【精品解析】三角形的全等三角形（倍长中线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练

三角形的全等三角形（倍长中线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·温州月考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是BC边上的中线，AD长不可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
如图所示，延长AD到E，使DE = AD.连接CE，则AE=2
AD.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE= AB=5.
∵AC=9，
∴9-5即AD的取值范围是：2< AD < 7，
故答案为：D .
【分析】延长AD到E，使DE = AD.连接CE，证明△ABD≌△ECD，即可得到CE= AB=5，然后根据三角形三边关系得到9-52．如图，AD 是 的中线，E，F 分别在AB，AC 上，且 则(　　).
A． B．
C． D．与EF 的大小关系不确定
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
在△BED与△CGD中，
∴△BED≌△CGD(SAS)
∴CG=BE，ED=DG
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF>FG
∴BE+CF>EF
故答案为：A.
【分析】延长ED到G，使ED=DG，连接CG，FG，则△BED≌△CGD，根据线段的等量代换，以及三边关系即可求解.
3．（2024八上·南沙期末）如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长ED至点G，使DG=DE，连接GF、GC，
∵D为BC的中点
∴BD=CD
又∵∠BDE=∠CDG
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴CG=BE
∵AB=7，AE=4
∴BE=AB-AE=7-4=3
∵DE、DF分别平分∠ADB、∠ADC
∴∠ADB=2∠ADE，∠ADC=2∠ADF
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴2∠ADE+2∠ADF=180°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴DF⊥DE
又∵DE=DG
∴GF=EF
在△CDF中，CF=2，GC=3，得
故答案为： D.
【分析】倍长ED至G，得△BDE≌△CDG，得GC=BE=3，由角平分线得∠EDF=90°，D为EG中点得GF=EF，在△CGF中，由三角形三边关系即得GF的范围，即为EF范围.
4．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（　　）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的实际应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
二、填空题
5．（2024八上·南宁期中）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为　 　．
【答案】3.2
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3.2．
【分析】延长至，使，连接，根据AD是三角形的中线，可利用倍长中线法构建全等三角形，从而得出AC=BG，又由平行线的性质可得出，可得出BG=BE，即可得出AC=BE=5，进而即可得出CF=5-1.8=3.2即可。
6．（2024八上·宝安期中）如图所示，已知，，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点E，使，先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出CE的长，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
7．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，F是上一点，连接，交于点E，且，若，，则求的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解： 如图， 延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：.
【分析】
延长到使，连接 后得到，根据全等三角形的性质得到角边的关系后，进一步推导可得，在等腰三角形BGE中通过等腰三角形的性质得到，推导角的关系即可得到，根据题给条件利用三角形内角和计算出∠ADC和∠BED的值后进一步计算即可得到∠FBC的值 ．
8．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当　 　时，为直角三角形．
【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
三、解答题
9．（2025八上·雨花月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点，使，连接． 的中线， 　 　， 在中， ， 　 　， ， 在中，根据“三角形三边关系”可知：　 　　 　， 又， 　 　　 　．
【答案】；；；；；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长至点，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又，
．
故答案为：，，，，，．
【分析】延长至点，使，连接，证明≌，从而推出，再利用三角形的三边关系即可得出答案.
10．（2025八上·绍兴月考）
（1）如图 1，在△ABC中， AB=5， AC=7， AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连结CE，把AB， AC， 2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围。请写出AD的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在△ABC中， AD是BC边上的中线，点E， F分别在AB， AC上，且DE⊥DF，求证： BE+CF>EF.小艾同学受到(1)的启发，在解决(2)的问题时，延长ED到点H，使DH=DE……，请你帮她完成证明过程.
