【精品解析】三角形的全等三角形（截长补短模型）-浙教版数学八年级上册培优训练

三角形的全等三角形（截长补短模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·宁津期中）中，为角平分线，，则线段的长为（　　）
A．9 B．11 C．12 D．15
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】在上截取，连接，如图
∵为角平分线，
∴
∵
∴
∴，，即，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【分析】在上截取，连接，根据 角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，即，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．如图， 平分 ， 过 作 交 于点 ， 若点 在 上， 且满足 ， 则 的度数为（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；截长补短构造全等模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，做辅助线，DF=DF'=DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD
由图形的对称性可知△FBD≌△EBD，
∴∠DFB=∠DEB，
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠DEC
∵∠ABC=
∴∠DEB=，
∴∠DFB=∠DEB=，
当点F位于点F'处时，
∵∠FBD=∠EBD
∴∠DFF'=∠DEC=，
∵DF=DF'，
∴∠DF'B=∠DFF'=.
故答案为：C.
【分析】本题作好辅助线，根据图形的对称性质得到△FBD≌△EBD，再结合题目中的已知信息DE∥AB，即可求得∠DFB=∠DEB=，当点F位于点F'处时，通过DF=DF'可以知道△DFF'为等腰三角形，所以∠DF'B=∠DFF'=.
3．（2024八上·长兴期中）如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠CAD=∠B=30°，①正确；
如图，连接PB，由题可得CD为AB的中垂线，即PB=PA，∠PAD=∠PBA，
∵PA=PE=PB，
∴∠PEC=∠PBC，
∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBC=∠B=30°，②正确；
由②知 ，且∠B=30°，
则∠PAE+∠PEA=180°-30°-30°=120°，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA=60°，则为等边三角形 ，③正确；
如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，
则AP'=AP=AE，∠PAD=∠P'AD，
∵∠EAC=60°-∠CAP，∠P'AC=30°+∠DAP'=30°+∠PAD=60°-∠CAP
∴∠EAC=∠P'AC
在△EAC和△P'AC中，
∴△EAC≌△P'AC（SAS）
∴CE=CP'=CP+2PD，④正确；
故答案为：D.
【分析】①利用等边对等角可判断，②连接PB后，可得到∠PAD+∠PEC=∠B从而得到结论，③利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来判断，④利用对称构造出2PD后，结合三角形全等进行说明.
二、填空题
4．（2024九上·福田月考）如图，点C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．现给出以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△CDA≌△CEB
∴AD =BE，故①正确；
∵△ACD≌△BCE(已证)：
∠CAD =∠CBE
∠BPO=∠APC
∠AOB=∠ACB=60°，故②正确；
如图所示，过C点作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ BCE≌△ACD，
S△BCE = S△ACD，BE = AD，
∴×BE×CM=×AD×CN，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，
∴∠COP=∠COQ，
∴∠BOP=∠DOQ，
∴∠BOC =∠DOC，
又∵∠CBO与∠CDO不一定相等，
∴∠OCB与∠DCO不一定相等，
∴CO不一定平分∠BCD，故③错误；
在AP上截取AH=OC，连接BH，如上图所示
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAO =∠CBO，
∵∠CBO+∠CEB=∠ACB=60°，
∴∠CAO+∠CEO =60°，
∴∠AOE=120°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=60°=∠ABC，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠BAH=∠OCB，
又∵AB=BC，
∴△ABH≌△BCO(SAS)，
∴BH= BO，
又∵∠AOB=60°，
∴△BHO是等边三角形，
∴OH=OB，
又∵AO=AH+OH，
∴AO=BO+CO，故④正确。
故答案为：①②④.
【分析】先根据条件，推出△CDA≌△CEB，再根据全等三角形性质，即可证明①②正确；通过做辅助线，利用等面积法、角平分线的性质等，即可证明③不一定成立；再利用截长补短法，去构造并证明两个三角形全等，即可推出④正确。
三、解答题
5．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.
（1）如图①，点 M，N 在底边 BC上，且∠ANB=45°，∠MAN=60°.请在图①中AN 上方作出∠NAD=60°，且AD=AM，连接ND，CD，并直接写出 BM与CN的数量关系　 　.
