特殊三角形之三线合一的拓展运用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·长兴期中）如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠CAD=∠B=30°，①正确；
如图，连接PB，由题可得CD为AB的中垂线，即PB=PA，∠PAD=∠PBA，
∵PA=PE=PB，
∴∠PEC=∠PBC，
∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBC=∠B=30°，②正确；
由②知 ，且∠B=30°，
则∠PAE+∠PEA=180°-30°-30°=120°，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA=60°，则为等边三角形 ，③正确；
如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，
则AP'=AP=AE，∠PAD=∠P'AD，
∵∠EAC=60°-∠CAP，∠P'AC=30°+∠DAP'=30°+∠PAD=60°-∠CAP
∴∠EAC=∠P'AC
在△EAC和△P'AC中，
∴△EAC≌△P'AC（SAS）
∴CE=CP'=CP+2PD，④正确；
故答案为：D.
【分析】①利用等边对等角可判断，②连接PB后，可得到∠PAD+∠PEC=∠B从而得到结论，③利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来判断，④利用对称构造出2PD后，结合三角形全等进行说明.
2．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，AC＝1，AC边上的中线。过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．x-y C．xy D．x2+y2
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过D作DF⊥EC，
由题意DE为Rt△AEC斜边上的中线，则DE=DC=AC=，
∵DF⊥EC，
∴FE=FC=（y-x），BF=x+（y-x）=（y+x）
∵DF2=DC2-FC2=BD2-BF2
∴（）2-（)2=（）2-（)2
化简得xy=
故答案为：C.
【分析】连接DE，过D作DF⊥EC，根据直角三角形斜边中线得到DE=DC=AC=，根据三线合一得到FE=FC=（y-x），在Rt△DFB和Rt△DFC中利用勾股定理列方程，化简即可判断.
3．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；胡不归模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
，
、、，
，
，
∴，
∴，
∴当点在线段AM上时，即点E与点M重合时的最小值为，
此时再连接CD，则CD＝AC、，
∴，
，
∴，
，即：点的纵坐标为；
故选：C．
【分析】
如图，连接AB， 作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM，再连接CD，可利用勾股定理先求出AB的值，则可得，再由轴对称的性质可判定为等边三角形，再由等腰三角形三线合一知，即可把转化为线段CE，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，则当点E与点M重合时取最小值，即线段AM的长，此时再连接CD，由轴对称的性质可得CD＝AC，再由等腰三角形三线合一结合直角三角形中30度角的性质可得点C为AM的三等分点，进而可求得AC、OC的长，由于点C在y轴上，即坐标可得．
二、填空题
4．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由等腰三角形三线合一知，AD在BC的中线和高上，因此延长AD交BC于点G，则AG垂直平分BC，此时由由等边对等角可得，由折叠的性质可得，由直角三角形两锐角互余可得，则等量代换可得，即是等腰直角三角形，则可得DG=CG=7，即AG=24，利用勾股定理可得CE=AC=25，再利用等面积法求出CF的长即可．
5．（2024八上·慈溪期末）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为 ．
【答案】48
【知识点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图，过点Ａ作于点Ｄ。
因为AB=AC，所以BD=CD=BC。观察图象知：运动时间t的取值范围是，所以当时，点Ｐ与点Ａ重合，此时BP=BA=AC=10cm；当时，cm，所以BC=22-10=12cm，BD=6cm；则在中，cm。所以。
故答案为：48.
【分析】题目主要考查学生的识图能力，要能从图象中识别到有用的信息，即读取并计算的三边长；下来求等腰的面积，可利用等腰三角形的特殊性质——“三线合一”，作出底边BC上的高并利用勾股定理计算即可。
6．（2024八上·浙江期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE的中点，连结AF，当CF取最小值时， △ACF的周长为 。
【答案】10+2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC，连接BF，
∵ F是等边△BDE上DE的中点，
∴∠DBF=∠DBF=30°，BF⊥DF，
∵ ∠ABC＝30° ，
∴∠CBF=30°+30°=60°，
当CF⊥BF时，CF最小，此时D在CF上，
Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC=4，
则BC=
Rt△CFB中，∠FCB=90°-60°=30°，则BF=，CF=×=6，
Rt△FGC中，∠GCF=90°-30°=60°，则CG=CF=3，GF=，
∵AG=4-3=1，AF=
则 △ACF的周长为4+6+=
故答案为：.