（3）如图3，在四边形ABCD中， ∠A为钝角， ∠C为锐角， ∠A+∠C=180°， ∠ADC=120°，DA=DC，点E， F分别在BC， AB上，且∠EDF=60°，连结EF，试探索线段AF， EF， CE之间的数量关系，并加以证明。
【答案】（1）解：∵DE=AD， ∴AE=2AD，∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS) ，
∴AB=EC，
∵AB=5，
∴CE=5，
在△ACE中，
解得：
∴AD的取值范围是1（2）解：延长ED到点H， 使DH=DE， 连接CH， FH， 如图所示：
∵DH=DE， DE⊥DF，
∴DF垂直平分EH，
∴EF=HF，
∵AD是BC边上的中线，
∴DB=DC，
在△DCH和△DBE中，
，
∴△DCH≌△DBE (SAS) ，
∴CH=BE，
在△CFH中， CH+CF>FH，
∴BE+CF>EF；
（3）解：AF+CE=EF，
理由： 延长BC到H， 使得CH=AF， 如图所示：
∵∠A+∠BCD=180°， ∠BCD+∠DCH=180°，
∴∠A=∠DCH，
在△ADF和△CDH 中，
∴△ADF≌△CDH(SAS)
∴∠ADF=∠CDH， DF=DH，
∵∠ADC=120°， ∠EDF=60°，
∴∠ADF+∠EDC=∠ADC-∠EDF=60°，
∴∠CDH+∠EDC=60°， 即∠EDH=60°，
∴∠EDF=∠EDH，
在△DEF 和△DEH中，
，
∴△DEF≌△DEH (SAS) ，
∴EF=EH，
∵CH+CE=EH，
∴AF+CE=EF.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
(2)如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH.证明△BDE≌△CDH(SAS)，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
(3)延长BC到H，使得CH=AF，通过两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题.
11．（2023八上·阳信期中）小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明．
已知：如图，在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一 证明：过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F．
方法二 证明：延长到点E，使，连接．
温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．
【答案】证明：如图，
作，
∵平分，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段的中点；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】作，根据三角形的角平分线性质，可得，根据“”定理，易证，即可证得．
12．（2025八上·义乌月考）如图
（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连结CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围．请写出AD的取值范围，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长ED到点H，使DH＝DE…，请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠A+∠C＝180°，∠ADC＝120°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝60°，连结EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：1＜AD＜6；理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB，
∵AB＝5，
∴EC＝AB＝5，
在△AEC，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，且AC＝7，
∴2＜AE＜12，
∵DE＝AD，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6；
（2）证明：延长ED到H，使得DH＝DE，连结CH，FH．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE⊥DF，DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：AF+EC＝EF．理由如下：
延长BC到H，使得CH＝AF，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCH+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCH，
在△AFD和△CHD中，
，
∴△AFD≌△CHD（SAS），
∴DF＝DH，∠ADF＝∠CDH，
∵∠EDF＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠ADF+∠ECD＝60°，
∴∠CDH+∠ECD＝60°
∴∠EDF＝∠EDH＝60°，
在△EDF和△EDH中，
，
∴△EDF≌△EDH（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝EC+CH＝EC+AF，
∴EF＝AF+EC．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
(2)如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH.证明△BDE≌△CDH(SAS)，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
(3)延长BC到H，使得CH=AF，通过两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题.
13．（2025八上·长兴月考） 如图
（1）问题提出：在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围.
思维点播：延长中线至等长，构造全等三角形，把AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用
三边关系，可得AD的取值范围.
问题解决1：在图1中找出AB与 CE的数量关系并证明.：
问题解决2：AD的取值范围是 ，AB和CE的位置关系是 .
（2）问题拓展：如图2，AD是△ABC的中线，AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠NAC=90°，探究线段AD与MN的数量关系并加以证明.
【答案】（1）解：问题解决1：
证明：延长AD至点E，使，连接CE.
是BC边上的中线，
.
在和中，
.
.
问题解决2：，平行
（2）解：. 理由如下：.
证明：如图，延长AD至点E，使，连接CE.
∵AD是边上的中线，
∴.
在和中：
.
.
，
.
.
.
在和中：
.
∴MN=AE
∵AE=AD+DE=2AD
∴MN=2AD
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）问题解决2：由（问题解决1）可得AD=DE，EC=AB，，
∴∠B=∠C，
∴ AB∥CE，
∵ AB=5，
∴EC=5，
∵ AC=9 ，AC-EC∴ 9-5∴ 4∴ 2故答案为：；平行.
【分析】（1） 问题解决1： 需利用倍长中线法构造全等三角形，证明AB与CE的数量关系 ；
问题解决2： 通过构造全等三角形后，结合三角形三边关系确定AD的取值范围，并分析AB与CE的位置关系 ；
（2） 需通过构造全等三角形，结合已知条件（AB=AM，AC=AN，直角条件），推导AD与MN的数量关系及位置关系 .