（2）如图②，点M在BC上，点 N在BC的上方，且∠MBN=∠MAN=60°，求证：MC=BN+MN.
【答案】（1）解：如图1BM=2CN
（2）解：如图2，在CB上截取CG=BN，连接AG，
∵AB= AC， ∠BAC = 120° ，
∴∠C= ∠ ABC= 30°，
∵∠NBM=60°，
∴∠ABN=30°，
在△ABN和△ ACG中
∴△ABN≌△OACG (SAS)， ，
∴∠BAN=∠CAG，AN=AG，
∴∠BAN+∠ВАМ=∠ВАM+∠CAG=∠MAN=60°，
∴∠MAG =∠BAC- ∠BAM - ∠CAG = 60° ，
∴∠NAM = ∠GAM，
在△АМN和△ AMG中
∴△AMN≌ △AMG (SAS)，
∴MN = MG，
∴MC=MG+GC=MN+BN.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】（1）∵ ∠MAN=60°，∠BAC=120°，
∴∠ВАM+∠CAN=60°，
∵ ∠CAD+ ∠CAN = 60°，
∴ ∠CAD= ∠ВАМ，
又∵ AD= АМ， AB= AC，
∴△ABM ≌△ACD (SAS)，
∴BM=CD，∠B=∠ACD=30°，
∵ AM=AD，∠MAN=∠DAN，AN=AN，
∴△AMN≌△ADN (SAS)，
∴∠ANM=∠AND=45°，
∴∠MND=90°，
又∵ ∠DCN = ∠ACB+ ∠ACD= 60，
∴∠CDN = 30°，
∴CD= 2CN，
∴ВМ = 2CN.
故答案为： BM = 2CN.
【分析】 (1)①证明△ABM≌△ACD (SAS)，由全等三角形的性质得出BM = CD，∠B=∠ACD=30°，证明△.AMN≌△ADN (SAS)，得出∠ANM=∠AND= 45%，由直角三角形的性质可得出结论；
②如图2，在CB上截取CG = BN，连接AG，证明△ABN≌△ACG(SAS)，得出∠BAN =∠CAG， AN = AG，证明△AMN≌△AMG(SAS)，得出MN = MG，则可得出结论；
6．（2024八上·武汉月考）如图，已知，点D是BC上一点，．
图1 图2
（1）如图1，若，，求证：
①
②
（2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立．
【答案】（1）证明：①∵，∴
∴．
②在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
由①知：，
∵，
∴，
∴．
（2）解：．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；截长补短构造全等模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（2）解：当时，总有成立．理由如下：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，即：，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）①利用直角三角形两锐角互余，结合平角定义，推导角的相等关系.
②通过截长补短法构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质与全等判定，证明线段相等.
（2）类比（1）的截长补短法构造全等，结合等腰三角形性质与角度推导，得出与的数量关系.
（1）证明：①∵，
∴
∴．
②在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
由①知：，
∵，
∴，
∴．
（2）当时，总有成立．理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，即：，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．（2025八上·东莞月考）【问题情境】
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离．
【探索应用】
（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：．
【答案】解：（1）如图，连接，
在和中，
∵，
∴
∴，
（2）延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，由三角形三边关系可得：，
∴，解得，
∴；
（3）证明：在上截取，
由题意可得：，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】（1）连接，通过“SAS”证明，由全等的性质得出；
（2）延长到点，使，连接，则，通过“SAS”证明，可得，再由三角形三边关系可得，，即即可求解；
（3）在上截取，通过“SAS”可以得到，得到，，从而得到，再根据“AAS”证明，得到，即可得出结论．
8．（2024八上·义乌月考）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，
当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________．
（2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________．
【答案】（1）；；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．
∵
∴，
∵在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
在△AEG和△AEF中
∴（SAS）．
∴．
∵．
∴；
（3）或或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）补全图形，如图：
小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，
故答案为：，，；
（3）①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；
②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；
证明：在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵在与中，
，
∴
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∵
∴；
③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，
同上可证明：，
∴，
∴，
即，
综上所述：线段之间的数量关系为或或，
故答案为：或或．
【分析】
（1）依据题意，补图，补充思路即可；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：延长到，使，连接，根据同角的补角相等可得∠ABG=∠D，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得AG=AF，∠1=∠2，由角的和差可得∠GAE=∠EAF，结合已知，用边角边可得△AEG≌△AEF，由全等三角形的对应边（角）相等可得EG=EF，然后根据线段的和差即可求解；
