3.2从有理数到实数
【题型1】无理数的定义与识别 4
【题型2】无理数的估算 4
【题型3】无理数的估算的实际应用 5
【题型4】实数的概念与分类 6
【题型5】实数的性质 7
【题型6】实数与数轴 7
【题型7】利用估算比较实数的大小 8
【题型8】利用数轴比较实数的大小 8
【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春 麒麟区校级月考）下列实数是无理数的是（ ） A．B．cos30°C．4.D．
【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数： 1.（2025春 路北区期中）在实数，，，中，有理数是（ ） A．B．C．D．
【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025 宁波模拟）有理数-2025是2025的（ ） A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
2.（2025春 铁东区期中）-2的相反数是（ ） A．--2B．+2C．2-D．-2
【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（ ） A．π-2B．-π+2C．-2π-3D．-π-2
【知识点5】实数大小比较 实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 福清市期末）下列实数中，最小的是（ ） A．-πB．-1C．0D．
【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春 蚌山区校级月考）设n为正整数，且，则n的值为（ ） A．3B．4C．5D．6
【题型1】无理数的定义与识别
【典型例题】下列各实数中，无理数是（ ）
A. B.π C. D.3.3
【举一反三1】下列各数中，无理数是（ ）
A.﹣2 B. C. D.0
【举一反三2】以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为100的正方形 B.面积为25的正方形 C.面积为49的正方形 D.面积为45的正方形
【举一反三3】如果a是无理数，则a2 是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
【举一反三4】如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长．
【题型2】无理数的估算
【典型例题】无理数的大小在（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
【举一反三1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【举一反三2】已知a，b，n均为正整数．
（1）若nn+1，则n＝ ；
（2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
【举一反三3】观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题：
（1）按此规定 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求[a+b]的值．
【题型3】无理数的估算的实际应用
【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【举一反三1】小陈打算用一张长为，宽为的长方形纸片裁出边长为的正方形纸片，她能裁出符合要求的正方形纸片的张数是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】有一块面积为79cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答： （填能或不能）．
【举一反三3】小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求此长方形信封的长和宽．
（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【题型4】实数的概念与分类
【典型例题】下列各数中，为负数的是（ ）
A. B. C.0 D.
【举一反三1】如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（ ）
A.m为有理数，n为无理数 B.m为无理数，n为有理数 C.m，n都为有理数 D.m，n都为无理数
【举一反三2】下列说法正确的有 ．
①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是．
【举一反三3】将下列各数填入相应的集合中：，0，，，4.020020002…，，2，.
无理数集合：{____________________________}；
分数集合：{____________________________}；
正数集合：{____________________________}；
负整数集合：{____________________________}．
【举一反三4】将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①，②3，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩．
（1）正数集合：{______…}；
（2）无理数集合：{______…}；
（3）非负数集合：{______…}；
（4）非正整数集合：{______…}．
【题型5】实数的性质
【典型例题】π的倒数是（ ）
A.﹣π B. C. D.
【举一反三1】的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】的相反数是 ．
【举一反三3】若|a|，则的相反数是 ．
【举一反三4】已知|x﹣1|，求出x的值．
【举一反三5】计算：．
【题型6】实数与数轴
【典型例题】如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A.P B.Q C.M D.N
【举一反三1】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
【举一反三3】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【举一反三4】如图，实数π，对应数轴上A，B，C，D四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：
（1）实数π对应的点是 ；实数对应的点是 ；
（2）计算：．
【题型7】利用估算比较实数的大小
【典型例题】下列关于的判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】手机通用的信号强度单位是dBm（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（ ）
A.﹣π B. C. D.
【举一反三2】已知a＝﹣3，b＝﹣π，c＝，则a、b、c的大小关系是（ ）
A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【举一反三3】比较大小： ．
【举一反三4】比较两个数的大小：﹣2和﹣3．
【题型8】利用数轴比较实数的大小
【典型例题】如图，比点A表示的数小的数是（ ）
A.﹣2.1 B.﹣1 C.0 D.