14．（2024八上·玉林期中）综合与实践
【问题呈现】某数学课外兴趣小组碰到以下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明的方法为：延长到，使，连接，构造，再利用三角形三边关系，从而解决问题．数学课外兴趣小组经过合作交流，得到了如下的方法：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请根据上述方法解决下面问题：
【理解运用】如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：
【实践应用】如图3，点是边的中点，分别交、于点、，求证：．
【答案】[理解运用]证明：如图，延长到，使，连接，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
[实践应用]证明：如图，延长到点，使，连接、，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
∴．
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】 【理解运用】延长到，使，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用等量代换和等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得；
【实践应用】 延长到点，使，连接、， 先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系及等量代换可得.
15．（2024八上·金华期中）【问题情境】
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连接．
请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是　　　　　．
由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】
（2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
【拓展运用】
（3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连接，若，当，时，求的长．
【答案】解：（1）；
（2）延长至点，使得，连接，如图所示：
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）延长至点，使得，连接，过点C作于点H，如图所示：
∵AD=12，设，
则.
由（1）知，
，，
，
，
.
∵CH⊥DF于点H，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）解：（1）延长至点，使得，连接，如图所示：
是的中点，
，
，AE=FE，
；
故答案为：；
【分析】（1）由已知和作图能得到，，再加上对顶角相等，即可根据“”证明三角形全等；
（2）延长至点，使得，连接，先证明，得到，，再根据角平分线及平行线可逐步推得结论成立；
（3）延长至点，使得，连接，过点C作于点H，设，分别求出，，，可得，由勾股定理求得，再求出，由勾股定理求出，即可得到答案．
16．（2024八上·新会开学考）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：；理由如下：
如图，延长，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
故答案为：
【分析】（1）延长AD到点E，DE=AD，根据交叉线的性质，，然后再根据中点的定义，易证，可得结论；
（2）延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而可得，最后再根据全等三角形的性质，可得，即可证明结论．
（3）延长AD，使AD=DG，连接BG，然后再根据中点的定义，可得BD=DC，易证，进而求出，，从而得到，又跟据，，可得证明，得出，即可证明结论．
1 / 1三角形的全等三角形（倍长中线模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2025八上·温州月考）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝9，AD是BC边上的中线，AD长不可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．如图，AD 是 的中线，E，F 分别在AB，AC 上，且 则(　　).
A． B．
C． D．与EF 的大小关系不确定
3．（2024八上·南沙期末）如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·攀枝花开学考）如图，在中，，平分交于点平分交于点交于点．则下列说法正确的个数为（　　）
①；②，③若，则；④；⑤．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
5．（2024八上·南宁期中）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为　 　．
6．（2024八上·宝安期中）如图所示，已知，，，则的长为　 　．
7．（2024八上·惠城期中）如图，在中，，F是上一点，连接，交于点E，且，若，，则求的度数为　 　．
8．（2025八上·玉环期末）如图，在中，，，点为三角形内部一点且，点为中点，连接，，作，且，当　 　时，为直角三角形．
三、解答题
9．（2025八上·雨花月考）下面是多媒体上的一道习题：
如图的中线，，求的取值范围．
请将下面的解题过程补充完整．
解：延长至点，使，连接． 的中线， 　 　， 在中， ， 　 　， ， 在中，根据“三角形三边关系”可知：　 　　 　， 又， 　 　　 　．
10．（2025八上·绍兴月考）
（1）如图 1，在△ABC中， AB=5， AC=7， AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连结CE，把AB， AC， 2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围。请写出AD的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在△ABC中， AD是BC边上的中线，点E， F分别在AB， AC上，且DE⊥DF，求证： BE+CF>EF.小艾同学受到(1)的启发，在解决(2)的问题时，延长ED到点H，使DH=DE……，请你帮她完成证明过程.
（3）如图3，在四边形ABCD中， ∠A为钝角， ∠C为锐角， ∠A+∠C=180°， ∠ADC=120°，DA=DC，点E， F分别在BC， AB上，且∠EDF=60°，连结EF，试探索线段AF， EF， CE之间的数量关系，并加以证明。
11．（2023八上·阳信期中）小宇在研究“三线合一”这个结论时，有了这样的思考：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？他画出图形分析后，找到了两种解决问题的方法，请任选其中一种，帮助他完成证明．
已知：如图，在中，平分，且点D是的中点．求证：．
方法一 证明：过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F．
方法二 证明：延长到点E，使，连接．
温馨提示：只选一种方法证明即可，如两种方法都选用的，只按方法一的证明给分．
12．（2025八上·义乌月考）如图
（1）如图1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连结CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围．请写出AD的取值范围，并说明理由．
（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF．小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长ED到点H，使DH＝DE…，请你帮她完成证明过程．
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠A+∠C＝180°，∠ADC＝120°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝60°，连结EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
13．（2025八上·长兴月考） 如图
（1）问题提出：在△ABC中，AB=5，AC=9，求BC边上的中线AD的取值范围.