（3）分三种情况讨论，①分别在边上，②点在边延长线上，点在边延长线上，③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，根据线段和差即可求解．
（1）解：补全图形，如图：
小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，
故答案为：，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
∵
∴，
∵在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；
②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；
证明：在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵在与中，
，
∴
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∵
∴；
③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，
同上可证明：，
∴，
∴，
即，
综上所述：线段之间的数量关系为或或，
故答案为：或或．
9．（2025八上·红河期末）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系．
（1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________．
（2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）答：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或或；
【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
（1）
解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（3）
答：或或，理由如下：
①由（1）、（2）可知，；
②，如图：当点E、F分别在BC、CD延长线上时，在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
③，如图，当点E、F分别在CB、DC的延长线上时，在上截取，
同②，先证得，再证得，
∴ ；
④如图，点 、F分别在 、的延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
【分析】
（1）当时，延长到点，使，连接，则可利用SAS证明，由全等的性质可得，则，可再利用SAS证明，则由全等的性质并等量代换得 ；
（2）当时，延长 到点G，使 ，连接 ，由同角的补角相等可利用SAS先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系；
（3）由于点E、F分别在直线BC和CD上，因此可分三种情况讨论，即点E、F分别在边BC和CD上、点E、F分别在BC、CD延长线上时、或点E、F分别在CB、DC的延长线上时，或点 、F分别在 、的延长线上，再利用截长补短法证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或，理由如下：
①，如图：在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，如图，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
∴ ；
③由（1）、（2）可知，；
④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
10．操作：如图，△ABC 是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB，AC 边于M，N 两点，连接MN.
（1）探究：线段 BM，MN，CN 之间的关系，并加以证明.
（2）若点 M，N分别是射线AB，CA 上的点，其他条件不变，再探索线段 BM，MN，NC 之间的关系.
【答案】（1）解：MN=BM+CN.
如图，在AC 延长线上截取 ，
由 Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，
∠MDB=∠M1DC，
，
又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°.
∵MD=M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，从而 MN=BM+CN.
（2）∵三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵三角形ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
∵顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合，
∴在△DMN和△DNM`中，DM=DM`，∠MDN=∠NDM`=60°，DN=DN
∴△DMN△DNM
∴MN=NM`=NC+BM
即MN=BM+CN
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】(1)此问要探究 线段 BM，MN，CN 之间的关系 ，首先观察图形，找到三段线段的位置，并观察其长度，易得MN最长，BM和CN稍短，所以可猜测三段线段之间是两短线之和等于最长线的关系，即MN=BM+CN，要证明此关系，需在图中寻找与此三线段相等的边进行转换，将三段线段转换到一条直线上即可；
(2) 本问依然是问三段线段之间的关系，按照（1）问的思路，延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC；
11．（2024八上·茌平期中）【阅读材料】
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．
【答案】解：（1），理由如下：
如图 ① ，
在上截取，连接，
为的角平分线，
，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴.
（2），理由如下：
如图②，
在上截取，连接，
平分，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴.
（3）不成立， 新数量关系为：，理由如下：
如图③，
在的延长线上取一点，使，连接，
是的平分线，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；角平分线构造全等模型
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，再求得，据此即可得到.
（2）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，同（1）即可求解.