【分析】先分析出F点在∠DBE的平分线上，当CF⊥BF时，CF最小，结合含30°的直角三角形三边关系求得相关线段，利用勾股定理求得AF长度，从而得到△ACF周长.
7．（2024八上·温州期中）如图，在中，是AC边上一点，且，连结BD并延长至点，使，连结AE，若，则 ， .
【答案】3；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，CN⊥BE于N，
则△AME为等腰三角形，
∴AM=AE，
∵AB=AD，AM⊥BD，
∴BM=DM，
设DE为3x，则BD为4x，
∴BM=DM=BD=2x，ME=DM+DE=2x+3x=5x，
∴AM=ME=5x，
在Rt△ADM中，AM2+DM2=AD2，
∴(5x)2+(2x)2=()2，
∴29x2=29，
∴x=1，x=-1(舍)，
∴DE=3x=3，
DM=2x=2，AM=5x=5，BD=4x=4，
∵∠AMD=∠CND，∠ADM=∠CDN，AC=CD，
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴CN=AM=5，DN=DM=2，
∴BN=BD+DN=4+2=6，
∴BC=
故答案为：3，.
【分析】通过做辅助线得知△AME为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质（三线合一）可知BM=DM，设出DE与BD的长，结合图形利用勾股定理可求出x的值，即可知道DE的长度，再通过全等三角形的判定可知△AMD≌△CND（AAS），最后根据全等三角形的性质对应边相等以及勾股定理即可求出BC的长度.
8．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本第2章单元检测） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且分别以AB，AC为边作正△ABD和正△ACE，连结DE，交AB于点F，那么DF的长为 .
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DGF=90°，
∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC==，
∵ 正△ABD和正△ACE ，
∴AE=AC=，∠CAE=60°，AD=AB=2，∠DAG=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAE=90°=∠DGF，
∴DG==AE，AG=AB=1，
又∠DFG=∠EFA，
∴△DFG≌△EFA，
∴AF=GF=AG=，
∴DF===，
故答案为：.
【分析】以DF为斜边构建Rt△DFG≌Rt△EFA，从而得AF=GF，借助等边三角形三线合一及30°角的直角三角形性质得AG=AB，最后计算 DF的长 .
9．（2024八上·萧山期中）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是 ．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是 ．
【答案】；
【知识点】整式的混合运算；三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
∴，
，
当的长度变化时，保持不变，
，
，
故答案为：，．
【分析】
第1空：由等腰三角形的三线合一性知，可分别过点作于点，过点作于点，则有，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算出即可；
第2空：先利用面积公式表示出，再根据题意知即可．
三、解答题
10．（2024八上·东阳期中）如图，在长方形中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒．
（1）当时，长为_____．当点在线段上时，用含的代数式表示长为_____．
（2）当的面积等于时，请求出的值．
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，请求出的值．
【答案】（1），
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，列代数式，三角形的面积公式，等式的性质，有理数大小比较的实际应用，不等式的性质，提公因式法分解因式，三线合一，垂线的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．（1）需分两种情形求解：当点P在线段BC上时，利用勾股定理直接计算AP；当点P在线段CE上时，先求出PD的长，再在直角三角形中利用勾股定理计算AP；
（2）根据P在不同边的运动，分三种情况（P在AB、BC、CD上）讨论，利用三角形面积公式建立方程求解；
（3）本题考查等腰三角形存在性问题，根据顶点不同分四种情况（EA=EP且P在AB上，EA=EP且P在BC上，PE=PA，AE=AP）进行讨论，依据等腰三角形的性质逐一求解。
（1）解：如图，当时，点在线段上，
，
四边形是矩形，
，
，
如图，当点在线段上时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故答案为：，；
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或；
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或．
11．（2024八上·钱塘期中）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
12．（2024八上·鄞州期中）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长．
【答案】（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）答：是等腰三角形，理由如下：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形三线合一证即可；
（2）先由同角的余角相等可证，再由等腰三角形的三线合一结合等量代换得，最后再利用三角形的外角性质即可；
（3）由于是锐角，则当或时都是直角三角形，当时，可结合（2）证明，再利用全等三角形的对应边相等即可；当时，可结合（2）证明，再利用对应边相等计算即可．
（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）是等腰三角形，理由：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
13．（2023八上·杭州期中）如图一，△ABC中，D是BC 的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG=CF；
（2）如图二，当∠A=90°时，猜想BE，CF，EF的数量关系，并说明理由；
（3）如图三，在(2)的条件下，当AB=AC时，求证ED=FD.
