浙教版数学八年级上册第1-3章阶段测
一、选择题（每题5分，共40分）
1．（2024八上·保定期末）的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作于E，
∵是的平分线，
∴，
∵Q是上任一点，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】过点P作于E，根据角平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．（2025八上·义乌月考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
3．（2024八上·婺城期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，∴它的底边长为10-4-4=2．
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件即可求出底边的长度．
4． 若直角三角形中有一锐角为15°，则另一锐角为( )
A．15° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形中有一锐角为15° ，
∴ 另一个锐角为90°-15°=75°.
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质，通过角的简单运算可得出答案.
5．（2025八上·拱墅月考）在下列条件中： ①∠A+∠B=∠C； ②∠A： ∠B： ∠C=1： 2： 3； ③AB： BC： AC=1： 2： 3； ④AB： BC： AC=3： 4： 5； 能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A = 30°， ∠B = 60°， ∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC =1：2：3，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵AB：BC：AC=3：4：5，
是直角三角形.
∴能确定 是直角三角形的条件有①②④，即3个.
故答案为：C .
【分析】①根据三个角之间的关系，结合三角形内角和是 可求出 进而可得出 是直角三角形；②根据三个角之间的关系，结合三角形内角和是 可求出进而可得出 是直角三角形；③根据三条边之间的关系，可得出 进而可得出 不是直角三角形；④根据三条边之间的关系，可得出 ，进而可得出 是直角三角形.
6．（2025八上·杭州月考）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明∠CAD=∠DAB成立的全等三角形的判定依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：AF=AE，FD=ED.
在△AFD与△AED中，
∴△AFD≌△AED(SSS)
∴∠CAD=∠DAB
因此全等三角形的判定依据是SSS，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图可得AF=AE，FD=ED，再根据公共边AD，可利用“SSS”证明△AFD≌△AED，即可得到答案.
7．（2025八上·杭州月考）如图，点E、H、G、N共线，∠E=∠N，EF=NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是( )
A．EH=NG B．∠F=∠M C．FG=MH D．FG∥HM
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E=∠N，EF=NM.
A.由EH=NG可得EG=NH，所以添加条件EH=NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B.添加条件∠F=∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C.添加条件FG=MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D.由FG//HM可得∠EGF=∠NHM，所以添加条件FG//HM.根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】明确已知条件：△EFG与△NMH中，∠E=∠N，EF=NM，再结合各选项条件判断是否符合SAS、ASA、AAS、SSS等判定定理.
8．（2025八上·新昌月考）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： △ABC中， BC=20，直线DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为32，
∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，
故选： B.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键。由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长.
二、填空题（每题5分，共20分）
9．（2024八上·武侯期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作
∵
∴四边形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：10．
【分析】由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形BCDH是矩形，由矩形对边相等得BH=DC=4m，BC=DH=8米，由线段和差得出AC=AD-CD=6m，在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AB即可.
10．（2025八上·诸暨月考）如图，，，，则 ．
【答案】
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
．
又，
．
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系CF=EF-EC可求解.
11．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．（2023八上·向阳开学考）若，则 （填“＞”或“＜”）．
【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据不等式性质“ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变”求解即可.
三、解答题（共4题，共40分）
13．（2024八上·钱塘期中）解下列不等式（组）．
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的法，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
（1）解：，
，
．
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：DE=DF.
【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】易证，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAD，然后由角平分线的性质即可得证结论.
15．（2023八上·九龙坡月考）某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗）
销售时段 周销售数量 周销售总利润
第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元
第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元
（1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？
（2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？
【答案】（1）解：设A水果礼盒的售价为每盒x元，B水果礼盒的售价为每盒y元，由题意可得：
，
解得：，
∴A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元；
（2）解：设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，则由题意可得：，
整理得：，
由题意得：第三周A种水果礼盒的售价为80×0.9=72（元），B种水果礼盒的售价为45×（1+40%）=63（元）.