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，同理可证明．
12．（2023八上·湖里月考）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形如图所示．
（2）解：点、关于对称，
为中垂线，
，．
，
又为等边三角形，
，
．
，．
．
故答案为：．
（3）解：．
证明：在上截取，如图所示，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
．
．
．
即．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】本题主要对三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，截长补短构造全等模型等知识点进行考查（1）根据题干信息对图形完成补全；
（2）由轴对称可知为中垂线，所以，根据为等边三角形可得到；
（3）在上截取，连接，根据边角关系可得到，进而证明为等边三角形，根据证明，则，所以．
（1）解：补全图形如图所示．
（2）解：点、关于对称，
为中垂线，
，．
，
又为等边三角形，
，
．
，．
．
故答案为：．
（3）解：．
证明：在上截取，如图所示，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
．
．
．
即．
13．（2024八上·青羊期中）【问题初探】（1）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：．
①如图2，小青同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M．
②如图3，小阳同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点D，E在边上，，连接，，点F在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积
【答案】解：（1）若选择小青同学的解题思路．证明如下：
如图，过作交的延长线于，
由旋转可得∠BDE=90°
又∵，
∴，，
∴．
∵交延长线于，
∴，
∴=90°，
又∵绕点旋转至，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵CD=ME，
∴，
又∵∠M=90°，
∴，
∴，
又∵，
∴∠F=45°，
∴∠CAF=∠F，
∴AC=CF，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∴，
∴；
若选择小阳同学的解题思路，证明如下：
如图，在上截取，连接．
由旋转可得∠BDE=90°
∴，
∴．
∴.
∵，，
∴，即．
又∵，
∴，
.∴，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴∠F=45°，
∴∠CAF=∠F，
∴AC=CF，
∴是等腰直角三角形，
∴．
由得，
∴；
（2）证明：如图，过作于，过作于．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴点D在线段CF的垂直平分线上，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作DP⊥BF于点P，在边上截取，连接．
由题意得，，，
∴，
∴，
∵，，
∴AB-AQ=AC-AD
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵于，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】（1）①选择小青同学的解题思路；过作交的延长线于，先利用AAS证，进一步可证CD=AM=ME，可推出，再证为等腰直角三角形，即可证得结论；
②选择小阳同学的解题思路.在上截取，连接，先利用SAS证，再利用等角对等边证，进一步可推出∠CAF=45°，可得为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可证得结论；
（2）过作于，过作于，先利用SAS证出，得，，再利用AAS证明，可得CH=EG，再证，，进一步即可得出结论；
（3）如图，过点D作DP⊥BF于点P，在边上截取，连接，利用SAS得，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理算出，，即可求出面积．
14．（2024八上·海淀期中）在中，分别平分．
（1）如图1，若，则　 　；
（2）如图2，连接，求证：平分；
（3）如图3，若求的长．
【答案】（1）106°
（2）证明：如图2，
过作于，于，于，
、分别平分、，
，，
，
平分.
（3）解：如图，
在上截取，连接，
平分，
，
，
∴，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的双内角平分线模型；截长补短构造全等模型；角平分线构造全等模型
【解析】【解析】（1）解：如图1，
，
，
、分别平分、，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合得到，再根据、分别平分、，得，，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和定理得到.
（2）过作于，于，于，根据角平分线的性质得，，再角平分线的定义即可得到结论.
（3）在上截取，连接，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
（1）解：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过作于，于，于，
、分别平分、，
，，
，
平分；
（3）解：在上截取，连接，
平分，
，
，
∴，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
．
1 / 1三角形的全等三角形（截长补短模型）-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·宁津期中）中，为角平分线，，则线段的长为（　　）
A．9 B．11 C．12 D．15
2．如图， 平分 ， 过 作 交 于点 ， 若点 在 上， 且满足 ， 则 的度数为（　　）
A． B．
C． 或 D． 或
3．（2024八上·长兴期中）如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．（2024九上·福田月考）如图，点C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接、．现给出以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的是　 　．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
5．已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°.
（1）如图①，点 M，N 在底边 BC上，且∠ANB=45°，∠MAN=60°.请在图①中AN 上方作出∠NAD=60°，且AD=AM，连接ND，CD，并直接写出 BM与CN的数量关系　 　.
（2）如图②，点M在BC上，点 N在BC的上方，且∠MBN=∠MAN=60°，求证：MC=BN+MN.
6．（2024八上·武汉月考）如图，已知，点D是BC上一点，．
图1 图2
（1）如图1，若，，求证：
①
②
（2）如图2，请直接写出与之间满足什么数量关系时，总有成立．
7．（2025八上·东莞月考）【问题情境】
（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，如果，求间的距离．
【探索应用】
（2）如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E使，再连接（或将绕着点D逆时针旋转得到，把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断，中线的取值范围是什么？并说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，在中，，，，，的延长线交于点F，求证：．
8．（2024八上·义乌月考）已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，
当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________．
（2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________．
9．（2025八上·红河期末）已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系．
（1）为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________．
（2）如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系．
10．操作：如图，△ABC 是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以 D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交 AB，AC 边于M，N 两点，连接MN.