【答案】（1）证明：∵D为BC中点，
∴BD=DC.
∵BG//AC，
∴∠GBC=∠C，∠BGD=∠DFC，
∴△GBD≌△FCD (AAS).
∴BG=CF.
（2）解：BE2+FC2=EF2.
∵△GBD≌△FCD，
∴GD=DF，
∵ED⊥GF，
∴ED为GF的垂直平分线，
∴EF=EG.
∵∠A=90°，AC//BG，
∴∠EBG=180-∠A=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
∴BE2+FC2=EF2.
（3）解：连接AD，如图
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠C=45°，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠EBD=∠DCA=∠FAD，
∵DE⊥DF，
∴∠BDE+∠BDG=∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠BDG=∠FDC，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴ED=FD.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据中点和平行线的性质得到BD=DC，∠GBC=∠C，∠BGD=∠DFC，从而证明△GBD≌△FCD (AAS)，即可证明.
（2）由（1）可知△GBD≌△FCD，从而得到GD=DF，继而证明出ED为GF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知EF=EG，根据平行线的性质可知∠EBG=90°，从而利用勾股定理得出BE2+FC2=EF2.
（3）连接AD，根据已知条件可以推导出AD=BD=DC，∠EBD=∠DCA=∠FAD，∠BDE=∠ADF，从而证明△AFD≌△BED（ASA），进而得出ED=FD.
14．（2023八上·金华月考）在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求的度数；
（3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
【答案】（1）解 ： ，
，
，
，
在 和中，
，
；
（2）解：作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，如图所示，
在四边形ONHM中，，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：
连接OD，如图所示，
，，D为的中点，
，，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先根据垂线的性质证∠OAP=∠OBC，根据ASA证，根据全等三角形的性质即可求OP的长；
(2)作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，根据AAS证，得出OM=ON，根据角平分线的判定定理，即可得出结论；
(3)连接OD，根据等腰直角三角形的性质准备条件，根据ASA证，得三角形ODM和ADN的面积相等，再根据三角形面积公式求解．
1 / 1特殊三角形之三线合一的拓展运用-浙教版数学八年级上册培优训练
一、选择题
1．（2024八上·长兴期中）如图，在中，为AB的中点，为CD上一点，为BC延长线上一点，且.有下列结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，AC＝1，AC边上的中线。过点A作AE⊥BC于点E，记BE长为x，BC长为y。当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．x+y B．x-y C．xy D．x2+y2
3．（2025八上·上虞期末）如图，在平面直角坐标系中，点为y轴上一动点，当取到最小值时，点C的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则 ．
5．（2024八上·慈溪期末）如图①，在中，，动点从点出发，沿折线运动到点，速度为，其中的长与运动时间的关系如图②．则的面积为 ．
6．（2024八上·浙江期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE，若F是DE的中点，连结AF，当CF取最小值时， △ACF的周长为 。
7．（2024八上·温州期中）如图，在中，是AC边上一点，且，连结BD并延长至点，使，连结AE，若，则 ， .
8．（【课前课后快速检测】浙教版数学八年级上册A本第2章单元检测） 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且分别以AB，AC为边作正△ABD和正△ACE，连结DE，交AB于点F，那么DF的长为 .
9．（2024八上·萧山期中）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是 ．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是 ．
三、解答题
10．（2024八上·东阳期中）如图，在长方形中，，，点是边上的一点，且，动点从点出发，以的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间为秒．
（1）当时，长为_____．当点在线段上时，用含的代数式表示长为_____．
（2）当的面积等于时，请求出的值．
（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，请求出的值．
11．（2024八上·钱塘期中）某兴趣小组在学习了勾股定理之后提出：“锐（钝）角三角形有没有类似于勾股定理的结论”的问题．首先定义了一个新的概念：如图（1）中，是的中点，是射线上的点，设．若，则称为勾股比．
（1）如图（1），过、分别作中线的垂线，垂足为、．求证：．
（2）①如图（2），当，且时， （填一个恰当的数）．
②如图（1），当，为锐角三角形，且时，①中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，也请说明理由．
12．（2024八上·鄞州期中）如图1，等腰三角形中，是边上的中线，延长至点，使，连结．
（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）如图2，过点作的垂线交于点，试判断的形状，并说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，，连结，若是直角三角形，求的长．
13．（2023八上·杭州期中）如图一，△ABC中，D是BC 的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G， DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF.