∵第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，
∴，
整理并化简得：，
∴，
解得：，
又∵为正整数，m取最大值，
∴m，n的取值为：m=48，n=136，
∴第三周最多进货A水果礼盒盒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元，根据两周的总售价列出方程组，解之即可，总售价=总进价+总利润；
（2）设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程并整理，用含m的代数式表示出n，表示出第三周A，B两种礼盒的售价，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可．
16．（2025八上·西湖月考）在中，，D是直线上一点，以为一边在的右侧作，使，，连接，设，．
（1）如图1，点D在线段上移动时，求证．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明．
（3）当点D在线段的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间的数量关系是______．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（3）解：D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
故答案为：.
【分析】（1）根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2） 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即；
（3）根据条件画出图形， 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即.
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）解：∴D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
1 / 1浙教版数学八年级上册第1-3章阶段测
一、选择题（每题5分，共40分）
1．（2024八上·保定期末）的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025八上·义乌月考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八上·婺城期末）已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
4． 若直角三角形中有一锐角为15°，则另一锐角为( )
A．15° B．65° C．75° D．85°
5．（2025八上·拱墅月考）在下列条件中： ①∠A+∠B=∠C； ②∠A： ∠B： ∠C=1： 2： 3； ③AB： BC： AC=1： 2： 3； ④AB： BC： AC=3： 4： 5； 能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2025八上·杭州月考）如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明∠CAD=∠DAB成立的全等三角形的判定依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．（2025八上·杭州月考）如图，点E、H、G、N共线，∠E=∠N，EF=NM，添加一个条件，不能判断△EFG≌△NMH的是( )
A．EH=NG B．∠F=∠M C．FG=MH D．FG∥HM
8．（2025八上·新昌月考）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
二、填空题（每题5分，共20分）
9．（2024八上·武侯期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞 米．
10．（2025八上·诸暨月考）如图，，，，则 ．
11．（2016八上·嵊州期末）命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
12．（2023八上·向阳开学考）若，则 （填“＞”或“＜”）．
三、解答题（共4题，共40分）
13．（2024八上·钱塘期中）解下列不等式（组）．
（1）；
（2）．
14．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F.求证：DE=DF.
15．（2023八上·九龙坡月考）某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗）
销售时段 周销售数量 周销售总利润
第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元
第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元
（1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？
（2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？
16．（2025八上·西湖月考）在中，，D是直线上一点，以为一边在的右侧作，使，，连接，设，．
（1）如图1，点D在线段上移动时，求证．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上移动时，探索角α与β之间的数量关系并证明．
（3）当点D在线段的反向延长线上移动时，请在备用图上根据题意画出图形，并猜想角α与β之间的数量关系是______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点P作于E，
∵是的平分线，
∴，
∵Q是上任一点，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】过点P作于E，根据角平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形的概念求解，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形的周长为10，其腰长为4，∴它的底边长为10-4-4=2．
故选：A．
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，结合已知条件即可求出底边的长度．
4．【答案】C
【知识点】直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵ 直角三角形中有一锐角为15° ，
∴ 另一个锐角为90°-15°=75°.
故答案为：C
【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质，通过角的简单运算可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠A = 30°， ∠B = 60°， ∠B = 90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵AB：BC：AC =1：2：3，
∴△ABC不是直角三角形；
④∵AB：BC：AC=3：4：5，
是直角三角形.
∴能确定 是直角三角形的条件有①②④，即3个.
故答案为：C .
【分析】①根据三个角之间的关系，结合三角形内角和是 可求出 进而可得出 是直角三角形；②根据三个角之间的关系，结合三角形内角和是 可求出进而可得出 是直角三角形；③根据三条边之间的关系，可得出 进而可得出 不是直角三角形；④根据三条边之间的关系，可得出 ，进而可得出 是直角三角形.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：AF=AE，FD=ED.