思维点播：延长中线至等长，构造全等三角形，把AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用
三边关系，可得AD的取值范围.
问题解决1：在图1中找出AB与 CE的数量关系并证明.：
问题解决2：AD的取值范围是 ，AB和CE的位置关系是 .
（2）问题拓展：如图2，AD是△ABC的中线，AB=AM，AC=AN，∠BAM=∠NAC=90°，探究线段AD与MN的数量关系并加以证明.
14．（2024八上·玉林期中）综合与实践
【问题呈现】某数学课外兴趣小组碰到以下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明的方法为：延长到，使，连接，构造，再利用三角形三边关系，从而解决问题．数学课外兴趣小组经过合作交流，得到了如下的方法：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请根据上述方法解决下面问题：
【理解运用】如图2，是的中线，交于点，交于点，且．求证：
【实践应用】如图3，点是边的中点，分别交、于点、，求证：．
15．（2024八上·金华期中）【问题情境】
（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，是的中点，，，A，三点共线．
求证：．
小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点，使得，连接．
请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是　　　　　．
由全等三角形、等腰三角形的性质可得．
【初步运用】
（2）如图2，在中，平分，为的中点，过点作，分别交的延长线和于点、点A．求证：．
【拓展运用】
（3）如图3，在（1）的基础上（即是的中点，，，A，三点共线），连接，若，当，时，求的长．
16．（2024八上·新会开学考）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________．
【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：
如图所示，延长AD到E，使DE = AD.连接CE，则AE=2
AD.
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE= AB=5.
∵AC=9，
∴9-5即AD的取值范围是：2< AD < 7，
故答案为：D .
【分析】延长AD到E，使DE = AD.连接CE，证明△ABD≌△ECD，即可得到CE= AB=5，然后根据三角形三边关系得到9-52．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长ED到G，使DG=ED，连接CG，FG，
在△BED与△CGD中，
∴△BED≌△CGD(SAS)
∴CG=BE，ED=DG
又∵DE⊥DF
∴FD是EG的垂直平分线，
∴FG=EF
∵GC+CF>FG
∴BE+CF>EF
故答案为：A.
【分析】延长ED到G，使ED=DG，连接CG，FG，则△BED≌△CGD，根据线段的等量代换，以及三边关系即可求解.
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：延长ED至点G，使DG=DE，连接GF、GC，
∵D为BC的中点
∴BD=CD
又∵∠BDE=∠CDG
∴△BDE≌△CDG(SAS)
∴CG=BE
∵AB=7，AE=4
∴BE=AB-AE=7-4=3
∵DE、DF分别平分∠ADB、∠ADC
∴∠ADB=2∠ADE，∠ADC=2∠ADF
∵∠ADB+∠ADC=180°
∴2∠ADE+2∠ADF=180°
∴∠ADE+∠ADF=90°
∴DF⊥DE
又∵DE=DG
∴GF=EF
在△CDF中，CF=2，GC=3，得
故答案为： D.
【分析】倍长ED至G，得△BDE≌△CDG，得GC=BE=3，由角平分线得∠EDF=90°，D为EG中点得GF=EF，在△CGF中，由三角形三边关系即得GF的范围，即为EF范围.