【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ）
A.a B.b C.c D.d
【举一反三2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.a＜﹣2 B.b＜1 C.b＜﹣a D.a＞﹣b
【举一反三3】如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b 0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
【举一反三4】在解答题目“在数轴上标出﹣π，，，﹣1，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了﹣π和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小．
【举一反三5】请把实数﹣π，，﹣2，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）．3.2从有理数到实数
【题型1】无理数的定义与识别 6
【题型2】无理数的估算 8
【题型3】无理数的估算的实际应用 9
【题型4】实数的概念与分类 11
【题型5】实数的性质 12
【题型6】实数与数轴 13
【题型7】利用估算比较实数的大小 15
【题型8】利用数轴比较实数的大小 16
【知识点1】无理数 （1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4=4.0，=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如=1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数． 1.（2025春 麒麟区校级月考）下列实数是无理数的是（ ） A．B．cos30°C．4.D．
【答案】B 【分析】无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【解答】解：=2是整数，4.是无限循环小数，是分数，它们不是无理数，
cos30°=是无限不循环小数，它是无理数，
故选：B． 【知识点2】实数 （1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数： 1.（2025春 路北区期中）在实数，，，中，有理数是（ ） A．B．C．D．
【答案】B 【分析】这几个数中，能化去根号的数即是有理数，据此判断． 【解答】解：∵=2，∴是有理数，
，，都不能化去根号，∴是无理数，
∴有理数有．
故选：B． 【知识点3】实数的性质 （1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|={a（a≥0）-a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|=a（a≥0），则x=±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 1.（2025 宁波模拟）有理数-2025是2025的（ ） A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根
【答案】B 【分析】根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项判断即可． 【解答】解：根据相反数、绝对值、倒数、平方根的概念逐项分析判断如下：
A、∵-2025×2025≠1，
∴-2025不是2025的倒数，故此选项不符合题意；
B、∵-2025与2025互为相反数，
∴-2025是2025的相反数，故此选项符合题意；
C、∵2025的绝对值是2025，
∴-2025不是2025的绝对值故此选项不符合题意；
D、∵2025的平方根是±45，
∴-2025不是2025的平方根，故此选项不符合题意；
故选：B． 2.（2025春 铁东区期中）-2的相反数是（ ） A．--2B．+2C．2-D．-2
【答案】C 【分析】本题需先根据相反数的定义即可求出-2的相反数的正确答案． 【解答】解：根据相反数的定义得：
-2的相反数是：2-，
故选：C． 【知识点4】实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 浦城县期中）如图，点A是硬币圆周上一点，硬币与数轴上数2所对应的数紧靠着（点A与数2重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币按如图所示的方向滚动（无滑动）一周，点A恰好与数轴上点A′重合．则点A′对应的实数是（ ） A．π-2B．-π+2C．-2π-3D．-π-2
【答案】B 【分析】设点A′所对应的数为m,依题意得点A到A′的距离为硬币的周长，由此可得AA′=|2-m|=π，据此可求出m. 【解答】解：设点A′所对应的数为m,
∵硬币的直径为1个单位长度，
∴硬币的周长为1×π=π个单位长度，
又∵点A所对应的数2，
依题意得：AA′=|2-m|=π，
∵m＜2，
∴2-m=π，
∴m=2-π，
∴点A′所对应的数为2-π．
故选：B． 【知识点5】实数大小比较 实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 1.（2025春 福清市期末）下列实数中，最小的是（ ） A．-πB．-1C．0D．
【答案】A． 【分析】利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【解答】解：∵-π＜-1＜0＜，
∴最小的数是：-π．
故选：A． 【知识点6】估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 1.（2025春 蚌山区校级月考）设n为正整数，且，则n的值为（ ） A．3B．4C．5D．6
【答案】B 【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案． 【解答】解：∵42=16，52=25，
∴，
∵n为正整数，且，
∴n=4
故选：B．
【题型1】无理数的定义与识别
【典型例题】下列各实数中，无理数是（ ）
A. B.π C. D.3.3
【答案】B
【解析】A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意；
B、π是无理数，故此选项符合题意；
C、3是整数，属于有理数，故此选项不符合题意；
D、3.3是理有数，故此选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三1】下列各数中，无理数是（ ）
A.﹣2 B. C. D.0
【答案】C
【解析】﹣2，，0是有理数，是无理数.
故选：C．
【举一反三2】以下正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为100的正方形 B.面积为25的正方形 C.面积为49的正方形 D.面积为45的正方形
【答案】D
【解析】A．面积为100的正方形的正方形的边长为10，10是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．面积为25的正方形的正方形的正方形的边长为5，5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．面积为49的正方形的正方形的正方形的边长为7，7是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．面积为45的正方形的正方形的正方形的边长为，是整数，属于无理数，故本选项符合题意．
故选：D．
【举一反三3】如果a是无理数，则a2 是无理数．（填“一定”“不一定”或“一定不”）
【答案】不一定
【解析】如果a是无理数，则a2不一定是无理数．
如是无理数，但2，是有理数；π是无理数，π2是无理数．
【举一反三4】如图所示，在4×4的正方形网格中的每个小正方形边长都是1，画出两个边长为无理数的两个正方形，且使它的每个顶点都在小正方形的顶点上．并求出所画正方形的边长．
【答案】解：如图所示.