（1）探究：线段 BM，MN，CN 之间的关系，并加以证明.
（2）若点 M，N分别是射线AB，CA 上的点，其他条件不变，再探索线段 BM，MN，NC 之间的关系.
11．（2024八上·茌平期中）【阅读材料】
“截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题．
【问题解决】
（1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由；
（3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由．
12．（2023八上·湖里月考）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．
13．（2024八上·青羊期中）【问题初探】（1）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图1，在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F．求证：．
①如图2，小青同学要证明，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M．
②如图3，小阳同学要证，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）张老师发现之前两名同学都利用构造全等三角形，证明出特殊三角形，为了帮助学生更好地感悟构造全等三角形的方法，张老师提出下面的问题，请你解答．
如图4，在中，，，点D，E在边上，，连接，，点F在边上，连接，且．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，点D在边上，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点F，连接，求的面积
14．（2024八上·海淀期中）在中，分别平分．
（1）如图1，若，则　 　；
（2）如图2，连接，求证：平分；
（3）如图3，若求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】在上截取，连接，如图
∵为角平分线，
∴
∵
∴
∴，，即，
∵
∴
∴
∴
∴
故选：A．
【分析】在上截取，连接，根据 角平分线定义可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，即，根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；截长补短构造全等模型；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，做辅助线，DF=DF'=DE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD
由图形的对称性可知△FBD≌△EBD，
∴∠DFB=∠DEB，
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠DEC
∵∠ABC=
∴∠DEB=，
∴∠DFB=∠DEB=，
当点F位于点F'处时，
∵∠FBD=∠EBD
∴∠DFF'=∠DEC=，
∵DF=DF'，
∴∠DF'B=∠DFF'=.
故答案为：C.
【分析】本题作好辅助线，根据图形的对称性质得到△FBD≌△EBD，再结合题目中的已知信息DE∥AB，即可求得∠DFB=∠DEB=，当点F位于点F'处时，通过DF=DF'可以知道△DFF'为等腰三角形，所以∠DF'B=∠DFF'=.
3．【答案】D
【知识点】截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠CAD=∠B=30°，①正确；
如图，连接PB，由题可得CD为AB的中垂线，即PB=PA，∠PAD=∠PBA，
∵PA=PE=PB，
∴∠PEC=∠PBC，
∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBC=∠B=30°，②正确；
由②知 ，且∠B=30°，
则∠PAE+∠PEA=180°-30°-30°=120°，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA=60°，则为等边三角形 ，③正确；
如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，
则AP'=AP=AE，∠PAD=∠P'AD，
∵∠EAC=60°-∠CAP，∠P'AC=30°+∠DAP'=30°+∠PAD=60°-∠CAP
∴∠EAC=∠P'AC
在△EAC和△P'AC中，
∴△EAC≌△P'AC（SAS）
∴CE=CP'=CP+2PD，④正确；
故答案为：D.
【分析】①利用等边对等角可判断，②连接PB后，可得到∠PAD+∠PEC=∠B从而得到结论，③利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来判断，④利用对称构造出2PD后，结合三角形全等进行说明.
4．【答案】①②④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
∴△CDA≌△CEB
∴AD =BE，故①正确；
∵△ACD≌△BCE(已证)：
∠CAD =∠CBE
∠BPO=∠APC
∠AOB=∠ACB=60°，故②正确；
如图所示，过C点作CM⊥BE于M，CN⊥AD于N，
∵△ BCE≌△ACD，
S△BCE = S△ACD，BE = AD，
∴×BE×CM=×AD×CN，
∴CM=CN，
∴OC平分∠AOE，
∴∠COP=∠COQ，
∴∠BOP=∠DOQ，
∴∠BOC =∠DOC，
又∵∠CBO与∠CDO不一定相等，
∴∠OCB与∠DCO不一定相等，
∴CO不一定平分∠BCD，故③错误；
在AP上截取AH=OC，连接BH，如上图所示
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAO =∠CBO，
∵∠CBO+∠CEB=∠ACB=60°，
∴∠CAO+∠CEO =60°，
∴∠AOE=120°，
又∵OC平分∠AOE，
∴∠AOC=60°=∠ABC，
∵∠APB=∠CPO，
∴∠BAH=∠OCB，
又∵AB=BC，
∴△ABH≌△BCO(SAS)，
∴BH= BO，
又∵∠AOB=60°，
∴△BHO是等边三角形，
∴OH=OB，
又∵AO=AH+OH，
∴AO=BO+CO，故④正确。
故答案为：①②④.