4．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的实际应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：①在中，，
∴，
∵平分平分，
∴，，
∴，故①正确；
②当是的中线时，，故②错误；
③ 如图，延长CE至G，使GE=CE，连接BG，
∵AB=2AE，
∴AE=BE，
∵∠AEC=∠BEG，
∴△ACE≌△BGE（SAS），
∴∠ACE=∠G，CE=GE，
∵CE为角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
∴∠BCE=∠G，
∴BC=BG，
∵BC=AC，
∴BE⊥CE，故③正确；
④如图，作的平分线交于点，
由①得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
⑤过作，于点，
由④知，为的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
综上所述：正确的有①③④⑤，共4个，
故选：C．
【分析】①根据三角形内角和定理可得可得∠ACB+∠CAB=120°，然后根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，，根据三角形内角和是180°可得 ∠AFC=180°-（∠FCA+∠FAC）=120°，故①说法正确；②根据三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分得出，故②说法正确；③延长CE至G，使GE=CE，连接BG，根据AB=2AE可得AE=BE，根据对顶角相等可得∠AEC=∠BEG，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可证明△ACE≌△BGE，根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出∠ACE=∠G，CE=GE，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ACE=∠BCE，推得∠BCE=∠G，根据等角对等边得出BC=BG，即BC=AC，根据等腰三角形三线合一的性质即可得出BE⊥CE，故③说法正确； ④作∠AFC的平分线交AC于点G，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可推得∠AFG=∠CFG=∠AFE=60°，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等可证明△AEF≌△AGF，△CDF≌△CGF，根据全等三角形的对应边相等得出可得AE=AG，CD=CG，故CD+AE=AC，④说法正确；⑤过作于点，由④知，为的角平分线，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得出，所以可得，根据全等三角形的面积相等即可得出，故⑤说法正确．
5．【答案】3.2
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长至，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：3.2．
【分析】延长至，使，连接，根据AD是三角形的中线，可利用倍长中线法构建全等三角形，从而得出AC=BG，又由平行线的性质可得出，可得出BG=BE，即可得出AC=BE=5，进而即可得出CF=5-1.8=3.2即可。
6．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点E，使，先利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，再利用勾股定理求出CE的长，再利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
7．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解： 如图， 延长到使，连接，
在与中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
故答案为：.
【分析】
延长到使，连接 后得到，根据全等三角形的性质得到角边的关系后，进一步推导可得，在等腰三角形BGE中通过等腰三角形的性质得到，推导角的关系即可得到，根据题给条件利用三角形内角和计算出∠ADC和∠BED的值后进一步计算即可得到∠FBC的值 ．
8．【答案】或
【知识点】三角形全等的判定；翻折全等-公共边模型；旋转全等模型；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：①当时，如图，延长到点，使，连接、，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
是中点，
，
在△和△中，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
在△和△中，
，
，
，，
，
，
；
②当时，如图，延长到点，使，连接、，
同①理可得，
；
综上，的度数为或，
故答案为：或．
【分析】
由于、，可延长到点，使，连接、，则可证，再证，最后再证，此时再分类讨论，即当时或当时，分别利用全等的性质计算即可．
9．【答案】；；；；；
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长至点，使，连接，
是的中线，
，
在和中，
，
≌，
，
在中，根据“三角形三边关系”可知：，
又，
．
故答案为：，，，，，．
【分析】延长至点，使，连接，证明≌，从而推出，再利用三角形的三边关系即可得出答案.
10．【答案】（1）解：∵DE=AD， ∴AE=2AD，∵AD是BC边上的中线， ∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS) ，
∴AB=EC，
∵AB=5，
∴CE=5，
在△ACE中，
解得：
∴AD的取值范围是1（2）解：延长ED到点H， 使DH=DE， 连接CH， FH， 如图所示：
∵DH=DE， DE⊥DF，
∴DF垂直平分EH，
∴EF=HF，
∵AD是BC边上的中线，
∴DB=DC，
在△DCH和△DBE中，
，
∴△DCH≌△DBE (SAS) ，
∴CH=BE，
在△CFH中， CH+CF>FH，
∴BE+CF>EF；
（3）解：AF+CE=EF，
理由： 延长BC到H， 使得CH=AF， 如图所示：
∵∠A+∠BCD=180°， ∠BCD+∠DCH=180°，
∴∠A=∠DCH，
在△ADF和△CDH 中，
∴△ADF≌△CDH(SAS)
∴∠ADF=∠CDH， DF=DH，
∵∠ADC=120°， ∠EDF=60°，
∴∠ADF+∠EDC=∠ADC-∠EDF=60°，
∴∠CDH+∠EDC=60°， 即∠EDH=60°，
∴∠EDF=∠EDH，
在△DEF 和△DEH中，
，
∴△DEF≌△DEH (SAS) ，
∴EF=EH，
∵CH+CE=EH，
∴AF+CE=EF.
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
(2)如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH.证明△BDE≌△CDH(SAS)，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
(3)延长BC到H，使得CH=AF，通过两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题.
