3.1平方根
【题型1】平方根定义 3
【题型2】平方根的性质 5
【题型3】利用平方根解方程 6
【题型4】算术平方根的定义 7
【题型5】算术平方根的非负性 8
【题型6】算术平方根的简单应用 9
【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春 谷城县期末）4的平方根是（ ） A．±2B．C．2D．-2
【答案】A 【分析】依据平方根的定义求解即可． 【解答】解：∵（±2）2=4，
∴4的平方根是±2．
故选：A． 【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春 张店区期末）等于（ ） A．±3B．3C．±6D．6
【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵62=36，
∴=6，
故选：D． 【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2024春 余干县校级期中）若，则x+2y=（ ） A．0B．2C．3D．-1
【答案】A 【分析】根据非负数的性质得到，解方程即可得到答案． 【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴x+2y=2+2×（-1）=0，
故选：A． 2.（2024春 昆明期中）若|x-1|+=0，则x2023+y2024的值为（ ） A．0B．1C．-1D．2
【答案】D 【分析】根据非负性求出x,y的值，代入代数式求值即可． 【解答】解：∵，
∴x-1=0，y+1=0，
∴x=1，y=-1，
∴x2023+y2024=12023+（-1）2024=1+1=2；
故选：D．
【题型1】平方根定义
【典型例题】下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③﹣7是﹣49的平方根；
④（）2的平方根是±．
正确的有（ ）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】①0.25的平方根是±0.5，错误；
②只有正数才有平方根，0也有平方根，错误；
③﹣7是﹣49的平方根，负数没有平方根，错误；
④（）2的平方根是±，正确，故正确的有1个.
故选：A．
【举一反三1】（﹣3）2的平方根是（ ）
A.﹣3 B.3 C.3或﹣3 D.9
【答案】C
【解析】（﹣3）2＝9，9的平方根是±3．
故选：C．
【举一反三2】|﹣4|的平方根是 ．
【答案】±2
【解析】|﹣4|＝4，其平方根是±2.
【举一反三3】的平方根是 ．
【答案】
【解析】∵，∴的平方根为.
【举一反三4】已知2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，求x+2y的平方根．
【答案】解：∵2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，
∴2x﹣1＝9，3x+y﹣1＝16，解得：x＝5，y＝2，
∴x+2y＝5+4＝9，∴x+2y的平方根为±3．
【举一反三5】已知|x|＝1，y是4的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
【答案】解：∵|x|＝1，y是4的平方根，∴x＝±1，y＝±2，
∵|y﹣x|＝x﹣y，∴y﹣x＜0，即x＞y，
则x＝1，y＝﹣2或x＝﹣1，y＝﹣2，那么x+y＝﹣1或﹣3．
【题型2】平方根的性质
【典型例题】一个正数的两个平方根分别是﹣3和a，则a的值为（ ）
A.﹣3 B.3 C.﹣9 D.9
【答案】B
【解析】∵一个正数的两个平方根分别是﹣3和a，∴﹣3+a＝0，则a＝3.
故选：B．
【举一反三1】下列各数中，没有平方根的是（ ）
A.2 B.（﹣2）2 C.﹣22 D.23
【答案】C
【解析】A、2＞0有平方根，不符合题意；
B、（﹣2）2＝4＞0有平方根，不符合题意；
C、﹣22＝﹣4＜0没有平方根，符合题意；
D、23＝8＞0有平方根，不符合题意.
故选：C．
【举一反三2】平方根等于它本身的数是（ ）
A.﹣1 B.0 C.1 D.±1
【答案】B
【解析】平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
【举一反三3】如果一个数的平方根是a﹣3和2a+15，则a的值为 ，这个数为 ．
【答案】﹣4，49
【解析】∵一个数的平方根是a﹣3和2a+15，∴a﹣3+2a+15＝0，解得a＝﹣4，
把a＝﹣4代入a﹣3＝﹣7，故这个数为49.
【举一反三4】若一个正数m的两个不同的平方根分别为6a+3和4a+7，求a的值和这个正数m．
【答案】解：∵某正数m的两个平方根分别是6a+3和4a+7，∴6a+3+4a+7＝0，解得a＝﹣1．
∴6a+3＝﹣3，∴m＝（﹣3）2＝9．
【举一反三5】一个正数x的平方根是a+5与1﹣3a，求a和x的值．
【答案】解：由题可知，a+5+1﹣3a＝0，解得a＝3．
则x＝（a+5）2＝82＝64．
故a＝3，x＝64．
【题型3】利用平方根解方程
【典型例题】若2（x﹣1）2＝18，则x等于（ ）
A.4 B.﹣2 C.±3 D.﹣2或4
【答案】D
【解析】2（x﹣1）2＝18，
（x﹣1）2＝9，
x﹣1＝±3，
x＝﹣2或x＝4.