（1）求证：BG=CF；
（2）如图二，当∠A=90°时，猜想BE，CF，EF的数量关系，并说明理由；
（3）如图三，在(2)的条件下，当AB=AC时，求证ED=FD.
14．（2023八上·金华月考）在中，于点O，，，过点A作于点H，交于点P．
（1）求线段的长度；
（2）连接，求的度数；
（3）如图2，若点D为的中点，点M为线段延长线上一动点，连接，过点D作交线段延长线于N点，则的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】截长补短构造全等模型；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AC=BC，
∴∠CAD=∠B=30°，①正确；
如图，连接PB，由题可得CD为AB的中垂线，即PB=PA，∠PAD=∠PBA，
∵PA=PE=PB，
∴∠PEC=∠PBC，
∴∠PAD+∠PEC=∠PBA+∠PBC=∠B=30°，②正确；
由②知 ，且∠B=30°，
则∠PAE+∠PEA=180°-30°-30°=120°，
∵PA=PE，
∴∠PAE=∠PEA=60°，则为等边三角形 ，③正确；
如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'A，P'D，
则AP'=AP=AE，∠PAD=∠P'AD，
∵∠EAC=60°-∠CAP，∠P'AC=30°+∠DAP'=30°+∠PAD=60°-∠CAP
∴∠EAC=∠P'AC
在△EAC和△P'AC中，
∴△EAC≌△P'AC（SAS）
∴CE=CP'=CP+2PD，④正确；
故答案为：D.
【分析】①利用等边对等角可判断，②连接PB后，可得到∠PAD+∠PEC=∠B从而得到结论，③利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形来判断，④利用对称构造出2PD后，结合三角形全等进行说明.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接DE，过D作DF⊥EC，
由题意DE为Rt△AEC斜边上的中线，则DE=DC=AC=，
∵DF⊥EC，
∴FE=FC=（y-x），BF=x+（y-x）=（y+x）
∵DF2=DC2-FC2=BD2-BF2
∴（）2-（)2=（）2-（)2
化简得xy=
故答案为：C.
【分析】连接DE，过D作DF⊥EC，根据直角三角形斜边中线得到DE=DC=AC=，根据三线合一得到FE=FC=（y-x），在Rt△DFB和Rt△DFC中利用勾股定理列方程，化简即可判断.
3．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；轴对称的性质；胡不归模型；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，连接，作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM．
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
，
、、，
，
，
∴，
∴，
∴当点在线段AM上时，即点E与点M重合时的最小值为，
此时再连接CD，则CD＝AC、，
∴，
，
∴，
，即：点的纵坐标为；
故选：C．
【分析】
如图，连接AB， 作点A关于y轴的对称点D，连接BD，过点C作BD于的垂线段CE，过点A作BD的垂线段AM，再连接CD，可利用勾股定理先求出AB的值，则可得，再由轴对称的性质可判定为等边三角形，再由等腰三角形三线合一知，即可把转化为线段CE，再利用直角三角形30度角的性质求出AM，则当点E与点M重合时取最小值，即线段AM的长，此时再连接CD，由轴对称的性质可得CD＝AC，再由等腰三角形三线合一结合直角三角形中30度角的性质可得点C为AM的三等分点，进而可求得AC、OC的长，由于点C在y轴上，即坐标可得．
4．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由等腰三角形三线合一知，AD在BC的中线和高上，因此延长AD交BC于点G，则AG垂直平分BC，此时由由等边对等角可得，由折叠的性质可得，由直角三角形两锐角互余可得，则等量代换可得，即是等腰直角三角形，则可得DG=CG=7，即AG=24，利用勾股定理可得CE=AC=25，再利用等面积法求出CF的长即可．
5．【答案】48
【知识点】动点问题的函数图象；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图，过点Ａ作于点Ｄ。
因为AB=AC，所以BD=CD=BC。观察图象知：运动时间t的取值范围是，所以当时，点Ｐ与点Ａ重合，此时BP=BA=AC=10cm；当时，cm，所以BC=22-10=12cm，BD=6cm；则在中，cm。所以。
故答案为：48.