【题型2】无理数的估算
【典型例题】无理数的大小在（ ）
A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间
【答案】B
【解析】∵9＜12＜16，∴34．
故选：B．
【举一反三1】下列整数中，与最接近的是（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】B
【解析】∵4＜7＜9，∴23，
∵2.52＝6.25，∴2.53，∴更接近3．
故选：B．
【举一反三2】已知a，b，n均为正整数．
（1）若nn+1，则n＝ ；
（2）若n﹣1＜＜n，n＜＜n+1，则满足条件的a的个数总比b的个数少 个．
【答案】（1）3；（2）2
【解析】（1）∵，∴，
∵nn+1，n为正整数，∴n＝3；
（2）∵n﹣1＜＜n，∴（n﹣1）2＜a＜n2，
∴a的个数为n2﹣（n﹣1）2﹣1＝n2﹣n2+2n﹣1﹣1＝2n﹣2，
∵n＜＜n+1，∴n2＜b＜（n+1）2，
∴b的个数为（n+1）2﹣n2﹣1＝n2+2n+1﹣n2﹣1＝2n，
∵2n﹣（2n﹣2）＝2，∴满足条件的a的个数总比b的个数少2个.
【举一反三3】观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号[m]表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题：
（1）按此规定 ；
（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求[a+b]的值．
【答案】解：（1）∵，即34，∴52＜6，
即2的整数部分是5，∴5.
（2）∵，即23，
∴的整数部分是2，小数部分是2，即a2，
∵，即45，∴的整数部分是4，即b＝4，
∴a+b2+42，
∵23，∴42＜5，
即2的整数部分是4，∴[a+b]＝4．
【题型3】无理数的估算的实际应用
【典型例题】一个物体自由下落时，它所经过的距离h（米）和时间t（秒）之间的关系我们可以用来估计．如图，上海金茂大厦观光厅离地面高度340米，若一物体从观光厅自由下落到地面上，则该物体所经过的时间秒数与下列哪个数最接近．你的选项是（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C
【解析】由题意可得t，
∵82＝64，8.52＝72.25，∴88.5，即该物体所经过的时间秒数与8接近.
故选：C．
【举一反三1】小陈打算用一张长为，宽为的长方形纸片裁出边长为的正方形纸片，她能裁出符合要求的正方形纸片的张数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵，，∴她能裁出符合要求的正方形纸片的张数是张.
故选：．
【举一反三2】有一块面积为79cm2的正方形纸片，小明想用这块纸片沿着边的方向裁出一块面积为54cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，他的这一想法能不能实现？答： （填能或不能）．
【答案】不能
【解析】设长方形的长宽分别为3x，2x，由题意可得：3x 2x＝54，
解得x＝3或﹣3（舍去），长为3x＝9，
∵9，∴不能．
【举一反三3】小明制作了一张边长为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．
（1）求此长方形信封的长和宽．
（2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算说明理由．
【答案】解：（1）∵信封的长、宽之比为，
∴设长方形信封的长为3x cm，宽为2x cm，
由题意得3x·2x=300，∴x=5（负值舍去），
∴长方形信封的长为，宽为.
（2）小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封.
正方形贺卡的边长是，
∵，∴，∴，即信封的宽小于正方形贺卡的边长，
∴小明不能将这张贺卡不折叠就放入此信封．
【题型4】实数的概念与分类
【典型例题】下列各数中，为负数的是（ ）
A. B. C.0 D.
【答案】D
【解析】，，0不是负数；是负数.
故选：D．
【举一反三1】如图，正方形M的边长为m，正方形N的边长为n，若两个正方形的面积分别为9和5，则下列关于m和n的说法，正确的是（ ）
A.m为有理数，n为无理数 B.m为无理数，n为有理数 C.m，n都为有理数 D.m，n都为无理数
【答案】A
【解析】由题意，，，∴，，
∴m为有理数，n为无理数.
故选：A．
【举一反三2】下列说法正确的有 ．
①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是．
【答案】①⑥
【解析】实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意；
是无理数，故②不符合题意；
不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意；
是无理数；故④不符合题意；
数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意；
的相反数是，故⑥符合题意；
故说法正确的有：①⑥．
【举一反三3】将下列各数填入相应的集合中：，0，，，4.020020002…，，2，.
无理数集合：{____________________________}；
分数集合：{____________________________}；
正数集合：{____________________________}；
负整数集合：{____________________________}．
【答案】解：无理数集合：{4.020020002…，}；
分数集合：；
正数集合：；
负整数集合：.
【举一反三4】将下列各数对应的序号填在相应的集合里．
①，②3，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨，⑩．
（1）正数集合：{______…}；
（2）无理数集合：{______…}；
（3）非负数集合：{______…}；
（4）非正整数集合：{______…}．
【答案】解：⑧，⑩．
（1）正数集合：{②⑤⑧⑨}；
（2）无理数集合：{⑤⑨}；
（3）非负数集合：{②⑤⑦⑧⑨}；
（4）非正整数集合：{③⑦⑩}.