故选：D．
【举一反三1】若x2＝25，则x的值是（ ）
A.5 B.±5 C.625 D.±625
【答案】B
【解析】∵x2＝25，∴x＝±，∴x＝±5．
故选：B．
【举一反三2】若x使（x﹣1）2＝4成立，则x的值是 ．
【答案】-1或3
【解析】∵（x﹣1）2＝4成立，∴x﹣1＝±2，解得：x1＝3，x2＝﹣1．
【举一反三3】求x的值：3（x﹣1）2＝147．
【答案】解：3（x﹣1）2＝147，
（x﹣1）2＝49，
x﹣1＝±7，
x＝8或x＝﹣6．
【举一反三4】求3（x﹣1）2﹣75＝0中x的值．
【答案】解：∵3（x﹣1）2﹣75＝0，
∴3（x﹣1）2＝75，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
即x﹣1＝5或x﹣1＝﹣5，
∴x1＝6，x2＝﹣4．
【题型4】算术平方根的定义
【典型例题】“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】4的算术平方根为.
故选：A．
【举一反三1】一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A.x+1 B.x2+1 C. D.
【答案】D
【解析】∵一个自然数的算术平方根是x，∴这个自然数是x2，
下一个自然数是x2+1，∴下一个自然数的算术平方根是：．
故选：D．
【举一反三2】已知是整数，则自然数a的值是 ．
【答案】3或2
【解析】∵是整数，∴3﹣a≥0，∴a≤3，
∵a是自然数，∴3﹣a＝0或3﹣a＝1，解得：a＝3或2.
【举一反三3】求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】解：（1）＝9.
（2）.
（3）．
【题型5】算术平方根的非负性
【典型例题】若，则a、b的值分别为（ ）
A.5、3 B.5、﹣3 C.﹣5、﹣3 D.﹣5、3
【答案】B
【解析】若，则a﹣5＝0，b+3＝0，∴a＝5，b＝﹣3．
故选：B．
【举一反三1】已知，则xy的值为（ ）
A.±2 B.±4 C.2 D.4
【答案】C
【解析】∵，∴2x﹣4＝0，y﹣1＝0，∴x＝2，y＝1，∴xy＝2.
故选：C．
【举一反三2】2023秋 成都期末若，则x﹣y的算术平方根是 ．
【答案】2
【解析】∵，∴x﹣3＝0，x+y﹣2＝0，∴x＝3，y＝﹣1，
∴x﹣y＝3﹣（﹣1）＝4，∴x﹣y的算术平方根是2．
【举一反三3】，求2x+y﹣z的值．
【答案】解：∵，≥0，≥0，≥0，
∴，∴x﹣2＝0，y+3＝0，z﹣3＝0，
∴x＝2，y＝﹣3，z＝3，∴2x+y﹣z＝2×2+（﹣3）﹣3＝﹣2．
【举一反三4】常见的非负数有、、等，非负数的重要性质有：①非负数的最小值是0，②几个非负数的和是0，则每一个非负数必为0．如果实数a b c满足：，请你求出的算术平方根．
【答案】解：∵，，
∴，∴，
∴，∴，
∵4的算术平方根是2，∴的算术平方根是2．
【题型6】算术平方根的简单应用
【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A.4×102m/s B.8×102m/s C.0.4×103m/s D.0.8×103m/s
【答案】B
【解析】v8×102（m/s）.
故选：B．
【举一反三1】已知一个正方形的面积是6，那么它的边长是（ ）
A.36 B.24 C. D.以上皆不对
【答案】C
【解析】∵正方形的面积是6，∴这个正方形的边长是．
故选：C．
【举一反三2】小屹的卧室面积为10.8平方米，房间地面恰由30块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是 米．
【答案】0.6
【解析】每块地砖的面积＝10.8÷30＝0.36（平方米），每块地砖的边长为（米）.
【举一反三3】物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是h＝4.9t2．有一物体从122.5米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒．
【答案】5
【解析】把h＝122.5代入h＝4.9t2中可得：122.5＝4.9t2，则t2＝25，
∵25的算术平方根为5，即t＝5，∴到达地面需要的时间为5秒．
【举一反三4】“登高望远”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h(km)，观测者能看到的最远距离为d(km)，则，其中R是地球半径，通常取．
（1）李青站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值；
（2）王林说“泰山海拔约为，泰山到海边的最小距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”，请判断其结论是否正确，并说明理由．
【答案】解：（1）由R＝6400km，h＝0.005km可得：(km)，
答：此时d的值为8km．
（2）下面说法错误，理由如下：
站在泰山之巅，人的身高可以忽略不计，此时h＝1.5km，d2＝2×1.5×6400＝19200，2302＝52900，
∵19200＜52900，∴d＜230，∴天气晴朗时站在泰山之巅看不到大海．
【举一反三5】一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式：．
（1）已知h＝100米，求落下所用的时间；（结果精确到0.01）
（2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米）（结果精确到0.01）
（3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
【答案】解：（1）把h＝100代入得：t24.47（秒）.
（2）根据题意得：3.5×4+1.5＝15.5（米），则t1.76（秒）.