【分析】题目主要考查学生的识图能力，要能从图象中识别到有用的信息，即读取并计算的三边长；下来求等腰的面积，可利用等腰三角形的特殊性质——“三线合一”，作出底边BC上的高并利用勾股定理计算即可。
6．【答案】10+2
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理的应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过F作FG⊥AC，连接BF，
∵ F是等边△BDE上DE的中点，
∴∠DBF=∠DBF=30°，BF⊥DF，
∵ ∠ABC＝30° ，
∴∠CBF=30°+30°=60°，
当CF⊥BF时，CF最小，此时D在CF上，
Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC=4，
则BC=
Rt△CFB中，∠FCB=90°-60°=30°，则BF=，CF=×=6，
Rt△FGC中，∠GCF=90°-30°=60°，则CG=CF=3，GF=，
∵AG=4-3=1，AF=
则 △ACF的周长为4+6+=
故答案为：.
【分析】先分析出F点在∠DBE的平分线上，当CF⊥BF时，CF最小，结合含30°的直角三角形三边关系求得相关线段，利用勾股定理求得AF长度，从而得到△ACF周长.
7．【答案】3；
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥BD于M，CN⊥BE于N，
则△AME为等腰三角形，
∴AM=AE，
∵AB=AD，AM⊥BD，
∴BM=DM，
设DE为3x，则BD为4x，
∴BM=DM=BD=2x，ME=DM+DE=2x+3x=5x，
∴AM=ME=5x，
在Rt△ADM中，AM2+DM2=AD2，
∴(5x)2+(2x)2=()2，
∴29x2=29，
∴x=1，x=-1(舍)，
∴DE=3x=3，
DM=2x=2，AM=5x=5，BD=4x=4，
∵∠AMD=∠CND，∠ADM=∠CDN，AC=CD，
∴△AMD≌△CND（AAS），
∴CN=AM=5，DN=DM=2，
∴BN=BD+DN=4+2=6，
∴BC=
故答案为：3，.
【分析】通过做辅助线得知△AME为等腰三角形，再根据等腰三角形的性质（三线合一）可知BM=DM，设出DE与BD的长，结合图形利用勾股定理可求出x的值，即可知道DE的长度，再通过全等三角形的判定可知△AMD≌△CND（AAS），最后根据全等三角形的性质对应边相等以及勾股定理即可求出BC的长度.
8．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，
过D作DG⊥AB于G，
∴∠DGF=90°，
∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2BC=2，AC==，
∵ 正△ABD和正△ACE ，
∴AE=AC=，∠CAE=60°，AD=AB=2，∠DAG=60°，
∴∠EAF=∠BAC+∠CAE=90°=∠DGF，
∴DG==AE，AG=AB=1，
又∠DFG=∠EFA，
∴△DFG≌△EFA，
∴AF=GF=AG=，
∴DF===，
故答案为：.
【分析】以DF为斜边构建Rt△DFG≌Rt△EFA，从而得AF=GF，借助等边三角形三线合一及30°角的直角三角形性质得AG=AB，最后计算 DF的长 .
9．【答案】；
【知识点】整式的混合运算；三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
∴，
，
当的长度变化时，保持不变，
，
，
故答案为：，．
【分析】
第1空：由等腰三角形的三线合一性知，可分别过点作于点，过点作于点，则有，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算出即可；
第2空：先利用面积公式表示出，再根据题意知即可．
10．【答案】（1），
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；分类讨论
【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，列代数式，三角形的面积公式，等式的性质，有理数大小比较的实际应用，不等式的性质，提公因式法分解因式，三线合一，垂线的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解一元一次方程等知识点，运用分类讨论思想是解题的关键．（1）需分两种情形求解：当点P在线段BC上时，利用勾股定理直接计算AP；当点P在线段CE上时，先求出PD的长，再在直角三角形中利用勾股定理计算AP；
（2）根据P在不同边的运动，分三种情况（P在AB、BC、CD上）讨论，利用三角形面积公式建立方程求解；
（3）本题考查等腰三角形存在性问题，根据顶点不同分四种情况（EA=EP且P在AB上，EA=EP且P在BC上，PE=PA，AE=AP）进行讨论，依据等腰三角形的性质逐一求解。
（1）解：如图，当时，点在线段上，
，
四边形是矩形，
，
，
如图，当点在线段上时，
四边形是矩形，
，，，
，
，
故答案为：，；
（2）解：分三种情况：
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
当点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
故此种情况不符合题意，不予讨论；
当点在上时，
如图，
的面积等于，
，
，
；
综上所述，当的面积等于时，或；
（3）解：分四种情况：
当且点在上时，
如图，过点作于点，
，，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
；
当且点在上时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
；
当时，
如图，
四边形是矩形，
，，
又，
，
；
综上所述，当是等腰三角形时，或或或．
11．【答案】（1）证明：是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：①，是的中点，
，，
，
，
，
∴，
，
故答案为：；
②成立，证明如下：
，是的中点，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
∴，，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先求出，，然后由全等三角形的判定“”证明，即可得；
（2）①根据等腰三角形“三线合一”以及直角三角形斜边上的中线性质得，，由，得，从而得，然后利用勾股定理得，进而得；
②先证明，由（1）的三角形全等可设，，则，，利用勾股定理得到，的值，于是求出，即可证明.