在△AFD与△AED中，
∴△AFD≌△AED(SSS)
∴∠CAD=∠DAB
因此全等三角形的判定依据是SSS，
故答案为：A.
【分析】根据尺规作图可得AF=AE，FD=ED，再根据公共边AD，可利用“SSS”证明△AFD≌△AED，即可得到答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：在△EFG与△NMH中，已知，∠E=∠N，EF=NM.
A.由EH=NG可得EG=NH，所以添加条件EH=NG，根据SAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
B.添加条件∠F=∠M，根据ASA可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
C.添加条件FG=MH，不能证明△EFG≌△NMH，故本选项符合题意；
D.由FG//HM可得∠EGF=∠NHM，所以添加条件FG//HM.根据AAS可证△EFG≌△NMH，故本选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】明确已知条件：△EFG与△NMH中，∠E=∠N，EF=NM，再结合各选项条件判断是否符合SAS、ASA、AAS、SSS等判定定理.
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解： △ABC中， BC=20，直线DE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∵△ACE的周长为32，
∴AE+CE+AC=AE+BE+AC=AB+AC=32，
∴△ABC的周长是AB+AC+BC=32+20=52，
故选： B.
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键。由垂直平分线可得BE=CE，再结合△ACE的周长得到AB+AC=32，即可求出△ABC的周长.
9．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作
∵
∴四边形矩形
∴
∴，
在中，由勾股定理得，
，
则小鸟至少要飞，
故答案为：10．
【分析】由三个内角为直角的四边形是矩形得四边形BCDH是矩形，由矩形对边相等得BH=DC=4m，BC=DH=8米，由线段和差得出AC=AD-CD=6m，在Rt△ABC中，根据勾股定理算出AB即可.
10．【答案】
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
．
又，
．
故答案为：．
【分析】根据全等三角形的对应边相等可得，再根据线段的和差关系CF=EF-EC可求解.
11．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：∵原命题的条件为：两直线平行，结论为：同位角相等．
∴其逆命题为：同位角相等，两直线平行．
【分析】将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题．
12．【答案】＜
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据不等式性质“ 不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向变”求解即可.
13．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴；
（2）解：，
由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）根据解一元一次不等式的法，按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）根据不等式组的解法，先分别求两个不等式的解，再根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集.
（1）解：，
，
．
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
14．【答案】证明：在和中，
，
∴，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD是∠BAC的平分线，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】易证，根据全等三角形对应角相等得∠BAD=∠CAD，然后由角平分线的性质即可得证结论.
15．【答案】（1）解：设A水果礼盒的售价为每盒x元，B水果礼盒的售价为每盒y元，由题意可得：
，
解得：，
∴A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元；
（2）解：设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，则由题意可得：，
整理得：，
由题意得：第三周A种水果礼盒的售价为80×0.9=72（元），B种水果礼盒的售价为45×（1+40%）=63（元）.
∵第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，
∴，
整理并化简得：，
∴，
解得：，
又∵为正整数，m取最大值，
∴m，n的取值为：m=48，n=136，
∴第三周最多进货A水果礼盒盒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元，根据两周的总售价列出方程组，解之即可，总售价=总进价+总利润；
（2）设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程并整理，用含m的代数式表示出n，表示出第三周A，B两种礼盒的售价，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可．
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】（3）解：D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
故答案为：.
【分析】（1）根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得，由三角形的内角和定理就可以得出结论；
（2） 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即；
（3）根据条件画出图形， 根据等式的性质及角的构可推出，从而利用“SAS”可判断出，由全等三角形的对应角相等得， 然后根据三角形外角性质及角的构成可推出，即.
（1）证明：∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
（2）解：当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；理由如下：
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
∵，
∴，即；
∴当点D在线段BC延长线上移动时，α和β之间关系为；
（3）解：∴D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系，理由：如图3，
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴当点D在线段延长线上移动时，α和β之间的关系．
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