（3）把t＝3.6代入得：3.6，解得：h＝64.8，则物体开始下落的高度为64.8米．3.1平方根
【题型1】平方根定义 2
【题型2】平方根的性质 3
【题型3】利用平方根解方程 3
【题型4】算术平方根的定义 4
【题型5】算术平方根的非负性 4
【题型6】算术平方根的简单应用 4
【知识点1】平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“-”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 1.（2025春 谷城县期末）4的平方根是（ ） A．±2B．C．2D．-2
【知识点2】算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 1.（2025春 张店区期末）等于（ ） A．±3B．3C．±6D．6
【知识点3】非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 1.（2024春 余干县校级期中）若，则x+2y=（ ） A．0B．2C．3D．-1
2.（2024春 昆明期中）若|x-1|+=0，则x2023+y2024的值为（ ） A．0B．1C．-1D．2
【题型1】平方根定义
【典型例题】下列判断：
①0.25的平方根是0.5；
②只有正数才有平方根；
③﹣7是﹣49的平方根；
④（）2的平方根是±．
正确的有（ ）个．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三1】（﹣3）2的平方根是（ ）
A.﹣3 B.3 C.3或﹣3 D.9
【举一反三2】|﹣4|的平方根是 ．
【举一反三3】的平方根是 ．
【举一反三4】已知2x﹣1的平方根为±3，3x+y﹣1的平方根为±4，求x+2y的平方根．
【举一反三5】已知|x|＝1，y是4的平方根，且|y﹣x|＝x﹣y，求x+y的值．
【题型2】平方根的性质
【典型例题】一个正数的两个平方根分别是﹣3和a，则a的值为（ ）
A.﹣3 B.3 C.﹣9 D.9
【举一反三1】下列各数中，没有平方根的是（ ）
A.2 B.（﹣2）2 C.﹣22 D.23
【举一反三2】平方根等于它本身的数是（ ）
A.﹣1 B.0 C.1 D.±1
【举一反三3】如果一个数的平方根是a﹣3和2a+15，则a的值为 ，这个数为 ．
【举一反三4】若一个正数m的两个不同的平方根分别为6a+3和4a+7，求a的值和这个正数m．
【举一反三5】一个正数x的平方根是a+5与1﹣3a，求a和x的值．
【题型3】利用平方根解方程
【典型例题】若2（x﹣1）2＝18，则x等于（ ）
A.4 B.﹣2 C.±3 D.﹣2或4
【举一反三1】若x2＝25，则x的值是（ ）
A.5 B.±5 C.625 D.±625
【举一反三2】若x使（x﹣1）2＝4成立，则x的值是 ．
【举一反三3】求x的值：3（x﹣1）2＝147．
【举一反三4】求3（x﹣1）2﹣75＝0中x的值．
【题型4】算术平方根的定义
【典型例题】“4的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）
A.x+1 B.x2+1 C. D.
【举一反三2】已知是整数，则自然数a的值是 ．
【举一反三3】求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）．
【题型5】算术平方根的非负性
【典型例题】若，则a、b的值分别为（ ）
A.5、3 B.5、﹣3 C.﹣5、﹣3 D.﹣5、3
【举一反三1】已知，则xy的值为（ ）
A.±2 B.±4 C.2 D.4
【举一反三2】2023秋 成都期末若，则x﹣y的算术平方根是 ．
【举一反三3】，求2x+y﹣z的值．
【举一反三4】常见的非负数有、、等，非负数的重要性质有：①非负数的最小值是0，②几个非负数的和是0，则每一个非负数必为0．如果实数a b c满足：，请你求出的算术平方根．
【题型6】算术平方根的简单应用
【典型例题】射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a＝5×105m/s2，s＝0.64m，那么子弹射出枪口时的速度（用科学记数法表示）为（ ）
A.4×102m/s B.8×102m/s C.0.4×103m/s D.0.8×103m/s
【举一反三1】已知一个正方形的面积是6，那么它的边长是（ ）
A.36 B.24 C. D.以上皆不对
【举一反三2】小屹的卧室面积为10.8平方米，房间地面恰由30块相同的正方形地砖铺成，则每块地砖的边长是 米．
【举一反三3】物体自由下落的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系是h＝4.9t2．有一物体从122.5米高的建筑物上自由落下，到达地面需要的时间为 秒．
【举一反三4】“登高望远”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为h(km)，观测者能看到的最远距离为d(km)，则，其中R是地球半径，通常取．
（1）李青站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值；
（2）王林说“泰山海拔约为，泰山到海边的最小距离约，天气晴朗时站在泰山之巅（人的身高忽略不计）可以看到大海”，请判断其结论是否正确，并说明理由．
【举一反三5】一物体从高处自由落下，落到地面所用的时间（单位：秒）与开始落下时的高度h（单位：米）有下面的关系式：．
（1）已知h＝100米，求落下所用的时间；（结果精确到0.01）
（2）一人手持一物体从五楼让它自由落到地面，约需多少时间？（无地下室，每层楼高约3.5米，手拿物体高为1.5米）（结果精确到0.01）
（3）如果一物体落地的时间为3.6秒，求物体开始下落时的高度．