（1）证明：是的中点，
，
于点，交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
．
（2）解：①，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
②成立，
证明：如图（1），，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，，
设，，
则，，
，
，
，
，
，
，
．
12．【答案】（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）答：是等腰三角形，理由如下：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形三线合一证即可；
（2）先由同角的余角相等可证，再由等腰三角形的三线合一结合等量代换得，最后再利用三角形的外角性质即可；
（3）由于是锐角，则当或时都是直角三角形，当时，可结合（2）证明，再利用全等三角形的对应边相等即可；当时，可结合（2）证明，再利用对应边相等计算即可．
（1）证明：是边上的中线
又
是等腰直角三角形；
（2）是等腰三角形，理由：
是边上的中线
是等腰直角三角形
，即
是等腰三角形；
（3）解：①当时，
在和中
设，则
，解得，即；
②当时，
作，同理可证
设，则
，解得
综上所述，的长为或．
13．【答案】（1）证明：∵D为BC中点，
∴BD=DC.
∵BG//AC，
∴∠GBC=∠C，∠BGD=∠DFC，
∴△GBD≌△FCD (AAS).
∴BG=CF.
（2）解：BE2+FC2=EF2.
∵△GBD≌△FCD，
∴GD=DF，
∵ED⊥GF，
∴ED为GF的垂直平分线，
∴EF=EG.
∵∠A=90°，AC//BG，
∴∠EBG=180-∠A=90°，
∴BE2+BG2=EG2，
∴BE2+FC2=EF2.
（3）解：连接AD，如图
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EBD=∠C=45°，
∵D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD=BD=DC，
∴∠EBD=∠DCA=∠FAD，
∵DE⊥DF，
∴∠BDE+∠BDG=∠ADF+∠FDC=90°，
∵∠BDG=∠FDC，
∴∠BDE=∠ADF，
∴△AFD≌△BED（ASA），
∴ED=FD.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）根据中点和平行线的性质得到BD=DC，∠GBC=∠C，∠BGD=∠DFC，从而证明△GBD≌△FCD (AAS)，即可证明.
（2）由（1）可知△GBD≌△FCD，从而得到GD=DF，继而证明出ED为GF的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可知EF=EG，根据平行线的性质可知∠EBG=90°，从而利用勾股定理得出BE2+FC2=EF2.
（3）连接AD，根据已知条件可以推导出AD=BD=DC，∠EBD=∠DCA=∠FAD，∠BDE=∠ADF，从而证明△AFD≌△BED（ASA），进而得出ED=FD.
14．【答案】（1）解 ： ，
，
，
，
在 和中，
，
；
（2）解：作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，如图所示，
在四边形ONHM中，，
，
在与中，
，
，
，
，，
平分，
；
（3）解：的值不发生改变，等于，
理由如下：
连接OD，如图所示，
，，D为的中点，
，，，
，，
，
，即，
，
在和中，
，
，
【知识点】三角形的面积；角平分线的判定；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】(1)先根据垂线的性质证∠OAP=∠OBC，根据ASA证，根据全等三角形的性质即可求OP的长；
(2)作OM⊥BC于点M，ON⊥AH于点N，根据AAS证，得出OM=ON，根据角平分线的判定定理，即可得出结论；
(3)连接OD，根据等腰直角三角形的性质准备条件，根据ASA证，得三角形ODM和ADN的面积相等，再根据三角形面积公式求解．
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