【分析】先根据条件，推出△CDA≌△CEB，再根据全等三角形性质，即可证明①②正确；通过做辅助线，利用等面积法、角平分线的性质等，即可证明③不一定成立；再利用截长补短法，去构造并证明两个三角形全等，即可推出④正确。
5．【答案】（1）解：如图1BM=2CN
（2）解：如图2，在CB上截取CG=BN，连接AG，
∵AB= AC， ∠BAC = 120° ，
∴∠C= ∠ ABC= 30°，
∵∠NBM=60°，
∴∠ABN=30°，
在△ABN和△ ACG中
∴△ABN≌△OACG (SAS)， ，
∴∠BAN=∠CAG，AN=AG，
∴∠BAN+∠ВАМ=∠ВАM+∠CAG=∠MAN=60°，
∴∠MAG =∠BAC- ∠BAM - ∠CAG = 60° ，
∴∠NAM = ∠GAM，
在△АМN和△ AMG中
∴△AMN≌ △AMG (SAS)，
∴MN = MG，
∴MC=MG+GC=MN+BN.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；截长补短构造全等模型
【解析】【解答】（1）∵ ∠MAN=60°，∠BAC=120°，
∴∠ВАM+∠CAN=60°，
∵ ∠CAD+ ∠CAN = 60°，
∴ ∠CAD= ∠ВАМ，
又∵ AD= АМ， AB= AC，
∴△ABM ≌△ACD (SAS)，
∴BM=CD，∠B=∠ACD=30°，
∵ AM=AD，∠MAN=∠DAN，AN=AN，
∴△AMN≌△ADN (SAS)，
∴∠ANM=∠AND=45°，
∴∠MND=90°，
又∵ ∠DCN = ∠ACB+ ∠ACD= 60，
∴∠CDN = 30°，
∴CD= 2CN，
∴ВМ = 2CN.
故答案为： BM = 2CN.
【分析】 (1)①证明△ABM≌△ACD (SAS)，由全等三角形的性质得出BM = CD，∠B=∠ACD=30°，证明△.AMN≌△ADN (SAS)，得出∠ANM=∠AND= 45%，由直角三角形的性质可得出结论；
②如图2，在CB上截取CG = BN，连接AG，证明△ABN≌△ACG(SAS)，得出∠BAN =∠CAG， AN = AG，证明△AMN≌△AMG(SAS)，得出MN = MG，则可得出结论；
6．【答案】（1）证明：①∵，∴
∴．
②在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
由①知：，
∵，
∴，
∴．
（2）解：．
【知识点】三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；截长补短构造全等模型；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（2）解：当时，总有成立．理由如下：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，即：，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）①利用直角三角形两锐角互余，结合平角定义，推导角的相等关系.
②通过截长补短法构造全等三角形，结合等腰直角三角形性质与全等判定，证明线段相等.
（2）类比（1）的截长补短法构造全等，结合等腰三角形性质与角度推导，得出与的数量关系.
