，CE=AF，所以 EF=CF-CE=BE-AF.
故答案为：∠α+∠BCA=180°.
【分析】(1)①根据题意，推导得∠ACF=∠CBE，通过证明∠ACF≌△CBE，得BE=CF， CE=AF，结合EF=CF-CE，即可得到答案；
②结合题意，根据三角形内角和性质，推导得∠CBE=∠ACF，通过证明△BCE≌△CAF，即可完成证明；
(2)根据题意，结合三角形内角和的性质，推导得∠CBE=∠ACF，通过证明△BCE≌△CAF，得EC=FA， BE=CF；根据EF=CE+CF，即可得到答案。
16．【答案】（1）5
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：DE得长为3.
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；一线三等角全等模型（钝角）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）利用平角的定义、直角三角形两锐角互余及同角的余角相等得，再利用证明，由全等三角形的对应边相等得 ，最后根据线段和差可得答案；
（2），理由如下：利用平角的定义、三角形内角和定理及等式性质推出，再利用证明，由全等三角形的对应边相等得， 最后根据线段和差可得答案；
（3）利用邻补角及等角的补角相等得，再利用三角形的外角性质及角的构成可推出，再利用证明，由全等三角形的对应边相等得 ， 最后根据线段和差可得答案 ．
（1）解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
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