11．【答案】证明：如图，
作，
∵平分，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段的中点；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】作，根据三角形的角平分线性质，可得，根据“”定理，易证，即可证得．
12．【答案】（1）解：1＜AD＜6；理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴CD＝BD，
在△CDE和△BDA中，
，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC＝AB，
∵AB＝5，
∴EC＝AB＝5，
在△AEC，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，且AC＝7，
∴2＜AE＜12，
∵DE＝AD，
∴2＜2AD＜12，
∴1＜AD＜6；
（2）证明：延长ED到H，使得DH＝DE，连结CH，FH．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDH中，
，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE＝CH，
∵DE⊥DF，DE＝DH，
∴EF＝FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：AF+EC＝EF．理由如下：
延长BC到H，使得CH＝AF，
∵∠A+∠BCD＝180°，∠DCH+∠BCD＝180°，
∴∠A＝∠DCH，
在△AFD和△CHD中，
，
∴△AFD≌△CHD（SAS），
∴DF＝DH，∠ADF＝∠CDH，
∵∠EDF＝60°，∠ADC＝120°，
∴∠ADF+∠ECD＝60°，
∴∠CDH+∠ECD＝60°
∴∠EDF＝∠EDH＝60°，
在△EDF和△EDH中，
，
∴△EDF≌△EDH（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝EC+CH＝EC+AF，
∴EF＝AF+EC．
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)证明△CDE≌△BDA(SAS)，推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
(2)如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接CH，FH.证明△BDE≌△CDH(SAS)，推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
(3)延长BC到H，使得CH=AF，通过两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题.
13．【答案】（1）解：问题解决1：
证明：延长AD至点E，使，连接CE.
是BC边上的中线，
.
在和中，
.
.
问题解决2：，平行
（2）解：. 理由如下：.
证明：如图，延长AD至点E，使，连接CE.
∵AD是边上的中线，
∴.
在和中：
.
.
，
.
.
.
在和中：
.
∴MN=AE
∵AE=AD+DE=2AD
∴MN=2AD
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）问题解决2：由（问题解决1）可得AD=DE，EC=AB，，
∴∠B=∠C，
∴ AB∥CE，
∵ AB=5，
∴EC=5，
∵ AC=9 ，AC-EC∴ 9-5∴ 4∴ 2故答案为：；平行.
【分析】（1） 问题解决1： 需利用倍长中线法构造全等三角形，证明AB与CE的数量关系 ；
问题解决2： 通过构造全等三角形后，结合三角形三边关系确定AD的取值范围，并分析AB与CE的位置关系 ；
（2） 需通过构造全等三角形，结合已知条件（AB=AM，AC=AN，直角条件），推导AD与MN的数量关系及位置关系 .
14．【答案】[理解运用]证明：如图，延长到，使，连接，
∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
[实践应用]证明：如图，延长到点，使，连接、，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，
∴．
【知识点】三角形三边关系；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的综合；倍长中线构造全等模型
【解析】【分析】 【理解运用】延长到，使，连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，，再利用等量代换和等角对等边的性质可得，最后利用等量代换可得；
【实践应用】 延长到点，使，连接、， 先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用三角形三边的关系及等量代换可得.
15．【答案】解：（1）；
（2）延长至点，使得，连接，如图所示：
，，
，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
；
（3）延长至点，使得，连接，过点C作于点H，如图所示：
∵AD=12，设，
则.
由（1）知，
，，
，
，
.
∵CH⊥DF于点H，
，
，
，
，
在中，
，
，
又，，
，
，
，
在中，
，
，
解得，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】（1）解：（1）延长至点，使得，连接，如图所示：
是的中点，
，
，AE=FE，
；
故答案为：；
【分析】（1）由已知和作图能得到，，再加上对顶角相等，即可根据“”证明三角形全等；
（2）延长至点，使得，连接，先证明，得到，，再根据角平分线及平行线可逐步推得结论成立；
（3）延长至点，使得，连接，过点C作于点H，设，分别求出，，，可得，由勾股定理求得，再求出，由勾股定理求出，即可得到答案．
16．【答案】（1）；
（2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
（3）解：；理由如下：
如图，延长，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴。
【知识点】平行线的判定与性质；三角形三边关系；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型
【解析】【解答】解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
故答案为：
【分析】（1）延长AD到点E，DE=AD，根据交叉线的性质，，然后再根据中点的定义，易证，可得结论；
（2）延长AE到点F，使得AE=EF，连接DF．易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而可得，最后再根据全等三角形的性质，可得，即可证明结论．
（3）延长AD，使AD=DG，连接BG，然后再根据中点的定义，可得BD=DC，易证，进而求出，，从而得到，又跟据，，可得证明，得出，即可证明结论．
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