（1）证明：①∵，
∴
∴．
②在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
由①知：，
∵，
∴，
∴．
（2）当时，总有成立．理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，
∴，即：，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．【答案】解：（1）如图，连接，
在和中，
∵，
∴
∴，
（2）延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵在中，由三角形三边关系可得：，
∴，解得，
∴；
（3）证明：在上截取，
由题意可得：，
∴，
∴，
又∵， ，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；倍长中线构造全等模型；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】（1）连接，通过“SAS”证明，由全等的性质得出；
（2）延长到点，使，连接，则，通过“SAS”证明，可得，再由三角形三边关系可得，，即即可求解；
（3）在上截取，通过“SAS”可以得到，得到，，从而得到，再根据“AAS”证明，得到，即可得出结论．
8．【答案】（1）；；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．理由是：如图2，延长到，使，连接．
∵
∴，
∵在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
在△AEG和△AEF中
∴（SAS）．
∴．
∵．
∴；
（3）或或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）补全图形，如图：
小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，
故答案为：，，；
（3）①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；
②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；
证明：在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵在与中，
，
∴
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∵
∴；
③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，
同上可证明：，
∴，
∴，
即，
综上所述：线段之间的数量关系为或或，
故答案为：或或．
【分析】
（1）依据题意，补图，补充思路即可；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：延长到，使，连接，根据同角的补角相等可得∠ABG=∠D，结合已知，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得AG=AF，∠1=∠2，由角的和差可得∠GAE=∠EAF，结合已知，用边角边可得△AEG≌△AEF，由全等三角形的对应边（角）相等可得EG=EF，然后根据线段的和差即可求解；
（3）分三种情况讨论，①分别在边上，②点在边延长线上，点在边延长线上，③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，根据线段和差即可求解．
（1）解：补全图形，如图：
小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为，
故答案为：，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立．
理由是：如图2，延长到，使，连接．
∵
∴，
∵在与中，
，
∴．
∴，
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵．
∴；
（3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明；
②点在边延长线上，点在边延长线上，此时；
证明：在上截取，使，连接．
∵，
∴．
∵在与中，
，
∴
∴．
∴．
∴．
∵，
∴
∴
∵
∴；
③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接，
同上可证明：，
∴，
∴，
即，
综上所述：线段之间的数量关系为或或，
故答案为：或或．
9．【答案】（1）
（2）答：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）或或；
【知识点】三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】
（1）
解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（3）
答：或或，理由如下：
①由（1）、（2）可知，；
②，如图：当点E、F分别在BC、CD延长线上时，在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
③，如图，当点E、F分别在CB、DC的延长线上时，在上截取，
同②，先证得，再证得，
∴ ；
④如图，点 、F分别在 、的延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
【分析】
（1）当时，延长到点，使，连接，则可利用SAS证明，由全等的性质可得，则，可再利用SAS证明，则由全等的性质并等量代换得 ；
（2）当时，延长 到点G，使 ，连接 ，由同角的补角相等可利用SAS先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系；
（3）由于点E、F分别在直线BC和CD上，因此可分三种情况讨论，即点E、F分别在边BC和CD上、点E、F分别在BC、CD延长线上时、或点E、F分别在CB、DC的延长线上时，或点 、F分别在 、的延长线上，再利用截长补短法证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可．
（1）解：补全小宁的解题思路如下：
先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是，
故答案为： ，，；
（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：
如图②，延长 到点G，使 ，连接，
∵，
∴，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：或或，理由如下：
①，如图：在 上截取，使 ，连接 ，
∵
∴
在 与 中，
∴
∴，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
在 与 中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，如图，在上截取，
同第一种情况，先证得，再证得，
∴ ；
③由（1）、（2）可知，；
④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系；
综上，线段之间的数量关系为或或．
10．【答案】（1）解：MN=BM+CN.
如图，在AC 延长线上截取 ，
由 Rt△BDM≌Rt△CDM1，得MD=M1D，
∠MDB=∠M1DC，
，
又∠MDN=60°，∴∠NDM1=60°.
∵MD=M1D，∠MDN=∠NDM1=60°，DN=DN，
∴△MDN≌△M1DN，得MN=NM1，从而 MN=BM+CN.
（2）∵三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°
∵三角形ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∴∠DBA=∠DCA=90°
∵顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合，
∴在△DMN和△DNM`中，DM=DM`，∠MDN=∠NDM`=60°，DN=DN
∴△DMN△DNM
∴MN=NM`=NC+BM
即MN=BM+CN
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】(1)此问要探究 线段 BM，MN，CN 之间的关系 ，首先观察图形，找到三段线段的位置，并观察其长度，易得MN最长，BM和CN稍短，所以可猜测三段线段之间是两短线之和等于最长线的关系，即MN=BM+CN，要证明此关系，需在图中寻找与此三线段相等的边进行转换，将三段线段转换到一条直线上即可；
(2) 本问依然是问三段线段之间的关系，按照（1）问的思路，延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN=BM+NC；
11．【答案】解：（1），理由如下：
如图 ① ，
在上截取，连接，
为的角平分线，
，
∵，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∴.