【题型5】实数的性质
【典型例题】π的倒数是（ ）
A.﹣π B. C. D.
【答案】C
【解析】π的倒数是.
故选：C．
【举一反三1】的绝对值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】||.
故选：A．
【举一反三2】的相反数是 ．
【答案】2
【解析】的相反数是：2.
【举一反三3】若|a|，则的相反数是 ．
【答案】2
【解析】∵|a|，∴a2＝6，∴2，
﹣2的相反数是2．
【举一反三4】已知|x﹣1|，求出x的值．
【答案】解：∵||，||，
∴x﹣1或x﹣1．
解得：x1，x21．
【举一反三5】计算：．
【答案】解：|1|．
【题型6】实数与数轴
【典型例题】如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A.P B.Q C.M D.N
【答案】D
【解析】∵，∴，∴在数字4和5之间.
故选：D．
【举一反三1】如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵正方形ABCD的面积为7，∴AB2＝7，∴AB，∴AE＝AB，
∵点A表示的数为1，∴点E表示的数为1．
故选：A．
【举一反三2】如图，数轴上有M，N，P，Q四点，则这四点中所表示的数最接近的是（ ）
A.点M B.点N C.点P D.点Q
【答案】B
【解析】因为9＜10＜16，所以34，所以﹣43．
所以这四点中所表示的数最接近的是点N．
故选：B．
【举一反三3】把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【答案】
【解析】∵4＜5＜9，∴，不符合题意；
∵4＜7＜9，∴，不符合题意；
∵9＜11＜16，∴，符合题意；
∵16＜24＜25，∴，不符合题意；
故覆盖住的无理数是：．
【举一反三4】如图，实数π，对应数轴上A，B，C，D四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：
（1）实数π对应的点是 ；实数对应的点是 ；
（2）计算：．
【答案】解：（1）实数π对应的点是D；实数对应的点是C.
（2）由数轴可知，∴，
∴．
【题型7】利用估算比较实数的大小
【典型例题】下列关于的判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵4＜7＜9，∴，故选项D正确，符合题意；
∴，故选项A错误，不符合题意；
∴，故选项B错误，不符合题意；
∴，故选项C错误，不符合题意.
故选：D．
【举一反三1】手机通用的信号强度单位是dBm（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列信号最强的是（ ）
A.﹣π B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得各数的绝对值分别为π，，，，
∵π，∴信号最强的是．
故选：D．
【举一反三2】已知a＝﹣3，b＝﹣π，c＝，则a、b、c的大小关系是（ ）
A.c＜a＜b B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.b＜c＜a
【答案】C
【解析】|﹣3|＝3，|﹣π|＝π，||，
∵π＞3，∴b＜a＜c．
故选：C．
【举一反三3】比较大小： ．
【答案】>
【解析】∵（）2，（）2，∴．
【举一反三4】比较两个数的大小：﹣2和﹣3．
【答案】解：因为，所以．
【题型8】利用数轴比较实数的大小
【典型例题】如图，比点A表示的数小的数是（ ）
A.﹣2.1 B.﹣1 C.0 D.
【答案】A
【解析】由数轴得点A表示的数为﹣1，∵，∴，
∵，∴比点A表示的数小的数是﹣2.1.
故选：A．
【举一反三1】实数a、b、c、d在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ）
A.a B.b C.c D.d
【答案】A
【解析】根据题意可得：a＜b＜0＜c＜d，∴四个数种最小的数为a．
故选：A．
【举一反三2】实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A.a＜﹣2 B.b＜1 C.b＜﹣a D.a＞﹣b
【答案】C
【解析】由题意得，﹣2＜a＜﹣1＜1＜b＜2，且|b|＜|a|，∴b＜﹣a，a＜﹣b，∴四个选项中，只有C选项正确，符合题意.
故选：C．
【举一反三3】如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b 0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）
【答案】＜
【解析】由数轴可得a＜0＜b，|a|＞|b|，则a+b＜0.
【举一反三4】在解答题目“在数轴上标出﹣π，，，﹣1，再比较这四个数的大小”时，嘉淇已经标出了﹣π和所对应的点，请你标出其余两个数，并比较这四个数的大小．
【答案】解：∵，∴，结合﹣4＜﹣π＜﹣3，，可知，﹣1在数轴上如下图所示：
由﹣π，，，﹣1在数轴上的位置可知：．
【举一反三5】请把实数﹣π，，﹣2，近似地表示在数轴上，并比较它们的大小（用“＜”号连接）．
【答案】解：所给的四个实数在数轴上表示如下：
由四个实数数轴上表示的位置可知：﹣π＜﹣2．