（2），理由如下：
如图②，
在上截取，连接，
平分，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
∴.
（3）不成立， 新数量关系为：，理由如下：
如图③，
在的延长线上取一点，使，连接，
是的平分线，
，
∵，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；截长补短构造全等模型；角平分线构造全等模型
【解析】【分析】（1）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，再求得，据此即可得到.
（2）在上截取，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，推出，，同（1）即可求解.
（3）在的延长线上取一点，使，连接，根据角平分线定义得，再根据，可证明，同理可证明．
12．【答案】（1）解：补全图形如图所示．
（2）解：点、关于对称，
为中垂线，
，．
，
又为等边三角形，
，
．
，．
．
故答案为：．
（3）解：．
证明：在上截取，如图所示，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
．
．
．
即．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】本题主要对三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，截长补短构造全等模型等知识点进行考查（1）根据题干信息对图形完成补全；
（2）由轴对称可知为中垂线，所以，根据为等边三角形可得到；
（3）在上截取，连接，根据边角关系可得到，进而证明为等边三角形，根据证明，则，所以．
（1）解：补全图形如图所示．
（2）解：点、关于对称，
为中垂线，
，．
，
又为等边三角形，
，
．
，．
．
故答案为：．
（3）解：．
证明：在上截取，如图所示，连接．
，，，
，
，
，
，，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
．
．
．
即．
13．【答案】解：（1）若选择小青同学的解题思路．证明如下：
如图，过作交的延长线于，
由旋转可得∠BDE=90°
又∵，
∴，，
∴．
∵交延长线于，
∴，
∴=90°，
又∵绕点旋转至，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
又∵CD=ME，
∴，
又∵∠M=90°，
∴，
∴，
又∵，
∴∠F=45°，
∴∠CAF=∠F，
∴AC=CF，
∴为等腰直角三角形，
∴．
∴，
∴；
若选择小阳同学的解题思路，证明如下：
如图，在上截取，连接．
由旋转可得∠BDE=90°
∴，
∴．
∴.
∵，，
∴，即．
又∵，
∴，
.∴，
∵，，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴∠F=45°，
∴∠CAF=∠F，
∴AC=CF，
∴是等腰直角三角形，
∴．
由得，
∴；
（2）证明：如图，过作于，过作于．
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴点D在线段CF的垂直平分线上，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点D作DP⊥BF于点P，在边上截取，连接．
由题意得，，，
∴，
∴，
∵，，
∴AB-AQ=AC-AD
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
∵于，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理得，，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；旋转的性质；同侧一线三垂直全等模型；截长补短构造全等模型
【解析】【分析】（1）①选择小青同学的解题思路；过作交的延长线于，先利用AAS证，进一步可证CD=AM=ME，可推出，再证为等腰直角三角形，即可证得结论；
②选择小阳同学的解题思路.在上截取，连接，先利用SAS证，再利用等角对等边证，进一步可推出∠CAF=45°，可得为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可证得结论；
（2）过作于，过作于，先利用SAS证出，得，，再利用AAS证明，可得CH=EG，再证，，进一步即可得出结论；
（3）如图，过点D作DP⊥BF于点P，在边上截取，连接，利用SAS得，再根据含30度角的直角三角形和勾股定理算出，，即可求出面积．
14．【答案】（1）106°
（2）证明：如图2，
过作于，于，于，
、分别平分、，
，，
，
平分.
（3）解：如图，
在上截取，连接，
平分，
，
，
∴，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；三角形的双内角平分线模型；截长补短构造全等模型；角平分线构造全等模型
【解析】【解析】（1）解：如图1，
，
，
、分别平分、，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合得到，再根据、分别平分、，得，，再根据平角的定义得，根据三角形的内角和定理得到.
（2）过作于，于，于，根据角平分线的性质得，，再角平分线的定义即可得到结论.
（3）在上截取，连接，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
（1）解：，
，
、分别平分、，
，，
，
，
故答案为：；
（2）证明：如图2，过作于，于，于，
、分别平分、，
，，
，
平分；
（3）解：在上截取，连接，
平分，
，
，
∴，
，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
．
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